td de probabilite

1. T.D

2. Exercice 1:
On lance successivement trois fois une pièces de 1 dirham non
truquée.
Soient les événements suivants :
A :<< Les trois pièces retombes sur PILE>>,
B :<< Deux pièces retombent sur PILE et l’autre sur FACE>>.
1) La probabilité P(A) de l’événement A est égale à :

1
4

1
2

1
8

1
6
2) La probabilité P(B) de l’événement B est égale à :

1
4

3
8

1
8

1
2

3. Exercice 2:
On lance deux dés cubiques bien équilibrés, on
s’intéresse à la somme des points obtenus.
A est l’événement obtenir une somme égale à 6,
B est l’événement obtenir une somme égale à 7.
• On veut Comparer les probabilités de A et de B.
Cocher sur la bonne réponse :
 𝑃 𝐴 > 𝑃(𝐵)  𝑃 𝐴 = 𝑃(𝐵)  𝑃 𝐴 < 𝑃(𝐵)

4. Exercice 3:
Le tableau suivant représente la loi de probabilité associée à une expérience
aléatoire.
Cocher sur la bonne réponse :
issue -1 0 1 2
Probabilité 1/4 1/8 p 1/8
1) la valeur de p est égale à :

1
4

1
2

1
8

1
6
2) l’espérance 𝐸(𝑋) de cette loi est égale à :

1
4

1
2

1
8

1
6
3) La variance 𝐸 𝑋2
de cette loi est égale à :

1
4

1
2

5
4

5
8
4) La variance 𝑉 X de cette loi est égale à :
 0,5  2  0,25  1

5. Exercice 4 :
Deux machines M1 et M2 fabriquent des tiges. Elles produisent respectivement 1/3 et 2/3 de la production. La machine
M1 sort 5 % de tiges défectueuses et M2 en sort 6 %.
Soient les événements
A :<< La tige est fabriquée par M1>> B :<< La tige est fabriquée par M2>> D :<< La tige est défectueuse>>
Cocher sur la bonne réponse
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
1) la probabilité 𝑃 𝐴 que la tige soit fabriquée par M1 est égale à :

1
3

2
3
 0,05  0,06
2) On tire une tige de la production de M1. Alors la probabilité 𝑃𝐴 𝐷 qu’elle soit défectueuse est égale à:

1
3

2
3
 0,05  0,06
3) On tire une tige de la production. la probabilité 𝑃 𝐴 ∩ 𝐷 pour qu’elle provienne de M1 et qu’elle soit
défectueuse est égale à :

1
50

19
60

1
60

47
150
4) On tire une tige de la production. la probabilité 𝑃 𝐷 pour qu’elle soit défectueuse est égale à :

3
1000

17
300

111
100

4
75
5) la probabilité 𝑃𝐷 𝐴 qu’une pièce défectueuse ait été fabriquée par M1 est égale à :

100
17
 0,05 
1
60

5
17

6. Exercice 5:
Une entreprise fabrique des perceuses. Un tirage au hasard de 1 000 perceuses étant
assimilé à un tirage avec remise, on appelle 𝑋 la variable aléatoire qui à chaque lot de
1 000 perceuses associe le nombre de perceuses non défectueuses de ce lot.
On admet que 𝑋 suit la loi binomiale B(1000; 0,9875 ).
On veut calculer la probabilité 𝑃0 que 982 perceuses au moins ne soient pas
défectueuses.
Cocher sur la bonne réponse
,
,
,
,
,
,
,
,
1) l’espérance de cette loi est :
 𝐸(𝑋) = 987,5  𝐸(𝑋) = 1000  𝐸(𝑋) = 982  𝐸(𝑋) = 0,982
2) l’écart type de cette loi est :
 𝜎(𝑋) = 5,3  𝜎(𝑋) =3,5  𝜎(𝑋) = 35,1  𝜎(𝑋) = 53,1
3) L’expression de 𝑃0 est égale à :
 𝑃(𝑋 > 𝑖)
1000
𝑖=982  𝑃(𝑋 < 𝑖)
1000
𝑖=982  𝑃(𝑋 = 𝑖)
1000
𝑖=982  𝑃(𝑋 = 𝑖)
982
𝑖=1
4) On veut déterminer la valeur approchée 𝑃′0 de 𝑃0, on admet qu'il est légitime
d'utiliser la loi normale 𝑁( 987 ; 3,5). Alors 𝑃′0 est égale à :
 0,9223  0,9875  0,9222  0,0778

7. Exercice 6:
Dans cet exercice, 𝑛 est un entier strictement supérieur à 1.
Une entreprise fabrique des composants électroniques en grand nombre.
La probabilité pour qu'un composant de cette fabrication soit défectueux est: 𝑝 = 0,04.Un
tirage au hasard de 𝑛 composants de cette fabrication étant assimilé à un tirage avec remise, on
appelle 𝑋 la variable aléatoire qui, à chacun de ces tirages, associe le nombre de composants
défectueux obtenus dans ce tirage.
1.Indiquer quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire 𝑋.
2.Pour n = 8, donner l'expression de 𝑃( 𝑋 = 𝑘 ) où 0 ≤ 𝑘 ≤ 8 et calculer la probabilité d'avoir
exactement 3 composants défectueux dans le tirage, puis celle d'avoir au moins 2
composants défectueux dans le tirage.
3. Si 𝑛 = 50, on admet que l'on peut approcher la loi de 𝑋 par une loi de Poisson dont le
paramètre 𝜆 = 𝑛𝑝 = 2 est égal à l'espérance mathématique de 𝑋.
a. Déterminer l'espérance mathématique 𝐸(𝑋) de 𝑋.
b. Calculer, en utilisant la loi de Poisson, la probabilité d'avoir exactement 4 composants
défectueux dans le tirage, puis celle d'en avoir au plus 3.
4. Si 𝑛 = 600, on admet que l' on peut approcher la loi de 𝑋 par la loi normale de moyenne 𝑚
et d'écart type 𝜎𝑥, où 𝑚 est l'espérance mathématique de 𝑋 et 𝜎𝑥 l'écart type de 𝑋.
a . Déterminer 𝑚 et 𝜎𝑥 , moyenne et écart type de la variable 𝑋 pour 𝑛 = 600.
b. En utilisant cette loi normale, calculer, avec la précision permise par la table, la probabilité
d'avoir au moins 27 composants défectueux dans un tirage de 600 composants.
(correction en classe)

8. Table de la loi Normale centrée réduite
qui donne 𝐹𝑋 𝑥 = 𝑃(𝑋 < 𝑥) avec 𝑥 ≥ 0
c-à-d la probabilité de trouver une valeur inférieure à 𝑥.

9. Exercice 7:
On lance 300 fois une pièce de monnaie truquée ce
qui constitue une partie .La probabilité d’obtenir
face est
2
3
.
On désigne par 𝑋 la variable aléatoire qui à chaque
partie associe le nombre de « faces » obtenus.
1.a) Justifier que 𝑋 suit une loi binomiale , en
préciser les paramètres . Donner l’expression de
𝑃 𝑋 = 210 .
b) Peut-on calculer simplement 𝑃 𝑋 < 210 ?
(correction en classe)

10. Exercice 8:
Dix composants électroniques identiques sont mis
en service simultanément. La probabilité pour que
l'un quelconque de ces composants soit encore en
service au bout d'un an est 0,8.
1. Quelle est la probabilité pour qu'il y ait encore 7
composants en fonctionnement au bout d'un an ?
au moins 7 ?
2. Sachant qu'il y a au moins 7 composants en
fonctionnement, calculer la probabilité pour qu’il y
en ait au plus 9.
(correction en classe)

11. Exercice 9:
On note 𝑋 la variable aléatoire qui prend pour
valeur le nombre de défauts sur le verre d'une
ampoule. On admet que 𝑋 obéit à la loi de
Poisson de paramètre 𝜆 = 4
Calculer la probabilité des événements suivants:
1. il n'y a aucun défaut sur l'ampoule.
2. il y a plus de 2 défauts sur l'ampoule.
3.Le nombre de défauts est compris entre 2 et 5
(bornes comprises).
(correction en classe)

12. Exercice 10:
Une entreprise fabrique en série des boîtes en
carton.
On note 𝑋 la variable aléatoire qui prend pour valeur
la hauteur d'une boîte en carton.
On admet que 𝑋 suit la loi normale de moyenne
2,5 𝑐𝑚 et d'écart type 0,2 𝑐𝑚.
1. Calculer la probabilité qu'une boîte, choisie au
hasard dans la production, ait une hauteur inférieure
à 2,25 𝑐𝑚.
2. Déterminer le réel 𝑎 tel que la probabilité que 𝑋
soit inférieure à 𝑎, ait pour valeur 0,67.

13. Exercice 11:
On suppose que la durée de vie des ampoules
électriques est une v.a.c. 𝑋 de loi normale
d'espérance 𝑚 = 1000 heures et de variance
𝜎 = 100.
Calculer probabilité qu'une ampoule fonctionne:
1) entre 1000 et 1200 heures?
2) moins 750 heures?

14. Exercice 12:
Une machine automatique remplit des petits sachets de café dont le
poids 𝑋 en gramme (g) est distribué selon une loi normale générale
d’espérance 𝒎 = 𝟓𝟎𝒈 et d’écart type σ =4g.
1) Donner l’expression de la fonction densité de probabilité de 𝑋.
2) Calculer la probabilité que le poids d’un sachet soit d’au moins 48g.
3) Calculer la probabilité que le poids d’un sachet soit compris entre
45g et 55g.
4) Une usine utilise une chaîne de 25 machines indépendantes du
même type précédent. Soit Y la variable aléatoire associée au poids en
gramme d’une caisse contenant 25 petits sachets de café remplis par
cette chaîne.
a) Quelle est la loi de probabilité de Y?
b) Calculer son espérance et son écart type.