Le document traite des coniques, définissant les différentes types comme les ellipses, paraboles et hyperboles en fonction de l'excentricité. Il présente les équations correspondantes, les propriétés des foyers, directrices et sommets, ainsi que l'équation de tangente aux points des coniques. En outre, il explique la classification des courbes en fonction des coefficients de leur équation générale.

1. 1
Dans le plan P rapporté à un repère orthonormé direct ( )j,i;O .
Définition ( conique)
Soit F un point , D une droite ne contenant pas F et e > 0.
On appelle conique d'excentricité e , de foyer F et de directrice D l'ensemble
( ){ }






=℘∈==℘∈= e
MH
MF
/MD,Md.eMF/Mζ où H le projeté orthogonale de M sur la droite D.
•Si e < 1 : on dit que ζ est une ellipse.
•Si e = 1 : on dit que ζ est une parabole.
•Si e > 1 : on dit que ζ est une hyperbole.
La droite ∆ passe par F et perpendiculaire à la directrice s'appelle l'axe focal de conique.
Parabole
Dans le cas où les vecteurs OF et i sont colinéaires,
la courbe ℘ d'équation px2²y = est appelée
parabole de sommet O=F*K, d'axe focal ( )i;O et de
paramètre p . Elle admet un foyer F de cordonnées






0,
2
p
et une directrice D d'équation
2
p
x −= .
( ( )'xxDK ∩= )
Dans le cas où les vecteurs OF et j sont colinéaires
la courbe℘ d'équation : py2²x =
est un parabole de sommet O=F*K, d'axe focal ( )j;O
et de paramètre p . Elle admet un foyer F de
cordonnées 





2
p
,0 et une directrice D
d'équation
2
p
y −= .
( ( )'yyDK ∩= )
Soit ( )000 y,xM une point de ℘. L'équation de
tangente T au point 0M est : )xx(pyy 00 +=
Soit ( )000 y,xM une point de ℘. L'équation de
tangente T au point 0M est : )yy(pxx 00 +=
Hyperbole
Soit a>0 et b>0.
La courbe H d'équation 1
²b
²y
²a
²x
=− est appelée
hyperbole de centre O, d'axe focale ( )i;O et
d'excentricité
a
c
²a
²b
1e =+= > 1 avec c² = a² + b²
Elle est constituée de deux composantes connexes H1 et
H2 et admet deux couples foyer-directrices
( F, D) et (F' , D'), avec F(c,0) , F'(-c,0) et D et D'
d'équation cartésiennes
c
²a
e
a
x == et
c
²a
e
a
x −=−=
Les points S et S' de cordonnées (a,0) et (-a,0) sont
appelés sommets de l'hyperbole H, qui admet
également deux asymptotes ∆ et '∆ d'équation
0
b
y
a
x
=+ et 0
b
y
a
x
=−
S et S' sont les barycentres respectifs des points (F,1) ,
(K,-e) et (F,1) et (K,-e) où K est le projeté orthogonale
de F sur D.
La courbe H d'équation 1
²b
²y
²a
²x
=+− 1
²b
²y
²a
²x
=+−
est une hyperbole de centre O d'axe focale ( )j;O et
foyer F(0,c), de directrice d'équation
c
²b
e
b
y ==
d'excentricité
b
c
e = avec c² = a² + b²
Elle est constituée de deux composantes connexes H1 et
H2 et admet deux couples foyer-directrices
( F, D) et (F' , D'), avec F(0,c) , F'(0,-c) et D et D'
d'équation cartésiennes
c
²b
e
b
y == et
c
²b
e
b
y −=−=
Les points S et S' de cordonnées (0,b) et (0,-b) sont
appelés sommets de l'hyperbole H, qui admet
également deux asymptotes ∆ et '∆ d'équation
0
b
y
a
x
=+ et 0
b
y
a
x
=−
Soit ( )000 y,xM une point de H. L'équation de tangente T au point 0M est : 1
²b
yy
²a
xx 00
=−
Fiche de cours 4ème Maths
ConiquesConiquesConiquesConiques
Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
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2. 2
Ellipse
Soit 0ba >≥ . Alors la courbe ξ d'équation
1
²b
²y
²a
²x
=+ est appelée ellipse d'axe focal ( )i;O de
demi grand axe a , de demi petit axe b et
d'excentricité
a
c
²a
²b
1e =−= < 1 avec a² = c² + b²
C'est une conique admettant deux couples foyer-
directrices ( F, D) et (F' , D'), avec F(c,0) , F'(-c,0) , et
D et D' d'équation cartésiennes
c
²a
e
a
x == et
c
²a
e
a
x −=−= .
Les points A(a,0) , B(0,b) C(-a,0) et D(0,-b) sont
appelés les sommets de l'ellipse ξ
A et C sont les sommets principaux ils sont les
barycentres respectifs des points (F,1) , (K,-e) et (F,1)
et (K,-e) où K est le projeté orthogonale de F sur D.
Soit 0ab >> . Alors la courbe ξ d'équation
1
²a
²y
²b
²x
=+ est appelée ellipse d'axe focal ( )j;O de
demi grand axe a , de demi petit axe b et
d'excentricité
b
c
²b
²a
1e =−= < 1 avec c² = b² - a²
C'est une conique admettant deux couples foyer
directrices ( F, D) et (F' , D'), avec F(0,c) , F'(0,-c) , et
D et D' d'équation cartésiennes
c
²b
e
b
y == et
c
²b
e
b
y −=−= .
Les points A(a,0) , B(0,b) C(-a,0) et D(0,-b) sont
appelés les sommets de l'ellipse ξ
B et D sont les sommets principaux ils sont les
barycentres respectifs des points (F,1) , (K,-e) et (F,1)
et (K,-e) où K est le projeté orthogonale de F sur D.
Soit ( )000 y,xM une point de ξ . L'équation de tangente T au point 0M est : 1
²b
yy
²a
xx 00
=+
Ensembles des points
L'ensemble des points M(x,y) du plan tels que : Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0 est une
AB Courbe
AB = 0 Parabole ou deux droites parallèles ou une droite ou le vide
AB < 0 Hyperbole ou deux droites sécantes.
AB > 0 Ellipse ou cercle ou un points ou le vide.