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1
)xsin()x(fx,R
4
,
6
:f:indication =→





֏
ππ
EXERCICE N°1
On définit la fonction f de période 1 en donnant sur [ [1,0 : ( ) cx²bxx2xf 3
++= .
f est elle dérivable sur R ?
EXERCICE N°2
Comparer, sur 





2
,0
π
, xtan9.0 et ( )x9.0tan
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Montrer que : Np ∈∀ , il existe un réel ] [1p,pc +∈ tel que : csinpcos)1pcos( −=+
EXERCICE N°4
Montrer que :
1°)Pour tout x de 





2
,0
π
, on a : xxsinx
2
≤≤
π
2°) Pour tout x de 





4
,0
π
, on a : x
4
xtanx
π
≤≤
3°) Pour tout x de 





2
,0
π
, on a : x
2
xcosx
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1 −≤≤−
π
π
4°) Pour tout x de 





2
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4
ππ
on a : x
4
1)x(ancotx2
2
−≤−≤−
ππ
5°) Pour tout x>0 :
x2
1
x1x
1x2
1
≤−+≤
+
6°)Montrer que
12
312
12
2
≤
−
≤
π
EXERCICE N°5
Montrer que : pour tout x de 





2
,0
π
, on a : x3xtanxsin2 ≥+
EXERCICE N°6
Soit a>0. Pour tout n de N* :
On considère la fonction polynomiale Pn définie par la relation: ( ) axxP
n
1k
k
n −= ∑=
.
1°) a)ntrer que l'équation ( ) 0xPn = admet une solution positive et une seule, que l'on notera xn.
b) Montrer que xn < a.
2°) Etudier le signe de Pn+1 (xn). En déduire que la suite (xn)n1 est monotone.
3°) Montrer que la suite (x n)nµ1 est convergente. On note ℓ sa limite.
Prouver que 0 ≤ ℓ < 1.
4°) a) Montrer que pour tout nombre entier naturel non nul n le nombre xn est solution de l'équation:
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b)En déduire que: ℓ = a/(a+1) .
EXERCICE N°7
Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on définit la fonction fn par :
∀x ∈ R+ : fn (x) = xn + 9x2 - 4.
1) a)Montrer que l'équation fn(x) = 0 n'a qu'une seule solution strictement positive, notée un.
b)Calculer u1 et u2.
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2
c)Vérifier que : ∀n ∈ N* 





∈
3
2
,0un
2) a) Montrer que, pour tout x élément de ] 0, 1 [, on a : fn+1(x) < fn(x).
b)En déduire le signe de fn(un+1), puis les variations de la suite (un).
c)Montrer que la suite (un) est convergente. On note ℓ sa limite.
3) a)Déterminer la limite de (un)n lorsque n tend vers +∞.
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EXERCICE N°8
Soit f une fonction infiniment dérivable sur R(ie : *
Nn ∈∀ , f est n fois dérivable sur R)
Telle que *
Nn ∈∀ , ( ) ²Rb,a nn ∈∃ / Rx ∈∀ , on a ( )( ) ( )nn
n
bxfaxf += .
1°)Montrer que ( ) *
Nnna ∈ est une suite géométrique et ( ) *
Nnnb ∈ est une suite arithmétique.
2°)Calculer na et nb en fonction de n, 1a et 1b .
3°)Trouver un exemple de fonction f vérifiant les hypothèses ci-dessus.
EXERCICE N°9
Soient f et g deux fonctions continues sur un fermé [ ]b,a , dérivables sur ] [b,a , telles que : ( ) ( )bgaf = et
( ) ( )agbf = . ( )ba <
1°)Montrer que qu’il existe [ ]b,ax0 ∈ tel que : ( ) ( )00 xgxf = .
2°) Montrer que qu’il existe ] [b,ax1 ∈ tel que : ( ) ( )11 x'gx'f −= .
EXERCICE N°10
Soient f et g deux fonctions continues sur [ ]b,a , dérivables sur ] [b,a , ( )ba < .
On suppose que ] [b,ax ∈∀ : ( ) 0x'g ≠ .
1°)Montrer que l’on a : ( ) ( )bgag ≠ .
2°)Soit la fonction h définie sur [ ]b,a par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )agxgafxfxh −−−= ω où R∈ω
Calculer ω pour que l’on ait ( ) 0bh = .
3°)La valeur de ω étant celle de 2°), prouver que : ] [b,ac ∈∃ /
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )agbg
afbf
c'g
c'f
−
−
=
4°)En déduire que : Si
( )
( )
ℓ=
→ x'g
x'f
lim
ax
alors
( ) ( )
( ) ( )
ℓ=
−
−
→ agxg
afxf
lim
ax
.
5°)Appliquer le résultat pour calculer :
²x
1xcos
lim
0x
−
→
; 30x x
xxsin
lim
−
→
EXERCICE N°11
Soit f une fonction deux fois dérivable sur R.
1°)Montrer que : si f est paire alors Ra ∈∃ / ( ) 0a'f =
2°)Montrer que : si f est impaire alors Rb∈∃ / ( ) 0b''f = .
EXERCICE N°12
On donne un réel t>0. Soit la fonction )x1(txx:f n
n −−֏
1°)Prouver que, pour tout entier naturel n non nul, l’équation : 0)x(fn = admet une solution et une seule
comprise entre 0 et 1. Soit nu cette racine.
2°)Montrer que , pour tout n de N* : 2
nn1n )u1(t)u(f −−=+
3°)En déduire que )u( n est croissante.
4°)En déduire que )u( n est convergente et calculer sa limite.

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Exercice dérivabilité

  • 1. 1 )xsin()x(fx,R 4 , 6 :f:indication =→      ֏ ππ EXERCICE N°1 On définit la fonction f de période 1 en donnant sur [ [1,0 : ( ) cx²bxx2xf 3 ++= . f est elle dérivable sur R ? EXERCICE N°2 Comparer, sur       2 ,0 π , xtan9.0 et ( )x9.0tan EXERCICE N°3 Montrer que : Np ∈∀ , il existe un réel ] [1p,pc +∈ tel que : csinpcos)1pcos( −=+ EXERCICE N°4 Montrer que : 1°)Pour tout x de       2 ,0 π , on a : xxsinx 2 ≤≤ π 2°) Pour tout x de       4 ,0 π , on a : x 4 xtanx π ≤≤ 3°) Pour tout x de       2 ,0 π , on a : x 2 xcosx 2 1 −≤≤− π π 4°) Pour tout x de       2 , 4 ππ on a : x 4 1)x(ancotx2 2 −≤−≤− ππ 5°) Pour tout x>0 : x2 1 x1x 1x2 1 ≤−+≤ + 6°)Montrer que 12 312 12 2 ≤ − ≤ π EXERCICE N°5 Montrer que : pour tout x de       2 ,0 π , on a : x3xtanxsin2 ≥+ EXERCICE N°6 Soit a>0. Pour tout n de N* : On considère la fonction polynomiale Pn définie par la relation: ( ) axxP n 1k k n −= ∑= . 1°) a)ntrer que l'équation ( ) 0xPn = admet une solution positive et une seule, que l'on notera xn. b) Montrer que xn < a. 2°) Etudier le signe de Pn+1 (xn). En déduire que la suite (xn)n1 est monotone. 3°) Montrer que la suite (x n)nµ1 est convergente. On note ℓ sa limite. Prouver que 0 ≤ ℓ < 1. 4°) a) Montrer que pour tout nombre entier naturel non nul n le nombre xn est solution de l'équation: xn+1 - (a+1)x +a = 0 b)En déduire que: ℓ = a/(a+1) . EXERCICE N°7 Pour tout entier n supérieur ou égal à 1, on définit la fonction fn par : ∀x ∈ R+ : fn (x) = xn + 9x2 - 4. 1) a)Montrer que l'équation fn(x) = 0 n'a qu'une seule solution strictement positive, notée un. b)Calculer u1 et u2. Séries d’exercices 4ème Maths DerivabiliteDerivabiliteDerivabiliteDerivabilitessss Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
  • 2. 2 c)Vérifier que : ∀n ∈ N*       ∈ 3 2 ,0un 2) a) Montrer que, pour tout x élément de ] 0, 1 [, on a : fn+1(x) < fn(x). b)En déduire le signe de fn(un+1), puis les variations de la suite (un). c)Montrer que la suite (un) est convergente. On note ℓ sa limite. 3) a)Déterminer la limite de (un)n lorsque n tend vers +∞. b)Donner enfin la valeur de ℓ. EXERCICE N°8 Soit f une fonction infiniment dérivable sur R(ie : * Nn ∈∀ , f est n fois dérivable sur R) Telle que * Nn ∈∀ , ( ) ²Rb,a nn ∈∃ / Rx ∈∀ , on a ( )( ) ( )nn n bxfaxf += . 1°)Montrer que ( ) * Nnna ∈ est une suite géométrique et ( ) * Nnnb ∈ est une suite arithmétique. 2°)Calculer na et nb en fonction de n, 1a et 1b . 3°)Trouver un exemple de fonction f vérifiant les hypothèses ci-dessus. EXERCICE N°9 Soient f et g deux fonctions continues sur un fermé [ ]b,a , dérivables sur ] [b,a , telles que : ( ) ( )bgaf = et ( ) ( )agbf = . ( )ba < 1°)Montrer que qu’il existe [ ]b,ax0 ∈ tel que : ( ) ( )00 xgxf = . 2°) Montrer que qu’il existe ] [b,ax1 ∈ tel que : ( ) ( )11 x'gx'f −= . EXERCICE N°10 Soient f et g deux fonctions continues sur [ ]b,a , dérivables sur ] [b,a , ( )ba < . On suppose que ] [b,ax ∈∀ : ( ) 0x'g ≠ . 1°)Montrer que l’on a : ( ) ( )bgag ≠ . 2°)Soit la fonction h définie sur [ ]b,a par : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )agxgafxfxh −−−= ω où R∈ω Calculer ω pour que l’on ait ( ) 0bh = . 3°)La valeur de ω étant celle de 2°), prouver que : ] [b,ac ∈∃ / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )agbg afbf c'g c'f − − = 4°)En déduire que : Si ( ) ( ) ℓ= → x'g x'f lim ax alors ( ) ( ) ( ) ( ) ℓ= − − → agxg afxf lim ax . 5°)Appliquer le résultat pour calculer : ²x 1xcos lim 0x − → ; 30x x xxsin lim − → EXERCICE N°11 Soit f une fonction deux fois dérivable sur R. 1°)Montrer que : si f est paire alors Ra ∈∃ / ( ) 0a'f = 2°)Montrer que : si f est impaire alors Rb∈∃ / ( ) 0b''f = . EXERCICE N°12 On donne un réel t>0. Soit la fonction )x1(txx:f n n −−֏ 1°)Prouver que, pour tout entier naturel n non nul, l’équation : 0)x(fn = admet une solution et une seule comprise entre 0 et 1. Soit nu cette racine. 2°)Montrer que , pour tout n de N* : 2 nn1n )u1(t)u(f −−=+ 3°)En déduire que )u( n est croissante. 4°)En déduire que )u( n est convergente et calculer sa limite.