Le document traite des polynômes, en définissant leurs propriétés, coefficients, et degrés, avec des exemples concrets. Il couvre des activités de calcul de volumes et d'évaluation de polynômes, ainsi que la factorisation et les racines des polynômes. Des exercices pratiques sont également inclus pour illustrer ces concepts.

1. I. Activité1 :
Soit un parallélépipède rectangle dont les dimension x , 푥+3 et 푥+5 avec 푥 réel strictement positif. Soit V(푥) le volume de ce parallélépipède
1) Montrer que V(푥) =푥3+8푥²+15푥
2) Calculer V(1) et (2) .
3) Quelles opérations as-tu utilise pour calculer V(1) et V(2) ?

2. II.Vocabulaire :
L’exemple 퐕(풙) = 풙ퟑ+ퟖ풙²+ퟏퟓ풙 est appelée fonction polynôme par abus de langage dirons brièvement polynôme de degré 3 on note 풅°(푽) = ퟑ.
Les réel 1, 8 , 15 , 0 sont appelés coefficients du polynôme 퐕(풙).
III.Definition : a. Définition: On appelle polynôme de degré n , et on le nomme P(x) une expression littérale en 풙 de la forme 퐏(풙) = 풂풏풙풏+풂풏−ퟏ풙풏−ퟏ+⋯+풂ퟐ풙ퟐ+ 풂ퟏ풙+풂ퟎ. avec 풂풏≠ퟎ , 풂풏 , 풂풏−ퟏ , …. 풂ퟐ , 풂ퟏ ,풂ퟎ sont appelés coefficients du polynôme et 풂ퟎ est appelé terme constant .
b. Exemple : soit 퐏(퐱)=−ퟓ풙ퟒ+√ퟑ풙ퟐ+ퟒ풙−ퟕ
P(x) est un polynôme de degré 4 on écrit d°(P) =4
Les réels –5 ,0 ,√ퟑ , 4 , –7 sont les coefficients de P(x) car on peut écrire
퐏(퐱) = −ퟓ퐱ퟒ+ퟎ풙ퟑ+√ퟑ풙ퟐ+ ퟒ풙−ퟕ
c. Application1 :
On considère les expressions littérales suivant 풇(풙)=풙²+ ퟐ 풙 −ퟏ ,
품(풙)=−풙ퟓ+ퟑ풙ퟑ+풙+ퟔ , 풉(풙)=√ퟏퟑ−풙²−ퟐ풙
1) Calculer 풇(ퟐ), 품(ퟐ) ,풉(ퟐ)
2) Reconnaitre parmi les expressions celles qui représentent un polynôme en précisant son degré et ses coefficients
d. Application2 :
Ecrire le polynôme p(x) dont le degré est 6 et ses coefficients sont -1,0,0,-3,1
Vocabulaire :

3.  un polynôme de 2eme degré écrit en général 푷(풙)= 풂풙ퟐ+풃풙+풄 ; avec 풂≠ퟎ
On le nombre trinôme : ex : 푷(풙)= −ퟑ풙ퟐ−ퟔ풙+ퟐ
 un polynôme de 1er degré écrit en général P(x)= 풂풙+풃 ; avec 풂≠ퟎ
ex : 품(풙)= −ퟕ풙+ퟏ
ex : 푷(풙) = ퟎ s’appelle polynôme nul IV. Egalité de deux polynômes
Simulation : Cas du polynôme nul
푷(풙)=ퟎ on peut écrire ퟎ풙+ퟎ=ퟎ ; ퟎ풙²+ퟎ풙+ퟎ=ퟎ …. ퟎ풙풏+ퟎ풙풏−ퟏ+⋯+ퟎ풙+ ퟎ=ퟎ
a. Activité :
Soient 풇 et 품 deux polynômes définie par 풇(풙)=ퟑ풙²−풙+ퟑ et 품(풙)=ퟐ풙²+ퟒ풙−ퟏ
1) Vérifier que 풇(ퟏ)=품(ퟏ) et 풇(ퟒ)=품(ퟒ)
La phrase « (풙)=품(풙) , pout tout réel 풙 » est-elle vraie ?
2) Déterminer les réels 풂ퟐ , 풂ퟏ , 풂ퟎ tel que pour tout réel 풙
풂ퟐ풙²+풂ퟏ풙+풂ퟎ=−ퟏퟎ풙+ퟐ풙ퟐ+ퟏퟏ
3) Déterminer les réels 풂ퟑ,풂ퟐ , 풂ퟏ , 풂ퟎ tel que pour tout réel 풙
풂ퟑ풙ퟑ+풂ퟐ풙²+풂ퟏ풙+풂ퟎ=−풙−ퟓ풙ퟑ+ퟐ풙ퟐ+ퟐ
Soit 푷(풙)=풂풏풙풏+풂풏−ퟏ풙풏−ퟏ+⋯+풂ퟏ풙+풂ퟎ
Et 푸(풙)=풃풏풙풏+풃풏−ퟏ풙풏−ퟏ+⋯+풃ퟏ풙+풃ퟎ
Sachant que pour tout réel, 푷(풙)=푸(풙) que peut dire de 풂풏 et 풃풏 ; 풂풏−ퟏet 풃풏−ퟏ ; ... ; 풂ퟎ et 풃ퟎ
Exercice résolu:

4. Soit 푷(풙) et 푸(풙) deux polynômes définies par 푷(풙)=풂풙ퟑ+(풃−ퟐ)풙²+(ퟒ−풄)풙+풅 avec a ,b, c et d sont des réels , et 푸(풙)=−ퟑ풙ퟑ+풙²+ퟕ
Déterminons a , b , c et d sachant que 푷(풙)=푸(풙) pour tout réel 풙
Réponse :
on a 푷(풙)=푸(풙) équivaut à 풂=−ퟑ, −ퟐ=ퟏ , ퟒ−풄=ퟎ ,풅=ퟕ équivaut à 풂=−ퟑ , 풃=ퟑ, 풄=ퟒ , 풅=ퟕ
Exercie1 :
Considérons les polynômes 푼(풙) et 푽(풙) tel que
푼(풙)=−ퟑ+√ퟑퟐ풙ퟐ+풂ퟑ풙ퟑ+풂ퟒ풙ퟒ− ퟐ ퟑ 풙ퟔ+풂ퟖ풙ퟖ
et 푽(풙)=풃ퟎ+풃ퟏ풙+ퟒ√ퟐ풙ퟐ+풃ퟒ풙ퟒ− ퟏퟒ ퟐퟏ 풙ퟔ+풃ퟕ풙ퟕ
Prouvons-nous avoir 푼(풙)=푽(풙) V . : Racine d’un polynôme et Factorisation d’un polynôme
A. Racine d’un polynôme :
Activité3 : Soit le polynôme 푷(풙)=풙ퟑ+풙−ퟐ
1) Calculer 푷(ퟏ)
2) Déterminer les réels a et b tel que 푷(풙)=(풙−ퟏ)(풙ퟐ+풂풙+풃)
On a Dans l’activité (ퟏ)=ퟎ , On dit que 1 une racine de 푷(풙) ou 1 est un zéro de 푷(풙) Définition : On dit qu’un réel ∝ est une racine ou un zéro d’un polynôme 푷 si 푷(∝)=ퟎ
Application : Soit 푷(풙)=풙ퟑ+ퟑ풙ퟐ−ퟒ풙−ퟏퟐ
a) Vérifier que 2 et 3 sont deux racines de 푷(풙)

5. b) Soit 푹(풙) un polynôme tel que pour tout réel 풙 on a 푷(풙)=(풙−ퟐ)(풙+ퟑ)+푹(풙)
1) Quel est la nature de 푹(풙)
2) Déterminer 푹(풙) B. Factorisation d’un polynôme.
Activité : Soit ∝ un réel
1) Prouver que si un polynôme est factorisa blé par 풙−∝ alors ∝ est une racine de ce polynôme
2) Soit ∝ un réel et P le polynôme défini par 푷(풙)=풂풙ퟑ+풃풙ퟐ+풄풙+풅
a. Factoriser 푷(풙)−푸(풙)
b. En déduire que si ∝ est une racine du polynôme alors il existe un polynôme Q dont on précisera le degré tel que pour tout réel , 푷(풙)=(풙−∝)푸(풙) .
Règle :
Exercices résolu : Soit le polynôme 푷(풙)=풙ퟑ+ퟐ풙²−ퟓ풙−ퟔ
1) Montrons que P(x) est divisible par 풙+ퟑ
Calculons 퐏(−ퟑ) = (−ퟑ)ퟑ+ퟐ(−ퟑ)ퟐ−ퟓ(−ퟑ)−ퟔ=ퟎ
Et comme P(-3) =0 donc 푷(풙) est divisible par 풙+ퟑ
A toi :
2) Vérifier que 푷(풙) est divisible par 풙+ퟏ et 풙−ퟐ
3) Vérifier que 푷(풙)=(풙+ퟑ)(풙+ퟏ)(풙−ퟐ)
On dit que 푷(풙) est écrite sous forme de produit de binôme
Autre pratique de factorisation d’un polynôme.
Soit P un polynôme et ∝ un réel :
Si 푷(∝)=ퟎ équivaut que P divisible par x−∝
Si 푷(−∝)=ퟎ équivaut que P divisible par 풙+∝

6. On reprend l’exemple (exercice résolu précédent )
On a 푷(풙)=풙ퟑ+ퟐ풙²−ퟓ풙−ퟔ est divisible par 풙+ퟑ
Cherchons le polynôme 푸(풙) tel que 푷(풙)=(풙+ퟑ)푸(풙)
Le polynôme 푸(풙)=풙²−풙−ퟐ
D’où 푷(풙)=(풙+ퟑ)(풙ퟐ−풙−ퟐ)
On peut vérifier que 푸(ퟐ)=ퟎ
Donc 푸(풙) est divisible par 풙−ퟐ
Factorisons 푸(풙) 풙²−풙−ퟐ=(풙−ퟐ)(풙+ퟏ)
D’où la factorisation de 푷(풙) en produit de binômes 푷(풙)=(풙+ퟑ)(풙+ퟏ)(풙−ퟐ)
Exercice : soit le polynôme 푷(풙)=ퟐ풙ퟑ−ퟓ풙²−ퟒ풙+ퟑ
1) Vérifier que 푷(풙) est divisible par 풙−ퟑ
2) En utilise le division euclidienne déterminer 푸(풙) tel que 푷(풙)=(풙−ퟑ)푸(풙)

7. 3)
a. Montrer que -1 est une racine de 푸(풙)
b. Factoriser 푸(풙)
c. En déduire une factorisation de 푷(풙) en produit de binômes