Le document contient plusieurs exercices de mathématiques sur des sujets tels que les équations complexes, l'analyse de fonctions, les propriétés des sphères et des plans en géométrie, ainsi que des problèmes de probabilité liés à des tirages dans une urne. Chaque exercice présente des questions spécifiques nécessitant des calculs et des démonstrations. Les sujets traités incluent les limites de fonctions, les dérivées, les tangentes, les intersections de courbes, et les probabilités de tirages d'objets indiscernables.

1. 1
ô
à
Exercice 1 : 3 pts
1-resoudre dans l’équation :   2
4 2 4 0z z z   
2-le plan complexe rapporte au repère  ; ;O u v orthonormé direct. On considère
les points A, B et C d’affixes respectifs 4; 1 3 1 3A B Cz z i et z i    
a-calculer C A
B A
z z
z z


et donner son écriture exponentielle
b-en déduire la nature du triangle ABC
3-determeiner Dz l’affixe du point D l’image du point B par la rotation r de
centre O et de mesure d’angle
2
3

.
4-en déduire la nature du quadrilatère ABDC.
5- montrer que 1
: 2 cos
3
n n n
n IN z
  
    
 
tel que : n n n
B Cz z z 
Exercice 2 : 8pts
I-Soit   2 lng x x x   pour tout  0;x 
1-calculer    0
lim lim
xx
g x et g x

2-calculer  'g x et donner le tableau de variation de g
3-en déduire le signe de g(x) sur  0;
II-soit  
 2
ln1
2
x
f x x e
x
 
    
 
 
pour tout x IR

1-calculer    f x f x pourtout x IR
   et interpréter ce résultat
2-calculer les limites aux bornes de IR

2. 2
3-montrer que  
 2
2
: '
2
g x
x IR f x
x


  
4-donner le tableau de variation de f
5-montrer que la droite  
1
:
2 2
e
y x

   est une asymptote oblique à la courbe
 fC au voisinage de 
6-etudier la position de  fC par rapport à  
7-montrer que :  fC admet deux tangentes de coefficient directeur
1
2

et
déterminer leurs équations.
8-montrer que  fC coupe l’axe des abscisses en deux points d’abscisses
:2 2,1 0,5 0,4et telque et    
9-construire les tangentes, la droite   et la courbe  fC dans un repère
orthonormé  ; ;O i j tel que 1i j cm  .
10-resoudre graphiquement l’équation :    2
2 lnx e m x  tel que m un paramètre
réel.
11-montrer que l’aire du domaine plan limite par la courbe  fC et les droites
d’équations respectives ; 1 2x x et x y e    est :    2 21
ln
2
cm  
Exercice 3 : 3pts
On pose :  2 2
01 1
: ln
e en
nn IN I x x et I x dx
    
1-calculer : 0I
2-avec intégration par partie calculer 1I
3-montrer que : : 0nn IN I
  
4- montrer que la suite nI est décroissante et qu’elle est convergente
5-montrerque :   3
1:3 1n nn IN I n I e     avec (intégration par partie) en
déduire 2I

3. 3
6-montrer que :
3
:
1
n
e
n IN I
n
  

7-en déduire lim n
n
I

Exercice 4 : 3pts
L’espace rapporte à un repère orthonormé direct ; ; ;O i j k . On considère les
points      1;0;3 ; 3;0;0 7;1; 3A B et C  .
1-montrer que l’ensemble  S des points  ; ;M x y z de l’espace tel que :
2 2 2
6 2 15 0x y z x y      est une sphère de centre  3;1;0 et de rayon 5
2-verifie que 3 4AB AC i k  
3-en déduire que l’équation du plan (ABC) est : 3x+4z-9=0
4-montrer que la représentation paramétrique de la droite (D) qui passe par
 3;1;0 et perpendiculaire au plan (ABC) est   
3 3
: 1 ;
4
x t
D y t IR
z t
 

 
 
5-montrer que la droite (D) coupe la sphère (S) en deux points
   6;1;4 0;1; 4E et F 
Exercice 5 : 3pts
On considère une urne contenant 10 boules dont : 4 rouges et 6 vertes. Ces
boules sont indiscernables au toucher. On tire au hasard deux boules de cette
urne.
1-Soit A l évènements suivant : les deux boules tirées sont rouges
Montrer que  
2
15
p A 
2-Soit X la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de boules
rouges restantes dans l’urne après tirage des deux boules.
a-montrer que l’ensemble des valeurs de X est : 2;3;4
b-montrer que  
8
3
15
p X  
b- donner la loi de probabilité
c-calculer l’Esperance mathématique E(X)