34639001 evaluation-des-performances-des-portefeuilles

Mesures des rendements
Mesures de performance classiques
Décomposition de la performance
Connaissance de la structure de portefeuille
Conclusion
Gestion de portefeuille
Evaluation des performances des portefeuilles
HORMA Bouchaib & IDRISSA Alassane Mohamidou
Master Spécialisé Mathématiques Financières
Département de Mathématiques
Faculté des Sciences de Rabat
20 mai 2009
HORMA Bouchaib & IDRISSA Alassane Mohamidou Gestion de portefeuille

Conclusion
Introduction
Ayant pour but de déterminer les stratégies les plus performantes et
de repérer les gestionnaires les plus capables d'accroitre la valeur
des portefeuilles, notre exposé portant sur l'évaluation des
performances des portefeuilles vise en premier lieu d'analyser et
d'étudier les rendements et le risque des portefeuilles, et en
deuxième d'analyser si les performances réalisées sont dues aux
compétences du gestionnaire ou au hasard.

Conclusion
Plan
1 Mesures des rendements
2 Mesures de performance classiques
3 Décomposition de la performance
4 Connaissance de la structure de portefeuille
5 Conclusion

Conclusion

Conclusion
S'il y a ni apport ni retrait de fonds, le rendement d'un
portefeuille se calcule selon la formule
RP =
VF − VI
VI
VI : valeur initiale du portefeuille, VF : valeur nale du portefeuille.
S'il y a apport ou retrait pendant la période d'évaluation :
•
VI =
T
t
Ft
(1 + RP)t +
VF
(1 + RP)t
• La seconde méthode consiste à calculer les
rendements sur chaque période, après chaque dépôt
ou retrait.
HORMA Bouchaib IDRISSA Alassane Mohamidou Gestion de portefeuille

Conclusion
La moyenne arithmétique :
X =
n
i=1 xi
n
La moyenne géométrique :
G = n√
x1 ∗ x2 ∗ ... ∗ xn

Conclusion
Exemple
Année Val du CAC40 Rendement Rendement arrondi
1997 2998,91
1998 3942,66 +31,47% +31%
1999 5958,32 +51,12% +51%
2000 5926,42 -0,54% -1%
2001 4624,58 -21,97% -22%
2002 3063,91 -33,75% -34%
Sommes des rendements 26,34% 25%
Moyenne arithmétique 5,27% 5%

Conclusion
Si l'on avait perçu 5% de rendement par an, après cinq ans, en
plaçant 10000, 00DH, on aurait gagner 2762, 82DH comme
l'indique le tableau suivant :
Année Rendement Capital
1997 10000,00
1998 +5% 10500,00
1999 +5% 11025,00
2000 +5% 11576,25
2001 +5% 12155,06
2002 +5% 12762,82

Conclusion
La dure réalité
Si l'on avait placé 10000,00 DH sur le CAC40, on disposera en
2002 de 10216, 75DH comme l'indique le tableau suivant :
Année Valeur CAC40 Rendement Capital
1997 2998,91 10000,00
1998 3942,66 +31,47% 13146,98
1999 5958,32 +51,12% 19868,29
2000 5926,42 -0,54% 19761,91
2001 4624,58 -21,97% 15420,97
2002 3063,91 -33,75% 10216,75
On aurait donc gagné cette somme à cinq ans, soit une progression
de 0, 43% par an.

Conclusion

Conclusion
Dans notre éxemple du CAC40 sur cinq ans on obtient :
G = 5 1, 3147 × 1, 5112 × 0, 9946 × 0, 7803 × 0, 6625
soit
G = 1, 00426635
Et on a 1 + RG = G ce qui implique RG = 0, 43%.

Conclusion
Présentation
Mesures fondées sur le risque systématique
Mesures fondées sur l'écart type des rendements
Critiques des mesures classiques
Mesures de performance
classiques

Conclusion
Présentation
Présentation
Pour un niveau de risque donné, le gestionnaire de portefeuille doit
essayer d'obtenir les rendements les plus forts possibles. Il importe,
en eet, de se demander à quel degré de risque un gestionnaire a
exposé son client pour faire bénécier celui-ci d'un niveau donné de
rendement. Plus précisément encore, on se posera la question de
savoir s'il n'était pas possible d'obtenir un rendement plus élevé
pour le même risque. Tout de même son apport doit être comparé à
ceux qu'aurait pu obtenir un investisseur adoptant une stratégie
passive.
Il existe deux méthodes pour mesurer le risque d'un portefeuille :
Risque systématique (β du portefeuille).
Ecart type de ses rendements.

Conclusion
Présentation
Mesures fondées sur le risque systématiques
Ces mesures sont fondés sur le MEDAF;
Coecient de JENSEN [1968] La droite de marché est donnée par
l'équation :
RE
P = RF + βP(RM − RF)
Le rendement d'équilibre RE
P sert de référence pour
mesurer les performances des portefeuilles ayant un
bêta égal à βP.
La mesure de JENSEN notée :
αP = RP − RE
P
est l'écart entre le rendement moyen du portefeuille et
le rendement d'équilibre du portefeuille du même
risque systématique.

Conclusion
Présentation
Si αP est positif alors le gestionnaire de porefeuille a réalisé une
performance superieure à celle du portefeuille d'équilibre du même
bêta.

Conclusion
Présentation
Ratio de TREYNOR [1965] Correspond au rendement en excès
moyen du portefeuille par son bêta, soit :
RTP =
RP − RF
βP
Exemple
Portefeuilles A B
Rendement moyen 20% 13%
β 1, 2 0, 5
Le taux sans risque est de 5% et RM vaut 15%. Donc on a
RE
A = 5% + 1, 2(15% − 5%) = 17%
RE
B = 5% + 0, 5(15% − 5%) = 10%

Conclusion
Présentation
Le coecient alpha de JENSEN vaut :
αA = 20% − 17% = 3%
αB = 13% − 10% = 3%
Le ratio de TREYNOR vaut :
RTA =
20% − 5%
1, 2
= 12, 5%
RTB =
13% − 5%
0, 5
= 16%
Le ratio de TREYNOR du portefeuille de marché est de 10%, les
deux portefeuilles font donc mieux que le portefeuille de marché.

Conclusion
Présentation
Les deux mesures sont donc cohérentes par rapport au portefeuille
de marché. En comparant, le portefeuille B est meilleur que le
portefeuille A.
Ratio d'information ou de TREYNOR BLACK [1973] Ce ratio
est égal au alpha de JENSEN divisé par la variance
des résidus de la régression utilisée pour obtenir alpha.
RIP =
αP
σ2
P

Conclusion
Présentation
Ces mesures ont pour référence des portefeuilles situés sur la
frontière d'ecience avec actifs sans risque.
Coecient alpha total Le rendement de référence est donnée par
l'équation de la frontière d'ecience avec actifs sans
risque :
Rref
P = RF +
RM − RF
σ(RM)
σ(Rref
P )
La performance sera mesurée par le coecient alpha
total qui vaut :
αtot = RP − Rref
P

Conclusion
Présentation
Ratio de SHARPE [1966] Ce ratio consiste à mesurer la grandeur :
RSP =
RP − RF
σ(RP)
Le ratio de SHARPE n'est rien d'autre que la pente
de la droite (dans le plan espérence-écart type) reliant
le taux sans risque au portefeuille d'actifs risqués.
Exemple
Les écats types des portefeuilles A, B et du marché valent resp
17%, 12%et 14%.
RSA = 20%−5%
17% = 0, 88 RSB = 13%−5%
12% = 0, 67
RSM = 15%−5%
14% = 0, 71

Conclusion
Présentation
Les résultats sont totalement diérents des précédents :
• A obtient de meilleures performances que B.
• B a de plus mauvaises performances que le marché.
Ces diérences s'éxpliquent par l'importance des valeurs des
variances résiduelles des deux titres.
La décomposition de la variance donne :
V(RP) = β2
PV(RM) + V( P)
Les variances des résiduelles des deux portefeuilles sont :
V( A) = 0, 172
− 1, 22
× 0, 142
= 0, 000676
V( B) = 0, 122
− 0, 52
× 0, 142
= 0, 0095
Cette variance est prise en compte dans le ratio de SHARPE mais
pas dans celui de TREYNOR =⇒ diérence de classement.

Conclusion
Présentation
La comparaison des ratios de TREYNOR-BLACK donne :
RIA =
0, 03
0, 000676
= 44, 38 RIB = 3, 16
Ce qui conrme l'analyse précédente.
Les rendements de référence des deux portefeuilles sont :
Rref
A = 5% +
15% − 5%
14%
× 17% = 17, 14%
Rref
B = 5% +
15% − 5%
14%
× 12% = 13, 57%
Les alpha totaux de A et B valent donc :
αtot(A) = 20% − 17, 14% = 2, 86%
αtot(B) = 13% − 13, 57% = −0, 57%

Conclusion
Présentation
Les mesures précédentes privilégient le portefeuille de marché ou
tout au moins un portefeuille ecient comme portefeuille de
référence.
⇒ Comment choisir le portefeuille de référence?
C'est ROLL [1978] qui montre que si le portefeuille de référence est
ecient, alors tous les portefeuilles se retrouveront sur la droite de
marché. En revanche, si le portefeuille de référence est inecient,
les mesures de performance sont complètement arbitraires.
Autrement dit, les portefeuilles qui sont au-dessus de la droite de
marché pour le portefeuille de référence inecient, seront
au-dessous pour un autre portefeuille de référence aussi inecient.

Conclusion
Présentation
⇒ De quel point de vue le portefeuille de référence est-il ecient?
On suppose que tous les investisseurs n'ont pas la même
information. Le portefeuille de référence doit alors être ecient
pour les agents sans information particulière et pour tous les
investisseurs passifs. Ainsi leur mesure de performance sera nulle.
Et pour les investisseurs qui gèrent activement leur portefeuille le
portefeuille précédent est inecient.
Empiriquement, les recherches se sont orientées dans deux
directions :
La construction d'indices composites.
Etude de la sensibilité des mesures aux choix de benchmark.

Conclusion
Problèmes conceptuels
Problèmes empiriques
Nouvelles approches des performances
Décomposition de la
performance

Conclusion
Les capacités du gestionnaire de portefeuille sont en général
décomposées en :
Capacité de prévision des rendements des titres individuels,
appelée sélectivité.
Capacité de prévision des mouvements généraux de
portefeuilles, appelée synchronisation (timing en anglais).
Exemple
Titres A B
E(Ri) 20% 10%
βi 1,5 0,5
Le rendement de l'actif sans risque est de 5%, celui du marché est
de 15%.

Conclusion
Le gestionnaire 1 prévoit sans erreur que le rendement du titre A
sera de 30%, et celui de B de 8%. La stratégie optimale de ce
dernier est d'investir uniquement dans le titre A, ce qui signie que
le rendement de son portefeuille est de 30%.
Pour un investisseur non informé le rendement d'un portefeuille du
même bêta vaut :
5% + 1, 5(15% − 5%) = 20%
La mesure de JENSEN est égal à 10%. Un gestionnaire 2 prévoit
que le rendement du marché sera de 19% au cours de la première
période, et de −5% au cours de la seconde. Compte tenu de ses
anticipations, il xe la sensibilité de son portefeuille à 2 pour la
première période et à 0 pour la suivante. Le rendement obtenu est :
5% + 2(19% − 5%) = 33% puis 5%

Conclusion
Portefeuillle Marché
Rendement en excès du taux sans risque RP − RF RM − RF
Période 1 28% 14%
Période 2 0% −10%
Rendement moyen 14% 2%
Cov(RP, RM) = 0, 0168 et Var(RM) = 0, 0144
Le bêta du portefeuille es donc de 1,17.
L'alpha de JENSEN est donné par :
αP = (RP − RF) − βP(RM − RF)
A.N : 14% − 1, 17 × 2% = 11, 66%

Conclusion
Approche par les portefeuilles :
N + 1 portefeuilles, avec N nombre de portefeuilles risqués et
un portefeuille sans risque.
L + 1 portefeuilles de synchronisation.
Si L = 1 on parle de synchronisation du marché.
La synchronisation peut prendre des formes extrêmement
variées dans le choix des portfeuilles de synchronisation et dans
les degrés d'exposition au risque.
Approche factorielle : permet une distinction entre la sélectivité et
la synchronisation. Les informations qui sont axées sur les facteurs
concernent la synchronisation, et celles des résidus, la sélectivité.

Conclusion
Pour résoudre ce problème, plusieurs méthodes économétriques ont
été proposées. Les deux principales seront exposées dans la suite :
La première proposée par TREYNOR MAZUY [1966]
consiste à réaliser une régression quadratique du type :
RP − RF = αP + β0P(RM − RF) + β1P(RP − RF)2
+ P
La seconde, développée par KON [1983] et KON JEN
[1979] est fondée sur la logique de la synchronisation. Les
régressions pratiquées vont donc dépendre du signe de l'écart
entre le rendement du marché et le taux sans risque durant la
même période.

Conclusion
RMt − RFt Régression pratiquée
0 RPt − RFt = αP + β0P(RMt − RFt) + Pt
= 0 RPt − RFt = αPt + Pt
0 RPt − RFt = αP + (β0P − β1P)(RMt − RFt) + P
β0P : correspond au bêta an période de hausse.
β0P − β1P correspond au bêta an période de baisse.
Ces deux méthodes ne fonctionnent plus dès que les moments et les
co-moments d'ordre 3 sont diérents de 0.

Conclusion
Mesures de pondération des périodes :
GRIBLAT et TITMAN [1989] ont proposé une classe de mesures
de performance qui comprend la mesure de JENSEN mais qui
élimine certains problèmes liés à cette dernière.
αPP =
T
t=1
wtrPt
T
t=1 wt = 1 et T
t=1 wtrEt = 0 rEt : rendement en excès du taux
sans risque du portefeuille de référence (REt − RFt).
rPt : rendement en excès du taux sans risque du portefeuille évalué
(RPt − RFt).
wt : pondération des rendements de la période t.
αPP : valeur de la mesure de pondération des périodes.

Conclusion
Si tous les poids sont positifs :
Si le gestionnaire a des informations sur la sélectivité mais pas
sur la synchronisation ou bien sur les deux indépendement
l'une de l'autre, alors la mesure de JENSEN converge vers un
nombre positif.
Si le gestionnaire n'est pas informé, cette mesure converge en
probabilité vers 0.
Pour calculer les wt on utilise la formule suivante :
wt = (1 + RFt + γrEt)−θ
γ : pourcentage de la richesse investie dans le portefeuille de
référence.

Conclusion
Mesures fondées sur la théorie des options :
Modèle de MERTON [1981] :
S'il prévoit que RMt RFt alors γ(t) = 1,
sinon γ(t) = 0.
La probabilité que le gestionnaire fasse le bon choix sachant que le
marché est faible s'écrit :
p1(t) = prob[γ(t) = 0/RMt ≤ RFt]
La probabilté s'il se trompe dans les mêmes conditions est donc :
1 − p1(t) = prob[γ(t) = 1/RMt ≤ RFt]

Conclusion
De même pour un rendement élevé du marché :
p2(t) = prob[γ(t) = 1/RMt ≥ RFt]
1 − p2(t) = prob[γ(t) = 0/RMt ≥ RFt]
L'agent dispose d'une information pertinente de synchronisation si
p1(t) + p2(t) 1. Ainsi pour un agent qui dispose d'une
information parfaite p1(t) = p2(t) et p1(t) + p2(t) = 2.

Conclusion
Mesures de la covariance
Analyse d'attribution
Connaissance de la structure de
portefeuille

Conclusion
Si un agent actif est informé, il va augmenter dans son portefeuille
le poids des titres dont il anticipe un rendement élevé et réduire
celui des titres au rendement futur faible. Alors une corrélation
positive existe.
Cette propriéte est à l'origine de la mesure de performance
suivante :
Cov(rP, wP) =
N
j=1
E(wj, rj) − E(wj)E(rj)
Cette mesure compare le rendement du portefeuille activement géré
avec celui d'un portefeuille passif construit avant la période
d'évaluation.

Conclusion
Dans la pratique une des deux formules suivantes :
Cov(rP, wP) =
N
j=1
E(wj(rj − E(rj)))
Nécessite l'éstimation des espérances de rendement de chaque
titre dans le portefeuille.
Cov(rP, wP) =
N
j=1
E((wj − E(wj))rj)
Nécessite l'éstimation de l'espérance des pendérations des
titres dans le portefeuille.

Conclusion
L'analyse d'attribution permet de distinguer les facteurs à l'origine
de la performance réalisée. Elle décompose donc la performance
pour comprendre comment le processus de construction du
portefeuille a abouti à la performance observée.
Facteurs de performance Parmi les facteurs explicatifs des
rendements d'un portefeuille on trouve :
La taille de l'entreprise (égal au Log(capitalisation boursière)).
Le risque systématique β.
Le secteur d'activité.

Conclusion
Pour déterminer l'importance relative de ces facteurs, on a la
régression linéaire :
ri = F1βi + F2si + F3ciI + F4ciNI + i
βi, si, ciI, ciNI : caractéristiques de la rme i. ciI, ciNI valent 0 ou 1
en fonction de l'appartenance ou non de la rme au secteur
industriel.
Fk : les coecients de la régression.
Il est possible d'analyser les performances d'un portefeuille par
rapport à un benchmark (référence).
rP − rref = F1(βP − βref ) + F2(sP − sref ) + F3(cPiI − crefI)
+F4(cPiNI − crefNI) + ( P − ref )

Conclusion
Analyse de la performance
Exemple
Facteurs Portefeuille Référence Diérence Fk Ecart
Bêta 0, 8 1 −0, 2 1, 4 −0, 28
Taille 3 6 −3 −0, 2 0, 6
S.industriel 0, 9 0, 5 0, 4 8 3, 2
S.non indu 0, 1 0, 5 −0, 4 7 −2, 8
TOTAL 8, 42% 7, 7% 0, 72%

Conclusion
Analyse des écarts
Le rendement du portefeuille de référence (géré de manière passive)
s'écrit :
RPf =
N
i=1
wPf ,irPf ,i
wPf ,i : pondération de la classe d'actifs i.
rPf ,i : rendement de la classe d'actifs i.
Le rendement du portefeuille activement géré est :
RAf =
N
i=1
wAf ,irAf ,i
L'écart entre les rendements des deux portefeuilles est décomposé
en trois :

Conclusion
RAf − RPf = (wAf ,i − wPf ,i)rPf ,i + (rAf ,i − rPf ,i)wPf ,i
+ (rAf ,i − rPf ,i)(wAf ,i − wPf ,i)
Le premier écart correspond à l'écart de timing; il mesure la
capacité du gestionnaire à choisir le bon secteur au bon
moment.
Le deuxième écart correspond à l'écart de sélectivité; il mesure
la capacité du gestionnaire à choisir les bonnes actions dans
chaque secteur.
L'écart sur l'écart de l'analyse budgétaire.

Conclusion
Conclusion
Conclusion

Conclusion
Conclusion
Il ressort de cet exposé, que les mesures classiques sourent
d'importantes faiblesses qui ont été améliorées au l du temps en
vue d'une bonne évaluation des performances.
Tout de même, la tache est plus ou moins dicile selon la nature
des informations dont dispose l'analyste, elle est dicile quand il
n'a accés qu'aux rendements passés tu portefeuille, mais devient
plus facile s'il connait l'évolution de la structure du portefeuille.

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