Mesure du risque de marché d’un portefeuille d’actions (MASI)

Université CADY AYYAD
Faculté des Sciences et Techniques Marrakech
Ingénierie en Actuariat et Finance
Module : Gestion des risques ﬁnanciers
Mesure du risque de marché d’un
portefeuille d’actions (MASI)
VaR, Back-testing/Stress-testing et exigences en fonds propres
Présenté par :
Fouad HAMDOUNI
Mohamed oualid BENABADJI
Presented to
Professor: Khadija AKDIM

1
Plan
Aperçu théorique
Risque du marché
Méthodes de calcul de la VaR
Les dérivés de la VaR
| Ingénierie en Actuariat et Finance

1
Plan
Aperçu théorique
Risque du marché
Mesure du risque de marché pour un portefeuille d’indice MASI
Élaboration des données
Calcul de la VaR
Comparaison des résultats obtenues

1
Plan
Aperçu théorique
Risque du marché
Calcul de la VaR
Back-test et Stress-test
Déﬁnition du Back-test
Déﬁnition du Stress-test
Test de validité
Implémentation du Back-test

1
Plan
Aperçu théorique
Risque du marché
Calcul de la VaR
Test de validité
Exigences en fonds propres
Déﬁnition des fonds propres
Méthodologie de calcul des fonds propres
Implémentation du calcul des fonds propres

1
Plan
Aperçu théorique
Risque du marché
Calcul de la VaR
Test de validité
Conclusion

2
————-

2
Ce que nous détaillons maintenant
Aperçu théorique
Risque du marché
Calcul de la VaR
Test de validité
Conclusion

3
Comité Bâle
Pilier I: L’exigence en fonds propres
FP
RM + RC + RO
≥ 8%

3
Comité Bâle
Le ratio de solvabilité
FP
RM + RC + RO
≥ 8%

3
Comité Bâle
FP
RM + RC + RO
≥ 8%
Pilier II: La procédure de surveillance prudentielle

3
Comité Bâle
FP
RM + RC + RO
≥ 8%
Le Back-testing

3
Comité Bâle
FP
RM + RC + RO
≥ 8%
Le Back-testing
Le Stress-testing

3
Comité Bâle
FP
RM + RC + RO
≥ 8%
Le Back-testing
Le Stress-testing
Pilier III: La discipline de marché

3
Comité Bâle
FP
RM + RC + RO
≥ 8%
Le Back-testing
Le Stress-testing
Pilier III: La discipline de marché
L’information est mise à la disposition du public sur les actifs

4
Risque du marché
Le risque de marché est le risque de perte qui peut résulter suite aux
variations et ﬂuctuations des paramètres du marché tel que:
Les taux d’intérêt

4
Risque du marché
Le cours d’actions

4
Risque du marché
Les cours de change

4
Risque du marché
Les cours de change
Les prix des titres de propriété et de produits de base

4
Risque du marché
Les cours de change
Les prix des titres de propriété et de produits de base
La volatilité des options correspondantes

5
Définition de la valeur à risque
La VaR se définit par la perte potentielle maximale qu’une banque ou
une institution financière peut subir dans un intervalle de temps
donné et avec un seuil de confiance donné.
C’est donc une mesure global et probabilisé du risque de marché.

5
Définition de la valeur à risque
La VaR se définit par la perte potentielle maximale qu’une banque ou
une institution financière peut subir dans un intervalle de temps
donné et avec un seuil de confiance donné.
C’est donc une mesure global et probabilisé du risque de marché.
Interprétation
En d’autres termes la VaR répond à l’affirmation suivante : « Nous
sommes certains à X% que nous n’allons pas perdre plus d’un
montant égal à la VaR sur les N prochains jours ».

6
VaR univariée
Le calcul par la méthode univariée, on considère le portefeuille
comme un actif unique.
On doit supposer que les Proﬁt-Loss à la date t est une distribution
normale d’espérance µ et de variance σ2
on obtient:
VaRt = −µ − σφ−1
(α)
µ : l’espérance de rentabilité du portefeuille

6
VaR univariée
Le calcul par la méthode univariée, on considère le portefeuille
comme un actif unique.
On doit supposer que les Proﬁt-Loss à la date t est une distribution
normale d’espérance µ et de variance σ2
on obtient:
VaRt = −µ − σφ−1
(α)
µ : l’espérance de rentabilité du portefeuille
σ: la volatilité du portefeuille

7
VaR multivariée
Le calcul par la méthode multivariée prend en compte la corrélation
entre les actifs composants le portefeuille.
VaRp = ασpP0 = α
√
xT σx
X: vecteur des valeurs des actifs

7
VaR multivariée
VaRp = ασpP0 = α
√
xT σx
σ : la matrice de variance-covariance

7
VaR multivariée
VaRp = ασpP0 = α
√
xT σx
σ : la matrice de variance-covariance
α : le seuil de conﬁance

8
Méthode historique
La VaR historique est entièrement basée sur les variations
historiques des facteurs de risque F(t).

8
Méthode historique
La VaR historique est entièrement basée sur les variations
historiques des facteurs de risque F(t).
A partir de l’historique, nous construisons implicitement une
distribution empirique.

9
Méthode de Monte Carlo
La méthode de calcul de la VaR Monte Carlo est utilisée en général
quand le portefeuille contient des produits dérivés.
Le principe consiste à simuler un grand nombre N de trajectoires
possibles d’un actif financier donné.
Pour obtenir la Value-at-Risk pour un niveau de confiance de
(100 − α)% , il suffit ensuite de sélectionner le α% ∗ N pire scénario.

10
La principale critique faite à l’encontre de la VaR est qu’elle n’est pas
une mesure de risque additive. Par exemple, pour 2 portefeuilles P1
et P2 l’axiome d’additivité n’est pas respecté; on a :
VaR(P1 + P2) = VaR(P1) + VaR(P2)
Une seconde critique de la VaR est due à sa définition même. C’est
la mesure d’une perte maximale potentielle avec un certain niveau de
confiance. Une VaR à 95% ne donne aucune idée de l’ampleur de la
perte au-delà du quantile fixé à 5%.
On va donc définir des mesures complémentaires du risque de perte
: la VaR conditionnelle (CVaR), la VaR incrémental (IVaR) et aussi la
VaR stressée.

11
La VaR conditionnelle
Pour une variable aléatoire X, la VaR conditionnelle, notée CVaR, est
déﬁnie par :
CVaR = E[−X|X < −VaR(X)]
En d’autres termes, la VaR conditionnelle peut se déﬁnir comme
l’espérance de la perte lorsque cette perte dépasse la VaR.
Puisque la VaR mesure la valeur qui sépare les (1 − α)% de la
distribution, on cherche à se focaliser sur la queue de distribution de
la perte, les α% restant, dont on ne connait ni la distribution, ni
l’espérance.
Contrairement à la VaR, la CVaR est une mesure cohérente du
risque qui respecte l’axiome d’additivité.

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VaR incrémental
Un autre outil de la gestion du risque est la VaR incrémental, notée
IVaR, qui mesure l’effet sur la VaR d’une nouvelle transaction ou de
son dénouement (adjonction ou retrait d’un actif au portefeuille).
Soit P un portefeuille d’actifs et Ai le montant investi dans un nouvel
actif i, alors la VaR incrémental peut être déﬁnit comme la différence
entre la nouvelle VaR et l’ancienne :
IVaR = VaRP+Ai
− VaRP

13
La stressed VaR
Déﬁnition
La SVaR est une VaR calculée sur une période stressée d’un an, au
niveau de conﬁance de 99% à horizon 10 jours. L’objectif est
d’évaluer les impacts de scénarios stressés sur le portefeuille et les
niveaux de marché actuels.

13
La stressed VaR
Déﬁnition
Méthodologie

13
La stressed VaR
Déﬁnition
Méthodologie
Méthodologie identique à celle de la VaR (historique), même
périmètre d’application (positions).

13
La stressed VaR
Déﬁnition
Méthodologie
Les facteurs de risque (choix et modélisation) et les
approximations de modèles sont identiques à ceux retenus pour
la VaR.

13
La stressed VaR
Déﬁnition
Méthodologie
Les facteurs de risque (choix et modélisation) et les
approximations de modèles sont identiques à ceux retenus pour
la VaR.
La méthode de détermination de la fenêtre stressée est
naturellement spéciﬁque à la SVaR.

14
Aperçu théorique
Risque du marché
Calcul de la VaR
Test de validité
Conclusion

15
Calcul des rendements
A partir des cours boursiers, on a calculé les rendements journaliers
de chaque actif composant l’indice MASI.

16
Les valeurs actuelles
On aura besoin des valeurs actuelles de chaque actif, qui se calcule
facilement en multipliant le nombre des titres et le prix.

17
Les valeurs du portefeuille
le calcul de la VaR se base sur les valeurs actuelles du portefeuille
chaque jour, qui n’est que la somme des valeurs actuelles de chaque
actif pondéré par sa composition.

18
Test de normalité des rendements

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Test de normalité des rendements
Paramètres Résultats
Kurstosis 2,722884516
Coefficient d’asymétrie 0,2937
D’après la figure précédente, on voit que la distribution des
rendements de l’actif Attijariwafa bank a une allure d’une loi normale
symétrique de kurtosis 2,72 ( proche de 3) et un coefficient
d’asymétrie de 0,29 ( proche de 0).Par conséquent, les rendements
de cet actif suivent une loi normale.
On peut étudier de la même manière la distribution des autres actifs.

20
Calcul de la VaR
Interface graphique

21
Méthode Univariée
Comme on avait expliqué au début de ce travail, la VaR univarié
prend en compte l’hypothèse que le portefeuille est un unique actif.
L’investisseur doit accepter une perte maximale dans un horizon d’un
jour qui représente 1,33% de la valeur du portefeuille.

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Méthode Variance-Covariance
Dans le cas de la VaR multivariée, le calcul se fait en prenant en
considération la corrélation entre les actifs composants le portefeuille.
Alors avant le calcul de la VaR, on était dans l’obligation de calculer la
matrice de Variance-Covariance reliant les différents actifs de l’indice.

23
Méthode historique
Le calcul de la VaR historique se base sur les données historiques
des valeurs actuelles du portefeuille. Cette dernière représente
1,52% de la valeur totale du portefeuille.

24
Méthode de Monte Carlo
Comme vu précédemment dans cette présentation, la méthode de
Monte Carlo se base sur la simulation numérique des valeurs du
portefeuilles. Le résultat obtenu représente 1,28% de la valeur totale
du portefeuille.

25

26
On peut conﬁrmer l’infériorité du résultat de la méthode multivariée
par rapport la méthode univariée qui peut être expliqué par
l’utilisation de la corrélation entre les actifs (Principe de la
diversiﬁcation). Tandis que pour le résultat de la méthode historique
qui présente la plus grande valeur peut s’expliquer par la construction
de la méthode en se basant sur des données historiques et une
interpolation linéaire des valeurs du portefeuille actuelles obtenues.

27
Aperçu théorique
Risque du marché
Calcul de la VaR
Test de validité
Conclusion

28
Le Back-test est un outil statistique qui a pour but de mesurer
l’adéquation et la validité des modèles établis. Il se base sur la
comparaison entre la VaR calculée par le modèle que nous avons
élaboré et les proﬁts et pertes subits sur une journée.
Exemple
Une VaR quotidienne avec un seuil de conﬁance de 1% donne le
niveau de perte qui va être dépassé dans les conditions normales du
marché en moyenne une fois dans chaque 100 jours. Si le test est fait
sur 1000 jours, un modèle de VaR surestimé montrera moins de 10
exceptions, alors qu’un modèle de VaR sous-estimée donnera plus
de 10 exceptions.

29
Le Comité de Bâle soumet également les banques à des tests de
validité de fonds propres en cas de crise économique.
Cela signiﬁe que la banque doit être en mesure de prouver que ses
fonds propres sont sufﬁsants pour supporter une crise économique.

30
Test de validité
Ce test utilise un intervalle de conﬁance de 99%, les P&L sont
supposés indépendants, on peut voir l’occurrence des dépassements
comme étant une séquence de T essais de Bernoulli, ainsi le nombre
de dépassement N est une variable aléatoire qui suit une loi
binomiale. La probabilité qu’un bon modèle génère x dépassements
durant T jours en utilisant la fonction de probabilité de la loi binomiale
est :
P(N = x) = Cx
T Px
(1 − P)T−x
P(N = x) est la probabilité d’obtenir au maximum le nombre de
dépassements indiqué avec un taux de couverture effectif de 99%.

31
Back-test de la méthode univariée

32
Test de validité de la méthode univariée

33
Back-test de la méthode multivariée

34
Test de validité de la méthode multivariée

35
Back-test de la méthode historique

36
Test de validité de la méthode historique

37
Back-test de la méthode Monte Carlo

38
Test de validité de la méthode Monte Carlo

39
Aperçu théorique
Risque du marché
Calcul de la VaR
Test de validité
Conclusion

40
Les fonds propres réglementaires correspondent aux fonds propres
que doivent détenir les établissements ﬁnanciers en lien avec
l’exigence réglementaire déﬁnie par le Comité de Bâle.

41
Approche interne
La quantiﬁcation des risques est devenue l’une des principales
préoccupations des banques dans le but de déterminer les exigences
en fonds propres nécessaires pour se couvrir contre les aléas de
l’activité bancaire. Le calcul des exigences en fonds propres
moyennant l’approche standard consiste à imposer à tout
établissement bancaire une grille de mesure de type :
ExigencesFP = Position ∗ Pourcentage

42
Approche standard
Le Comité de Bâle recommande que les exigences en fonds propres
(FP) d’une banque à une date particulière s’élèvent au montant
maximum entre, d’une part, la VaR du présent jour, et d’autre part, la
moyenne des VaR quotidiennes des 60 derniers jours ouvrés,
multipliée par un facteur, appelé multiplicateur (avec un minimum 3 et
un maximum de 4) déterminé par les autorités prudentielles (Bank
Al-Maghrib ) :
FP = max[VaRt ; (3 + complment)
1
60
VaRt−i ]

43
Un coefﬁcient multiplicateur sera attribué à chaque établissement
bancaire en fonction de la qualité de son système de gestion des
risques, avec un minimum de 3, le cas échéant d’un facteur
complémentaire variant entre 0 et 1, conformément au tableau
ci-après, en fonction du nombre des dépassements mis en évidence
par le contrôle ex-post (Back-testing).
Zone Nombres d’exceptions complément
Verte de 0 à 4 0
Jaune de 5 à 9 entre 0.5 et 0.85
Rouge plus de 10 1

44
Calcul des EFP pour la méthode univariée

45
Calcul des EFP pour la méthode multivariée

46
Calcul des EFP pour la méthode historique

47
Calcul des EFP pour la méthode Monte Carlo

48
Aperçu théorique
Risque du marché
Calcul de la VaR
Test de validité
Conclusion

49
Conclusion
Toute institution ﬁnancière doit respecter les accords de Bâle

49
Conclusion
La mesure du risque de marché se fait par les différentes
méthodes de la VaR (Univariée, Multivariée, Historique, Monte
Carlo)

49
Conclusion
Carlo)
Après la construction du modèle de calcul, il faut le valider par
l’outil de Back-testing

49
Conclusion
Carlo)
Après la construction du modèle de calcul, il faut le valider par
l’outil de Back-testing
L’importance du calcul des exigences en fonds propres pour les
institutions ﬁnancières

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