Le document traite des lois de probabilités continues, notamment la loi binomiale et son évolution vers des intégrales pour le calcul des probabilités lorsque le nombre d'essais est grand. Il aborde également l'historique de la courbe de Gauss et les défis liés aux variables aléatoires discrètes et continues, ainsi que leur densité de probabilité. Des exercices illustrent les concepts présentés, notamment la démonstration de fonctions de densité de probabilité.

1. Probabilités 2 : Lois à densité ou Lois de probabilités continues
« I » : Grandes binomiales
1/ Evolution d'une loi binomiale en fonction du nombre d'essais n
X est la loi binomiale B (0,4 ; n). Ci-dessous, l'histogramme des probabilités pour n Î {5;10;15;20;25;60}
n = 5 n = 10 n = 15
n = 20 n = 25 n = 60
2/ Du calcul de probabilité à un calcul d'intégrale
►Dans les cas où n est assez grand par exemple n = 60, on peut
approximer l' histogramme par la fonction f représentée en rouge.
► La probabilité p(20 ≤ X ≤ 30) représentée en bleu interprétée
30
comme une aire peut être approximée par l’intégrale ∫
f (x)d x
20
►C'est ce principe que l'on va généraliser. On va ainsi être amené
à calculer des intégrales pour déterminer des probabilités.
► On reviendra sur les lois binomiales plus tard pour les lois
normales.
3/ Historique
La célèbre courbe en cloche a été définie au début du XIXième siècle par la mathématicien allemand Karl
Friedrich Gauss (1777-1855) lorsqu'il étudia la distribution des erreurs d'observation de l'astéroïde Cérès. A la
même époque elle fut aussi décrite par la scientifique français Laplace (1812) qui repris et compléta les travaux
du mathématicien Abraham de Moivre (1167-1754) en calculs de probabilité.
La loi associée à la courbe en cloche est appelée loi normale ou loi Laplace-Gauss. On qualifie la loi de
normale car elle modélise des situations normales ou naturelles. Par exemple sur une population de 1000
personnes dont la taille moyenne est 1m 70, a un histogramme des tailles proche de la courbe en cloche de Gauss.
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2. « I I » : Introduction, v ariables aléatoires discrètes ou continues
1/ Remarque :
► Si on choisit au hasard un nombre entier entre 3 et 6 compris, Ω = {3 ; 4 ; 5 ; 6}, on obtient un univers fini
composé de 4 entiers. On dit que l'univers est un univers discret et fini
►Si on choisit au hasard un nombre entier, Ω = N, on obtient un univers infini dont les éléments sont des
valeurs isolés. On dit que l'univers est un univers discret et infini
► Si on choisit au hasard un nombre réel entre 3 et 6 compris, Ω = [3 ; 6], on obtient un univers infini dont les
valeurs ne sont pas isolées mais continues. On dit que l'univers est un univers continu.
2/ Définitions
Une variable aléatoire discrète est une variable aléatoire dont les valeurs sont isolées, ou discrète.
Exemples :
1) Lancer un dé parfaitement équilibré et définir la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 si c'est un nombre
pair, la valeur 2 si c'est 3 et 0 si on obtient 1 ou 5. X( Ω) = {0 ; 1 ; 2}
2) Lancer une pièce de monnaie équilibré et définir la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 si c'est F et la
valeur 0 si c'est P. X( Ω) = {0 ; 1}
Une variable aléatoire continue est une variable aléatoire qui prend toutes les valeurs d'un intervalle.
Exemples :
1) Appeler un opérateur mobile, attendre moins de 5 minutes et noter le temps d'attente en minutes, X( Ω) = [0; 5]
2) Théoriquement un composant électronique peut durer indéfiniment. On note sa durée de vie. X( Ω) = [0 ; +∞[.
3/ Vers la densité de probabilité
► Dans la suite on va étudier des lois de probabilités de variables aléatoires continues telles que X( Ω) = I
Avec I = [a ; b] avec a < b
ou I = [a ; + ∞ [
ou I = R
► Il est clair que pour tout réel k qui n' appartient pas à I, p(k) = 0. L'événement {k} est impossible et la
probabilité de l’événement « choisir un nombre voisin de k » reste nulle
De même, il paraît évident que pour tout réel k de I, p(k) = 0 car il y a une infinité de nombres dans I. Mais
l'événement {k} n'est pas impossible, et la probabilité de l'événement « choisir un nombre voisin de k » n'est plus
nulle puisque qu'une infinité de nombre conviennent.
► On ne s’intéresse donc pas à la probabilité d'un nombre mais à la probabilité d'un minuscule intervalle
contenant ce nombre, cette probabilité f(k) est alors appelée densité de probabilité de ce nombre k .
On distingue les deux cas précédents en disant que :
Si k Ï I alors k est affectée d'une densité de probabilité nulle
Si k Î I alors est affectée d'une densité de probabilité f(k) non nulle.
c
► Si ∫on veut calculer la probabilité d'un intervalle [c ; d] de I, on doit
calculer la somme infinie de toutes les densité de probabilité des nombres x
de l'intervalle [c ; d]
d
On va donc utiliser un intégrale, et calculer p ([c ; d ])=f ( x)d x ,
► p([c ; d]) = p(X Î [c ; d]) est l'aire sous la courbe sur l'intervalle
[c ; d] de la fonction densité de probabilité f.
p([c ; d]) est l'aire coloriée en rose
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3. « II I »: Densité de probabilité f sur un intervalle I avec I = [a ; b] ou I = [a ; + ∞ [ ou I = R
1/ Définition
On appelle densité de probabilité sur un intervalle I de R toute fonction f continue et positive sur I
pour laquelle l'aire sous la courbe sur l'intervalle I vaut 1 ua
2/ Conséquences
b
f (x )dx=1
Si I = [a ; b] avec a < b ∫a
Si I = [a ; + ∞ [ lim
t
f (x )dx=1 qui peut se noter ∫a
t→+∞∫a
+∞
f ( x)dx=1
Si I = R lim
0
f ( x)dx+ lim
t→−∞∫t
t
f (x )dx=1 qui peut se noter ∫−∞
t→+∞∫0
+∞
f (x )dx=1
Exercice 0 1
1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 1 est une densité de probabilité sur [0 ; 1]
2/ Montrer que la fonction f définie par f(x) =
12
est une densité de probabilité sur [1; 3]
3/Montrer que la fonction f définie par f(x) = 0,2 e -0,2 x est une densité de probabilité sur [0 ; + ∞[
4/ 1/ Déterminer le réel k pour que la fonction f définie sur [0;1] par : f ( x ) = k
1+x soit une densité de
probabilité sur [1 ; 2]
1/ f est continue et positive sur [0 ; 1]
1
1dx=[ x ]10
∫0
=1
2/ f est continue et positive sur [1 ; 3]
3 12
∫1
dx=[ x
2 ]31
=32
−12
=1
3/ f est continue et positive sur [0 ; + ∞[
lim
t
f (x )dx=lim
t→+∞∫a
t
0,2 e−0,2 x dx=lim
t→+∞∫a
t→+∞
[−e−0,2x ] y
0
=lim
t→+∞
(−e−0,2 t+1)=0+1=1
2 k
1+ x
4/ 1/ f est continue et positive sur [0;1] si k > 0 et on doit avoir ∫1
dx=1
2 k
1+ x
Or ∫1
dx=[k ln(1+ x)]21
=kln3−kln2=kln32
Donc k ln32
=1 et k= 1
ln32
qui est bien positif
« I V »: Loi de probabilité de densité f sur l'intervalle I
1/ Définition
X est la variable aléatoire qui donne les valeurs de I
On appelle loi de probabilité sur I de densité f la probabilité définie de la manière suivante:
Pour tout intervalle J de I, p(J) est l'aire sous la courbe de la fonction f sur l' intervalle J.
Ainsi : pour tout intervalle [c ; d] de I, p ([c ; d] = p(X Î [c ; d]) = p (c ≤ X ≤ d) = ò d
c
f (x)dx
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4. 2/ Illustrations
Si I = [a ; b]
p([c ; d]) est l'aire sous la courbe coloriée
Si I = [a ; + ∞ [
p([c ; d]) est l'aire sous la courbe en vert foncé
D'après la définition de la densité de probabilité,
Si I = [a ; b]
P([a ; b]) = 1 , c'est l' aire du domaine teinté.
Si I = [a ; + ∞ [
p([a ; + ∞ [ ) = 1 , c'est l' aire du domaine teinté.
Si I = [a ; + ∞ [ alors pour tout c ≥ a :
p( [c ; + ∞ [ ) = p(X Î [c ; + ∞ [) = p( X ≥ c ) = lim
t
f (x )dx
t→+∞∫c
Remarque : p( [c ; + ∞ [ ) = 1 – p([a ; c]
p([c ; + ∞ [) est l'aire coloriée en vert foncé
Si I = R
L'aire totale sous la courbe est 1.
p(]-∞ ; c[) est colorié en vert
p ([c ; d]) est colorié en gris
p([d ; + ∞ [) est en blanc.
t→−∞∫t
Si I = R alors pour c réel, p( ]-∞ ; c] ) = p(X Î ]-∞ ; c] ) = p( X ≤ c ) = lim
c
f ( x)dx
t→+∞∫c
pour d réel, p( [d ; + ∞ [ ) = p(X Î [d ; + ∞ [) = p( X ≥ d ) = lim
t
f (x )dx
L'interprétation d'un probabilité comme une aire induit des propriétés évidentes. ( p(X > d) = 1 – p(x < d) )
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5. 0
Exercice 0 2
12
∫1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = x est une densité de probabilité sur [0 ; √2 ]
2/Déterminer alors p([0,5 : 1])
√2
1/ est continue et positive sur [0 ; 2 ]. De plus x dx = [ x2]√2
= 1
0
2/ p ([0,5 ; 1]= ò1
x.dx = [ 12
0,5
=12
x2] √1
0,5
−1
2
14
=12
−18
=38
=0,375
Exercice 0 3
1/ Déterminer le réel k pour que la fonction f définie sur [0;1] par : f ( x ) =
kx
1+x2 soit une densité de probabilité
sur [0 ; 1]
2/ Déterminer alors p([0,5 : 1])
1/ f est continue et positive sur [0;1]. On doit avoir ∫0
1 kx
1+ x2 dx=1
1 kx
1+ x2 dx=[ k
Or ∫0
2
ln(1+ x2)]10
=k
2
ln(2)−k
2
ln(1)= k
2
ln(2) Donc k
2
ln2=1 et k= 2
ln2
2/ f (x)=
1 kx
1+ x2 dx=[ k
kx
1+ x2 et p([0,5 : 1]) = ∫
0,5
2
ln (1+ x 2)] 1
= k
2
0,5
ln(2)− k
2
ln( 54
)=k
2
ln (85
)
Mais k= 2
ln2 donc p([0,5 : 1]) = 1
ln2
ln( 85
)=ln8−ln5
ln2 ≈0,678
Exercice 0 4
Une entreprise produit des dalles en plâtre suivant une variable aléatoire continue X, en tonnes, qui prend
0
∫ses valeurs dans l'intervalle [0 ; 20] avec une densité de probabilité f définie par : f (x) = 0,015x – 0,00075 x2
1/ Démontrer que f est une densité de probabilité sur [0 ; 20].
2/ Calculer la probabilité de l'événement E "La production quotidienne est supérieure ou égale à 12 tonnes".
20
3/ Par définition, l'espérance de X vaut xf (x )dx . Calculer l'espérance mathématique de X.
1/ f est une fonction trinôme du second degré avec a < 0 sa concavité est tournée vers le bas de plus, f(0) = 0 et
f(20) = 0 donc sur [0 ; 20] f(x) ≥ 0 .
Elle est continue comme toute fonction polynôme.
20
f (x )dx=∫0
∫0
20
(0,015 x−0,00075 x2)dx=[0,0075 x2−0,00025 x3]20
0
=1
La fonction f est donc une densité de probabilité sur [0 ; 20]
2/ On cherche p(X > 12) = p(12 < X < 20) = ∫
20
0,015 x−0,00075 x2 dx=[0,0075 x2−0,00025 x3 ]20
12
12
= (0,0075× 20 2 – 0,00025× 20 3) - (0,0075× 12 2 – 0,00025× 12 3)
= 0,352
20
xf (x )dx=∫0
3/ E(X) = ∫0
20
(0,015 x2−0,00075 x3)dx=[0,005 x3−0,0001875 x4]20
0
=10
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6. Exercice 0 5
1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 3e−3 x est une densité de probabilité sur [0 ; + ∞[
2/ Calculer alors p ([1 ; 2])
3/ Calculer alors p ([3 ; + ∞[)
1/ f est continue et positive su[0 ; + ∞[.
t
De plus lim
3 e−3x dx = lim
t →+∞∫0
t →+∞
[−e−3x ]t0
= lim
t →+∞
(−e−3t+ 1) = 1
2
3 e−3x dx=[−e−3x ]21
2/ p ([1 ; 2]) = ∫1
= - e -6 + e -3 =
1
e3− 1
e6=0,047
3/ p ([3 ; + ∞[) = lim
t
3 e−3x dx = lim
t →+∞∫3
t →+∞
[−e−3x ]t3
= lim
t →+∞
(−e−3t+ e−9) = e - 9
Exercice 0 6
1/ Montrer que la fonction f définie par f(x) = 1
10
e
−1
10
x est une densité de probabilité sur [0 ; + ∞[
2/ a) p est la loi de probabilité sur [0 ; + ∞[ de densité f. Déterminer p([ 1 ; 5]) et p ( 0 ≤ X ≤ 1 ). Donner la
valeur exacte puis la valeur approchée à 10 -3 près
3/ On note en minutes la durée X d'une conversation téléphonique. On suppose que X suit la loi de probabilité sur
[0 ; + ∞[ de densité f ( x ) = 1
10
e
−1
10
x . Quelle est la probabilité que la conversation dure :
a) Plus de 10 minutes ? Donner la valeur exacte puis approchée à 10 3 près
b) Entre 10 et 20 minutes ? Donner la valeur exacte puis approchée à 10 3 près
1/ f est continue et positive su[0 ; + ∞[. De plus lim
t 1
10
t →+∞∫0
e
−1
10 x
dx = lim
t →+∞
[−e
−1
10 x
]t0
= lim
t →+∞
(−e
−1
10 x
+ 1) = 1
5 1
10
2/ a) p([ 1 ; 5]) = ∫1
e
−1
10
x
dx = [−e
−1
10
x
]51
=−e
−1
2 + e
−1
10≈0,298
1 1
10
p ( 0 ≤ X ≤ 1 )= ∫0
e
−1
10
x
dx = [−e
−1
10
x
]10
=−e
−1
10 + 1≈0,095
10 1
10
3/ a) p ( X > 10 ) = 1 – p([0 ; 10]) = 1 - ∫0
e
−1
10 xdx = 1 - [−e
−1
10 x
]10
0
= 1−−e−11=e−1 ≈ 0,368
1
1 = e- 1 - e- 2 ≈ 0,233
b) p(10 < X < 20) = ò 20 e -
t 10
dx 10
10
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