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Université Sultane Moulay Slimane
Faculté Polydisciplinaire
Béni Mellal
Licence professionnelle métiers de la banque 2017/2018
Finance de Marché
Gestion de portefeuille et des risques
Pr. FALLOUL Moulay EL Mehdi
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
2
Sommaire
INTRODUCTION GENERALE..................................................................... 3
Chapitre I : L’évolution de la théorie du portefeuille .................................... 4
Introduction...................................................................................................... 4
Section I : Le modèle de la frontière efficiente de Markowitz..............................................4
Section II : Le modèle de diversification efficiente de Sharpe (modèle unificateur)...........12
Section III : La Value at Risk ............................................................................................19
Section IV: Le Modèle D’évaluation des Actifs Financiers (MEDAF)...............................27
Conclusion ...................................................................................................... 35
Chapitre II : L’application des outils d’optimisation du portefeuille au
marché boursier marocain............................................................................. 36
Section I : La détermination de la frontière efficiente de Markowitz..................................36
Section II : La détermination du portefeuille efficient de Sharpe .......................................38
Section III : Le calcul de la Valeur at Risk (VaR)..............................................................42
Section IV : L’applicabilité du Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) au
marché boursier marocain .................................................................................................45
Conclusion ...................................................................................................... 54
Bibliographie / Webographie......................................................................... 55
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
3
INTRODUCTION GENERALE
La théorie de diversification optimale de Markowitz date des années 50 et constitue la première
tentative de théorisation de la gestion financière de portefeuilles, ce modèle suggère une
procédure de sélection de plusieurs titres boursiers, à partir de critères statistiques, dans le but
d’obtenir les portefeuilles optimaux ; elle est encore appelée théorie moderne du portefeuille.
En partant du postulat que le risque d’un portefeuille peut être correctement mesuré par la
variance de sa rentabilité, Markowitz explicite et formalise le dilemme fondamental de la
finance moderne entre obtenir une rentabilité faible mais certaine, ou accepter de prendre un
risque dans l’espoir d’accroître cette rentabilité, l’espérance de rentabilité étant d’autant plus
élevée que le risque est important. Il formalise et quantifie également l’effet de diversification
selon lequel une combinaison judicieuse de nombreux actifs dans un portefeuille permet de
réduire le risque total subi pour un taux de rentabilité espérée donné. Les travaux de Markowitz
s’avèrent extrêmement importants et modifient profondément la façon de concevoir les
problèmes financiers.
En outre, cette théorie expose comment les investisseurs rationnels utilisent la diversification
afin d’optimiser leur portefeuille, et quel devrait être le prix d’un actif étant donné son risque
par rapport au risque moyen du marché. Ce modèle fait appel à des concepts tels que, frontière
efficiente, coefficient bêta, droite de marché des capitaux et droite de marché des titres
(MEDAF). 1
Ce support de cours de finance de marché a pour but de répondre à la question fondamentale
suivante, à savoir quels sont les outils d’optimisation et d’analyse du risque d’un
portefeuille et est-ce qu’ils sont applicables au Maroc ? Dans ce cadre, nous allons scinder
ce cours en deux chapitres. Le premier sera consacré à l’évolution de la théorie du portefeuille,
dans laquelle nous allons clarifier les principes de base des modèles et outils d’optimisation du
portefeuille. Tandis que le deuxième chapitre, nous allons appliquer ces outils au marché
boursier marocain.
1
Gestion classique du portefeuille à la Markowitz, de Web site : http://www.africmemoire.com/part.2-chapitre-1-
revue-de-la-litterature-theorique-et-empirique-803.html(Consulté le 27 Mai 2018)
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
4
Chapitre I : L’évolution de la théorie du portefeuille
Introduction
Chaque titre comporte un risque que l'on peut décomposer en deux catégories : le risque
spécifique de chaque titre, et le risque systématique, lié aux mouvements du marché.
Lorsque l'on constitue un portefeuille de titres, on achète dans différentes proportions plusieurs
titres. L’un des grands principes de la constitution de portefeuilles repose sur un adage de pur
bon sens : ne pas mettre tous ses œufs dans le même panier. Le pionnier de la finance moderne,
Markowitz2
, inventeur de la théorie moderne du portefeuille, est en fait arrive à démontrer en
termes mathématiques la réalité de ce proverbe.
Il a établi que le risque total d'un groupe de titres est inférieur à la somme des risques de ces
titres individuels. En d'autres termes, investir dans un groupe de titres (diversifier ses
investissements) permet de diminuer le risque sans perte de rendement.
Section I : Le modèle de la frontière efficiente de Markowitz
I. Le modèle de Markowitz :
Les hypothèses relatives aux actifs financiers :
H1 : Tout investissement est une décision prise dans une situation de risque.
Une distribution symétrique stable entièrement définie par l’avoir de l’espérance mathématique
du rendement E(Ri) et l’écart-typeσ(Ri) de la distribution de probabilité du rendement.
R : Représente le taux du rendement.
i : Représente un actif financier quelconque.
H2 : Le rendement de différents actifs financiers ne fluctue pas indépendamment les uns des
autres.
Les hypothèses relatives aux comportements des investisseurs :
2
Harry Max Markowitz (né le 24 août 1927 à Chicago) est un économiste américain. Il a reçu le Prix de théorie
John Von Neumann en 1989, et est lauréat du Prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire
d'Alfred Nobel en 1990. C'est l'auteur du modèle de « diversification efficiente » des portefeuilles d'actifs
financiers.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
5
H1 : Le comportement de tous les investisseurs est caractérisé par un degré plus ou moins
prononcé d’aversion vis-à-vis du risque, et il est mesuré par l’écart-type σ(Ri)
H2 : Les investisseurs sont rationnels.
H3 : Tous les investisseurs ont le même horizon de décision qui comporte une seule période.
Selon Markowitz, un portefeuille qui aune même variance de rentabilité par rapport aux autres
portefeuilles et une espérance de rentabilité plus forte, il est efficace. L’ensemble de tous les
portefeuilles efficaces constitue la frontière efficace ou bien la frontière efficiente de
Markowitz.
II. La mesure du rendement et du risque d’un actif
Le rendement obtenu par un investisseur sur un titre. Et le rendement d’un titre pour une période
précise peut être calculé comme suite :
Le rendement : Rt = (Pt − Pt − 1) + Ct
Ct : Revenu liquide attaché à la détention de l’actif financier durant la période (t).
Pour déterminer le taux du rendement d’un titre en utilise la formule suivante :
Rt =
(Pt − Pt−1) + Ct
Pt−1
Et pour mesurer le rendement moyen d’un titre sur N période, il existe deux méthodes du
calcule, la 1ère
par la moyenne arithmétique :Ra =
1
n
∑ Rt
n
i=1 et la 2ème
par la moyenne
géométrique : Rg = ((1 + R1)(1 + R2) + ⋯ + (1 + Rn))
1
n
− 1 d′
où ∏ (1 + Rt)
1
n − 1n
i=1 .
Il y a aussi un autre type du rendement c’est le rendement espéré, c’est la moyenne des
rentabilités qui peut être pondérées par leur possibilité de réalisation :
E(R) = P1R1 + P2R2 + ⋯ + PnRn; d′
où E(R) = ∑ PRRR
n
i=1
Comme il s’agit d’une distribution de probabilité ont doit trouver que la somme des probabilités
est égale à 1. Si s’en attend à ce que la distribution des taux de rentabilité passé soit maintenue
dans le futur, le rendement espéré peut être estimé par la moyenne arithmétique des rendements
espérés des périodes précédentes.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
6
E(R) =
R1 + R2 + ⋯ + Rn
n
d′
où ∑
RR
N
n
i=1
Pour l’investisseur le risque peut être définit comme l’incertitude concernant la valeur d’un titre
financier dans une date future. La rentabilité réalisée est toujours plus ou moins différente de
celle espérée.
Nous pouvons assimiler le risque d’investissement à la dispersion en variabilité de sa rentabilité
autour de la valeur anticipée. La formule utilisée est la suivante :
V(R) = P1(R1 − E(R))² + ⋯ + Pn(Rn − E(R))²d′
oùV(R) = ∑ PK(
n
i=1
RK − E(RK))²
σ(R) = √V(R)
Une valeur faible de la variance indique que la plupart des rendements sont concentrés à
proximité de l’espérance mathématique c’est-à-dire un risque faible. Au contraire une variance
élevée indique que la plupart des rendements sont éloignés de l’espérance mathématique c’est-
à-dire un risque élevé. Et une variance nulle signifie que le placement en cause ne comporte
aucun risque.
Si nous disposons d’une suite de rendements historique pour un titre donnée, on peut alors
estimer la variance comme suivante :
V(R) =
(R1−R̅)2+⋯+(Rn−R̅)²
n−1
D’où V(R) =
∑ (RK−R̅)n
i=1 ²
n−1
III. La mesure du rendement et du risque d’un portefeuille
Un portefeuille est constitué de plusieurs actifs détenus par un investisseur. Le rendement
espéré d’un portefeuille correspond à la moyenne pondérée des rendements espérés des actifs
d’un portefeuille.
Donc l'espérance du portefeuille est donnée par :
𝐸(𝑅 𝑝) = 𝐸(∑ 𝑋𝑖 𝑅𝑖)
𝑛
𝑖=1
= ∑ 𝑋𝑖 𝐸(𝑅𝑖)
𝑛
𝑖=1
Où l'espérance de 𝑅𝑖 est souvent pris comme étant la moyenne arithmétique.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
7
Maintenant, nous supposerons que les return des différents actifs financiers ne fluctuent pas
indépendamment les uns des autres : ils sont corrélés ou, ce qui revient au même, ont des
covariances non nulles :
𝐶𝑜𝑣 (𝑅𝑖, 𝑅𝑗) ≠ 0
Dès lors, la variance du portefeuille est donnée par :
𝑉(𝑅 𝑝) = ∑ 𝑋𝑖
2
𝑉( 𝑅𝑖) + 2
𝑛
𝑖=1
∑ ∑ 𝑋𝑖 𝑋𝐽 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖, 𝑅𝑗)
𝑗𝑖
Nous pouvons également écrire cette dernière relation sous forme matricielle si nous
notons X le vecteur des parts d'actifs et 𝑋 𝑇
le même vecteur transposé :
Et finalement 𝐶𝑖, 𝑗 la matrice des covariances :
Matrice qui se simplifie directement en :
Finalement nous obtenons la relation de la variance sous forme matricielle condensée :
𝑉(𝑅 𝑝) = 𝑋 𝑇
. (𝐶𝑖𝑗. 𝑋)
Pour en revenir à la forme algébrique du modèle, puisque la covariance est symétrique :
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
8
𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖, 𝑅𝑗) = 𝐶𝑜𝑣 (𝑅𝑗, 𝑅𝑖)
Et que :
𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑗, 𝑅𝑖) = 𝑉(𝑅𝑗)
Nous pouvons simplifier et écrire la variance :
𝑉(𝑅 𝑝) = ∑ 𝑋2
𝑉( 𝑅𝑖) + 2 ∑ ∑ 𝑋𝑖 𝑋𝑗 𝐶𝑜𝑣 (𝑅𝑖, 𝑅𝑗)
𝑗𝑖≠
𝑛
𝑖=1
Sous la forme algébrique suivante :
Pour sélectionner un portefeuille, il faut donc résoudre le problème de maximisation sous
contrainte suivant :
En utilisant la programmation quadratique :
Dans la pratique, nous cherchons tous les portefeuilles qui minimisent la variance pour une
espérance donnée. Nous obtenons alors une fonction de l'espérance en fonction de la variance
pour les portefeuilles optimaux si nous traçons cela sur un graphique. Cette fonction est souvent
assimilée par les financiers à une frontière comme le précise la définition qui suit.
La frontière qui caractérise le polygone ou la courbe des contraintes s'appelle dans cette
situation la "frontière efficiente (de Markowitz)" et dans le polygone/courbe se situent tous les
portefeuilles à rejeter dits "portefeuilles dominés". Une autre manière de formuler ceci consiste
à dire que les combinaisons (rendement, risque) de cette frontière forment un ensemble
d'optimum de Pareto, c'est-à-dire que si l'un des éléments augmente, l'autre doit augmenter
aussi.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
9
Maintenant, formalisons l'optimisation, soit Z la fonction économique précitée :
Qui doit être maximisée sous la contrainte que et où est un paramètre qui
représente le degré d'aversion au risque des investisseurs.
Le problème de maximisation sous contrainte consiste à maximiser la fonction
économique Z définie par :
Cette fonction de n + 1 variables ( ) est maximisée si sa dérivée (partielle) par
rapport à chacune de ces variables est nulle, ce qui revient à poser le système suivant :
Posons :
Nous pouvons alors écrire :
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
10
Soit sous forme matricielle :
Soit désormais :
Et
Dans ce cas, le système d'équations à résoudre peut se résumer sous la forme matricielle :
Par conséquent :
La détermination du poids de chacun des n actifs susceptibles d'entrer dans la composition d'un
portefeuille passe donc par l'inversion d'une matrice carrée de n + 1 lignes et n + 1 colonnes
comportant covariances (la diagonale comportant des variances seulement et la
matrice étant symétrique !).
Cependant, même une fois la pondération des actifs terminée, le problème lui ne l'est pas
complètement. Effectivement, nous pouvons donc connaître la frontière efficiente mais le client
va lui imposer une contrainte bien logique au niveau du risque nul de son portefeuille et du
rapport rendement/risque maximum.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
11
Compte tenu de la lourdeur des calculs nécessaires à l'inversion de la matrice A, Sharpe3
a
proposé un modèle simplifié que nous verrons après.
Nous devons maintenant calculer le rendement moyen du portefeuille selon :
Cette relation est un peu longue à saisir, et le sera davantage si nous avons un nombre bien plus
important de titres.
Dans notre cas, il s'agit de faire la somme des produits terme à terme de deux plages de cellules
( et ) ayant la même dimension (même nombre de lignes et même nombre de colonnes).
Pour la variance du portefeuille, c'est un peu plus compliqué puisqu'il s'agira de calculer :
La relation développée nous donne :
L'astuce pour appliquer consiste à utiliser l'algèbre linéaire et écrire cette relation sous forme
matricielle comme nous l'avons démontré :
Soit sous forme matricielle explicite :
3
William Forsyth Sharpe, né à Boston le 16 juin 1934, est un économiste américain, lauréat du Prix de la
Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel. Il a travaillé sur la théorie financière.
Son ratio de Sharpe permet de mesurer la rentabilité d'un portefeuille au regard du risque pris.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
12
4
Section II : Le modèle de diversification efficiente de Sharpe (modèle unificateur)
I. Le modèle de William Sharpe
L'utilisation du modèle de Markowitz, soulevait de nombreux problèmes.
Ces problèmes étaient de deux ordres :
1. L'ampleur des matrices requérait à l'époque un calculateur de grande capacité et un temps de
calcul assez long !
2. L'utilisation du modèle de base requérait que l'on connaisse dans son entièreté la matrice des
covariances. Le principal problème qui se pose à ce propos réside tant dans le nombre des
estimations à fournir que dans la difficulté de réaliser des estimations précises et surtout
cohérentes.
Si nous voulons que l'approche proposée par Markowitz puisse entrer dans le domaine de
l'application, il faut de toute évidence trouver les moyens d'alléger notablement la procédure
tout en perdant le moins possible de la rigueur de la méthode.
William Sharpe a proposé en 1963 une solution dont la caractéristique essentielle consiste à
faire l'hypothèse que les returns des diverses valeurs sont exclusivement liés entre eux par leur
commune relation avec un facteur de base sous-jacent qui permet de déterminer un coefficient
appelé le "bêta" c’est la corrélation entre le rendement d'un titre et celui du portefeuille de
marché.
Cette hypothèse purement empirique appelée "modèle à un indice" a revêtu par la suite une
importance considérable, car elle a été, comme on le verra dans les développements ultérieurs,
à la base de la théorie de la formation des prix des titres financiers dans un univers incertain.
4
Fatou Dioffé Bâ & Abdoulaye Wade, le modèle de Markowitz et détermination d’un portefeuille optimal. PhD
thesis , Université Gaston Berger, 2012, paragraphe modifié.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
13
Le terme "unifactoriel" vient donc du fait qu'à la base le but du modèle de Sharpe est de définir
le rendement d'un placement financier en fonction de son risque non diversifiable, assimilé au
seul risque de marché donné par un nombre appelé "coefficient bêta".
Les investisseurs et gestionnaires distinguent trois sortes de risques :
1. Le "risque spécifique" relatif au titre lui-même appelé aussi "risque non systématique" ou
"risque idiosyncratique".
2. Le "risque systématique/non diversifiable" relatif à l'économie/marché au sens le plus large.
3. Le "risque global" qui est en quelque sorte la somme des deux.
Pour déterminer le facteur risque, on utilise la variation du rendement de titre financier par
rapport à la variation du rendement du marché dans sa globalité. Un titre financier dont le cours
fluctue souvent et dont la volatilité est grande présente donc certainement un risque élevé.
Le "coefficient bêta" mesure la dépendance entre le rendement d'un titre financier ou un
portefeuille et le rendement d'un indice de référence et constitue la pente d'une droite appelée
SCL "Security Characteristic Line" :
Ce coefficient est bien évidemment d'autant plus utile que l'horizon de prévision futur est
éloigné et que la fréquence d'observation est petite. Ce coefficient est aussi parfois appelé
"volatilité relative".
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
14
Figure 1: Graphique du coefficient bêta
Source : http://gestion.coursgratuits.net/economie/modele-de-diversification-efficiente-de-sharpe.php
L'indice de référence est choisi de la manière la plus pertinente possible avec ce que cela
implique... Si possible lorsque le rendement de l'indice est nul, la variation de la valeur du
portefeuille ou de titre devrait aussi être nulle.
Une simple analyse du graphique montre donc qu'un coefficient bêta égal à 1 pour un titre donné
signifie qu'une augmentation de 10 % du return des titres sur le marché pendant une certaine
période se traduira par une augmentation de 10 % en moyenne du rendement de ce titre. Donc
la volatilité de titre est égale à celle de l'indice.
Un bêta supérieur à 1 signifie que l'évolution du return de l'actif financier est plus volatile que
celle du return du marché, tandis qu'un bêta inférieur à 1 révèle l'inverse. Ainsi, un fonds ayant
un bêta de 1.15 est de 15% plus volatil que l'indice. Inversement, un fonds ayant un bêta de
0.70 est 30% moins volatile que l'indice.
Donc en constate que :
1. Un investissement ne présentant aucun risque afficherait donc un bêta nul !
2. Un bêta inférieur à 1 indique que si le marché est à la baisse, le titre sera susceptible de
baisser moins que le marché.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
15
3. Un bêta supérieur à 1 indiquera que si le marché est à la hausse, le titre sera susceptible de
suivre moins rapidement la tendance à la hausse.
Le concept de bêta ayant été introduit, passons maintenant à la théorie du modèle qui a pour
objectif donc de simplifier celui de Markowitz en utilisant ce fameux coefficient.
Par définition, le bêta global d'un portefeuille est déterminé à partir des bêtas pondérés
respectifs de chacun des titres ou bêta sous-jacents qui le composent tel que : le modèle
unifacteur de Sharpe.
Si les rendements sont explicitement donnés et donc connus l'espérance se calculera avec :
Comme le client va souvent chercher à maximiser l'espérance tout en minimisant la variance,
il nous reste à déterminer cette dernière. Étant donné que maintenant supposons explicitement
connus les rendements des actifs financiers du portefeuille et les rendements du portefeuille du
marché nous avons :
Si l'indice I est correctement choisi, lorsque 𝐼 = 0 nous devons avoir 𝑅𝑖 = 0 ce qui
implique 𝛼𝑖 = 0.
Ainsi :
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
16
Finalement :
Ce qui donnerait donc pour un portefeuille comportant deux titres :
Nous pouvons condenser la notation de la variance en utilisant les notations matricielles en
notant d'abord respectivement le vecteur transposé et le vecteur colonne des poids des actifs
du portefeuille par :
Et en en définissant la matrice du bêta :
Ce qui nous donne finalement :
Ce qui donne pour un portefeuille de deux titres :
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
17
Nous retrouvons donc bien la même chose que la forme algébrique.
II. Le ratio de Sharpe
Pour finir, signalons que les financiers utilisent souvent les indicateurs de rendement modéré
par le risque, le plus répandu au niveau international étant le "ratio de Sharpe". Il est déterminé
par le rapport entre le rendement différentiel du rendement d'un placement (titre) sans risque et
le rendement du marché (appelé le "benchmark") et la déviation standard du placement sans
risque :
C’est une relation qui exprime le niveau de rendement pur par unité de volatilité. Pour
simplifier, c'est un indicateur marginal de la rentabilité obtenue par unité de risque pris dans
cette gestion.
- Si le ratio est négatif, le portefeuille a un référentiel et une situation très mauvaise.
- Si le ratio est entre 0 et 0.5 c’est-à-dire que le risque pris est trop élevé pour le rendement
obtenu sur le portefeuille.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
18
- Si le ratio est supérieur à 0.5le risque n’est pas trop élevé pour le rendement obtenu sur le
portefeuille.
Il existe un autre indicateur courant qui est le "tracking error" et défini comme étant l'écart-type
de l'écart de performance entre le portefeuille et le benchmark. Plus le tracking error est faible,
plus le fond ressemble à son indice de référence en termes de risque :
5
III. Le ratio de Treynor et L’alpha de Jensen
C’est un ratio qui permet d'évaluer la rentabilité d'un portefeuille par rapport au risque engagé.
Il était proposé en 1965 par l'économiste Jack Treynor6
, a l’instar des ratios de Jensen7
et de
Sharpe.
Le ratio de Treynor se calcule comme suit :
RTp =
Rp − Rf
βp
RTp : Ratio de Treynor
Rp : Rentabilité du portefeuille p
Rf : Taux sans risque
βp : Bêta du portefeuille p
Si le ratio de Treynor est élevé, le portefeuille présente une rentabilité forte par rapport au risque
encouru.
5
Cours d’économie : Modèle de diversification efficiente de Sharp, du Web site :
http://gestion.coursgratuits.net/economie/modele-de-diversification-efficiente-de-sharpe.php (Consulté le 20
Mars 2018), paragraphe modifié.
6
Jack Lawrence Treynor (né le 21 Février, 1930) est le président de Treynor Capital Management, Palos
Verdes Estates, CA. Il est rédacteur en chef et membre du conseil consultatif du Journal of Investment
Management, etest Senior Fellow de l'Institut pour la recherche quantitative en finance. Il a servi pendant de
nombreuses années comme l'éditeur du Journal de l'Institut CFA des théories financière.
7
Michael Jensen est né le 30 novembre 1939 à Rochester dans le Minnesota. Il a joué un rôle académique
important au sujet du modèle d'évaluation des actifs financiers, des politiques de stock-options, dans
la gouvernance d'entreprise, et a créé un indicateur de performance des gestionnaires d'actifs, l'alpha de Jensen
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
19
Ce ratio représente le rapport entre l'excès de rendement du portefeuille vis-à-vis le marché et
son bêta. Donc se ratio correspond à la prime de rendement du portefeuille par rapport à celui
d'un investissement dans un actif sans risque, par unité de risque de marché.
Le ratio de Treynor utilise le bêta du portefeuille comme dénominateur au lieu de l'écart-type,
le ratio de Treynor ressemble beaucoup au ratio de Sharpe.
Ainsi, ce ratio analyse la volatilité relative du portefeuille vis-à-vis de l'indice de référence et
aussi la volatilité du portefeuille. En utilise le ratio de Treynor pour un portefeuille bien
diversifié par rapport à son marché de référence8
.
L’alpha de Jensen est un ratio proposé en 1968 par Michael C. Jensen qui permet d’évaluer la
performance d’un portefeuille des titres financiers à l'instar des ratios de Sharpe ou de Treynor.
𝛼 𝑝 = 𝑟̅𝑝[𝑟𝑓 + 𝛽 𝑝(𝑟̅ 𝑚 − 𝑟𝑓)]
𝛼 : L'alpha de Jensen
𝑟̅𝑝: La rentabilité espérée du portefeuille
𝑟𝑓: Le taux sans risque
𝛽 𝑝 : Le bêta du portefeuille
𝑟̅ 𝑚: La rentabilité espérée du marché, de l'actif 9
Section III: La Value at Risk
I. La définition de la Value at Risk
La VaR c’est un outil qui permet de traduire un risque de perte d’un portefeuille ou d’une
position (Devises, Actions, Obligation, Options) en un montant unique. Cet outil, donne
8
Gestion du portefeuille est analyse du risque : Ratio de Traynor, de Web site :
https://www.abcbourse.com/apprendre/19_ratio_de_treynor.html (Consulté le 22 Mars 2018), paragraphe
modifié.
9
Gestion du portefeuille et analyse du risque : L'alpha de Jensen, pour évaluer des actifs financiers
https://www.abcbourse.com/apprendre/19_alpha_de_jensen.html(Consulté le 22 Mars 2018). Paragraphe
modifié.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
20
directement à un investisseur ou un gestionnaire une indication simple et compréhensible d’un
risque de perte. Elle représente un risque lié aux fluctuations de prix des actifs. Les facteurs qui
impactent ces variations de prix sont généralement des taux de change, des taux d’intérêts, etc.
La VaR n’est pas réellement pertinente si elle n’est pas présentée avec d’autres indicateurs de
risque tels que le ratio de Sharpe et le ratio de Treynor.
Figure 2: Graphique de Value at Risk
Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Value_at_risk
II. L’historique de la Value at Risk
Durant les années 80, les outils de la gestion de risque n’étaient pas efficaces et ne répondaient
plus aux expectatives des différents acteurs du domaine financier. Les anciens outils ne
permettaient aucune comparaison entre les actifs. De plus l’apparition des produits dérivés,
l’augmentation de la volatilité sur les marchés ainsi que plusieurs crises financières comme le
cas de la banque Barings qui ont poussés le développement d’un indicateur qui permettrait de
regrouper un risque financier en un seul montant.
En ce qui concerne l’évolution de la VaR :
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
21
 La banque JP Morgan est considérée comme la pionnière de la VaR. La banque décida
de développer son propre programme de gestion financière « RiskMetrics », Qui
regroupe un nombre important de données financières dont la méthodologie pour
calculer une VaR,
 Les accords de Bâle I de 1996 autorisent les institutions financières à utiliser la VaR
comme mesure de risque,
 Aujourd’hui elle continue à évoluer.
III. Les Méthodes de calcul de la Value at Risk :
La VaR est à l’origine un calcul de probabilité, ces modèles de probabilité sont des lois
mathématiques qui permettent d’attacher des probabilités à des variables aléatoires. Donc ce
qu’il faut retenir c’est que le modèle usuellement utilisé est la loi normale (de Gauss) qui
possède des distributions se prêtant bien au calcul de la VaR. D’ailleurs des tableurs comme
Excel proposent des formules qui intègrent directement cette loi dans des calculs.
Figure 3: Loi normale
Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale
Dans le contexte de la VaR, cette courbe modélise la distribution des rendements. Autrement
dit, plus nous sommes vers les extrêmes, plus les fréquences des rendements est faible, au
contraire, plus nous nous trouvons vers le milieu (moyenne) la fréquence des rendements est
élevée.
Ce modèle dépend de deux paramètres : La volatilité et la moyenne.
La volatilité : Cet indicateur introduit le risque d’un actif, concrètement il mesure les écarts de
performance d’un actif autour de sa moyenne. Il s’agit de l’écart-type des rendements.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
22
𝜎 = √
1
𝑛
∑ ( 𝑥𝑖 − 𝑥̅)2
𝑛
𝑖=1
La moyenne : Cet estimateur s’agit de la somme des variables devisée par leurs nombres. Dans
le domaine bancaire on utilise cette moyenne surtout pour déterminer un rendement moyen.
𝑥̅ =
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
1. La Value at Risk historique
Elle se base sur les variations historiques des rendements (cours, taux de change, etc.). Le but
de ce modèle est de faire ressortir la valeur correspondant au seuil de confiance désiré.
Pour illustrer ce calcul, nous avons choisi un titre suisse ABB, qui figure dans la SMI10
. Nous
avons pris 504 cours journaliers afin de calculer la VaR historique. Le portefeuille est
uniquement constitué de titres ABB et vaut 10000 CHF.
Il faut en premier lieu obtenir les cours historiques pour un titre en question. Il faut prendre un
minimum de 250 données pour que les résultats soient pertinents. Dans notre cas, nous avons
sélectionné 504 données (deux années complètes de jours ouvrés). Ensuite, il faut calculer les
rendements journaliers pour ces cours.
10
Swiss Market Index : indice boursier suisse qui comprend les vingt plus grosses capitalisations boursières
suisses.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
23
Tableau 1: Rendements journaliers du titre ABB
Dates Cours de Clôture Rend. Journ.
26.09.2006
27.09.2006
28.09.2006
29.09.2006
02.10.2006
03.10.2006
04.10.2006
05.10.2006
06.10.2006
09.10.2006
10.10.2006
12.94
12.87
12.98
12.84
12.82
12.84
12.99
13.16
13.3
13.39
13.41
-0.54%
0.85%
-1.08%
-0.16%
0.16%
1.17%
1.31%
1.06%
0.68%
0.15%
Les rendements journaliers se déterminent en calculant la variation de valeur d’une date à une
autre. On utilise la formule suivante :
Jour2−Jour1
Jour1
Il faut transformer les rendements en valeurs, pour déterminer les plus mauvaises performances
réalisées. Il suffit de multiplier la valeur du portefeuille avec les rendements. On multiplie
10000 par -0,54%.
Tableau 2: Performances du titre ABB
Dates Cours de clôture Rend. Journ. Performances
26.09.2006
27.09.2006
28.09.2006
29.09.2006
02.10.2006
03.10.2006
04.10.2006
05.10.2006
06.10.2006
09.10.2006
12.94
12.87
12.98
12.84
12.82
12.84
12.99
13.16
13.3
13.39
-0.54%
0.85%
-1.08%
-0.16%
0.16%
1.17%
1.31%
1.06%
0.68%
-54.09582689
85.47008547
-107.8582435
-15.57632399
15.60062402
116.8224299
130.8698999
106.3829787
67.66917293
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
24
10.10.2006 13.41 0.15% 14.93651979
Puis il faut classer ces performances, pour pouvoir trouver celle qui nous intéresse. Un ordre
croissant va nous permettre d’avoir les performances classées de la plus mauvaise au meilleur.
Au final, le but est de trouver la valeur correspondant au 95% du total des performances (504
valeurs).
Cette valeur nous donne la VaR historique à un jour pour ce portefeuille. La dernière étape
consiste uniquement à transformer cette VaR à un jour pour l’horizon temporel souhaité. La
formule est la suivante : VaR à N jours = VaR à 1 jour ∗ √N
2. La simulation de Monte Carlo
La méthode de simulation de Monté Carlo est adaptée plus aux produits optionnels.
Une option offre à son détendeur le droit, et non l’obligation, d’acheter ou de vendre à une date
future spécifiée, un actif (sous-jacent) à un prix fixé (prix d’exercice) au moment de la
conclusion du contrat.
Il existe deux types d’options selon que celle-ci permet d’acheter (on parle d’option d’achat ou
de call) ou de vendre (on parle d’option de vente ou de put) l’actif sous-jacent.
Voici un exemple simplifié de simulation de Monte Carlo pour déterminer la VaR d’une option.
Tableau 3: Informations pour la simulation de Monte Carlo
Prix actuel du sous-jacent
Volatilité annuelle
Rendement moyen
Échéance
Prix exercice
Delta
Notionnel
100
15.00%
10.00%
1 mois
102
0.2
10 000 000
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
25
Ce tableau présente les données relatives à l’option. Ces informations vont nous permettre de
générer la simulation.
Tableau 4: Étapes principales pour une simulation de Monte Carlo
Nombres aléatoires Processus de Wiener Prix du sous-jacent simulé
0.24938742
0.398144283
0.27729853
0.004749453
0.391482841
0.9457897
0.964294053
0.904554434
0.279746923
0.790793285
0.167450039
0.202525932
0.719835419
0.062616231
0.780980712
-0.676418713
-0.258153341
-0.590885621
-2.593556039
-0.275456316
1.605332728
1.80284924
1.307947453
-0.583593483
0.809176849
-0.964290947
-0.832632784
0.582352659
-1.53317614
0.775509631
97.83
99.62
98.19
90.04
99.58
107.99
108.92
106.61
98.22
104.33
96.62
97.17
103.31
94.27
104.18
Les trois étapes principales à la création d’une simulation de Monte Carlo sont dans le tableau
ci-dessus. Premièrement, nous simulons des nombres aléatoires entre 0 et 1 grâce à la formule
prévue sur Excel.
=alea ()
Par extrapolation nous avons la valeur de ces chiffres dans la loi normale. Cette opération
s’intitule le processus de Wiener.
=LOI.NORMALE.INVERSE(chiffre aléatoire ;0 ;1)
Finalement, nous pouvons simuler le prix du sous-jacent de l’option. La formule nécessite
plusieurs informations que nous avons présenté auparavant (échéance, volatilité, rendement).
Prix simulé = Prix actuel * exponentiel (rendement-0.5 * volatilité 2) + volatilité * processus
de Wiener *√ échéance.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
26
La dernière étape consiste à calculer la perte maximum liée à l’option et de sélectionner la perte
pour l’intervalle de confiance voulu.
VaR Absolu 95%
VaR Relative 95%
-6.831
-5.521
L’interprétation de ces résultats diffère de celle d’une action classique. En effet, la nature de
cette option est une vente de call à découvert, en terme plus simple, nous spéculons sur la baisse
de valeur de l’option. Dans notre cas les 6.83 représente le montant maximum que l’option
risque de prendre comme valeur jusqu’à son échéance.
3. La Value at Risk paramétrique (variance/covariance)
La dernière méthode, paramétrique part de l’hypothèse que la distribution des rendements
dépend de la loi normale. Ce modèle va se baser sur plusieurs estimateurs statistiques dont la
variance, l’écart-type ainsi que la moyenne. La mise en commun de ces éléments permet de
déterminer une VaR.
Ce modèle se complexifie selon la taille d’un portefeuille. Pour une seule position le calcul est
relativement simple. Les tableurs comme Excel intègrent une formule qui permet de calculer
directement une VaR paramétrique pour une position. Si on possède un portefeuille, il faut
passer par une matrice de variance/covariance, afin de déterminer la variance du portefeuille et
ainsi pouvoir déterminer un écart-type.
Dans l’exemple ci-dessous, le portefeuille ne possède qu’une seule position, il s’agit du titre
ABB présent également dans l’exemple de la VaR historique susdit.
Tableau 5: Informations pour la méthode paramétrique
Valeur du portefeuille
Seuil de confiance
Écart-type
Variance
Horizon temporel
10 000
95%
2.05%
0.04%
10 jours
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
27
La valeur du portefeuille, le seuil de confiance ainsi que l’horizon temporel sont les paramètres
choisis par l’utilisateur. Par contre, l’écart-type et la variance sont calculés sur la base des cours
historiques d’ABB. La formule suivante nous permet d’extrapoler une Value at Risk des
renseignements ci-dessus.
=LOI.NORMALE. INVERSE (probabilité, espérance, écart-type)
· La probabilité se traduit par la différence entre 1 et notre seuil de confiance.
· L’espérance représente la multiplication entre la valeur du portefeuille et la variance +1.
· L’écart-type qui nous intéresse dans cette formule, est l’écart-type de l’ensemble du
portefeuille et non pas d’une seule position. C’est la raison pour laquelle, on multiplie l’écart-
type d’un titre avec la valeur totale du portefeuille.
Ensuite il nous reste plus qu’à déterminer la VaR à 10 jours pour obtenir les résultats suivants :
10 jours % du portefeuille
VaR paramétrique à 95% 1'051.16 10.51%11
Section IV : Le Modèle D’évaluation des Actifs Financiers (MEDAF)
I. L’équilibre de marché MEDAF
Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF) ou Le "Capital Asset Pricing Model"
(CAPM) c’est le modèle d’évaluation le plus connus et le plus utilisé, crée par Sharpe, Linter,
et Mossin dans les années 60 et basé sur la théorie moderne du portefeuille de Markowitz.
Le modèle de MEDAF est basé sur les investisseurs sont rémunérés par la valeur temps de
l'argent et par le risque. La valeur temps de l'argent est représentée par le taux sans risque, qui
correspond généralement au taux de placement le plus faible mais le moins risqué.
Le modèle de MEDAF a des hypothèses :
H1 : Les investisseurs composent leurs portefeuilles en se préoccupant exclusivement de
l'espérance et de la variance de rendement de ces derniers.
H2 : Les investisseurs sont averses au risque : ils n'aiment pas le risque.
11
Diego Trigo da Silva, mémoire : La Value at Risk, un outil de gestion du risque discutable ? Haute École de
Gestion de Genève (HEG-GE), 3 Octobre 2008, paragraphe modifié.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
28
H3 : Il n'y a pas de coût de transaction et les actifs sont parfaitement divisibles.
H4 : Ni les dividendes, ni les gains en capitaux ne sont taxés.
H5 : De nombreux acheteurs et vendeurs interviennent sur le marché et aucun d'entre eux ne
peut avoir d'influence sur les prix.
H6 : Tous les investisseurs peuvent prêter ou emprunter le montant qu'ils souhaitent au taux
sans risque.
H7 : Les anticipations des différents investisseurs sont homogènes.
H8 : La période d'investissement est la même pour tous les investisseurs.
1. La droite de marché des capitaux (CML)
CML c’est la droite qui relie le taux de l’argent sans risque au portefeuille de marché. La droite
de marché est une frontière singulière.
La somme du taux sans risque et la prime d’un risque représente la rentabilité d’un portefeuille
efficiente, alors l’équation de la droite de marché des capitaux se présente comme suit :
𝐸( 𝑅 𝑃) = 𝑅𝑓 + [𝐸(𝑅 𝑀) − 𝑅𝑓]
𝜎 𝑃
𝜎 𝑀
𝑅𝑓: Rendement du titre sans risque
𝐸( 𝑅 𝑀): Espérance de rendement du marché
2. La droite de marché des titres (SML)
A l’équilibre du portefeuille, la prime de risque d’un titre particulier est une proportion de la
prime de risque de marché.
𝐸( 𝑅𝑖) − 𝑟𝑓 =
𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖; 𝑅 𝑝)
𝜎 𝑃
2 [𝐸(𝑅 𝑝) − 𝑟𝑓]
Le facteur de proportionnalité précise la contribution marginale du titre i au risque du
portefeuille. En effet, l'accroissement en pourcentage de l'écart-type de la rentabilité du
portefeuille dû à un accroissement d'un point de pourcentage de la part du titre en portefeuille :
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
29
𝑑𝜎 𝑝/𝜎 𝑝
𝑑𝑥𝑖
=
𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖; 𝑅 𝑝)
𝜎 𝑝
2
La « prime de risque » d'un actif dépend du risque additionnel que l'actif ajoute au risque du
portefeuille où il est intégré et non pas du « risque total » intrinsèque.
A l’équilibre du marché tout titre fait partie du portefeuille de marché, il est efficient.
On a donc :
𝐸( 𝑅𝑖) − 𝑟𝑓 =
𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖; 𝑅 𝑝)
𝜎 𝑃
2 [𝐸(𝑅 𝑀) − 𝑟𝑓]
Si cette relation n'est pas vérifiée pour un titre i, les investisseurs peuvent battre le marché en
ajoutant le titre à leur portefeuille. Et ce qui va augmenter la demande, le cours montre et la
rentabilité va baissée. Donc à l’équilibre en doit vérifier cette relation par la rentabilité.
𝐸( 𝑅𝑖) − 𝑟𝑓 =
[𝐸(𝑅 𝑀) − 𝑟𝑓]
𝜎 𝑀
2 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖; 𝑅 𝑀)
Prime de risque = Prix du risque (mesuré par la variance) x quantités de risque (mesuré par la
covariance).
En peut utiliser aussi :
𝜌𝑖𝑀 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖; 𝑅 𝑀)/(𝜎𝑖 𝜎 𝑀)
Soit :
[𝐸(𝑅𝑖) − 𝑟𝑓]
𝜎𝑖
= 𝜌𝑖𝑀
[𝐸(𝑅𝑖) − 𝑟𝑓]
𝜎 𝑀
C'est-à-dire : le ratio de Sharpe du titre = coefficient de corrélation des rendements du titre et
du marché x ratio du Sharpe du portefeuille de marché
Alors à l'équilibre, tous les titres ayant le même coefficient de corrélation avec le marché ont
aussi le même ratio de Sharpe.
La bêta d’un titre 𝛽𝑖 représente la variation du rendement du titre par celle du marché. Et la part
de « risque systématique » ou « risque non diversifiable » contenue dans le risque total du titre.
Il se calcule comme suit :
𝛽𝑖 =
𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖; 𝑅 𝑀)
𝜎 𝑀
2
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
30
Et à l'équilibre du marché :
𝐸( 𝑅𝑖) − 𝑟𝑓 = 𝛽𝑖[𝐸(𝑅 𝑀) − 𝑟𝑓]
Le modèle de marché de Sharpe est sans fondement théorique c’est un modèle statistique.
Supposant que la rentabilité est normalement distribuée et que la régression linéaire par les
Moindres Carrés Ordinaires (MCO) de Ri sur RM onne la relation droite caractéristique du titre
suivant :
𝑅𝑖𝑡 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅 𝑀𝑡 + 𝜀𝑖𝑡
𝛼𝑖 𝑒𝑡𝛽𝑖 : Les coefficients de la régression
𝛽𝑖 est précisément égal à
𝑐𝑜𝑣(𝑅 𝑖;𝑅 𝑀)
𝜎 𝑀
2
𝜀𝑖𝑡 est le résidu, d'espérance nulle, non corrélé à Rmt.
A ce point l'idée de considérer la rentabilité du titre comme décomposable en deux parts à
commencer :
𝑅𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅 𝑀 + 𝜀𝑖
En prenant l'espérance mathématique, on obtient𝐸( 𝑅𝑖) = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝐸(𝑅 𝑀)
II. Risque systématique et risque spécifique
Il existe deux raisons principales qui influencent sur le rendement :
- L'influence du marché :𝛽𝑖 mesure la sensibilité du rendement du titre au rendement du marché,
 Si 𝛽𝑖 > 1 un risque systématique plus élevés que le marché alors le titre est défensif,
 Si 𝛽𝑖 < 1 un risque systématique de l’investissement est inférieur à celui de tout le
marché alors le titre est offensif,
 Si 𝛽𝑖=1 indique que le même niveau de risque systématique avec le marché.
- Des causes spécifiques : 𝜀𝑖.
La variance de la rentabilité mesure le risque total du titre mesuré :
𝜎𝑖
2
= 𝛽𝑖
2
𝜎 𝑀
2
+ 𝜎𝜀𝑖
2
Risque total = Risque systématique + Risque spécifique
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
31
Le risque systématique est à l’origine lié au macroéconomique : croissance économique,
mouvements de taux d'intérêt, crises, incertitudes géopolitiques...
Et le risque spécifique est à l'origine lié au microéconomique : grèves dans l'entreprise,
poursuites judiciaires, changements de goûts des consommateurs, contrats décrochés…
En peut faire la suppression du risque spécifique par la diversification :
Vu que la rentabilité d'un portefeuille à N titres calcul comme suit :
𝑅 𝑝 = ∑ 𝑥𝑖 𝑅𝑖
𝑁
𝑖=1
En séparer la rentabilité de chaque titre en Ri = αi + βi RM + εI on écrit la rentabilité du
portefeuille comme :
𝑅 𝑃 = ∑ 𝑥𝑖 𝛼𝑖 + ∑ 𝑥𝑖 𝛽𝑖 𝑅 𝑀 + ∑ 𝑥𝑖 𝜀𝑖 = 𝛼 𝑝 + 𝛽 𝑝 𝑅 𝑀 + 𝜀 𝑃
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
Démonstration :
∑ 𝑥𝑖 𝛽𝑖 = ∑ 𝑐𝑜𝑣
(𝑅𝑖, 𝑅 𝑀)
𝜎 𝑀
2
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
Or, la covariance étant qu’une fonction linéaire se présente comme suit :
∑ 𝑥𝑖 𝑐𝑜𝑣( 𝑅𝑖, 𝑅 𝑀) = ∑ 𝑐𝑜𝑣( 𝑥𝑖 𝑅𝑖, 𝑅 𝑀) = 𝑐𝑜𝑣(∑ 𝑥𝑖 𝑅𝑖, 𝑅 𝑀)
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
∑ 𝑥𝑖 𝛽𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑐𝑜𝑣( 𝑅𝑖, 𝑅 𝑀) = 𝑐𝑜𝑣(∑ 𝑥𝑖 𝑅𝑖, 𝑅 𝑀) = 𝑐𝑜𝑣( 𝑅 𝑃, 𝑅 𝑀) = 𝛽 𝑃 𝜎 𝑀
2
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
Ainsi, La moyenne pondérée des bêtas des titres qui composent un portefeuille est égale au bêta
de celui-ci.
D'où la vient la séparation du risque total du portefeuille en risque systématique et en risque
spécifique :
𝜎 𝑃
2
= 𝛽 𝑃
2
𝜎 𝑀
2
+ 𝜎𝜀𝑃
2
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
32
Si en augmentant la part des titres dont le bêta est supérieur à 1, l'investisseur doit augmenter
la composante « systématique » du risque de portefeuille.
Et si en augmentant la part des titres dont le bêta est inférieur à 1, l'investisseur doit diminue la
composante « systématique » du risque de portefeuille.
Si la composante spécifique du risque diminue en augmentant la variété des titres en
portefeuille.
En mesure le risque spécifique par 𝜎𝜀𝑃
2
qui vaut :
𝜎𝜀𝑃
2
= ∑ 𝑥𝑖
2
𝜎𝜀𝑖
2
+ ∑ ∑ 𝑐𝑜𝑣(𝜀𝑖, 𝜀𝑗)
𝑁
𝑗≠𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
Dans le cas d’un portefeuille équipondérant, xi = 1/N et 𝜎𝜀𝑃
2
= ∑ 𝑥𝑖
2
𝜎𝜀𝑖
2
+𝑁
𝑖=1
∑ ∑ 𝑐𝑜𝑣(𝜀𝑖, 𝜀𝑗)𝑁
𝑗≠𝑖
𝑁
𝑖=1
On note 𝑣̅ la variance moyenne, et c̅ la covariance moyenne comme suit :
𝑣̅ =
1
𝑁
∑ 𝜎𝜀𝑖
2
𝑒𝑡𝑐̅ =
1
𝑁² − 𝑁
∑ ∑ 𝑐𝑜𝑣(𝜀𝑖, 𝜀𝑗)
𝑗≠𝑖
𝑁
𝑖=1
𝑁
𝑖=1
Alors, la variance du rendement du portefeuille se présente comme suit :
𝜎 𝑃
2
=
1
𝑁
𝑣̅ +
𝑁² − 𝑁
𝑁²
𝑐̅ =
1
𝑁
𝑣̅ + (1 −
1
𝑁
) 𝑐̅
Si en augmentant le nombre de titres composant du portefeuille, alors le risque du portefeuille
diminue. Et La covariance moyenne détermine le socle de risque spécifique qui subsiste après
diversification.
III. Implications du MEDAF et leur utilité
1. Implications du MEDAF
La rentabilité espérée d’un titre ne dépend pas de son risque spécifique :
𝐸( 𝑅𝑖) = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑖[𝐸(𝑅 𝑀) − 𝑟𝑓]
La rentabilité d'un titre dépend du bêta du titre et de la prime de risque du marché.
Et le bêta indique la part du risque non diversifiable.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
33
A l'équilibre, tous les portefeuilles et tous les titres sont sur la droite du MEDAF de SML.
Figure 4: La droite du MEDAF (SML)
Source : http://docplayer.fr/16629693-Le-modele-de-marche-de-sharpe.html
La moyenne pondérée des bêtas des titres qui composent un portefeuille est égale au bêta de
celui-ci. Le bêta du portefeuille de marché est égal à 1. Et un portefeuille efficient est composé
des titres sans risques et du portefeuille de marché. Alors le bêta d’un portefeuille efficient
mesure la fraction investie dans le portefeuille de marché.
La valeur d'un titre ne dépend pas du taux de croissance anticipé des cash-flows futurs.
Gordon-Shapiro à un modèle qui détermine le coût du capital est remis en cause et dépassé, le
Coût du capital financé par action et représente par la somme du rendement en dividende et le
taux de croissance anticipé du dividende. Et Le coût du capital est donné par l'espérance
mathématique de la rentabilité qui dépend du bêta, de la prime de risque du marché et du taux
sans risque, le coût du capital est égal à le taux sans risque plus le bêta fois la prime de risque
du marché.
Alors pour faire la valorisation d'un actif à partir du MEDAF :
Rentabilité aléatoire du titre : 𝑅̃ =
𝑉1̃−𝑉0
𝑉0
D’où : 𝑉1
̃ = (1 + 𝑅̃)𝑉0
Et : 𝐸(𝑉1
̃ ) = (1 + 𝐸(𝑅̃)) 𝑉0 = (1 + 𝐸( 𝑅)) 𝑉0
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
34
Avec : 𝐸( 𝑅) = 𝑟𝑓 + 𝛽(𝐸( 𝑅 𝑀) − 𝑟𝑓) = 𝑟𝑓 + 𝜃𝑐𝑜𝑣(𝑅̃, 𝑅 𝑀)
𝜃 =
(𝐸( 𝑅 𝑀) − 𝑟𝑓
𝜎 𝑀
2
Il y a deux manières d’évaluer 𝑉0 :
𝑉0 =
𝐸(𝑉1̃)
(1+𝐸(𝑅))
: Valeur actuelle au taux ajusté pour le risque de l'espérance de V1
̃
V0 =
E(V1̃)−θcov(V1̃;RM)
(1+rf)
: Valeur actuelle au taux sans risque de l'équivalent-certain au sens de
V1
̃.
2. L’utilité du MEDAF
Malgré les difficultés à valider empiriquement le modèle, il présente au moins deux applications
utiles et utilisée. En trouve la mesure de performance des gestionnaires de fonds (Sharpe 1966,
Treynor 1965, Jensen 1968), et il indique que le taux d'actualisation approprié pour évaluer les
revenus futurs d'un investissement ou d’une entreprise est déterminé par :
 Le taux sans risque
 La prime de risque du marché
 Le bêta de l'entreprise ou du projet d'investissement.
En peut estimer le bêta par régression sur données historiques ou inféré du bêta d'entreprises
comparables.
Et l'estimation pose problème car la covariance avec le marché varie dans le temps et il impose
le problème d'instabilité des bêtas et les indices de marchés utilisés (CAC40...) ne reflètent pas
le portefeuille de marché théorique ce qui devrait englober tous les actifs aussi les non boursiers,
et enfin la prime de risque est très difficile à estimer.12
12
J-B Desquilbet. Le MEDAF- Modèle d'évaluation des actifs financiers. Université d'Artois, paragraphe
modifié.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
35
Conclusion
La théorie de Markowitz est la base de la plupart des théories qui fait la gestion de portefeuille
on trouve Sharpe, Jensen, Treynor et chacun sa vision pour analyser le risque et choisir le
meilleur portefeuille.
Mais Sharpe et Lintner et Mossin ils ont créé un modèle d’évaluation des actifs financiers
(MEDAF) qui permet d’analyser les risques systématiques et spécifiques et c’est le modèle le
plus utilisé dans nos jours.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
36
Chapitre II : L’application des outils d’optimisation du portefeuille au
marché boursier marocain
Section I : La détermination de la frontière efficiente de Markowitz
Nous allons considérer les prix mensuels de 10 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017. Puis,
dans MS Excel, nous allons calculer les rendements des actifs (la composante j pouvant être
vue comme une période temporelle) à partir des prix recueillis. Le but est donc de déterminer
la frontière efficiente de Markowitz.
Tableau 6 : Les prix mensuels de 10 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017
Tableau 7: Les rendements mensuels de 10 titres du MASI
Tableau 8: Les paramètres mensuels de 10 titres du MASI
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
37
Tableau 9: La matrice variances-covariances du portefeuille
Position du problème : déterminer pour un rendement du portefeuille les proportions des
différents titres qui minimisent le risque : Min var(Rp) sous contraintes :
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
38
Figure 5: La frontière efficiente de Markowitz
Section II : La détermination du portefeuille efficient de Sharpe
Nous allons considérer les prix mensuels de 10 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017. Puis,
dans MS Excel, nous allons calculer les rendements des actifs (la composante j pouvant être
vue comme une période temporelle) à partir des prix recueillis. Le but est donc de déterminer
le modèle unificateur de Sharpe.
Tableau 10:Les prix mensuels de 10 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
39
Tableau 11:Les rendements mensuels de 10 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017
Tableau 12:Les paramètres mensuels de 10 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017
Tableau 13:La matrice des bêtas du portefeuille
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
40
Position du problème : déterminer pour un rendement du portefeuille les proportions des
différents titres qui minimisent le risque : Min var(Rp) sous contraintes :
Figure 6 : La frontière efficiente des ratios de Sharpe
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
41
Figure 7: Comparaison des deux frontières efficientes (Markowitz ; Sharpe)
On constate que les frontières donnent des résultats différents, ceci est dû essentiellement à
l’importance de l’indice MASI dans l’analyse.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
42
Section III : Le calcul de la Valeur at Risk (VaR)
Nous allons considérer les prix mensuels de 5 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017. Puis,
dans MS Excel, nous allons calculer les rendements des actifs (la composante j pouvant être
vue comme une période temporelle) à partir des prix recueillis. Le but est donc de déterminer
la Value at Risk du portefeuille composé de 5 actions selon les méthodes historiques,
paramétriques et Bootstrap.
I. La VaR selon la méthode historique
Tableau 14: La VaR selon la méthode historique
Il y a 99% de chances que la perte subie n'excède pas 12460 Dh dans les 10 prochains jours sur
un portefeuille valorisé à 200000 Dh.
Il y a 95% de chances que la perte subie n'excède pas 8777 Dh dans les 10 prochains jours sur
un portefeuille valorisé à 200000 Dh.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
43
II. La VaR selon la méthode paramétrique
Tableau 15: Calcul de la VaR selon la méthode paramétrique
Tableau 16: Calcule des paramètres de la VaR selon la méthode paramétrique
Tableau 17: La matrice variances-covariances de la VaR selon la méthode paramétrique
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
44
Il y a 99% de chances que la perte subie n'excède pas 18215 Dh dans les 10 prochains jours sur
un portefeuille valorisé à 200000 Dh.
Il y a 95% de chances que la perte subie n'excède pas 12878 Dh dans les 10 prochains jours sur
un portefeuille valorisé à 200000 Dh.
III. La VaR selon la méthode Bootsrap
Tableau 18: Calcule de la VaR selon la méthode Bootsrap
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45
Il y a 99% de chances que la perte subie n'excède pas 18283 Dh dans les 10 prochains jours sur
un portefeuille valorisé à 200000 Dh.
Il y a 95% de chances que la perte subie n'excède pas 12164 Dh dans les 10 prochains jours sur
un portefeuille valorisé à 200000 Dh.
Tableau 19: Comparaison des trois approches de calcul de la VaR
Approche historique Approche variances-
covariances
Approche Bootsrap
VaR (95%) -8776.69 VaR (95%) -12878.55 VaR (95%) -12164.02
VaR (99%) -12459.55 VaR (99%) -18214.38 VaR (99%) -18282.54
La VaR calculée par la méthode Bootstrap est presque similaire à la VaR calculée par la
méthode variances-covariances, par contre la VaR calculée par la méthode historiques est
inférieur aux VaR calculées par les autres méthodes. Ceci est du fort probablement à
l’échantillon de l’historique des données qui ne couvre pas une période assez grande.
Section IV : L’applicabilité du Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) au
marché boursier marocain
Les tests de validité du modèle d’équilibre :
Le modèle d’équilibre appelé le MEDAFE (Modèle d’Évaluation des Actifs Financiers à
l’Équilibre) fait l’objet d’une littérature abondante et de nombreux tests économétriques sont
proposés. Dans cette section, nous présentons deux tests économétriques qui vont permettre de
juger de la validité du modèle présenté au paragraphe précèdent.
- Le premier test empirique permet de juger de la pertinence de la spécification du modèle.
Selon le modèle d’équilibre des actifs financiers, la courbe empirique joignant ces points doit
être linéaire et avoir une pente positive s’interprétant comme la prime de risque du marché. Le
terme constant (ordonnée à l’origine) doit égal au taux d’intérêt de l’actif non risqué. Soit le
modèle à estimer en coupe instantanée :
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46
Ri
̅ = γ0 + γ1βi + ui
Avec :
Ri
̅ : Rentabilité moyenne de l’action i,
βi: Valeur estimée du bêta pour cette action,
ui: Terme aléatoire répondant aux hypothèses habituelles.
Donc, si le modèle d’équilibre est vérifié, le coefficient γ0 doit être égal à la rentabilité de l’actif
non risqué (taux d’intérêt du marché monétaire) ; quant au coefficient γ1, il s’interprète comme
étant la différence entre la moyenne de la rentabilité des actions composant le portefeuille et la
rentabilité de l’actif non risqué.
- Le deuxième test permet de juger de la rémunération du risque non systématique. Nous
cherchons à estimer la relation qui existe entre la rentabilité d’une action et le risque qui lui est
attaché. Cette rémunération doit être nulle en moyenne si le modèle d’équilibre est valide.
Nous spécifions le modèle suivant :
Ri
̅ = γ0 + γ1βi + γ2σi + ui
Où σi est l’écart type du rendement de l’action i (cet écart type étant représentatif du risque non
systématique). Donc, le modèle d’équilibre des actifs financiers décrit la réalité si le coefficient
γ2n’est pas significativement différent de 0.
Les données utilisées
Les données utilisées sont les prix des actions composant l’indice MADEX à la bourse de
Casablanca, les données sont en mois représentant les 5 dernières années.
Tableau 20: Statistiques descriptives des rendements
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
47
Établi par nos soins
Durant la période étudiée et en termes de rendements moyens, les actions les plus rentables sont
la SNEP, HPS, La CTM et COSUMAR, par contre les actions les plus risquées ou volatiles sont
la SNEP, SCM, IBC et SONASID.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
48
I. Estimation empirique (par les MCO) des coefficients bêtas du premier modèle
L’estimation du modèle (1) suivant nous conduit aux résultats présents dans le tableau 21.
Rit = αi + βiRMt + εit, (1)
Avec :
Rit: Rendement de l’action i pour la période t,
RMt: Rendement du portefeuille de marché (indice du marché) pour la période t,
αi, βi: Coefficients du modèle,
εit: Erreur de spécification.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
49
Tableau 21:Résultats des estimations des bêtas (MCO et MCG)
Nous avons utilisé la méthode des Moindres Carrés Ordinaires et le cas échéant, si le test de
Durbin et Watson (les conditions d’utilisation ici sont satisfaites) laisse présager d’une
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
50
autocorrélation des erreurs, la méthode des Moindres Carrés Généralistes (technique de
Cochrane Orcutt).
Ici : d1= 1,65 ; d2= 1,69 ; 4-d2 = 2,35 ; 4-d1 =2,31.
Sur le tableau nous avons donc reprise les différents éléments utiles à l’interprétation.
- Pour les MCO : le coefficient de régression (le bêta), le t de Student afférent à ce coefficient,
la statistique de Durbin et Watson.
- Pour les MCG, en cas d’autocorrélation des erreurs avérée : le coefficient de régression
(bêta), le t de Student afférent à ce coefficient, le coefficient estimé σ du processus
autorégressif, la statistique de Durbin et Watson.
Remarques :
Nous constatons que toutes les betas sont significativement différentes de 0 à l’exception de
des actions CRS, IBC, LABELVIE et MANAGEM, ces actions seront donc éliminées des
analyses suivantes.
Les bêtas des actions HOLCIM, CMT, SNEP, et MANAGEM sont plus élevé, ces titres sont
donc agressifs par rapport au marché.
Les bêtas les plus faibles mais significativement différent de 0 est ceux des actions
ALIMUNIUM, AUTOHALL, IBC et COLORADO, ces titres sont qualifiés de défensif.
Nous constatons que le principe de la diversification fonctionne assez bien, car notre
portefeuille a un bêta de 0,85 proche de 1. Le portefeuille se comporte d’une façon assez
similaire au marché.
II. Estimation empirique du deuxième modèle
Nous pouvons appliquer la formule σi
2
= βi
2
σM
2
+ σεi
2
(2) connaissant les betas de chaque action,
la variance du rendement portefeuille (variance de Rindice) : σM
2
= 0,0011 et la variance du
rendement de chaque action.
Les résultats sont présentés sur le tableau 22.
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
51
Tableau 22: Décomposition des risques de détention des actions𝛔 𝐌
𝟐
= 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟏
Nous constatant à la lecture des résultats que l’action la plus risquée est celle de l’Action SCM ;
100% de sa volatilité est expliquée par ses caractéristiques propres. En revanche,l’Action
HOLCIM est la moins risquée car 49% de sa volatilité est expliquée par ses caractéristiques
propres, le reste étant expliquée par les variations du marché.
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52
Les données permettant d’estimer les modèles (3) et (4) sont présentées sur le tableau 23.
Tableau 23: Données pour estimer les modèles (3) et (4)
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53
III. Estimation empirique du troisième modèle
L’estimation du modèle (3) suivant nous conduit aux résultats présents dans le tableau 24 :
Ri
̅ = γ0 + γ1βi + ui (3)
Tableau 24: Résultats des estimations du troisième modèle
Variables Coefficients t de Student
Constante 0,005 1,835
𝛃𝐢 0.000105 0.036
Aucun des deux coefficients n’est significativement différent de 0.
IV. Estimation empirique du quatrième modèle
L’estimation du modèle (4) suivant nous conduit aux résultats présents dans le tableau 25 :
Ri
̅ = γ0 + γ1βi + γ2σi + ui(4)
Tableau 25: Résultats des estimations du quatrième modèle
Variables Coefficients T de Student
Constante 0,0001888 0,042
𝛃𝐢 -0,001 -0,327
𝛔𝐢 0.073 1,421
Seule la constante est significativement différente de 0.
Sur cet échantillon nous constatons que le modèle d’équilibre n’est pas validé. Les coefficients
qui devraient être significativement différents de 0 ne le sont pas.
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54
Conclusion
Conclusion sur les résultats du MEDAF
Les écueils l’applicabilité du MEDAF sur le marché boursier marocain peuvent cités comme
suit :
- L’existence d’un problème majeur : le phénomène du thintrading ou l’illiquidité des titres.
- Les données historiques sont parcellaires, elles ne représenteront pas une estimation correcte
des anticipations des investisseurs,
-Le thintrading biaise, sinon rend impossible la mesure du risque systématique pour les titres
présentant une forte illiquidité,
- Le thintrading affecte les indices du marché, et fait en sorte que les rendements observés ne
reflètent nullement la valeur réelle du portefeuille du marché.
-Le thintrading biaise sinon rend non significative la valeur de la prime de risque obtenue soit
par la méthode historique (méthode du spread), soit par l’Espérance du rendement du
Portefeuille de marché
Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi
55
Bibliographie / Webographie
 BMCI Asset Management, de Web site : http://www.bmci.ma/nous-connaitre/activite-
et-filiales/asset-management/ (Consulté le 27 Mai 2018)
 BMCI Bourse, de Web site http://www.bmci.ma/nous-connaitre/activite-et-
filiales/bmci-bourse/ (Consulté le 27 Mai 2018)
 Cours d’économie : Modèle de diversification efficiente de Sharp, du Web site :
http://gestion.coursgratuits.net/economie/modele-de-diversification-efficiente-de-
sharpe.php (Consulté le 20 Mars 2018), paragraphe modifié.
 Diego Trigo da Silva, mémoire : La Value at Risk, un outil de gestion du risque
discutable ?, Haute École de Gestion de Genève (HEG-GE), 3 Octobre 2008,
paragraphe modifié.
 Fatou Dioffé Bâ & Abdoulaye Wade, le modèle de Markowitz et détermination d’un
portefeuille optimal. PhD thesis , Université Gaston Berger, 2012, paragraphe modifié.
 Gestion classique du portefeuille à la Markowitz, de Web site :
http://www.africmemoire.com/part.2-chapitre-1-revue-de-la-litterature-theorique-et-
empirique-803.html (Consulté le 27 Mai 2018)
 Gestion du portefeuille et analyse du risque : L'alpha de Jensen, pour évaluer des actifs
financiers https://www.abcbourse.com/apprendre/19_alpha_de_jensen.html (Consulté
le 22 Mars 2018), paragraphe modifié.
 Gestion du portefeuille est analyse du risque : Ratio de Traynor, de Web site :
https://www.abcbourse.com/apprendre/19_ratio_de_treynor.html (Consulté le 22
Mars 2018), paragraphe modifié.
 J-B Desquilbet. Le MEDAF- Modèle d'évaluation des actifs financiers. Université
d'Artois, paragraphe modifié.
 Les Echos, lexique financier, de Web site : https://www.lesechos.fr/finance-
marches/vernimmen/definition_style-de-gestion-de-portefeuille.html (consulté le 27
Mai 2018)
 Organigramme BMCI (01/01/2018), de Web site : http://www.bmci.ma/nous-
connaitre/le-groupe-bmci/gouvernance/ (Consulté le 27 Mai 2018
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56
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  • 1. Université Sultane Moulay Slimane Faculté Polydisciplinaire Béni Mellal Licence professionnelle métiers de la banque 2017/2018 Finance de Marché Gestion de portefeuille et des risques Pr. FALLOUL Moulay EL Mehdi
  • 2. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 2 Sommaire INTRODUCTION GENERALE..................................................................... 3 Chapitre I : L’évolution de la théorie du portefeuille .................................... 4 Introduction...................................................................................................... 4 Section I : Le modèle de la frontière efficiente de Markowitz..............................................4 Section II : Le modèle de diversification efficiente de Sharpe (modèle unificateur)...........12 Section III : La Value at Risk ............................................................................................19 Section IV: Le Modèle D’évaluation des Actifs Financiers (MEDAF)...............................27 Conclusion ...................................................................................................... 35 Chapitre II : L’application des outils d’optimisation du portefeuille au marché boursier marocain............................................................................. 36 Section I : La détermination de la frontière efficiente de Markowitz..................................36 Section II : La détermination du portefeuille efficient de Sharpe .......................................38 Section III : Le calcul de la Valeur at Risk (VaR)..............................................................42 Section IV : L’applicabilité du Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) au marché boursier marocain .................................................................................................45 Conclusion ...................................................................................................... 54 Bibliographie / Webographie......................................................................... 55
  • 3. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 3 INTRODUCTION GENERALE La théorie de diversification optimale de Markowitz date des années 50 et constitue la première tentative de théorisation de la gestion financière de portefeuilles, ce modèle suggère une procédure de sélection de plusieurs titres boursiers, à partir de critères statistiques, dans le but d’obtenir les portefeuilles optimaux ; elle est encore appelée théorie moderne du portefeuille. En partant du postulat que le risque d’un portefeuille peut être correctement mesuré par la variance de sa rentabilité, Markowitz explicite et formalise le dilemme fondamental de la finance moderne entre obtenir une rentabilité faible mais certaine, ou accepter de prendre un risque dans l’espoir d’accroître cette rentabilité, l’espérance de rentabilité étant d’autant plus élevée que le risque est important. Il formalise et quantifie également l’effet de diversification selon lequel une combinaison judicieuse de nombreux actifs dans un portefeuille permet de réduire le risque total subi pour un taux de rentabilité espérée donné. Les travaux de Markowitz s’avèrent extrêmement importants et modifient profondément la façon de concevoir les problèmes financiers. En outre, cette théorie expose comment les investisseurs rationnels utilisent la diversification afin d’optimiser leur portefeuille, et quel devrait être le prix d’un actif étant donné son risque par rapport au risque moyen du marché. Ce modèle fait appel à des concepts tels que, frontière efficiente, coefficient bêta, droite de marché des capitaux et droite de marché des titres (MEDAF). 1 Ce support de cours de finance de marché a pour but de répondre à la question fondamentale suivante, à savoir quels sont les outils d’optimisation et d’analyse du risque d’un portefeuille et est-ce qu’ils sont applicables au Maroc ? Dans ce cadre, nous allons scinder ce cours en deux chapitres. Le premier sera consacré à l’évolution de la théorie du portefeuille, dans laquelle nous allons clarifier les principes de base des modèles et outils d’optimisation du portefeuille. Tandis que le deuxième chapitre, nous allons appliquer ces outils au marché boursier marocain. 1 Gestion classique du portefeuille à la Markowitz, de Web site : http://www.africmemoire.com/part.2-chapitre-1- revue-de-la-litterature-theorique-et-empirique-803.html(Consulté le 27 Mai 2018)
  • 4. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 4 Chapitre I : L’évolution de la théorie du portefeuille Introduction Chaque titre comporte un risque que l'on peut décomposer en deux catégories : le risque spécifique de chaque titre, et le risque systématique, lié aux mouvements du marché. Lorsque l'on constitue un portefeuille de titres, on achète dans différentes proportions plusieurs titres. L’un des grands principes de la constitution de portefeuilles repose sur un adage de pur bon sens : ne pas mettre tous ses œufs dans le même panier. Le pionnier de la finance moderne, Markowitz2 , inventeur de la théorie moderne du portefeuille, est en fait arrive à démontrer en termes mathématiques la réalité de ce proverbe. Il a établi que le risque total d'un groupe de titres est inférieur à la somme des risques de ces titres individuels. En d'autres termes, investir dans un groupe de titres (diversifier ses investissements) permet de diminuer le risque sans perte de rendement. Section I : Le modèle de la frontière efficiente de Markowitz I. Le modèle de Markowitz : Les hypothèses relatives aux actifs financiers : H1 : Tout investissement est une décision prise dans une situation de risque. Une distribution symétrique stable entièrement définie par l’avoir de l’espérance mathématique du rendement E(Ri) et l’écart-typeσ(Ri) de la distribution de probabilité du rendement. R : Représente le taux du rendement. i : Représente un actif financier quelconque. H2 : Le rendement de différents actifs financiers ne fluctue pas indépendamment les uns des autres. Les hypothèses relatives aux comportements des investisseurs : 2 Harry Max Markowitz (né le 24 août 1927 à Chicago) est un économiste américain. Il a reçu le Prix de théorie John Von Neumann en 1989, et est lauréat du Prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel en 1990. C'est l'auteur du modèle de « diversification efficiente » des portefeuilles d'actifs financiers.
  • 5. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 5 H1 : Le comportement de tous les investisseurs est caractérisé par un degré plus ou moins prononcé d’aversion vis-à-vis du risque, et il est mesuré par l’écart-type σ(Ri) H2 : Les investisseurs sont rationnels. H3 : Tous les investisseurs ont le même horizon de décision qui comporte une seule période. Selon Markowitz, un portefeuille qui aune même variance de rentabilité par rapport aux autres portefeuilles et une espérance de rentabilité plus forte, il est efficace. L’ensemble de tous les portefeuilles efficaces constitue la frontière efficace ou bien la frontière efficiente de Markowitz. II. La mesure du rendement et du risque d’un actif Le rendement obtenu par un investisseur sur un titre. Et le rendement d’un titre pour une période précise peut être calculé comme suite : Le rendement : Rt = (Pt − Pt − 1) + Ct Ct : Revenu liquide attaché à la détention de l’actif financier durant la période (t). Pour déterminer le taux du rendement d’un titre en utilise la formule suivante : Rt = (Pt − Pt−1) + Ct Pt−1 Et pour mesurer le rendement moyen d’un titre sur N période, il existe deux méthodes du calcule, la 1ère par la moyenne arithmétique :Ra = 1 n ∑ Rt n i=1 et la 2ème par la moyenne géométrique : Rg = ((1 + R1)(1 + R2) + ⋯ + (1 + Rn)) 1 n − 1 d′ où ∏ (1 + Rt) 1 n − 1n i=1 . Il y a aussi un autre type du rendement c’est le rendement espéré, c’est la moyenne des rentabilités qui peut être pondérées par leur possibilité de réalisation : E(R) = P1R1 + P2R2 + ⋯ + PnRn; d′ où E(R) = ∑ PRRR n i=1 Comme il s’agit d’une distribution de probabilité ont doit trouver que la somme des probabilités est égale à 1. Si s’en attend à ce que la distribution des taux de rentabilité passé soit maintenue dans le futur, le rendement espéré peut être estimé par la moyenne arithmétique des rendements espérés des périodes précédentes.
  • 6. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 6 E(R) = R1 + R2 + ⋯ + Rn n d′ où ∑ RR N n i=1 Pour l’investisseur le risque peut être définit comme l’incertitude concernant la valeur d’un titre financier dans une date future. La rentabilité réalisée est toujours plus ou moins différente de celle espérée. Nous pouvons assimiler le risque d’investissement à la dispersion en variabilité de sa rentabilité autour de la valeur anticipée. La formule utilisée est la suivante : V(R) = P1(R1 − E(R))² + ⋯ + Pn(Rn − E(R))²d′ oùV(R) = ∑ PK( n i=1 RK − E(RK))² σ(R) = √V(R) Une valeur faible de la variance indique que la plupart des rendements sont concentrés à proximité de l’espérance mathématique c’est-à-dire un risque faible. Au contraire une variance élevée indique que la plupart des rendements sont éloignés de l’espérance mathématique c’est- à-dire un risque élevé. Et une variance nulle signifie que le placement en cause ne comporte aucun risque. Si nous disposons d’une suite de rendements historique pour un titre donnée, on peut alors estimer la variance comme suivante : V(R) = (R1−R̅)2+⋯+(Rn−R̅)² n−1 D’où V(R) = ∑ (RK−R̅)n i=1 ² n−1 III. La mesure du rendement et du risque d’un portefeuille Un portefeuille est constitué de plusieurs actifs détenus par un investisseur. Le rendement espéré d’un portefeuille correspond à la moyenne pondérée des rendements espérés des actifs d’un portefeuille. Donc l'espérance du portefeuille est donnée par : 𝐸(𝑅 𝑝) = 𝐸(∑ 𝑋𝑖 𝑅𝑖) 𝑛 𝑖=1 = ∑ 𝑋𝑖 𝐸(𝑅𝑖) 𝑛 𝑖=1 Où l'espérance de 𝑅𝑖 est souvent pris comme étant la moyenne arithmétique.
  • 7. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 7 Maintenant, nous supposerons que les return des différents actifs financiers ne fluctuent pas indépendamment les uns des autres : ils sont corrélés ou, ce qui revient au même, ont des covariances non nulles : 𝐶𝑜𝑣 (𝑅𝑖, 𝑅𝑗) ≠ 0 Dès lors, la variance du portefeuille est donnée par : 𝑉(𝑅 𝑝) = ∑ 𝑋𝑖 2 𝑉( 𝑅𝑖) + 2 𝑛 𝑖=1 ∑ ∑ 𝑋𝑖 𝑋𝐽 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖, 𝑅𝑗) 𝑗𝑖 Nous pouvons également écrire cette dernière relation sous forme matricielle si nous notons X le vecteur des parts d'actifs et 𝑋 𝑇 le même vecteur transposé : Et finalement 𝐶𝑖, 𝑗 la matrice des covariances : Matrice qui se simplifie directement en : Finalement nous obtenons la relation de la variance sous forme matricielle condensée : 𝑉(𝑅 𝑝) = 𝑋 𝑇 . (𝐶𝑖𝑗. 𝑋) Pour en revenir à la forme algébrique du modèle, puisque la covariance est symétrique :
  • 8. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 8 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖, 𝑅𝑗) = 𝐶𝑜𝑣 (𝑅𝑗, 𝑅𝑖) Et que : 𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑗, 𝑅𝑖) = 𝑉(𝑅𝑗) Nous pouvons simplifier et écrire la variance : 𝑉(𝑅 𝑝) = ∑ 𝑋2 𝑉( 𝑅𝑖) + 2 ∑ ∑ 𝑋𝑖 𝑋𝑗 𝐶𝑜𝑣 (𝑅𝑖, 𝑅𝑗) 𝑗𝑖≠ 𝑛 𝑖=1 Sous la forme algébrique suivante : Pour sélectionner un portefeuille, il faut donc résoudre le problème de maximisation sous contrainte suivant : En utilisant la programmation quadratique : Dans la pratique, nous cherchons tous les portefeuilles qui minimisent la variance pour une espérance donnée. Nous obtenons alors une fonction de l'espérance en fonction de la variance pour les portefeuilles optimaux si nous traçons cela sur un graphique. Cette fonction est souvent assimilée par les financiers à une frontière comme le précise la définition qui suit. La frontière qui caractérise le polygone ou la courbe des contraintes s'appelle dans cette situation la "frontière efficiente (de Markowitz)" et dans le polygone/courbe se situent tous les portefeuilles à rejeter dits "portefeuilles dominés". Une autre manière de formuler ceci consiste à dire que les combinaisons (rendement, risque) de cette frontière forment un ensemble d'optimum de Pareto, c'est-à-dire que si l'un des éléments augmente, l'autre doit augmenter aussi.
  • 9. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 9 Maintenant, formalisons l'optimisation, soit Z la fonction économique précitée : Qui doit être maximisée sous la contrainte que et où est un paramètre qui représente le degré d'aversion au risque des investisseurs. Le problème de maximisation sous contrainte consiste à maximiser la fonction économique Z définie par : Cette fonction de n + 1 variables ( ) est maximisée si sa dérivée (partielle) par rapport à chacune de ces variables est nulle, ce qui revient à poser le système suivant : Posons : Nous pouvons alors écrire :
  • 10. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 10 Soit sous forme matricielle : Soit désormais : Et Dans ce cas, le système d'équations à résoudre peut se résumer sous la forme matricielle : Par conséquent : La détermination du poids de chacun des n actifs susceptibles d'entrer dans la composition d'un portefeuille passe donc par l'inversion d'une matrice carrée de n + 1 lignes et n + 1 colonnes comportant covariances (la diagonale comportant des variances seulement et la matrice étant symétrique !). Cependant, même une fois la pondération des actifs terminée, le problème lui ne l'est pas complètement. Effectivement, nous pouvons donc connaître la frontière efficiente mais le client va lui imposer une contrainte bien logique au niveau du risque nul de son portefeuille et du rapport rendement/risque maximum.
  • 11. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 11 Compte tenu de la lourdeur des calculs nécessaires à l'inversion de la matrice A, Sharpe3 a proposé un modèle simplifié que nous verrons après. Nous devons maintenant calculer le rendement moyen du portefeuille selon : Cette relation est un peu longue à saisir, et le sera davantage si nous avons un nombre bien plus important de titres. Dans notre cas, il s'agit de faire la somme des produits terme à terme de deux plages de cellules ( et ) ayant la même dimension (même nombre de lignes et même nombre de colonnes). Pour la variance du portefeuille, c'est un peu plus compliqué puisqu'il s'agira de calculer : La relation développée nous donne : L'astuce pour appliquer consiste à utiliser l'algèbre linéaire et écrire cette relation sous forme matricielle comme nous l'avons démontré : Soit sous forme matricielle explicite : 3 William Forsyth Sharpe, né à Boston le 16 juin 1934, est un économiste américain, lauréat du Prix de la Banque de Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel. Il a travaillé sur la théorie financière. Son ratio de Sharpe permet de mesurer la rentabilité d'un portefeuille au regard du risque pris.
  • 12. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 12 4 Section II : Le modèle de diversification efficiente de Sharpe (modèle unificateur) I. Le modèle de William Sharpe L'utilisation du modèle de Markowitz, soulevait de nombreux problèmes. Ces problèmes étaient de deux ordres : 1. L'ampleur des matrices requérait à l'époque un calculateur de grande capacité et un temps de calcul assez long ! 2. L'utilisation du modèle de base requérait que l'on connaisse dans son entièreté la matrice des covariances. Le principal problème qui se pose à ce propos réside tant dans le nombre des estimations à fournir que dans la difficulté de réaliser des estimations précises et surtout cohérentes. Si nous voulons que l'approche proposée par Markowitz puisse entrer dans le domaine de l'application, il faut de toute évidence trouver les moyens d'alléger notablement la procédure tout en perdant le moins possible de la rigueur de la méthode. William Sharpe a proposé en 1963 une solution dont la caractéristique essentielle consiste à faire l'hypothèse que les returns des diverses valeurs sont exclusivement liés entre eux par leur commune relation avec un facteur de base sous-jacent qui permet de déterminer un coefficient appelé le "bêta" c’est la corrélation entre le rendement d'un titre et celui du portefeuille de marché. Cette hypothèse purement empirique appelée "modèle à un indice" a revêtu par la suite une importance considérable, car elle a été, comme on le verra dans les développements ultérieurs, à la base de la théorie de la formation des prix des titres financiers dans un univers incertain. 4 Fatou Dioffé Bâ & Abdoulaye Wade, le modèle de Markowitz et détermination d’un portefeuille optimal. PhD thesis , Université Gaston Berger, 2012, paragraphe modifié.
  • 13. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 13 Le terme "unifactoriel" vient donc du fait qu'à la base le but du modèle de Sharpe est de définir le rendement d'un placement financier en fonction de son risque non diversifiable, assimilé au seul risque de marché donné par un nombre appelé "coefficient bêta". Les investisseurs et gestionnaires distinguent trois sortes de risques : 1. Le "risque spécifique" relatif au titre lui-même appelé aussi "risque non systématique" ou "risque idiosyncratique". 2. Le "risque systématique/non diversifiable" relatif à l'économie/marché au sens le plus large. 3. Le "risque global" qui est en quelque sorte la somme des deux. Pour déterminer le facteur risque, on utilise la variation du rendement de titre financier par rapport à la variation du rendement du marché dans sa globalité. Un titre financier dont le cours fluctue souvent et dont la volatilité est grande présente donc certainement un risque élevé. Le "coefficient bêta" mesure la dépendance entre le rendement d'un titre financier ou un portefeuille et le rendement d'un indice de référence et constitue la pente d'une droite appelée SCL "Security Characteristic Line" : Ce coefficient est bien évidemment d'autant plus utile que l'horizon de prévision futur est éloigné et que la fréquence d'observation est petite. Ce coefficient est aussi parfois appelé "volatilité relative".
  • 14. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 14 Figure 1: Graphique du coefficient bêta Source : http://gestion.coursgratuits.net/economie/modele-de-diversification-efficiente-de-sharpe.php L'indice de référence est choisi de la manière la plus pertinente possible avec ce que cela implique... Si possible lorsque le rendement de l'indice est nul, la variation de la valeur du portefeuille ou de titre devrait aussi être nulle. Une simple analyse du graphique montre donc qu'un coefficient bêta égal à 1 pour un titre donné signifie qu'une augmentation de 10 % du return des titres sur le marché pendant une certaine période se traduira par une augmentation de 10 % en moyenne du rendement de ce titre. Donc la volatilité de titre est égale à celle de l'indice. Un bêta supérieur à 1 signifie que l'évolution du return de l'actif financier est plus volatile que celle du return du marché, tandis qu'un bêta inférieur à 1 révèle l'inverse. Ainsi, un fonds ayant un bêta de 1.15 est de 15% plus volatil que l'indice. Inversement, un fonds ayant un bêta de 0.70 est 30% moins volatile que l'indice. Donc en constate que : 1. Un investissement ne présentant aucun risque afficherait donc un bêta nul ! 2. Un bêta inférieur à 1 indique que si le marché est à la baisse, le titre sera susceptible de baisser moins que le marché.
  • 15. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 15 3. Un bêta supérieur à 1 indiquera que si le marché est à la hausse, le titre sera susceptible de suivre moins rapidement la tendance à la hausse. Le concept de bêta ayant été introduit, passons maintenant à la théorie du modèle qui a pour objectif donc de simplifier celui de Markowitz en utilisant ce fameux coefficient. Par définition, le bêta global d'un portefeuille est déterminé à partir des bêtas pondérés respectifs de chacun des titres ou bêta sous-jacents qui le composent tel que : le modèle unifacteur de Sharpe. Si les rendements sont explicitement donnés et donc connus l'espérance se calculera avec : Comme le client va souvent chercher à maximiser l'espérance tout en minimisant la variance, il nous reste à déterminer cette dernière. Étant donné que maintenant supposons explicitement connus les rendements des actifs financiers du portefeuille et les rendements du portefeuille du marché nous avons : Si l'indice I est correctement choisi, lorsque 𝐼 = 0 nous devons avoir 𝑅𝑖 = 0 ce qui implique 𝛼𝑖 = 0. Ainsi :
  • 16. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 16 Finalement : Ce qui donnerait donc pour un portefeuille comportant deux titres : Nous pouvons condenser la notation de la variance en utilisant les notations matricielles en notant d'abord respectivement le vecteur transposé et le vecteur colonne des poids des actifs du portefeuille par : Et en en définissant la matrice du bêta : Ce qui nous donne finalement : Ce qui donne pour un portefeuille de deux titres :
  • 17. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 17 Nous retrouvons donc bien la même chose que la forme algébrique. II. Le ratio de Sharpe Pour finir, signalons que les financiers utilisent souvent les indicateurs de rendement modéré par le risque, le plus répandu au niveau international étant le "ratio de Sharpe". Il est déterminé par le rapport entre le rendement différentiel du rendement d'un placement (titre) sans risque et le rendement du marché (appelé le "benchmark") et la déviation standard du placement sans risque : C’est une relation qui exprime le niveau de rendement pur par unité de volatilité. Pour simplifier, c'est un indicateur marginal de la rentabilité obtenue par unité de risque pris dans cette gestion. - Si le ratio est négatif, le portefeuille a un référentiel et une situation très mauvaise. - Si le ratio est entre 0 et 0.5 c’est-à-dire que le risque pris est trop élevé pour le rendement obtenu sur le portefeuille.
  • 18. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 18 - Si le ratio est supérieur à 0.5le risque n’est pas trop élevé pour le rendement obtenu sur le portefeuille. Il existe un autre indicateur courant qui est le "tracking error" et défini comme étant l'écart-type de l'écart de performance entre le portefeuille et le benchmark. Plus le tracking error est faible, plus le fond ressemble à son indice de référence en termes de risque : 5 III. Le ratio de Treynor et L’alpha de Jensen C’est un ratio qui permet d'évaluer la rentabilité d'un portefeuille par rapport au risque engagé. Il était proposé en 1965 par l'économiste Jack Treynor6 , a l’instar des ratios de Jensen7 et de Sharpe. Le ratio de Treynor se calcule comme suit : RTp = Rp − Rf βp RTp : Ratio de Treynor Rp : Rentabilité du portefeuille p Rf : Taux sans risque βp : Bêta du portefeuille p Si le ratio de Treynor est élevé, le portefeuille présente une rentabilité forte par rapport au risque encouru. 5 Cours d’économie : Modèle de diversification efficiente de Sharp, du Web site : http://gestion.coursgratuits.net/economie/modele-de-diversification-efficiente-de-sharpe.php (Consulté le 20 Mars 2018), paragraphe modifié. 6 Jack Lawrence Treynor (né le 21 Février, 1930) est le président de Treynor Capital Management, Palos Verdes Estates, CA. Il est rédacteur en chef et membre du conseil consultatif du Journal of Investment Management, etest Senior Fellow de l'Institut pour la recherche quantitative en finance. Il a servi pendant de nombreuses années comme l'éditeur du Journal de l'Institut CFA des théories financière. 7 Michael Jensen est né le 30 novembre 1939 à Rochester dans le Minnesota. Il a joué un rôle académique important au sujet du modèle d'évaluation des actifs financiers, des politiques de stock-options, dans la gouvernance d'entreprise, et a créé un indicateur de performance des gestionnaires d'actifs, l'alpha de Jensen
  • 19. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 19 Ce ratio représente le rapport entre l'excès de rendement du portefeuille vis-à-vis le marché et son bêta. Donc se ratio correspond à la prime de rendement du portefeuille par rapport à celui d'un investissement dans un actif sans risque, par unité de risque de marché. Le ratio de Treynor utilise le bêta du portefeuille comme dénominateur au lieu de l'écart-type, le ratio de Treynor ressemble beaucoup au ratio de Sharpe. Ainsi, ce ratio analyse la volatilité relative du portefeuille vis-à-vis de l'indice de référence et aussi la volatilité du portefeuille. En utilise le ratio de Treynor pour un portefeuille bien diversifié par rapport à son marché de référence8 . L’alpha de Jensen est un ratio proposé en 1968 par Michael C. Jensen qui permet d’évaluer la performance d’un portefeuille des titres financiers à l'instar des ratios de Sharpe ou de Treynor. 𝛼 𝑝 = 𝑟̅𝑝[𝑟𝑓 + 𝛽 𝑝(𝑟̅ 𝑚 − 𝑟𝑓)] 𝛼 : L'alpha de Jensen 𝑟̅𝑝: La rentabilité espérée du portefeuille 𝑟𝑓: Le taux sans risque 𝛽 𝑝 : Le bêta du portefeuille 𝑟̅ 𝑚: La rentabilité espérée du marché, de l'actif 9 Section III: La Value at Risk I. La définition de la Value at Risk La VaR c’est un outil qui permet de traduire un risque de perte d’un portefeuille ou d’une position (Devises, Actions, Obligation, Options) en un montant unique. Cet outil, donne 8 Gestion du portefeuille est analyse du risque : Ratio de Traynor, de Web site : https://www.abcbourse.com/apprendre/19_ratio_de_treynor.html (Consulté le 22 Mars 2018), paragraphe modifié. 9 Gestion du portefeuille et analyse du risque : L'alpha de Jensen, pour évaluer des actifs financiers https://www.abcbourse.com/apprendre/19_alpha_de_jensen.html(Consulté le 22 Mars 2018). Paragraphe modifié.
  • 20. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 20 directement à un investisseur ou un gestionnaire une indication simple et compréhensible d’un risque de perte. Elle représente un risque lié aux fluctuations de prix des actifs. Les facteurs qui impactent ces variations de prix sont généralement des taux de change, des taux d’intérêts, etc. La VaR n’est pas réellement pertinente si elle n’est pas présentée avec d’autres indicateurs de risque tels que le ratio de Sharpe et le ratio de Treynor. Figure 2: Graphique de Value at Risk Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Value_at_risk II. L’historique de la Value at Risk Durant les années 80, les outils de la gestion de risque n’étaient pas efficaces et ne répondaient plus aux expectatives des différents acteurs du domaine financier. Les anciens outils ne permettaient aucune comparaison entre les actifs. De plus l’apparition des produits dérivés, l’augmentation de la volatilité sur les marchés ainsi que plusieurs crises financières comme le cas de la banque Barings qui ont poussés le développement d’un indicateur qui permettrait de regrouper un risque financier en un seul montant. En ce qui concerne l’évolution de la VaR :
  • 21. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 21  La banque JP Morgan est considérée comme la pionnière de la VaR. La banque décida de développer son propre programme de gestion financière « RiskMetrics », Qui regroupe un nombre important de données financières dont la méthodologie pour calculer une VaR,  Les accords de Bâle I de 1996 autorisent les institutions financières à utiliser la VaR comme mesure de risque,  Aujourd’hui elle continue à évoluer. III. Les Méthodes de calcul de la Value at Risk : La VaR est à l’origine un calcul de probabilité, ces modèles de probabilité sont des lois mathématiques qui permettent d’attacher des probabilités à des variables aléatoires. Donc ce qu’il faut retenir c’est que le modèle usuellement utilisé est la loi normale (de Gauss) qui possède des distributions se prêtant bien au calcul de la VaR. D’ailleurs des tableurs comme Excel proposent des formules qui intègrent directement cette loi dans des calculs. Figure 3: Loi normale Source : https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_normale Dans le contexte de la VaR, cette courbe modélise la distribution des rendements. Autrement dit, plus nous sommes vers les extrêmes, plus les fréquences des rendements est faible, au contraire, plus nous nous trouvons vers le milieu (moyenne) la fréquence des rendements est élevée. Ce modèle dépend de deux paramètres : La volatilité et la moyenne. La volatilité : Cet indicateur introduit le risque d’un actif, concrètement il mesure les écarts de performance d’un actif autour de sa moyenne. Il s’agit de l’écart-type des rendements.
  • 22. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 22 𝜎 = √ 1 𝑛 ∑ ( 𝑥𝑖 − 𝑥̅)2 𝑛 𝑖=1 La moyenne : Cet estimateur s’agit de la somme des variables devisée par leurs nombres. Dans le domaine bancaire on utilise cette moyenne surtout pour déterminer un rendement moyen. 𝑥̅ = 1 𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑛 𝑖=1 1. La Value at Risk historique Elle se base sur les variations historiques des rendements (cours, taux de change, etc.). Le but de ce modèle est de faire ressortir la valeur correspondant au seuil de confiance désiré. Pour illustrer ce calcul, nous avons choisi un titre suisse ABB, qui figure dans la SMI10 . Nous avons pris 504 cours journaliers afin de calculer la VaR historique. Le portefeuille est uniquement constitué de titres ABB et vaut 10000 CHF. Il faut en premier lieu obtenir les cours historiques pour un titre en question. Il faut prendre un minimum de 250 données pour que les résultats soient pertinents. Dans notre cas, nous avons sélectionné 504 données (deux années complètes de jours ouvrés). Ensuite, il faut calculer les rendements journaliers pour ces cours. 10 Swiss Market Index : indice boursier suisse qui comprend les vingt plus grosses capitalisations boursières suisses.
  • 23. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 23 Tableau 1: Rendements journaliers du titre ABB Dates Cours de Clôture Rend. Journ. 26.09.2006 27.09.2006 28.09.2006 29.09.2006 02.10.2006 03.10.2006 04.10.2006 05.10.2006 06.10.2006 09.10.2006 10.10.2006 12.94 12.87 12.98 12.84 12.82 12.84 12.99 13.16 13.3 13.39 13.41 -0.54% 0.85% -1.08% -0.16% 0.16% 1.17% 1.31% 1.06% 0.68% 0.15% Les rendements journaliers se déterminent en calculant la variation de valeur d’une date à une autre. On utilise la formule suivante : Jour2−Jour1 Jour1 Il faut transformer les rendements en valeurs, pour déterminer les plus mauvaises performances réalisées. Il suffit de multiplier la valeur du portefeuille avec les rendements. On multiplie 10000 par -0,54%. Tableau 2: Performances du titre ABB Dates Cours de clôture Rend. Journ. Performances 26.09.2006 27.09.2006 28.09.2006 29.09.2006 02.10.2006 03.10.2006 04.10.2006 05.10.2006 06.10.2006 09.10.2006 12.94 12.87 12.98 12.84 12.82 12.84 12.99 13.16 13.3 13.39 -0.54% 0.85% -1.08% -0.16% 0.16% 1.17% 1.31% 1.06% 0.68% -54.09582689 85.47008547 -107.8582435 -15.57632399 15.60062402 116.8224299 130.8698999 106.3829787 67.66917293
  • 24. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 24 10.10.2006 13.41 0.15% 14.93651979 Puis il faut classer ces performances, pour pouvoir trouver celle qui nous intéresse. Un ordre croissant va nous permettre d’avoir les performances classées de la plus mauvaise au meilleur. Au final, le but est de trouver la valeur correspondant au 95% du total des performances (504 valeurs). Cette valeur nous donne la VaR historique à un jour pour ce portefeuille. La dernière étape consiste uniquement à transformer cette VaR à un jour pour l’horizon temporel souhaité. La formule est la suivante : VaR à N jours = VaR à 1 jour ∗ √N 2. La simulation de Monte Carlo La méthode de simulation de Monté Carlo est adaptée plus aux produits optionnels. Une option offre à son détendeur le droit, et non l’obligation, d’acheter ou de vendre à une date future spécifiée, un actif (sous-jacent) à un prix fixé (prix d’exercice) au moment de la conclusion du contrat. Il existe deux types d’options selon que celle-ci permet d’acheter (on parle d’option d’achat ou de call) ou de vendre (on parle d’option de vente ou de put) l’actif sous-jacent. Voici un exemple simplifié de simulation de Monte Carlo pour déterminer la VaR d’une option. Tableau 3: Informations pour la simulation de Monte Carlo Prix actuel du sous-jacent Volatilité annuelle Rendement moyen Échéance Prix exercice Delta Notionnel 100 15.00% 10.00% 1 mois 102 0.2 10 000 000
  • 25. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 25 Ce tableau présente les données relatives à l’option. Ces informations vont nous permettre de générer la simulation. Tableau 4: Étapes principales pour une simulation de Monte Carlo Nombres aléatoires Processus de Wiener Prix du sous-jacent simulé 0.24938742 0.398144283 0.27729853 0.004749453 0.391482841 0.9457897 0.964294053 0.904554434 0.279746923 0.790793285 0.167450039 0.202525932 0.719835419 0.062616231 0.780980712 -0.676418713 -0.258153341 -0.590885621 -2.593556039 -0.275456316 1.605332728 1.80284924 1.307947453 -0.583593483 0.809176849 -0.964290947 -0.832632784 0.582352659 -1.53317614 0.775509631 97.83 99.62 98.19 90.04 99.58 107.99 108.92 106.61 98.22 104.33 96.62 97.17 103.31 94.27 104.18 Les trois étapes principales à la création d’une simulation de Monte Carlo sont dans le tableau ci-dessus. Premièrement, nous simulons des nombres aléatoires entre 0 et 1 grâce à la formule prévue sur Excel. =alea () Par extrapolation nous avons la valeur de ces chiffres dans la loi normale. Cette opération s’intitule le processus de Wiener. =LOI.NORMALE.INVERSE(chiffre aléatoire ;0 ;1) Finalement, nous pouvons simuler le prix du sous-jacent de l’option. La formule nécessite plusieurs informations que nous avons présenté auparavant (échéance, volatilité, rendement). Prix simulé = Prix actuel * exponentiel (rendement-0.5 * volatilité 2) + volatilité * processus de Wiener *√ échéance.
  • 26. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 26 La dernière étape consiste à calculer la perte maximum liée à l’option et de sélectionner la perte pour l’intervalle de confiance voulu. VaR Absolu 95% VaR Relative 95% -6.831 -5.521 L’interprétation de ces résultats diffère de celle d’une action classique. En effet, la nature de cette option est une vente de call à découvert, en terme plus simple, nous spéculons sur la baisse de valeur de l’option. Dans notre cas les 6.83 représente le montant maximum que l’option risque de prendre comme valeur jusqu’à son échéance. 3. La Value at Risk paramétrique (variance/covariance) La dernière méthode, paramétrique part de l’hypothèse que la distribution des rendements dépend de la loi normale. Ce modèle va se baser sur plusieurs estimateurs statistiques dont la variance, l’écart-type ainsi que la moyenne. La mise en commun de ces éléments permet de déterminer une VaR. Ce modèle se complexifie selon la taille d’un portefeuille. Pour une seule position le calcul est relativement simple. Les tableurs comme Excel intègrent une formule qui permet de calculer directement une VaR paramétrique pour une position. Si on possède un portefeuille, il faut passer par une matrice de variance/covariance, afin de déterminer la variance du portefeuille et ainsi pouvoir déterminer un écart-type. Dans l’exemple ci-dessous, le portefeuille ne possède qu’une seule position, il s’agit du titre ABB présent également dans l’exemple de la VaR historique susdit. Tableau 5: Informations pour la méthode paramétrique Valeur du portefeuille Seuil de confiance Écart-type Variance Horizon temporel 10 000 95% 2.05% 0.04% 10 jours
  • 27. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 27 La valeur du portefeuille, le seuil de confiance ainsi que l’horizon temporel sont les paramètres choisis par l’utilisateur. Par contre, l’écart-type et la variance sont calculés sur la base des cours historiques d’ABB. La formule suivante nous permet d’extrapoler une Value at Risk des renseignements ci-dessus. =LOI.NORMALE. INVERSE (probabilité, espérance, écart-type) · La probabilité se traduit par la différence entre 1 et notre seuil de confiance. · L’espérance représente la multiplication entre la valeur du portefeuille et la variance +1. · L’écart-type qui nous intéresse dans cette formule, est l’écart-type de l’ensemble du portefeuille et non pas d’une seule position. C’est la raison pour laquelle, on multiplie l’écart- type d’un titre avec la valeur totale du portefeuille. Ensuite il nous reste plus qu’à déterminer la VaR à 10 jours pour obtenir les résultats suivants : 10 jours % du portefeuille VaR paramétrique à 95% 1'051.16 10.51%11 Section IV : Le Modèle D’évaluation des Actifs Financiers (MEDAF) I. L’équilibre de marché MEDAF Modèle d'évaluation des actifs financiers (MEDAF) ou Le "Capital Asset Pricing Model" (CAPM) c’est le modèle d’évaluation le plus connus et le plus utilisé, crée par Sharpe, Linter, et Mossin dans les années 60 et basé sur la théorie moderne du portefeuille de Markowitz. Le modèle de MEDAF est basé sur les investisseurs sont rémunérés par la valeur temps de l'argent et par le risque. La valeur temps de l'argent est représentée par le taux sans risque, qui correspond généralement au taux de placement le plus faible mais le moins risqué. Le modèle de MEDAF a des hypothèses : H1 : Les investisseurs composent leurs portefeuilles en se préoccupant exclusivement de l'espérance et de la variance de rendement de ces derniers. H2 : Les investisseurs sont averses au risque : ils n'aiment pas le risque. 11 Diego Trigo da Silva, mémoire : La Value at Risk, un outil de gestion du risque discutable ? Haute École de Gestion de Genève (HEG-GE), 3 Octobre 2008, paragraphe modifié.
  • 28. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 28 H3 : Il n'y a pas de coût de transaction et les actifs sont parfaitement divisibles. H4 : Ni les dividendes, ni les gains en capitaux ne sont taxés. H5 : De nombreux acheteurs et vendeurs interviennent sur le marché et aucun d'entre eux ne peut avoir d'influence sur les prix. H6 : Tous les investisseurs peuvent prêter ou emprunter le montant qu'ils souhaitent au taux sans risque. H7 : Les anticipations des différents investisseurs sont homogènes. H8 : La période d'investissement est la même pour tous les investisseurs. 1. La droite de marché des capitaux (CML) CML c’est la droite qui relie le taux de l’argent sans risque au portefeuille de marché. La droite de marché est une frontière singulière. La somme du taux sans risque et la prime d’un risque représente la rentabilité d’un portefeuille efficiente, alors l’équation de la droite de marché des capitaux se présente comme suit : 𝐸( 𝑅 𝑃) = 𝑅𝑓 + [𝐸(𝑅 𝑀) − 𝑅𝑓] 𝜎 𝑃 𝜎 𝑀 𝑅𝑓: Rendement du titre sans risque 𝐸( 𝑅 𝑀): Espérance de rendement du marché 2. La droite de marché des titres (SML) A l’équilibre du portefeuille, la prime de risque d’un titre particulier est une proportion de la prime de risque de marché. 𝐸( 𝑅𝑖) − 𝑟𝑓 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖; 𝑅 𝑝) 𝜎 𝑃 2 [𝐸(𝑅 𝑝) − 𝑟𝑓] Le facteur de proportionnalité précise la contribution marginale du titre i au risque du portefeuille. En effet, l'accroissement en pourcentage de l'écart-type de la rentabilité du portefeuille dû à un accroissement d'un point de pourcentage de la part du titre en portefeuille :
  • 29. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 29 𝑑𝜎 𝑝/𝜎 𝑝 𝑑𝑥𝑖 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖; 𝑅 𝑝) 𝜎 𝑝 2 La « prime de risque » d'un actif dépend du risque additionnel que l'actif ajoute au risque du portefeuille où il est intégré et non pas du « risque total » intrinsèque. A l’équilibre du marché tout titre fait partie du portefeuille de marché, il est efficient. On a donc : 𝐸( 𝑅𝑖) − 𝑟𝑓 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖; 𝑅 𝑝) 𝜎 𝑃 2 [𝐸(𝑅 𝑀) − 𝑟𝑓] Si cette relation n'est pas vérifiée pour un titre i, les investisseurs peuvent battre le marché en ajoutant le titre à leur portefeuille. Et ce qui va augmenter la demande, le cours montre et la rentabilité va baissée. Donc à l’équilibre en doit vérifier cette relation par la rentabilité. 𝐸( 𝑅𝑖) − 𝑟𝑓 = [𝐸(𝑅 𝑀) − 𝑟𝑓] 𝜎 𝑀 2 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖; 𝑅 𝑀) Prime de risque = Prix du risque (mesuré par la variance) x quantités de risque (mesuré par la covariance). En peut utiliser aussi : 𝜌𝑖𝑀 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖; 𝑅 𝑀)/(𝜎𝑖 𝜎 𝑀) Soit : [𝐸(𝑅𝑖) − 𝑟𝑓] 𝜎𝑖 = 𝜌𝑖𝑀 [𝐸(𝑅𝑖) − 𝑟𝑓] 𝜎 𝑀 C'est-à-dire : le ratio de Sharpe du titre = coefficient de corrélation des rendements du titre et du marché x ratio du Sharpe du portefeuille de marché Alors à l'équilibre, tous les titres ayant le même coefficient de corrélation avec le marché ont aussi le même ratio de Sharpe. La bêta d’un titre 𝛽𝑖 représente la variation du rendement du titre par celle du marché. Et la part de « risque systématique » ou « risque non diversifiable » contenue dans le risque total du titre. Il se calcule comme suit : 𝛽𝑖 = 𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑖; 𝑅 𝑀) 𝜎 𝑀 2
  • 30. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 30 Et à l'équilibre du marché : 𝐸( 𝑅𝑖) − 𝑟𝑓 = 𝛽𝑖[𝐸(𝑅 𝑀) − 𝑟𝑓] Le modèle de marché de Sharpe est sans fondement théorique c’est un modèle statistique. Supposant que la rentabilité est normalement distribuée et que la régression linéaire par les Moindres Carrés Ordinaires (MCO) de Ri sur RM onne la relation droite caractéristique du titre suivant : 𝑅𝑖𝑡 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅 𝑀𝑡 + 𝜀𝑖𝑡 𝛼𝑖 𝑒𝑡𝛽𝑖 : Les coefficients de la régression 𝛽𝑖 est précisément égal à 𝑐𝑜𝑣(𝑅 𝑖;𝑅 𝑀) 𝜎 𝑀 2 𝜀𝑖𝑡 est le résidu, d'espérance nulle, non corrélé à Rmt. A ce point l'idée de considérer la rentabilité du titre comme décomposable en deux parts à commencer : 𝑅𝑖 = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝑅 𝑀 + 𝜀𝑖 En prenant l'espérance mathématique, on obtient𝐸( 𝑅𝑖) = 𝛼𝑖 + 𝛽𝑖 𝐸(𝑅 𝑀) II. Risque systématique et risque spécifique Il existe deux raisons principales qui influencent sur le rendement : - L'influence du marché :𝛽𝑖 mesure la sensibilité du rendement du titre au rendement du marché,  Si 𝛽𝑖 > 1 un risque systématique plus élevés que le marché alors le titre est défensif,  Si 𝛽𝑖 < 1 un risque systématique de l’investissement est inférieur à celui de tout le marché alors le titre est offensif,  Si 𝛽𝑖=1 indique que le même niveau de risque systématique avec le marché. - Des causes spécifiques : 𝜀𝑖. La variance de la rentabilité mesure le risque total du titre mesuré : 𝜎𝑖 2 = 𝛽𝑖 2 𝜎 𝑀 2 + 𝜎𝜀𝑖 2 Risque total = Risque systématique + Risque spécifique
  • 31. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 31 Le risque systématique est à l’origine lié au macroéconomique : croissance économique, mouvements de taux d'intérêt, crises, incertitudes géopolitiques... Et le risque spécifique est à l'origine lié au microéconomique : grèves dans l'entreprise, poursuites judiciaires, changements de goûts des consommateurs, contrats décrochés… En peut faire la suppression du risque spécifique par la diversification : Vu que la rentabilité d'un portefeuille à N titres calcul comme suit : 𝑅 𝑝 = ∑ 𝑥𝑖 𝑅𝑖 𝑁 𝑖=1 En séparer la rentabilité de chaque titre en Ri = αi + βi RM + εI on écrit la rentabilité du portefeuille comme : 𝑅 𝑃 = ∑ 𝑥𝑖 𝛼𝑖 + ∑ 𝑥𝑖 𝛽𝑖 𝑅 𝑀 + ∑ 𝑥𝑖 𝜀𝑖 = 𝛼 𝑝 + 𝛽 𝑝 𝑅 𝑀 + 𝜀 𝑃 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 Démonstration : ∑ 𝑥𝑖 𝛽𝑖 = ∑ 𝑐𝑜𝑣 (𝑅𝑖, 𝑅 𝑀) 𝜎 𝑀 2 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 Or, la covariance étant qu’une fonction linéaire se présente comme suit : ∑ 𝑥𝑖 𝑐𝑜𝑣( 𝑅𝑖, 𝑅 𝑀) = ∑ 𝑐𝑜𝑣( 𝑥𝑖 𝑅𝑖, 𝑅 𝑀) = 𝑐𝑜𝑣(∑ 𝑥𝑖 𝑅𝑖, 𝑅 𝑀) 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 ∑ 𝑥𝑖 𝛽𝑖 = ∑ 𝑥𝑖 𝑐𝑜𝑣( 𝑅𝑖, 𝑅 𝑀) = 𝑐𝑜𝑣(∑ 𝑥𝑖 𝑅𝑖, 𝑅 𝑀) = 𝑐𝑜𝑣( 𝑅 𝑃, 𝑅 𝑀) = 𝛽 𝑃 𝜎 𝑀 2 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 Ainsi, La moyenne pondérée des bêtas des titres qui composent un portefeuille est égale au bêta de celui-ci. D'où la vient la séparation du risque total du portefeuille en risque systématique et en risque spécifique : 𝜎 𝑃 2 = 𝛽 𝑃 2 𝜎 𝑀 2 + 𝜎𝜀𝑃 2
  • 32. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 32 Si en augmentant la part des titres dont le bêta est supérieur à 1, l'investisseur doit augmenter la composante « systématique » du risque de portefeuille. Et si en augmentant la part des titres dont le bêta est inférieur à 1, l'investisseur doit diminue la composante « systématique » du risque de portefeuille. Si la composante spécifique du risque diminue en augmentant la variété des titres en portefeuille. En mesure le risque spécifique par 𝜎𝜀𝑃 2 qui vaut : 𝜎𝜀𝑃 2 = ∑ 𝑥𝑖 2 𝜎𝜀𝑖 2 + ∑ ∑ 𝑐𝑜𝑣(𝜀𝑖, 𝜀𝑗) 𝑁 𝑗≠𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 Dans le cas d’un portefeuille équipondérant, xi = 1/N et 𝜎𝜀𝑃 2 = ∑ 𝑥𝑖 2 𝜎𝜀𝑖 2 +𝑁 𝑖=1 ∑ ∑ 𝑐𝑜𝑣(𝜀𝑖, 𝜀𝑗)𝑁 𝑗≠𝑖 𝑁 𝑖=1 On note 𝑣̅ la variance moyenne, et c̅ la covariance moyenne comme suit : 𝑣̅ = 1 𝑁 ∑ 𝜎𝜀𝑖 2 𝑒𝑡𝑐̅ = 1 𝑁² − 𝑁 ∑ ∑ 𝑐𝑜𝑣(𝜀𝑖, 𝜀𝑗) 𝑗≠𝑖 𝑁 𝑖=1 𝑁 𝑖=1 Alors, la variance du rendement du portefeuille se présente comme suit : 𝜎 𝑃 2 = 1 𝑁 𝑣̅ + 𝑁² − 𝑁 𝑁² 𝑐̅ = 1 𝑁 𝑣̅ + (1 − 1 𝑁 ) 𝑐̅ Si en augmentant le nombre de titres composant du portefeuille, alors le risque du portefeuille diminue. Et La covariance moyenne détermine le socle de risque spécifique qui subsiste après diversification. III. Implications du MEDAF et leur utilité 1. Implications du MEDAF La rentabilité espérée d’un titre ne dépend pas de son risque spécifique : 𝐸( 𝑅𝑖) = 𝑟𝑓 + 𝛽𝑖[𝐸(𝑅 𝑀) − 𝑟𝑓] La rentabilité d'un titre dépend du bêta du titre et de la prime de risque du marché. Et le bêta indique la part du risque non diversifiable.
  • 33. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 33 A l'équilibre, tous les portefeuilles et tous les titres sont sur la droite du MEDAF de SML. Figure 4: La droite du MEDAF (SML) Source : http://docplayer.fr/16629693-Le-modele-de-marche-de-sharpe.html La moyenne pondérée des bêtas des titres qui composent un portefeuille est égale au bêta de celui-ci. Le bêta du portefeuille de marché est égal à 1. Et un portefeuille efficient est composé des titres sans risques et du portefeuille de marché. Alors le bêta d’un portefeuille efficient mesure la fraction investie dans le portefeuille de marché. La valeur d'un titre ne dépend pas du taux de croissance anticipé des cash-flows futurs. Gordon-Shapiro à un modèle qui détermine le coût du capital est remis en cause et dépassé, le Coût du capital financé par action et représente par la somme du rendement en dividende et le taux de croissance anticipé du dividende. Et Le coût du capital est donné par l'espérance mathématique de la rentabilité qui dépend du bêta, de la prime de risque du marché et du taux sans risque, le coût du capital est égal à le taux sans risque plus le bêta fois la prime de risque du marché. Alors pour faire la valorisation d'un actif à partir du MEDAF : Rentabilité aléatoire du titre : 𝑅̃ = 𝑉1̃−𝑉0 𝑉0 D’où : 𝑉1 ̃ = (1 + 𝑅̃)𝑉0 Et : 𝐸(𝑉1 ̃ ) = (1 + 𝐸(𝑅̃)) 𝑉0 = (1 + 𝐸( 𝑅)) 𝑉0
  • 34. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 34 Avec : 𝐸( 𝑅) = 𝑟𝑓 + 𝛽(𝐸( 𝑅 𝑀) − 𝑟𝑓) = 𝑟𝑓 + 𝜃𝑐𝑜𝑣(𝑅̃, 𝑅 𝑀) 𝜃 = (𝐸( 𝑅 𝑀) − 𝑟𝑓 𝜎 𝑀 2 Il y a deux manières d’évaluer 𝑉0 : 𝑉0 = 𝐸(𝑉1̃) (1+𝐸(𝑅)) : Valeur actuelle au taux ajusté pour le risque de l'espérance de V1 ̃ V0 = E(V1̃)−θcov(V1̃;RM) (1+rf) : Valeur actuelle au taux sans risque de l'équivalent-certain au sens de V1 ̃. 2. L’utilité du MEDAF Malgré les difficultés à valider empiriquement le modèle, il présente au moins deux applications utiles et utilisée. En trouve la mesure de performance des gestionnaires de fonds (Sharpe 1966, Treynor 1965, Jensen 1968), et il indique que le taux d'actualisation approprié pour évaluer les revenus futurs d'un investissement ou d’une entreprise est déterminé par :  Le taux sans risque  La prime de risque du marché  Le bêta de l'entreprise ou du projet d'investissement. En peut estimer le bêta par régression sur données historiques ou inféré du bêta d'entreprises comparables. Et l'estimation pose problème car la covariance avec le marché varie dans le temps et il impose le problème d'instabilité des bêtas et les indices de marchés utilisés (CAC40...) ne reflètent pas le portefeuille de marché théorique ce qui devrait englober tous les actifs aussi les non boursiers, et enfin la prime de risque est très difficile à estimer.12 12 J-B Desquilbet. Le MEDAF- Modèle d'évaluation des actifs financiers. Université d'Artois, paragraphe modifié.
  • 35. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 35 Conclusion La théorie de Markowitz est la base de la plupart des théories qui fait la gestion de portefeuille on trouve Sharpe, Jensen, Treynor et chacun sa vision pour analyser le risque et choisir le meilleur portefeuille. Mais Sharpe et Lintner et Mossin ils ont créé un modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) qui permet d’analyser les risques systématiques et spécifiques et c’est le modèle le plus utilisé dans nos jours.
  • 36. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 36 Chapitre II : L’application des outils d’optimisation du portefeuille au marché boursier marocain Section I : La détermination de la frontière efficiente de Markowitz Nous allons considérer les prix mensuels de 10 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017. Puis, dans MS Excel, nous allons calculer les rendements des actifs (la composante j pouvant être vue comme une période temporelle) à partir des prix recueillis. Le but est donc de déterminer la frontière efficiente de Markowitz. Tableau 6 : Les prix mensuels de 10 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017 Tableau 7: Les rendements mensuels de 10 titres du MASI Tableau 8: Les paramètres mensuels de 10 titres du MASI
  • 37. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 37 Tableau 9: La matrice variances-covariances du portefeuille Position du problème : déterminer pour un rendement du portefeuille les proportions des différents titres qui minimisent le risque : Min var(Rp) sous contraintes :
  • 38. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 38 Figure 5: La frontière efficiente de Markowitz Section II : La détermination du portefeuille efficient de Sharpe Nous allons considérer les prix mensuels de 10 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017. Puis, dans MS Excel, nous allons calculer les rendements des actifs (la composante j pouvant être vue comme une période temporelle) à partir des prix recueillis. Le but est donc de déterminer le modèle unificateur de Sharpe. Tableau 10:Les prix mensuels de 10 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017
  • 39. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 39 Tableau 11:Les rendements mensuels de 10 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017 Tableau 12:Les paramètres mensuels de 10 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017 Tableau 13:La matrice des bêtas du portefeuille
  • 40. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 40 Position du problème : déterminer pour un rendement du portefeuille les proportions des différents titres qui minimisent le risque : Min var(Rp) sous contraintes : Figure 6 : La frontière efficiente des ratios de Sharpe
  • 41. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 41 Figure 7: Comparaison des deux frontières efficientes (Markowitz ; Sharpe) On constate que les frontières donnent des résultats différents, ceci est dû essentiellement à l’importance de l’indice MASI dans l’analyse.
  • 42. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 42 Section III : Le calcul de la Valeur at Risk (VaR) Nous allons considérer les prix mensuels de 5 titres du MASI de Janvier à Octobre 2017. Puis, dans MS Excel, nous allons calculer les rendements des actifs (la composante j pouvant être vue comme une période temporelle) à partir des prix recueillis. Le but est donc de déterminer la Value at Risk du portefeuille composé de 5 actions selon les méthodes historiques, paramétriques et Bootstrap. I. La VaR selon la méthode historique Tableau 14: La VaR selon la méthode historique Il y a 99% de chances que la perte subie n'excède pas 12460 Dh dans les 10 prochains jours sur un portefeuille valorisé à 200000 Dh. Il y a 95% de chances que la perte subie n'excède pas 8777 Dh dans les 10 prochains jours sur un portefeuille valorisé à 200000 Dh.
  • 43. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 43 II. La VaR selon la méthode paramétrique Tableau 15: Calcul de la VaR selon la méthode paramétrique Tableau 16: Calcule des paramètres de la VaR selon la méthode paramétrique Tableau 17: La matrice variances-covariances de la VaR selon la méthode paramétrique
  • 44. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 44 Il y a 99% de chances que la perte subie n'excède pas 18215 Dh dans les 10 prochains jours sur un portefeuille valorisé à 200000 Dh. Il y a 95% de chances que la perte subie n'excède pas 12878 Dh dans les 10 prochains jours sur un portefeuille valorisé à 200000 Dh. III. La VaR selon la méthode Bootsrap Tableau 18: Calcule de la VaR selon la méthode Bootsrap
  • 45. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 45 Il y a 99% de chances que la perte subie n'excède pas 18283 Dh dans les 10 prochains jours sur un portefeuille valorisé à 200000 Dh. Il y a 95% de chances que la perte subie n'excède pas 12164 Dh dans les 10 prochains jours sur un portefeuille valorisé à 200000 Dh. Tableau 19: Comparaison des trois approches de calcul de la VaR Approche historique Approche variances- covariances Approche Bootsrap VaR (95%) -8776.69 VaR (95%) -12878.55 VaR (95%) -12164.02 VaR (99%) -12459.55 VaR (99%) -18214.38 VaR (99%) -18282.54 La VaR calculée par la méthode Bootstrap est presque similaire à la VaR calculée par la méthode variances-covariances, par contre la VaR calculée par la méthode historiques est inférieur aux VaR calculées par les autres méthodes. Ceci est du fort probablement à l’échantillon de l’historique des données qui ne couvre pas une période assez grande. Section IV : L’applicabilité du Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) au marché boursier marocain Les tests de validité du modèle d’équilibre : Le modèle d’équilibre appelé le MEDAFE (Modèle d’Évaluation des Actifs Financiers à l’Équilibre) fait l’objet d’une littérature abondante et de nombreux tests économétriques sont proposés. Dans cette section, nous présentons deux tests économétriques qui vont permettre de juger de la validité du modèle présenté au paragraphe précèdent. - Le premier test empirique permet de juger de la pertinence de la spécification du modèle. Selon le modèle d’équilibre des actifs financiers, la courbe empirique joignant ces points doit être linéaire et avoir une pente positive s’interprétant comme la prime de risque du marché. Le terme constant (ordonnée à l’origine) doit égal au taux d’intérêt de l’actif non risqué. Soit le modèle à estimer en coupe instantanée :
  • 46. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 46 Ri ̅ = γ0 + γ1βi + ui Avec : Ri ̅ : Rentabilité moyenne de l’action i, βi: Valeur estimée du bêta pour cette action, ui: Terme aléatoire répondant aux hypothèses habituelles. Donc, si le modèle d’équilibre est vérifié, le coefficient γ0 doit être égal à la rentabilité de l’actif non risqué (taux d’intérêt du marché monétaire) ; quant au coefficient γ1, il s’interprète comme étant la différence entre la moyenne de la rentabilité des actions composant le portefeuille et la rentabilité de l’actif non risqué. - Le deuxième test permet de juger de la rémunération du risque non systématique. Nous cherchons à estimer la relation qui existe entre la rentabilité d’une action et le risque qui lui est attaché. Cette rémunération doit être nulle en moyenne si le modèle d’équilibre est valide. Nous spécifions le modèle suivant : Ri ̅ = γ0 + γ1βi + γ2σi + ui Où σi est l’écart type du rendement de l’action i (cet écart type étant représentatif du risque non systématique). Donc, le modèle d’équilibre des actifs financiers décrit la réalité si le coefficient γ2n’est pas significativement différent de 0. Les données utilisées Les données utilisées sont les prix des actions composant l’indice MADEX à la bourse de Casablanca, les données sont en mois représentant les 5 dernières années. Tableau 20: Statistiques descriptives des rendements
  • 47. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 47 Établi par nos soins Durant la période étudiée et en termes de rendements moyens, les actions les plus rentables sont la SNEP, HPS, La CTM et COSUMAR, par contre les actions les plus risquées ou volatiles sont la SNEP, SCM, IBC et SONASID.
  • 48. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 48 I. Estimation empirique (par les MCO) des coefficients bêtas du premier modèle L’estimation du modèle (1) suivant nous conduit aux résultats présents dans le tableau 21. Rit = αi + βiRMt + εit, (1) Avec : Rit: Rendement de l’action i pour la période t, RMt: Rendement du portefeuille de marché (indice du marché) pour la période t, αi, βi: Coefficients du modèle, εit: Erreur de spécification.
  • 49. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 49 Tableau 21:Résultats des estimations des bêtas (MCO et MCG) Nous avons utilisé la méthode des Moindres Carrés Ordinaires et le cas échéant, si le test de Durbin et Watson (les conditions d’utilisation ici sont satisfaites) laisse présager d’une
  • 50. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 50 autocorrélation des erreurs, la méthode des Moindres Carrés Généralistes (technique de Cochrane Orcutt). Ici : d1= 1,65 ; d2= 1,69 ; 4-d2 = 2,35 ; 4-d1 =2,31. Sur le tableau nous avons donc reprise les différents éléments utiles à l’interprétation. - Pour les MCO : le coefficient de régression (le bêta), le t de Student afférent à ce coefficient, la statistique de Durbin et Watson. - Pour les MCG, en cas d’autocorrélation des erreurs avérée : le coefficient de régression (bêta), le t de Student afférent à ce coefficient, le coefficient estimé σ du processus autorégressif, la statistique de Durbin et Watson. Remarques : Nous constatons que toutes les betas sont significativement différentes de 0 à l’exception de des actions CRS, IBC, LABELVIE et MANAGEM, ces actions seront donc éliminées des analyses suivantes. Les bêtas des actions HOLCIM, CMT, SNEP, et MANAGEM sont plus élevé, ces titres sont donc agressifs par rapport au marché. Les bêtas les plus faibles mais significativement différent de 0 est ceux des actions ALIMUNIUM, AUTOHALL, IBC et COLORADO, ces titres sont qualifiés de défensif. Nous constatons que le principe de la diversification fonctionne assez bien, car notre portefeuille a un bêta de 0,85 proche de 1. Le portefeuille se comporte d’une façon assez similaire au marché. II. Estimation empirique du deuxième modèle Nous pouvons appliquer la formule σi 2 = βi 2 σM 2 + σεi 2 (2) connaissant les betas de chaque action, la variance du rendement portefeuille (variance de Rindice) : σM 2 = 0,0011 et la variance du rendement de chaque action. Les résultats sont présentés sur le tableau 22.
  • 51. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 51 Tableau 22: Décomposition des risques de détention des actions𝛔 𝐌 𝟐 = 𝟎. 𝟎𝟎𝟏𝟏 Nous constatant à la lecture des résultats que l’action la plus risquée est celle de l’Action SCM ; 100% de sa volatilité est expliquée par ses caractéristiques propres. En revanche,l’Action HOLCIM est la moins risquée car 49% de sa volatilité est expliquée par ses caractéristiques propres, le reste étant expliquée par les variations du marché.
  • 52. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 52 Les données permettant d’estimer les modèles (3) et (4) sont présentées sur le tableau 23. Tableau 23: Données pour estimer les modèles (3) et (4)
  • 53. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 53 III. Estimation empirique du troisième modèle L’estimation du modèle (3) suivant nous conduit aux résultats présents dans le tableau 24 : Ri ̅ = γ0 + γ1βi + ui (3) Tableau 24: Résultats des estimations du troisième modèle Variables Coefficients t de Student Constante 0,005 1,835 𝛃𝐢 0.000105 0.036 Aucun des deux coefficients n’est significativement différent de 0. IV. Estimation empirique du quatrième modèle L’estimation du modèle (4) suivant nous conduit aux résultats présents dans le tableau 25 : Ri ̅ = γ0 + γ1βi + γ2σi + ui(4) Tableau 25: Résultats des estimations du quatrième modèle Variables Coefficients T de Student Constante 0,0001888 0,042 𝛃𝐢 -0,001 -0,327 𝛔𝐢 0.073 1,421 Seule la constante est significativement différente de 0. Sur cet échantillon nous constatons que le modèle d’équilibre n’est pas validé. Les coefficients qui devraient être significativement différents de 0 ne le sont pas.
  • 54. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 54 Conclusion Conclusion sur les résultats du MEDAF Les écueils l’applicabilité du MEDAF sur le marché boursier marocain peuvent cités comme suit : - L’existence d’un problème majeur : le phénomène du thintrading ou l’illiquidité des titres. - Les données historiques sont parcellaires, elles ne représenteront pas une estimation correcte des anticipations des investisseurs, -Le thintrading biaise, sinon rend impossible la mesure du risque systématique pour les titres présentant une forte illiquidité, - Le thintrading affecte les indices du marché, et fait en sorte que les rendements observés ne reflètent nullement la valeur réelle du portefeuille du marché. -Le thintrading biaise sinon rend non significative la valeur de la prime de risque obtenue soit par la méthode historique (méthode du spread), soit par l’Espérance du rendement du Portefeuille de marché
  • 55. Gestion de portefeuille et des risques Falloul Moulay El Mehdi 55 Bibliographie / Webographie  BMCI Asset Management, de Web site : http://www.bmci.ma/nous-connaitre/activite- et-filiales/asset-management/ (Consulté le 27 Mai 2018)  BMCI Bourse, de Web site http://www.bmci.ma/nous-connaitre/activite-et- filiales/bmci-bourse/ (Consulté le 27 Mai 2018)  Cours d’économie : Modèle de diversification efficiente de Sharp, du Web site : http://gestion.coursgratuits.net/economie/modele-de-diversification-efficiente-de- sharpe.php (Consulté le 20 Mars 2018), paragraphe modifié.  Diego Trigo da Silva, mémoire : La Value at Risk, un outil de gestion du risque discutable ?, Haute École de Gestion de Genève (HEG-GE), 3 Octobre 2008, paragraphe modifié.  Fatou Dioffé Bâ & Abdoulaye Wade, le modèle de Markowitz et détermination d’un portefeuille optimal. PhD thesis , Université Gaston Berger, 2012, paragraphe modifié.  Gestion classique du portefeuille à la Markowitz, de Web site : http://www.africmemoire.com/part.2-chapitre-1-revue-de-la-litterature-theorique-et- empirique-803.html (Consulté le 27 Mai 2018)  Gestion du portefeuille et analyse du risque : L'alpha de Jensen, pour évaluer des actifs financiers https://www.abcbourse.com/apprendre/19_alpha_de_jensen.html (Consulté le 22 Mars 2018), paragraphe modifié.  Gestion du portefeuille est analyse du risque : Ratio de Traynor, de Web site : https://www.abcbourse.com/apprendre/19_ratio_de_treynor.html (Consulté le 22 Mars 2018), paragraphe modifié.  J-B Desquilbet. Le MEDAF- Modèle d'évaluation des actifs financiers. Université d'Artois, paragraphe modifié.  Les Echos, lexique financier, de Web site : https://www.lesechos.fr/finance- marches/vernimmen/definition_style-de-gestion-de-portefeuille.html (consulté le 27 Mai 2018)  Organigramme BMCI (01/01/2018), de Web site : http://www.bmci.ma/nous- connaitre/le-groupe-bmci/gouvernance/ (Consulté le 27 Mai 2018
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