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Analyse Convexe 1 Jaouad DABOUNOU-FSTS
Théorèmes de Carathéodory
Théorème (Carathéodory) : Soit A une partie de R
n
. Alors tout élément de conv(A) peut s’écrire
comme une combinaison convexe de n + 1 éléments de A.
Démonstration: Supposons que x ∈ conv(A) s’écrive comme combinaison convexe de m>n+1
éléments xi de A :
x = ∑αi xi
m
i=1
avec α = (α1, α2, … , αm) ∈ m
Il suffit de montrer que l’on peut écrire x comme combinaison convexe de m−1 des xi.
On suppose i > 0, i = 1,...,m.
Comme m>n+1, (x1, x2, …, xm) est nécessairement affinement liée. Donc on peut trouver 1, 2, …,
m réels non tous nuls tels que :
∑ i
xi
m
i=1
= 0 avec ∑ i
m
i=1
= 0
On voit facilement que au moins l’un des réels i, i=1,m est strictement positif.
On a pour tout réel t0,
x = ∑(αi
- t i
) xi
m
i=1
avec α = (α1, α2, … , αm) ∈ m et ∑(αi
- t i
)
m
i=1
= 1
Posons  i,t = i - t i, i=1,m, pour t0. Donc
x = ∑i,t
xi
m
i=1
avec ∑i,t
m
i=1
= 1
Pour t=0 on a i,0 = i > 0, i=1,m. L’utilisation de la continuité montre que cela reste vrai :
i,t = i - t i >0, i=1,m, pour t>0, t suffisamment petit. En plus on a toujours :
x = ∑i,t
xi
m
i=1
avec ∑i,t
m
i=1
= 1
Comme au moins l’un des réels i, i=1,m est strictement positif, faisons croitre la valeur de t à partir
de 0, jusqu’à ce que pour  > 0 l’un des i, = i -  i, i=1,m s’annule, par exemple m, = m -  m
= 0. On a ainsi forcément i, = i -  i  0, i=1,m-1. Sinon, si par exemple j, = j -  j < 0, pour
Analyse Convexe 2 Jaouad DABOUNOU-FSTS
un entier j, 1 j m-1 cela voudrait dire que j,t = j - t j s’était annulé pour un t, tel que 0<t<, ce
qui est impossible.
Finalement, on peut écrire
x = ∑i,
xi
m-1
i=1
avec i,
 0 et ∑i,
m-1
i=1
= 1
Donc si m > n+1 et x s’écrit comme combinaison convexe de m éléments (xi), i=1,m de A, alors x
peut s’écrire comme combinaison convexe de seulement m-1 éléments parmi les (xi), i=1,m.
Corollaire : Soit A un sous-ensemble non vide de R
n
, Si A est borné (resp. compact) alors conv(A)
est borné (resp. compact).
Démonstration :
Bornitude :
Supposons que A est borné par M. Soit xconv(A), on a
x = ∑αi xi
n+1
i=1
, xi ∈A, αi ≥ 0 , ∑αi
n+1
i=1
=1
Donc
‖x‖ = ‖∑ αi xi
n+1
i=1
‖  ∑ αi ‖xi ‖
n+1
i=1
 ∑ αi M=M
n+1
i=1
Donc conv(A) est majoré par M.
Compacité :
Soit (xk
) une suite de conv(A). Si A est compact, alors on a pour chaque k
xk
= ∑ αi
k
xi
k
n+1
i=1
, xi
k
∈A, αi
k
≥ 0 , ∑ αi
k
n+1
i=1
=1
Pour i=1, la suite (x1
k
) A et A est compact, donc on peut en extraire une sous-suite (x1
k1
) qui
converge vers x1 dans A.
Analyse Convexe 3 Jaouad DABOUNOU-FSTS
On considère la sous-suite des coefficients (1
k1
, 2
k1
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k1
). Puisque n+1 est compact, on peut
en extraire une sous-suite que nous continuerons à noter pour simplifier (1
k1
, 2
k1
,…, n+1
k1
) qui
converge vers (1 , 2 ,…, n+1) dans n+1.
On a par ailleurs
xk1
= ∑ αi
k1
xi
k1
n+1
i=1
, xi
k1
∈A, αi
k1
≥ 0 , ∑ αi
k1
n+1
i=1
=1
On considère maintenant pour i=2, la suite (x2
k1
) A et A est compact, donc on peut en extraire une
sous-suite (x2
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On procède ainsi de proche en proche jusqu’à construire une sous-suite kn+1, telle que (xi
kn+1)
converge vers xi pout i=1,2,…,n+1.
On en déduit alors que la sous-suite de (xk
) donnée par
xkn+1= ∑ αi
kn+1xi
kn+1
n+1
i=1
, xi
kn+1∈A, αi
kn+1 ≥ 0 , ∑ αi
kn+1
n+1
i=1
=1
converge vers
x = ∑ αi xi
n+1
i=1
, xi ∈A, αi ≥ 0 , ∑ αi
n+1
i=1
=1
Donc xconv(A). On en déduit donc que conv(A) est compact.

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Théorèmes de Carathéodory

  • 1. Analyse Convexe 1 Jaouad DABOUNOU-FSTS Théorèmes de Carathéodory Théorème (Carathéodory) : Soit A une partie de R n . Alors tout élément de conv(A) peut s’écrire comme une combinaison convexe de n + 1 éléments de A. Démonstration: Supposons que x ∈ conv(A) s’écrive comme combinaison convexe de m>n+1 éléments xi de A : x = ∑αi xi m i=1 avec α = (α1, α2, … , αm) ∈ m Il suffit de montrer que l’on peut écrire x comme combinaison convexe de m−1 des xi. On suppose i > 0, i = 1,...,m. Comme m>n+1, (x1, x2, …, xm) est nécessairement affinement liée. Donc on peut trouver 1, 2, …, m réels non tous nuls tels que : ∑ i xi m i=1 = 0 avec ∑ i m i=1 = 0 On voit facilement que au moins l’un des réels i, i=1,m est strictement positif. On a pour tout réel t0, x = ∑(αi - t i ) xi m i=1 avec α = (α1, α2, … , αm) ∈ m et ∑(αi - t i ) m i=1 = 1 Posons  i,t = i - t i, i=1,m, pour t0. Donc x = ∑i,t xi m i=1 avec ∑i,t m i=1 = 1 Pour t=0 on a i,0 = i > 0, i=1,m. L’utilisation de la continuité montre que cela reste vrai : i,t = i - t i >0, i=1,m, pour t>0, t suffisamment petit. En plus on a toujours : x = ∑i,t xi m i=1 avec ∑i,t m i=1 = 1 Comme au moins l’un des réels i, i=1,m est strictement positif, faisons croitre la valeur de t à partir de 0, jusqu’à ce que pour  > 0 l’un des i, = i -  i, i=1,m s’annule, par exemple m, = m -  m = 0. On a ainsi forcément i, = i -  i  0, i=1,m-1. Sinon, si par exemple j, = j -  j < 0, pour
  • 2. Analyse Convexe 2 Jaouad DABOUNOU-FSTS un entier j, 1 j m-1 cela voudrait dire que j,t = j - t j s’était annulé pour un t, tel que 0<t<, ce qui est impossible. Finalement, on peut écrire x = ∑i, xi m-1 i=1 avec i,  0 et ∑i, m-1 i=1 = 1 Donc si m > n+1 et x s’écrit comme combinaison convexe de m éléments (xi), i=1,m de A, alors x peut s’écrire comme combinaison convexe de seulement m-1 éléments parmi les (xi), i=1,m. Corollaire : Soit A un sous-ensemble non vide de R n , Si A est borné (resp. compact) alors conv(A) est borné (resp. compact). Démonstration : Bornitude : Supposons que A est borné par M. Soit xconv(A), on a x = ∑αi xi n+1 i=1 , xi ∈A, αi ≥ 0 , ∑αi n+1 i=1 =1 Donc ‖x‖ = ‖∑ αi xi n+1 i=1 ‖  ∑ αi ‖xi ‖ n+1 i=1  ∑ αi M=M n+1 i=1 Donc conv(A) est majoré par M. Compacité : Soit (xk ) une suite de conv(A). Si A est compact, alors on a pour chaque k xk = ∑ αi k xi k n+1 i=1 , xi k ∈A, αi k ≥ 0 , ∑ αi k n+1 i=1 =1 Pour i=1, la suite (x1 k ) A et A est compact, donc on peut en extraire une sous-suite (x1 k1 ) qui converge vers x1 dans A.
  • 3. Analyse Convexe 3 Jaouad DABOUNOU-FSTS On considère la sous-suite des coefficients (1 k1 , 2 k1 ,…, n+1 k1 ). Puisque n+1 est compact, on peut en extraire une sous-suite que nous continuerons à noter pour simplifier (1 k1 , 2 k1 ,…, n+1 k1 ) qui converge vers (1 , 2 ,…, n+1) dans n+1. On a par ailleurs xk1 = ∑ αi k1 xi k1 n+1 i=1 , xi k1 ∈A, αi k1 ≥ 0 , ∑ αi k1 n+1 i=1 =1 On considère maintenant pour i=2, la suite (x2 k1 ) A et A est compact, donc on peut en extraire une sous-suite (x2 k2 ) qui converge vers x2 dans A. Remarquons que (x1 k2 ) est une sous-suite de (x1 k1 ), donc converge aussi vers x1 . On procède ainsi de proche en proche jusqu’à construire une sous-suite kn+1, telle que (xi kn+1) converge vers xi pout i=1,2,…,n+1. On en déduit alors que la sous-suite de (xk ) donnée par xkn+1= ∑ αi kn+1xi kn+1 n+1 i=1 , xi kn+1∈A, αi kn+1 ≥ 0 , ∑ αi kn+1 n+1 i=1 =1 converge vers x = ∑ αi xi n+1 i=1 , xi ∈A, αi ≥ 0 , ∑ αi n+1 i=1 =1 Donc xconv(A). On en déduit donc que conv(A) est compact.