NOTION DE L'UTILTITE ESPEREE ET COMPORTEMENT FACE AU RISQUE

1
Chapitre 2. l’utilité espérée et le
comportement vis-à-vis du risque
1. Principes et axiomatique de
l’espérance d’utilité
2. La prime de risque
3. Les indices d’aversion au risque
4. Les mesures de risque
5. Remises en causes et critiques du
critère d’EUPhilip Kaufman (1983), L’étoffe des héros (The Right Stuff)

2
1) L’espérance d’utilité (Von Neumann et Morgenstern)
a) principes
∑=
j
ijji GUpEU )(

3
100
= 1/2 (50) +1/2 (150)
50 150
U(50)
U(150)
gain
Utilité
½ U(50) +
½ U(150)
U{½ (50)+
½ (150)}=
u(100)
70=EC
Prime
de risque
Prime de risque =
100 – 70 = 30
Soit une loterie A {(50€;150€),(1/2;1/2)}
=U(70)
La fonction d’utilité concave (utilité marginale
décroissante) indique l’aversion au risque

4
Prime de risque et préférence vis–à-vis du risque
• Si PR>0, alors UE > EU et l’agent est risquophobe
(averse au risque)
• Si PR<0, alors UE < EU et l’agent est risquophile (goût
pour le risque)
• Si PR=0, alors UE = EU et l’agent est neutre vis-à-vis
du risque

5
L’espérance d’utilité
• Si Pr (X=x) = {0,2 ; 0,5 ; 0,3} et U =ln(x)
• Alors EU (A) = 0,2ln(100) +0,5 ln50 + 0,3 ln 30 = 3,9
• EMG (B) = 4.1
• EMG (C) = 3.8
• D’où B > A > C

6
Comparaison des loteries et comparaison des
distributions de probabilités
• Une décision di est en fait
une loterie, ie une
distribution de
conséquences attachée à
une distribution de
probabilités :
• De même pour di’ :
• Comme les conséquences
peuvent en général être
ordonnées, alors il est
possible de regrouper
toutes les conséquences et
de différencier les loteries
par leur distribution de
probabilités :
( )iiiiii d
n
ddd
n
dd
i pppcccLd ,...,,;,...,, 2121=
( )''''''
,...,,;,...,, 2121
' iiiiii d
n
ddd
n
dd
i pppcccLd =
( )'''
,...,,,,...,,;,...,, 2121221
iiiiii d
n
ddd
n
dd
n ppppppcccLD =

7
exemple
504535
C
Bus articulé en
site protégé
407065
B
Bus guidé
3050100
A
Tramway
Faible
(0.3)
Moyenne
(0.5)
Élevée
(0.2)
Demande
projet

8
exemple
• L’ensemble des
conséquences sur ces 3
loteries est :
• Si on l’ordonne :
• Chaque décision (loterie)
peut alors être comparée
par sa distribution de
probabilité sur l’ensemble
des conséquences C
{ }50,45,35,40,70,65,30,50,100=C
{ }100;70;65;50;45;40;35;30=C
{ }100;70;65;50;45;40;35;30=C
( ) { }2.0;0;0;5.0;0;0;0;3.0=AP
{ }100;70;65;50;45;40;35;30=C
( ) { }0;5.0;2.0;0;0;3.0;0;0=BP
{ }100;70;65;50;45;40;35;30=C
( ) { }0;0;0;3.0;5.0;0;2.0;0=CP

9
b) Axiomatique de Von Neumann-Morgenstern
• Par conséquent, si on prend le cardinal des
conséquences des toutes les loteries, chaque loterie ne
diffère que par sa distribution de probabilités,
• Si on suppose que l’agent dispose d’un préordre complet
sur les conséquences (relation de préférence et
d’indifférence sur les conséquences), alors la définition
d’une relation de préférence sur les loteries suffit à
caractériser le comportement vis-à-vis du risque d’un
agent,
Cette relation de préférence doit respecter les axiomes
suivants pour que la fonction d’utilité VNM existe :

10
Axiomes d’existence de l’espérance d’utilité
• Axiome 1 de comparabilité. soit p et q 2 distributions de
probabilités appartenant à l’espace P, on a :
• Cela implique que toute distribution de probabilités peut être
comparée à une autre.
qpqpqpPqp ~soit;soit;soit, pf∈∀

11
• Axiome 2 de transitivité. Soit 3 distributions de
probabilité, p, q et z. L’hypothèse de transitivité
implique que :
• Cette hypothèse correspond à une hypothèse de
rationalité parfaite.
zpalorszqetqpsiPzqp fff∈∀ ,,

12
• Axiome 3 d’indépendance. Soit 3 distributions de probabilité, p,
q et z et un réel α compris entre 0 et 1. L’hypothèse
d’indépendance implique que :
• Cet axiome peut également s’interpréter de la manière suivante :
[ ]
( ) ( )zqzpalors
qpsi
Pzqp
αααα
α
−+−+
∈∀∈∀
1.1.
1,0,,,
f
f
( ) ( ))1(,;,)1(,;, αααα −− zqLzpLalors
qpsi
f
f

13
• Axiome 4 de continuité. Soit 3 distributions de probabilité, p, q
et z. L’hypothèse de continuité implique que :
[ ]
( ) ( )zqqzp
tels que :
alors
zqpsi
Pzqp
ββαα
βα
−+−+
∈∃
∈∀
1.1.
1,0,
,,,
ff
ff

14
• Axiome 5 de réduction des loteries composées.
• Un agent doit être indifférent entre une loterie A qui lui donne une probabilité
p de gagner x$ et (1-p) de gagner 0$ et une loterie qui lui donne une probabilité
q de gagner une loterie B (x$,0$); (z, (1-z)) et une probabilité (1-q) de gagner 0$
ssi :
• Exemple : un agent doit être indifférent entre une loterie A qui lui donne 25%
de chances de gagner 100$ et une loterie qui lui donne 50% de chances de
gagner une loterie B qui lui donne 50% de chances de gagner 100$
( ) ( ) ( )( ) ( )pzqzqzq
pzq
−=−−+−+−⇔
=×
11111

15
Théorème de VNM
• Si les 5 axiomes précédents sont respectés, alors il existe une
fonction u tq :
( ) ( )CuECuEqp
Pqp
qp >
∈∀
siseulementetsi
,,
f

16
Implication de la concavité des fonctions d’utilité
• Si la dérivée seconde de la fonction d’utilité est
négative, alors la fonction est concave, ce qui signifie
que plus le niveau de richesse d’un individu est
important, moins il est averse au risque,
• Un agent infiniment riche est donc neutre vis-à-vis du
risque

17
2. La prime de risque : définition formelle (1)
• Soit U(x) la fonction d’utilité d’un individu
• soit une loterie :
• On a l’espérance mathématique de la loterie :
• Soit l’espérance d’Utilité (VNM) de la loterie :
( ) j j
j
e x p x= ∑%
( ) ( )j j
j
e U x p U x=   ∑%
( ) ( )1 1,...., ; ,....,J Jx x x p p=   %
(1)
(2)

18
La prime de risque : définition formelle (2)
• Soit l’utilité de l’espérance mathématique des gains afférents à la
loterie :
• Par définition de l’EU, on peut avoir :
• On appelle Equivalent-Certain d’une loterie :
• étant la prime de risque afférente à cette loterie.
( ) ( )U e x e U x≥<      % %
( ) ( ) xec x e x ρ= − %% %
xρ%
(3)( ) j j
j
U e x U p x
 
=    
 
∑%
(4)

19
• Par définition de l’EC, on a forcément :
• Par conséquent, on peut écrire :
• Où est la fonction réciproque de U(x)
[ ] ( ) ( )( ) j j
j
U ec x e U x p U x= =   ∑% %
( )1
( ) j j
j
ec x U p U x−  
=  
 
∑%
( )yU 1−
(5)
(6)

20
• En croisant (4) et (6), on peut écrire la valeur de la
prime de risque :
( ) ( )1
x j j
j
e x U p U xρ −  
= −  
 
∑% %

21
Un exemple
• Exemple : dans le cas d’une loterie [(50$ ; 150$)(1/2 ;
1/2)] et d’une fonction d’utilité bernoullienne U(x) =
ln(x)
• L’équivalent certain est calculé comme suit :
1 1
( ) exp (50) (150) 86.6
2 2
ec x U U
 
= + =  
%

22
Graphique : l’utilité de la loterie pour U(x) = ln(x)
50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150
4.0
4.2
4.4
4.6
4.8
5.0
x
y

23
L’approximation d’Arrow-Pratt (1964) (1)
• On sait que :
• Par définition de l’équivalent-certain de la
loterie, on a :
• Supposons une VA :
• Sa moyenne est et sa variance
suffisamment petite
• Supposons que la fonction U(.) soit 2 fois
différentiable, concave et strictement
croissante,
• La prime de risque sur cette loterie s’écrit :
ε~~ += xx
[ ] ( ) ( )( ) j j
j
U ec x e U x p U x= =   ∑% %
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]ερε ~,~~ xxUxUexUe −=+=
x
2
εσ
( )[ ] ( )[ ]xUexeU x
~~ ~ =− ρ

24
• Un utilisant la formule des DL d’ordre 2
(expansion de Taylor), on peut écrire, ce
pour toute valeur prise par
• Soit compte tenu du fait que est lui-
même un paramètre aléatoire :
• Application : supposons que et
que
• Question : en supposant une distribution
uniforme de probabilités, montrez que
l’équation (2) s’applique en partant de l’équation
(1)
ε~
( ) ( ) ( ) ( )xUxUxUxU ''
2
'
2
ε
εε ++≈+
ε
ε~
( )[ ] ( ) ( )xUxUxUe ''
2
2
εσ
ε +≈+
{ }1;1~ +−=ε
(1)
(2)
0=x

25
Démonstration par l’exemple
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ] ( ) ( )xUxUxUe
xU
xU
xUxU
xU
xUxUe
xUxUxUxUxUxUxUe
''
2
1
''
4
1
2
'
2
1
''
4
1
2
'
2
1
''
2
1
'1
2
1
''
2
1
'1
2
1
22
+≈+⇔






+++





+−≈+⇔






+++




 −
+−+≈+
ε
ε
ε
12
=εσComme la variance de la loterie est égale à , on a bien :
( )[ ] ( ) ( )xUxUxUe ''
2
2
εσ
ε +≈+

26
• Si on reprend l’eqn (2) :
• Comme on suppose que
est suffisamment petit, alors la prime de
risque sera également petite, d’où (voir
exemple*) :
• Par définition de l’équivalent-certain, on
peut écrire que (2)=(1), soit :
• On extrait alors la prime de risque
ε~
( )[ ] ( ) ( )xUxUxUe ''
2
2
εσ
ε +≈+
( )[ ] ( ) ( ) ( )xUxxUxxU '~,~, ερερ −≈−
( ) ( )
( ) 2'
''~,
2
εσ
ερ ×−≈
xU
xU
x
( ) ( ) ( ) ( ) ( )xUxxUxUxU '~,
2
''
2
ερ
σε
−=+

27
(*) Exemple avec U(x)=ln(x)
• Exemple : dans le cas d’une loterie [(50$ ; 150$)(1/2 ; 1/2)]
et d’une fonction d’utilité bernoullienne U(x) = ln(x)
• L’équivalent certain était de 86.6$
• On a bien approximativement :
[ ] ( ) ( )
( ) ( )
144.0605.4461.4
100
1
4.14100ln6.86ln
100'4.141004.14100
−≈⇔






−≈⇔
−≈− UUU

28
3. Indices d’aversion au risque : Le niveau absolu
et relatif d’aversion au risque
• Pour une fonction d’utilité
du type lnx ou racine
carrée de x, le principe est
que l’utilité marginale de la
richesse est décroissante
(D. Bernoulli, 1738),
• Par ailleurs, si l’aversion au
risque correspond au
rapport de la dérivée
seconde sur la dérivée
première, celle-ci décroit
en raison de x
-1
0
1
2
3
4
5
6
0 20 40 60 80 100 120 140
x
U(x)
lnx
x^0.5

29
Aversion au risque et utilité marginale de la
richesse
• Plus généralement, pour des
fonctions de type puissance
d’une puissance inférieure ou
égale à 1 (aversion au risque),
l’utilité marginale va être
d’autant plus faible que la
puissance est faible,
• Si r représente l’indice relatif
d’aversion au risque, alors on
a :
0
20
40
60
80
100
120
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
x
x^(1-r)
r=0
r=0.2
r=0.4
r=0.6
r=0.8
( ) r
xxU −
= 1

30
Fonctions CARA et fonctions CRRA
• CARA : Constant Absolute Risk Aversion
• CRRA : Constant Relative Risk Aversion
• L’indice Absolu d’Aversion au Risque (IAAR) est une des
composantes de la prime de risque :
( )
( )
wxX
xU
xU w
x
~avec
2'
''
0
2
~
0
0
+=
×−=
σ
ρ
IAAR

31
Fonctions CARA et fonctions CRRA
• L’indice Relatif d’Aversion au Risque (IRAR) s’écrit :
• Une fonction d’utilité dont l’IAAR est constant (ne dépend pas
de x) est dite CARA
• Une fonction dont l’IAAR est variable et dont l’IRAR est
constant est dite CRRA.
( )
( )
x
xU
xU
IRARx ×−=
'
''

32
Exemples de fonction CARA et CRRA
• La fonction U(x) = ln (x) est une fonction CRRA car l’IAAR
est égal à 1/x
• La fonction ln(x) est donc une fonction DARA (Decreasing
Absolute Risk Aversion) et une fonction CRRA (l’IRAR est égal à
1)
• La fonction exp(x) est CARA car l’IAAR est égal à -1.
• La fonction U(x)=exp(-rx) est une fonction CARA car l’IAAR
est égal à r (concrètement fonction type U(x)=cste – exp(-rx)) r>0
• Pour une fonction générique de type , cette
fonction est CRRA (IAAR=r/x), l’indice relatif d’aversion au
risque étant égal à r
( ) r
xxU −
= 1

33
L’estimation de la fonction d’utilité du décideur :
un exemple
Option A Option B
% de
chanc
e
gain % de
chance
gain %de
chance
gain % de
chance
gain Diff. Gain
espérés
10% 2 euros 90% 1,6 euros 10% 3,85 euros 90% 0,10 euros 1,17 euros1
20% 2 euros 80% 1,6 euros 20% 3,85 euros 80% 0,10 euros 0,83 euros2
30% 2 euros 70% 1,6 euros 30% 3,85 euros 70% 0,10 euros3 0,50 euros
40% 2 euros 60% 1,6 euros 40% 3,85 euros 60% 0,10 euros4 0,16 euros
50% 2 euros 50% 1,6 euros 50% 3,85 euros 50% 0,10 euros5 -0,18 euros
60°% 2 euros 40% 1,6 euros 60°% 3,85 euros 40% 0,10 euros6 -0,51 euros
10 100% 2 euros 0% 1,6 euros 100% 3,85 euros 0% 0,10 euros -1,85 euros

34
Estimation des préférences vis-à-vis du risque :
une méthode
• Si on suppose que la fonction d’utilité est de type
puissance, alors sur la base des loteries précédentes, on
peut faire les calculs suivants
– Calculer l’utilité des paiements de chaque loterie avec une
fonction de type x^(1-r)
– Calculer les utilités espérées des loteries en pondérant par les
probabilités respectives
• La règle est que l’individu choisit A tant que
U(A)>U(B) et « switche » sur B quand l’inégalité
s’inverse…
• Voir loterie.xls

35
Classification des types d’individus
Source : Holt and Laury (2002), AER.

36
Application : questionnaire distribué en cours en
décembre 2006, master 2
• Questionnaire 1 = 4 choix A et 6 choix B, donc sujet
« neutre vis-à-vis du risque » (r compris entre -0.15 et
+0.15 soit 0 en moyenne),
• Questionnaire 2 (2005) = 6 choix A et 4 choix B, donc
sujet « averse au risque » (r compris entre +0.41 et
+0.68 soit 0.55 en moyenne).
• ….

37
2 4 6 8 10
5
10
15
20
25
30
7,01
)(
7,01
+
=
+
x
xU2 choix A

38
2 4 6 8 10
2
4
6
8
85,01
)(
85,01
−
=
−
x
xU7 choix A

39
Préférence « moyenne » de la classe (n=10,
6/12/2006)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
numéro de la décision
fréquencedechoixA
neutre
fréquence observée
3,4 choix A : r = -0.3 « risk loving » à
« risk neutral »

40
Masclet, Colombier, Denant-Boemont &
Loheac, 2008, JEBO
72 students + 36
salaries+ 36 self
employed
144Choice
(endogeneous, strangers
design)
10 periods,
sequential, random
order
(3)
72 students + 36
salaries+ 36 self
employed
144Groups
(strangers design)
10 periods,
sequential, random
order
(2)
72 students + 36
salaries+ 36 self
employed
144Individuals10 periods,
sequential, random
order
(1)
PopulationParticipants
number
Who choose?Set of lottery choicesTreatme
nts

41
Proportion of safe choices, sessions 1-4
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Decision
PercentagechoosingA
Individual treat. Group treat. after individual treat. Choice treat Risk neutrality
Groups
become
less risk
averse

42
Importance des gains et aversion au risque (Colombier,
Denant-Boemont, Loheac & Masclet, 2007)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
décision
FréquenceduchoixA
trait 1 trait2 trait 3 trait4 trait5 neutre au risque
P
P X 20

43
4. Mesures de risque
• Supposons qu’il existe 2 alternatives d’investissement, F
et G, avec un résultat stochastique x, x étant compris
entre [a,b].
• Si on définit F(x) et G(x) comme étant les distributions
de probabilités cumulées respectivement de F et G
• Il est alors possible de classer ces alternatives avec les
critères de dominance stochastique de 1er ordre et de 2d
ordre.

44
Dominance stochastique de 1er ordre
• La distribution de probabilités F domine stochastiquement
la distribution de probabilités G si la probabilité cumulée que
la variable prenne une valeur inférieure à x est plus
importante dans le cas de la distribution G que dans le cas de
la distribution F, càd si :
• Et si pour au moins une valeur de x, l’équation (1) est une
inégalité stricte.
• Si F domine stochastiquement G, alors tous les investisseurs avec une
fonction d’utilité non décroissante préféreront F à G.
( ) ( )xGxF ≤ (1)

45
Exemple : DS 1 (Levy & Levy, 2001)
• Soit deux loteries F et G
• F domine stochastiquement
au 1er ordre G :
½+25002/3+2500
½-5001/3-500
probaGain
/perte
probagains/p
ertes
GF

46
Dominance stochastique de 2d ordre
• La distribution F domine stochastiquement au 2d ordre la distribution G si
l’aire comprise sous la distribution de probabilité cumulée de G jusqu’à G(x)
est plus grande que l’aire comprise sous la distribution de probabilité cumulée
sous F jusqu’à G(x), ce pour toutes les fonctions d’utilité non décroissantes
(DS1) càd si pour tout x :
• Et si, pour au moins une valeur de x, l’équation (2) est une inégalité stricte.
• De manière équivalente, F domine G si pour toute fonction U, U étant une
fonction d’utilité non décroissante (DS1) et croissante concave (DS2), on a :
( ) ( ) ( ) ( )[ ]∫∫∫ ∞−∞−∞−
≥−⇔≤
xxx
dyyFyGdyyGdyyF 0 (2)
( ) ( ) ( ) ( )∫∫
+∞
∞−
+∞
∞−
≤ xdGxUxdFxU

47
Exemple : DS 2 (Levy & Levy, 2001)
• Soit deux loteries F et G
• G domine stochastiquement au 2d
ordre F (G en dessous de F pour
au moins 1 x) :
¼+500
½+1500¼+1000
¼+2000
½0¼-500
probaGain
/perte
probagains/pert
es
GF

48
Implication des critères de DS
• Ainsi un pari F est préféré à un pari G par tous les
parieurs si F Domine Stochastiquement G à l’ordre 1
• Si F domine stochastiquement G à l’ordre 2, alors F
sera préféré à G par tous les parieurs averses au risque
• Si F domine stochastiquement G à l’ordre 1, F domine
stochastiquement nécessairement G à l’ordre 2, mais
l’inverse n’est pas vrai.

49
Résultats des expériences de Levy & Levy, 2001

50
5. limites du critère d’UE et résultats
expérimentaux
a) Axiome d’indépendance : le paradoxe d’Allais
b) Axiome de transitivité : le renversement des
préférences
c) L’unicité de la fonction d’utilité et l’aversion aux
pertes
d) L’aversion à l’ambiguïté et le paradoxe de Ellsberg

51
a) l’axiome d’indépendance et le paradoxe d’Allais
• M. Allais, Prix Nobel d’économie 1989
• Soit deux billets de loterie A et B, lequel choisiriez vous ?
A
15 000 €
0 €
0.09
0.91
B
10 000 €
0 €
0.1
0.9
A préféré à B en majorité !

52
Le paradoxe d’Allais
• Soit deux billets de loterie C et D, lequel choisiriez vous ?
C
15 000 €
0 €
0.9
0.1
D
10 000 €
0 €
1
0
D préféré à C en majorité !

53
Analyse des choix
• Si A préféré à B et D préféré à C, alors incohérence des
choix !
• En effet, supposons que je propose des « loteries de
loteries » (loteries composées E et F) de ce type aux
individus :
E
D
0 €
0.1
0.9
F
C
0 €
0.1
0.9

54
Analyse des choix
• E est une composée de la loterie D et F est une composée de la
loterie C
• Les loteries « composées » ne divergent que par la différence
entre C et D puisque les probabilités d’obtenir C ou D sont de
0.1 et la probabilité contraire d’obtenir 0€ est de 0.9
• Par conséquent, comme D préféré à C, E devrait être préférée à
F… (axiome d’indépendance)
E
D
0 €
0.1
0.9
F
C
0 €
0.1
0.9

55
Si on réduit E…
E
0 €
0.1
0.9
10 000
0 €
1
0
E
10 000 €
0 €
0.1
0.9 B !

56
Si on réduit F…
F
0 €
0.1
0.9
15 000
0 €
0.9
0.1
F
15 000 €
0 €
0.1 x 0.9 = 0.09
0.9
A !0 €
0.1 x 0.1 = 0.01
F
15 000 €
0 €
0.09
0.01+0.9=0.91

57
Conclusion
• Comme D est préféré à C, E devrait être préféré à F (car E est
une composée de D et d’une autre loterie et F est une composée
de C et d’une autre loterie identique)…
• … Mais E est en réalité équivalent à B et F est en réalité
équivalent à A.
• Donc si les sujets sont cohérents avec la théorie de l’UE ils auraient dû
choisir B en 1ère étape s’ils ont choisi D en 2de étape (ou choisir A s’ils ont
choisi C)
• Si A est préféré à B alors nécessairement C préféré à D ou
inversement si B préféré à A alors nécessairement D préféré à
C…
• … Mais il est impossible dans la théorie de l’utilité espérée d’observer le
résultat A préféré à B ET D préféré à C
• Conclusion : l’utilité espérée ne reflète qu’imparfaitement les
mécanismes de choix des individus !

58
b) l’axiome de transitivité et le renversement des
préférences
• Q1. Choisissez entre :
– A. 18 € avec proba de 30%, 0€ avec proba de 70%
– B. 4€ avec proba 100%
– C. 8 € avec proba de 60%, 0€ avec proba de 40%
– B. 4€ avec proba 100%
– C. 8 € avec proba de 60%, 0€ avec proba de 40%
– A. 18€ avec proba 30%, 0€ avec proba 70%
• Une majorité de sujets préfèrent A à B (Q1), puis préfèrent B à C
(Q2), et enfin préfèrent C à A (Q3), ce qui est une violation de
l’axiome de transivité ( Si A préféré à B et B préféré à C, alors A
préfèré à C).

59
Le renversement des préfèrences
• Phénomène dit de « preference reversal »
• Toutefois, explication relativement simple à ce paradoxe :
• Si les sujets réalisent que les loteries diffèrent sur les gains ET sur
les probabilités, leurs choix peuvent être fonction d’une
combinaison des deux dimensions :
– Quand les gains des loteries sont proches, ils vont privilégier la
différence de probabilités (Q2 : B préféré à C car gains proches mais
certitude pour B ; Q3 : C préféré à A car proba de gain 2 fois supérieure,
pour un gain 2.25 fois supérieur)
– Quand les gains des loteries sont éloignés, la différence de gain va
compenser la différence de probabilités (Q1 : choix A préféré au choix B
car gain 4.5 fois plus grand pour proba 3.33 fois plus faible)

60
c) L’unicité de la fonction d’utilité et l’aversion aux pertes
(Kahneman et Tversky)
• … problèmes d’aversion aux pertes et de biais des
choix en faveur du statu quo (Kahneman, Knetsch and
Thaler, 1991) : les sujets expérimentaux ne valorisent
pas les euros de la même manière selon qu’ils sont
perdus ou gagnés…,
• Càd que la fonction d’utilité n’est pas forcément la
même dans l’espace des pertes ou dans l’espace des
gains !

61
Tversky et Kahneman, 1986
• Q1. supposez que vous soyez de 300 $ plus riche qu’aujourd’hui. Que
choisissez-vous ?
– A. un gain certain de 100$ (72%)
– B. 50% de chances de gagner 200$ et 50% de chances de gagner 0$ (28%)
• Q2. supposez que vous soyez de 500 $ plus riche qu’aujourd’hui. Que
choisissez-vous ?
– A. une perte certaine de 100$ (36%)
– B. 50% de chances de perdre 200$ et 50% de chances de ne rien perdre
(64%)
• La différence de fréquence dans les réponses aux questions (en
gras, en comparant les réponses A et les réponses B pour chaque
question), traduit le phénomène d’aversion aux pertes des
individus (Voir Eber et Willinger, 2005)

62
La théorie des perspectives (« prospect theory », Kahneman, Tversky,
1979, 1992)
• Hypothèses :
1. Dépendance à un point de référence : les individus évaluent leurs
perspectives en termes de gains ou pertes par rapport à un
point de référence (statu quo) plutôt qu’en termes de
résultat net final,
2. Sensibilité décroissante : la valeur marginale perçue d’un gain ou
d’une perte est décroissante,
3. Aversion aux pertes : une perte a davantage d’impact
psychologique qu’un gain de même montant.

63
La théorie des perspectives (Prospect Theory) de
Kahneman et Tversky (1)
• La théorie des perspectives peut formellement s’écrire :
• Où la fonction transforme les probabilités en
poids décisionnels compris entre 0 et 1.
( ) ( )i
n
i
xvp∑=1
π
( )( )ixpπ

64
Un exemple de fonction de transformation des
probabilités
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
proba
pie(p)

65
La théorie des perspectives (2)
• Fonction de pondération des probabilités ̟(p) + fonction de valeurs v(x),
• Pour w(p) :
1. ̟(0)=0 et ̟(1)=1 (ie les agents ne déforment pas la certitude),
2. Pour de faibles probabilités, ̟(p) > p, mais ̟(p)+ ̟(1-p) ≤ 1 (les agents
surestiment les faibles probas et sous estiment les fortes probas mais le second
effet est plus faible que le premier),
3. ̟(pr)/ ̟(p) > ̟(prq)/ ̟(pq) (pour tout ratio de probabilité q, le ratio est plus
proche de 1 quand les probas sont faibles que quand les probas sont fortes –
exemple : ̟(0.1/ ̟(0.2) > ̟(0.4/ ̟(0.8)
• Pour v(x) :
1. V(x) change d’allure à partir du point de référence
2. V(x) est concave pour les gains (risquophobie pour les gains) et convexe pour les
pertes (risquophilie pour les pertes), càd v’’(x)<0 qd x>0 et v’’(x)>0 qd x<0
3. V(x) est plus pentue pour les pertes que pour les gains (aversion aux pertes), càd
v(x) < - v(-x) pour x > 0

66
Kahneman, Knetsch and Thaler, 1991
GainsPertes
valeur

67
Quelques problèmes de la TP
• Ne respecte par le principe de dominance stochastique (un agent
préfère plus de gain à moins de gain)
• Exemple : soit une VA x+yi avec 3 états équiprobables, x positif
et important, yi positif et suffisamment petit
• Si x =1000€ et yi={50€ ; 100€ ; 150€}
• Supposons que ̟(p) = {0.34 ; 0.32 ; 0.33} et que v(x)=x1-r avec
r=0.5
• Alors v(x) < v(x+yi), ce qui viole la DS puisque yi est strictement positif !
• En effet ̟(1)* v(1000)= 1.(1000)0.5=100
• Et ̟(p1)*v(1050) + ̟(p2)*v(1100) + ̟(p3)*v(1150) =
• 0.34*(1050)0.5 + 0.32 * (1100)0.5 + 0.33(1150)0.5= 99.5
• Ce qui implique que x est préférée à x+yi (une somme certaine
est préférée à cette somme certaine + une variable aléatoire dont
les réalisations sont strictement positives..

68
d) l’aversion à l’ambiguïté et le paradoxe
d’Ellsberg
• Dans une urne, 90 boules
• 30 boules sont rouges, 60 sont blanches ou noires
• Les individus doivent choisir des billets de loteries de manière
binaire : on leur propose d’abord de choisir entre E et F, puis
entre G et H
• Les gains monétaires sont fonction de leurs choix et du tirage au
sort (on tire à l’issue de leur choix une boule dans l’urne dont on
leur annonce la couleur, ce qui détermine leur gain)

69
Le paradoxe d’Ellsberg
0 €
100 €
0 €
100 €
Boule
blanche
100 €
100 €
100 €
0 €
G
H
0 €
0 €
100 €
0 €
E
F
Boule noireBoule rougeEtats
Décisions

70
Le paradoxe de Ellsberg
• Mis dans cette situation, la majorité des sujets préfèrent E à F et H à G.
• Cette réponse n’est pas cohérente avec la théorie de l’utilité espérée (aversion
à l’ambiguïté)
• En effet si E préféré à F alors Pr(B) < 1/3
☺ Car Pr(R)*100+Pr(B)*0+Pr(N)*0 > Pr(R)*0+Pr(B)*100+Pr(N)*0
↔ Pr (R) > Pr(B)
• … mais si H préféré à G alors Pr(B) > 1/3…
☺ Car Pr(R)*0+Pr(B)*100+Pr(N)*100 > Pr(R)*100+Pr(B)*0+Pr(N)*100 ↔ Pr
(B) + Pr(N) > Pr(R) + Pr(N)
↔ Pr(B) > Pr(R)
• …ce qui est incohérent (la probabilité d’un état ne doit pas dépendre du choix
de l’individu, car les probabilités des états sont indépendantes des choix dans
le calcul de l’utilité espérée !!!

71
Conclusion
• Remises en causes nombreuses et nourries de la théorie de
l’espérance d’utilité,
• Certains économistes ou expérimentalistes ont déjà appelé à
l’abandon de cette théorie pour décrire le comportement des
individus face au risque au profit de la théorie des perspectives
(Camerer, Starmer)
• Toutefois, cette théorie reste de loin la théorie dominante utilisée
en économie, la justification étant essentiellement normative (les
sujets devraient choisir conformément à l’EU pour maximiser
leur BE),
• Par ailleurs, aucune théorie alternative à l’EU ne parvient à
intégrer tous les paradoxes expérimentaux, ce qui signifie que
l’on sait qu’elles sont également déficientes (même si moins que
l’EU)

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