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  1. 1. COURS DE MATHEMATIQUES Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom e e Trigonom´trie e Fonctions circulaires Ce cours porte exclusivement sur la pr´sentation des fonctions circulaires e cosinus et sinus. 1 L’id´e g´n´rale e ee Ethymologiquement, la trigonom´trie s’emploie a mesurer les angles d’un e ` triangle. Le cercle trigonom´trique a pour centre (O) un des sommets du e triangle consid´r´, et pour rayon un des deux cˆt´s issus de O. Le troisi`me ee oe e sommet du triangle est alors n’importe quel point du cercle trigonom´trique. e Sur la base de cette construction, la trigonom´trie d´finit des fonctions et e e des formules qui permettent de d´terminer entre autres la mesure des angles e du triangle consid´r´. ee 2 La th´orie e Ce cours au format particulier dresse un descriptif non exhaustif des fonc- tions circulaires. Par cons´quent, s’il ne propose aucun exercice, ce cours e d´crit les propri´t´s et fournit la courbe repr´sentative des fonctions cosinus e ee e et sinus. 1
  2. 2. 2.1 La fonction cosinus On consid`re le cercle trigonom´trique de centre O(0; 0) et de rayon e e R = 1. La rayon correspondant a la portion positive de l’axe des abscisses ` constitue un cˆt´ du triangle. Le troisi`me sommet du triangle est un point oe e quelconque du cercle trigonom´trique. e Sur cette base, le cosinus repr´sente la mesure du segment reliant le centre e du cercle trigonom´trique a la projection orthogonale du troisi`me sommet e ` e du triangle sur l’axe des abscisses. Soit la fonction r´elle f : x → cos x e – f est appel´e fonction cosinus ; e – f est d´finie sur un ensemble de d´finition D = R ; e e – f est d´rivable sur D = R ; e – f est paire sur D = R : ∀x ∈ R, cos(−x) = cos x ; – la courbe repr´sentative Cf de f est sym´trique par rapport a l’axe des e e ` ordonn´es ; e – f est p´riodique sur D = R de p´riode 2π : e e ∀x ∈ R, ∀k ∈ Z, cos(x + 2kπ) = cos x ; – ∀k ∈ Z, f est strictement d´croissante sur [0 + 2kπ; π + 2kπ] ; e – ∀k ∈ Z, f est strictement croissante sur [π + 2kπ; 2π + 2kπ] ; π – ∀k ∈ Z, f est nulle en x = + kπ ; 2 π π – ∀k ∈ Z, f est strictement positive sur − + 2kπ; + 2kπ ; 2 2 3π π – ∀k ∈ Z, f est strictement n´gative sur e + 2kπ; + 2kπ ; 2 2 – la d´riv´e de f est la fonction f : x → − sin x. ee 2
  3. 3. 1 cos(x) 0.5 0 -0.5 -1 -6.28319 -3.14159 0 3.14159 6.28319 La fonction cosinus 1 cos(x) -sin(x) 0.5 0 -0.5 -1 -6.28319 -3.14159 0 3.14159 6.28319 La fonction cosinus et sa d´riv´e ee 3
  4. 4. 2.2 La fonction sinus On consid`re le cercle trigonom´trique de centre O(0; 0) et de rayon e e R = 1. La rayon correspondant a la portion positive de l’axe des abscisses ` constitue un cˆt´ du triangle. Le troisi`me sommet du triangle est un point oe e quelconque du cercle trigonom´trique. e Sur cette base, le sinus repr´sente la mesure du segment reliant le centre du e cercle trigonom´trique a la projection orthogonale du troisi`me sommet du e ` e triangle sur l’axe des ordonn´es. e Soit la fonction r´elle f : x → sin x e – f est appel´e fonction sinus ; e – f est d´finie sur un ensemble de d´finition D = R ; e e – f est d´rivable sur D = R ; e – f est impaire sur D = R : ∀x ∈ R, sin(−x) = − sin x ; – la courbe repr´sentative Cf de f est sym´trique par rapport a l’origine e e ` O(0; 0) du rep`re ; e – f est p´riodique sur D = R de p´riode 2π : e e ∀x ∈ R, ∀k ∈ Z, sin(x + 2kπ) = sin x ; π π – ∀k ∈ Z, f est strictement croissante sur − + 2kπ; + 2kπ ; 2 2 3π π – ∀k ∈ Z, f est strictement d´croissante sur e + 2kπ; + 2kπ ; 2 2 – ∀k ∈ Z, f est nulle en x = 0 + kπ ; – ∀k ∈ Z, f est strictement positive sur ]0 + 2kπ; π + 2kπ[ ; – ∀k ∈ Z, f est strictement n´gative sur ] − π + 2kπ; 0 + 2kπ[ ; e – la d´riv´e de f est la fonction f : x → cos x. ee 4
  5. 5. 1 sin(x) 0.5 0 -0.5 -1 -6.28319 -3.14159 0 3.14159 6.28319 La fonction sinus 1 sin(x) cos(x) 0.5 0 -0.5 -1 -6.28319 -3.14159 0 3.14159 6.28319 La fonction sinus et sa d´riv´e ee 5

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