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2. Les modèles
économétriques
de gestion de portefeuille

3. Contenu
I- Le modèle de marché
II- Le modèle d’équilibre des actifs
financiers (MEDAF)

4. Le modèle de marché
1-Le modèle de base: le Modèle de marché
Les fluctuations du return d'un titre peuvent être attribuées, d'une
part, à des facteurs communs qui affectent l'ensemble d'un marché
et, d'autre part à des causes spécifiques à la firme considérée. Les
fluctuations engendrées par les facteurs qui influent l'ensemble du
marché ne peuvent être évitées, même si on diversifie son
portefeuille ; elles constituent le risque systématique ou non
diversifiable.
Par contre, les fluctuations propres à chacun des titres peuvent être
atténuées, sinon complètement éliminées, par diversification ; on
parlera à leur propos de risque non systématique ou diversifiable.

5. 1-1- Présentation graphique du Modèle de marché
Le modèle de marché
Rjt: taux de rentabilité pour
un portefeuille pendant la
période t;
αj : l’ordonnée à l’origine; αj =
Rjt lorsque RM = 0 ;
Βj: coefficient de régression,
de volatilité ou coefficient
bêta;
RM,t :le taux de rentabilité du
marché, mesuré par la
rentabilité du portefeuille de
l’indice boursier;
ej.t: paramètre spécifique
pour le portefeuille p, par
lequel on mesure son risque
individuel.

6. 1-2- Équation du modèle de marché
Rj,t = j + j RM,t + εj,t
Avec:
- Rj,t : La rentabilité du titre i à l’instant (t)
- RM,t : La rentabilité du marché à l’instant (t)
- j, la pente de la droite de régression, elle indique de combien
varie le taux de return du titre i pour une variation unitaire du
taux de return du marché.
- j : est le return du titre j lorsque le return du marché est nul.
- εj,t est un terme aléatoire qui représente les fluctuations de Rj,t non
expliquées par le marché
Le modèle de marché

7. 1-3- Conséquence du modèle de marché :
Var Rj,t = ² VarRM,t + Var uj,t
Le modèle de marché
Risque total =
Risque systématique (non
diversifiable)
+ Risque spécifique
(non systématique, diversifiable)

8.  Le risque systématique est d'origine « macroéconomique » :
croissance économique, crises, mouvements de taux d'intérêt,
incertitudes géopolitiques... Il touche l’ensemble des
entreprises d’une économie
 Le risque spécifique est d'origine « microéconomique » :
grèves dans l'entreprise, contrats décrochés, changements de
goûts des consommateurs, poursuites judiciaires...
Le modèle de marché

9. 1-4- Calcul du bêta
a- Pour un titre:
 = Cov (Rj, RM)/δ2 (RM)
=ρ (Rj, RM) δ (Rj) δ (RM)
/ δ2 (RM)
=ρ (Rj, RM) δ (Rj)/ δ (RM)
b- Pour un portefeuille :
p = X1 1 + X2 2 + X3 3 … + Xn n
Le modèle de marché

10. La signification du 
Le modèle de marché
 > 1
Titre qui amplifie à la hausse comme à la baisse les
fluctuations du marché
0 <  < 1 Titre qui amortie les fluctuations du marché
 <0 Titre dont la rentabilité tend à fluctuer à l’inverse du marché:

11. Exercice 1
Une société de bourse met à votre disposition les renseignements
suivants relatifs aux rendements annuels de l’action X et ceux
du marché boursier :
Donner une estimation du coefficient  de ce titre
Le modèle de marché
Période Rendement de X Rendement de l’indice
1 15% 15%
2 12% 18%
3 21% 28%
4 -8% -12%
5 16% 18%
6 18% 19%

12. Le modèle d’équilibre des actifs
financiers (MEDAF)/ modèle CAPM
1- Hypothèses du Modèle:
1.Les individus choisissent entre portefeuilles sur la base du
rendement espéré et de la variance.
2.Ils maximisent l’utilité de leur richesse de fin de période.
3.Il y a unanimité entre individus quant à l’horizon de planification
4.Il y a un nombre fixe d’actifs et une quantité fixe de chacun de ces
actifs.
5.Les marchés financiers sont parfaits (absence de coûts de
transaction).
6.Tous les actifs sont parfaitement divisibles et transigés sur un
marché concurrentiel.
7.Il n’y a pas de limite sur les possibilités de vente à découvert.

13. 2- La formule du MEDAF
Le MEDAF a pour but d’expliquer le rendement d’un titre selon
le taux sans risque plus le bêta, multiplié par la prime de risque de
marché. Ce qui peut s’écrire :
Ri= rF + β (RM - rF)
Avec Ri = Rendement attendu du titre i
rF = Taux sans risque
Bêta = sensibilité du titre par rapport au marché = Cov(Ri, RM)/ Var RM
Le modèle d’équilibre des actifs financiers
(MEDAF)

14. 3- Prime de risque
C’est le rendement excédentaire du portefeuille de marché qui est
égale au rapport du rendement excédentaire d’un actif et le facteur
bêta du titre
RM – rF = (Ri- rF)/ β

15. Exercice 2:
On considère un marché parfait sur lequel trois titres risqués I, J et
K sont cotés, et dont les proportions sont identiques (1/3).
Sachant que E (Ri) = 21% et E (Rj) = 9% et E(Rk) = 12% et la
prime de risque = 0,08
1- Déterminer les caractéristique du portefeuille du marché sachant
que rf = 6%
2- a-Calculer la sensibilité β des titre I et K sachant que
σ(Ri)= 25% σ(RK)= 15%
ρ(Ri, RM)= 0,75 ρ(Rk, RM)= 0,5
b- dans quelles proportions faut-il investir dans I et K pour
constituer un portefeuille dont la sensibilité = 1
c- Calculer le risque systématique et non- systématique des titres I
et K et commenter les résultats

16. Mesuredela performanceet
stratégies
degestion desportefeuilles
d'actions

17. I- Stratégie de gestion de portefeuille d’actions
II- Performance d’un gérant de portefeuille

18. Deux styles de gestion de portefeuille
La gestion passive La gestion active
consiste à construire un
portefeuille reproduisant le plus
fidèlement possible le rendement
du marché en général, ou d’un
indice particulier
objectif de battre un
portefeuille de référence. Pour
ce faire, les gestionnaires actifs
s’attachent à déceler les
inefficiences et à les exploiter
A ces deux grandes familles de gestion s’ajoutent un certain nombre de
méthodes dites de gestion alternative qui visent par définition à
produire une performance totalement décorrélée du marché.

19. • L’allocation stratégique
• L’allocation tactique
• La sélection des valeurs
Les stratégies d’investissement sont décomposées en trois
phases :

20. L'allocation stratégique : consiste à définir les grands axes de la
politique de l ’investisseur
• Déterminer le degré d ’aversion pour le risque et l ’horizon de
placement afin de définir un benchmark (indice de référence)
• Définir la composition du portefeuille entre différentes classes
d ’actifs (monétaire, obligations, actions)
• Déterminer le degré de latitude du gérant par rapport au benchmark
(tracking error)
Cette étape est plus proche du conseil que de la gestion

21. L'allocation tactique : consiste à déterminer le meilleur
moyen pour parvenir à l ’objectif défini précédemment
• Moduler la répartition entre les classes d ’actifs par rapport au
benchmark :
• décisions de market timing (sur ou sous exposition de la
totalité du portefeuille)
• décisions d ’allocations pays et/ou secteurs (sur ou sous
pondérations des pays et/ou secteurs)
• L ’allocation d ’actifs s ’appuie sur les modèles d ’évaluation
des actifs financiers

22. La sélection des valeurs :
Cette phase de la gestion fait appel à des gérants spécialisés par type
d’actifs qui assurent une sélection optimale des valeurs à l’intérieur de
chaque poche d’actifs du portefeuille.
- L’allocation stratégique explique 70% de la performance
d ’un portefeuille, l ’allocation tactique 20%. Les 10%
restant provenant de la maîtrise des coûts de transaction
et de la sélection des valeurs.

23. Méthodes de gestion d’actifs
Deux familles de méthodes de gestion résultent de la croyance
ou non de l’efficience des marchés
la gestion indicielle la gestion alternative
La gestion indicielle
passive
La gestion indicielle
active
gérer un portefeuille au plus près de
son indice de référence pour en offrir le
même rendement
Tenter de surperformer l’indice en
prenant des risques supplémentaires

24. La gestion indicielle passive
AVANTAGES INCONVENIENTS
n’exige pas de compétences particulières Performance inférieure à celle du marché
les coûts de transaction
sont très faibles
ne génère que très peu de transactions
la réduction du temps de gestion
parfaite transparence
La gestion indicielle active
AVANTAGES INCONVENIENTS
Performance tend à dépasser celle du
marché
exige des compétences particulières
les coûts de transaction sont très élev
és
temps de gestion
Peu de transparence
risque spécifique

25. La gestion alternative
Définition
« La gestion alternative vise à générer une performance
positive quelle que soit la tendance des marchés : une
performance dite absolue. »

26. Caractéristiques communes des techniques de gestion
alternative
la décorrélation : la capacité de pouvoir obtenir des performances
quelle que soit l’orientation des marchés financiers
la maîtrise du risque : un fonds, géré selon une ou plusieurs de ces
techniques, permet de dégager une performance absolue à deux chiffres
pour une volatilité, et donc un risque, plus faible qu’un indice boursier
de grande capitalisation
exploiter les inefficiences du marché : Constater des anomalies de
cours permet de réaliser des paris destinés à obtenir de la performance

27. Les anomalies du marché :
a- le degré d’anticipation des investisseurs n’est pas aussi
efficient
b- le poids du passé n’est pas toujours correctement pris en
compte
c- le marché est parfois irrationnel
d- le marché ne réagit pas de manière systématique

28. Mise en œuvre des différentes méthodes
I- Les méthodes de gestion indicielle
techniques de gestion
indicielle passive
techniques de gestion
indicielle active
La réplication
pure
La réplication
synthétique
L’achat de valeurs
spécifiques
Vente de calls
couverte

29. La réplication pure
1.Acheter dans les mêmes proportions tous les titres qui constituent l’indice
2. Faire sortir ou entrer les titres dans le portefeuille en fonction des
modifications des composantes de l’indice
Obstacles :
•- les coûts de transaction
•- le décalage entre le changement de la structure de
l’indice et le réajustement du portefeuille ;
•- l’indivisibilité des titres et la liquidité insuffisante des
marchés
techniques de gestion
indicielle passive

30. La réplication
synthétique
Elle peut être conduite de trois manières
1. l’échantillonnage stratifié : Il s’agit de décomposer l’indice en différents
critères : la monnaie, la taille, les secteurs pour les indices d’action. On peut
construire un portefeuille en sélectionnant pour chaque critère un ou plusieurs
titres dont les caractéristiques s’approchent au mieux de l’indice
2. l’échantillonnage optimisé.: Il s’agit d’analyser et de décomposer la
performance de chaque titre suivant un certain nombre de variables économiques
(taux d’intérêt, croissance, taux de dividende du marché). Les sensibilités des titres à
chacun de ces facteurs sont ensuite mesurées et utilisées pour créer un portefeuille
dont les caractéristiques statistiques sont le plus proche de celles de l’indice.
3. produits dérivés : Cette technique permet de régler le problème de
détention physique des titres

31. techniques de gestion
indicielle active
L’achat de valeurs
spécifiques
Des informations spécifiques peuvent donner la conviction qu’une telle
valeur va dépasser la moyenne du marché. Si elle entre dans la composition
de l’indice, sa hausse profitera à l’ensemble du portefeuille.
Lorsque la valeur appartient à l’indice, cela revient à constituer un indice avec
une surpondération particulière. On parle alors de gestion indicielle tiltée.

32. Vente de calls
couverte
La vente de calls couverte revient à vendre des options d’achat sur indice
pour une quantité inférieure ou égale au total des contrats.
quelle option vendre ?
déterminer son prix d’exercice et son échéance
Le prix d’exercice d’une
option d’achat (ou call) est
le prix auquel on donne à
autrui le droit d’acheter
l’indice.
une correspondance
doit être faite entre
l’échéance du call et
celle du contrat sur
indice.
Il faut noter que la vente de calls est en principe très risquée : gain maximum
plafonné à la prime du call et perte maximale potentielle illimitée, sauf si la
vente de calls est couverte

33.  Application
Un investisseur dispose de 15 000 MAD qu’il souhaite gérer d’une
façon indicielle, alors que la capitalisation boursière de référence
est de 1 000 000 MAD.
Au jour j et j+n l’indice de référence est composé comme suit:
Titres composant
l’indice
A B C
J
Nbr de titres cotés 300 400 300
Cours 1050 1075 980
J+n
Nbr de titres cotés 300 400 300
Cours 1065 1077 1005
TAF:
1- Calculer la valeur de l’indice
2- Si on désire dupliquer l’indice au jour j et j+n quelle serait alors la
structure du portefeuille?
Stratégie de gestion indicielle

34. I- Stratégie de gestion de portefeuille d’actions
II- Performance d’un gérant de portefeuille

35. Calcul de la performance d’un gérant de
portefeuille
Aucun apport ou retrait de fonds :
r = (V1 –V0) /V0
V1 la valeur du portefeuille en fin de période
V0 la valeur du portefeuille en début de période

36.  En cas d’apport ou de retrait de fonds : Le taux de rentabilité
interne
Exemple :
 Valeur du portefeuille en début d’année :V0 = 100 ;
 Apport de fonds le jour t : Ct = 50, t = 6 mois ;
 Valeur du portefeuille en fin d’année :Vi = 60.
 Le changement de valeur du portefeuille au cours de l’année
estV1 + Ct –V0 = 10
Calcul de la performance d’un gérant de
portefeuille

37. Calcul du taux de rentabilité d’un portefeuille
Le taux de rendement interne :
C’est la valeur de r, solution de l’équation suivante :
V0 = Ct / (1 + r)t/2 +V1/(1 + r)
100 = 50/(1 + r)1/2 + 60/(1 + r)
r = 12,55 %

38. Les indicateurs de mesure de performance
fondés sur l’équilibre du marché
La mesure de Treynor
Le ratio de Sharpe
L’Alpha de Jensen

39. La mesure de Treynor
Tp = Prime de risque / bêta
proposé par J.Treynor en 1965
La rentabilité rapportée au risque
systématique

40. Le ratio de Sharpe
proposé parWilliam F. Sharpe en 1966
La rentabilité rapportée au risque total de
portefeuille

41. L’Alpha de Jensen
proposée par Michael C. Jensen en
1968

42. Comparaison des trois indicateurs
Ratio Risque utilisé Origine Usage
Sharpe Total
(sigma)
Théorie du
portefeuille
Classement de portefeuilles de risque différent
Portefeuilles peu diversifiés
Portefeuilles constituant le patrimoine total d’u
n individu
Treynor Systématique
(bêta)
MEDAF Classement de portefeuilles de risque différent
Portefeuilles bien diversifiés
Portefeuilles constituant une partie du patrimoi
ne d’un individu
Jensen Systématique
(bêta)
MEDAF Classement de portefeuilles de même bêta

43. Exercice:
P Rp δ p
ρ (Rj, RM)
A 18% 24% 0,6
B 12% 16% 0,4
M 15% 20% 1
Bon de trésor 9%
TAF: Calculer les indices de performance des
différents portefeuilles.