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Introduction
Définition statistique de la Value-at-Risk
Méthodes d’estimation de la Value-at-Risk
Risque de Portefeuille et Value-at-Risk
Limites de la Value-at-Risk
Partie 1. Value-at-Risk
Intoduction à la Value-at-Risk
Christophe Hurlin, Université d’Orléans, Laboratoire
d’Economie d’Orléans (UMR CNRS 6221)
Master Econométrie et Statistique Appliquée (ESA), Université d’Orléans
Septembre 2008
Christophe Hurlin Value-at-Risk

Introduction
Qu’est ce que la VaR ?
Comment utiliser la VaR ?
Qui utilise la VaR ?
Quels types de risques mesure la VaR ?
Introduction
Introduction

Introduction
Un bref aperçu historique :
La notion de Value−at−Risk (VaR) est apparue pour la
première fois dans le secteur de l’assurance.
A la fin des années 1980, la banque Bankers Trust fut l’une
des premières institutions à utiliser cette notion sur les
marchés financiers aux Etats-Unis.

Introduction
Le terme VaR est apparu pour la première fois dans une
publication grand public en juillet 1993 dans un rapport d’une
réunion du G−30
Mais c’est principalement la banque J P Morgan qui, dans les
années 90, a popularisé ce concept notamment grâce à son
système RiskMetrics (1994).

Introduction
Fact
La Value-at-Risk est devenue, en moins d’une dizaine d’années,
une mesure de rérérence du risque sur les marchés financiers,
consacrée notamment par la réglementation prudentielle définie
dans le cadre des accords de Bâle II.

Introduction
Definition (Value-at-Risk)
De façon générale, la Value-at-Risk correspond au montant des
pertes qui ne devraient pas être dépassées pour un niveau de
confiance donné sur un horizon temporel donné (Jorion, 2007)
JORHOw,P. (2007), Value-at-Risk, Third edition,
McGraw-Hill.

Introduction
La Value−at−Risk correspond à une perte maximale potentielle
qui ne devrait être atteinte qu'avec une probabilité donnée
sur un horizon temporel donné

Introduction
VaR is an estimate of how much a certain portfolio can lose within
a given time period, for a given confidence level (Engle et
Manganelli, 2004).
EwCLE, R. F., iwd MiwCiwELLH, S. (2004), ”CAViaR :
Conditional Autoregressive Value-at-Risk by regression
quantiles”, Journal of Business and Economic Statistics, 22,
pp. 367-381.

Introduction
Example (Value-at-Risk)
Si une banque annonce une VaR quotidienne sur son portefeuille
de 50 millions de dollars pour un niveau de confiance de 99%, cela
implique qu’il y a seulement une chance sur 100, sous des
conditions normales de marché, que la perte associée à la détention
de ce portefeuille sur une journée excède 50 millions de dollars.

Introduction
La simplicité de cette définition constitue l’un des principaux
attraits de la Value-at-Risk : il est en effet très facile de
communiquer sur la VaR et de ainsi proposer une mesure
homogène et générale (quelle que soit la nature de l’actif, la
composition du portefeuille etc.) de l’exposition au risque.

Introduction
Introduction
Introduction

Introduction
La VaR peut être utilisée de trois façons principales (Jorion, 2007) :
1 de façon passive : reporting d'inrormation
de façon défensive : contrôle des risques
de façon active : management des risques
2
3

Introduction
Reporting des risques
La VaR peut être utilisée de façon passive dans le cadre d’un
reporting régulier sur le risques
Ce fut historiquement la première utilisation de la VaR en vue
de mesurer un risque agrégé (JP Morgan)
La VaR est une mesure du risque simple à interpréter
exprimée en unité monétaire
La VaR est une mesure du risque sur laquelle on peut
communiquer de raçon non technique
La VaR permet de synthétiser en une seule mesure une
appréciation sur le risque global

Introduction
Contrôle des risques
La VaR peut être utilisée de façon défensive dans le cadre d’un
contrôle des risques
La VaR est utilisée pour déterminer des positions limites qui
seront imposées aux traders (limites individuelles) ou aux
business units (limites collectives)
Le principal avantage de la VaR est qu’elle fournit un
dénominateur commun permettant de comparer les
risques engendrés par les activités menées sur différents
marchés, différents produits etc.

Introduction
Management des risques
La VaR peut être utilisée de façon active dans le cadre d’un
management des risques
La VaR est utilisée dans l’allocation du capital entre les
tradeurs, les business lines, les produits et ou les institution.
La VaR est généralement retenue pour le calcul des
rendements ajustés du risque ou Risk−adjusted
perrormance measures (RAPM)
Optimisation de portereuille avec des crit%res de type
moyenne−VaR.

Introduction
Introduction
Introduction

Introduction
En raison de ces très nombreuses utilisations possibles, les
utilisateurs de la VaR sont très différents :
1 Institutions financières
Régulateurs
Entreprises non financières
Asset Managers
2
3
4

Introduction
Les institutions financières
Les institutions financi%res ont été à l’avant garde de la diffusion
et l’utilisation de la VaR dans le cadre de la mise en place de
syst%mes centralisés de management / surveillance des risques
nécessité liée à l’évolution de la réglementation
nécessité liée à la complexité croissante des instruments
financiers et à la diversification croissante des risques
financiers
nécessité liée à la connaissance de grands désastres
financiers (Barings, Daiwa..)

Introduction
Les régulateurs
Les réglementations prudentielles visent de fa on générale à
imposer aux institutions financières de garantir un niveau minimum
de capitaux disponibles au regard des risque financiers. Par
conséquent se pose le problème de l’évaluation de ces risques :
Comment évaluer ces risques financiers sur des
multi-activités, des actifs très différents, des produits
complexes ?
Qui doit évaluer ces risques? les autorités de régulation ou
les institutions financières elles-mêmes?
Dans ce dernier cas comment garantir la validité des
évaluations du risque proposées par les institutions
financières?

Introduction
Les régulateurs
Fact
Dans les années 80-90, on a assisté à une convergence des
réglementations prudentielles (comité de Bâle sur le contrôle
bancaire‚ US Federal Reserve‚ US Securities and Exchange
Commission etc) vers l’adoption de la VaR comme mesure de
référence du risque.

Introduction
Les institutions non financières
Les institutions non financi%res : l’usage de la VaR dépasse le
contexte des seules institutions financières :
Le management centralisé des risques est utile à toutes les
entreprises exposées aux risques financiers.
On peut citer en exemple les multinationales qui doivent
évaluer et se prémunir contre les risques de change, on peut
alors mener des analyses de type CFAR (Cash Flow at Risk)

Introduction
Les asset managers
La gestion d'actirs et la VaR : utilisation de la VaR pour gérer
les risques financiers et développer les stratégies d’asset
management
"We can now view our total capital at risk on a
portfolio basis, by asset class and by individual manager.
Our main goal was to ... have the means to evaluate our
portfolio risk going forward" Director of Chrysler pension
fund", cité dans Jorion (2007), interview réalisé après
l’achat d’un system de VaR

Introduction
Introduction
Introduction

Introduction
Mesurer quels types de risques?
Quels types de risques peut mesurer la VaR ?
La VaR est une mesure homog%ne permettant de mesurer
différents risques, sur différents marchés, différents actifs (change,
actions, dérivés..)
Definition (Portée de la VaR )
L’objectif de la VaR fournit une mesure du risque total de
portereuille. Par conséquent, la VaR doit tenir compte des effets
de levier et de diversification (corrélation).

Introduction
Les risques financiers sont généralement classés en grandes
catégories :
1 Risques de marché
Risques de liquidité
Risques de crédit
Risques opérationnels
2
3
4

Introduction
Definition
Le risque de marché désigne le risque de perte lié à l’évolution
des niveaux ou des volatilités des prix de marché. Ces risques
peuvent être exprimés sous deux formes :
1 risques absolus, mesurés en unité monétaire
risques relatirs exprimés par rapport à un benchmark (notion
de tracking error ou déviation par rapport à un indice)
2

Introduction
Risque de marché
Fact
La VaR a été con ue comme une mesure de risque de marché et le
risque de marché demeure aujourd’hui le principal champ
d’application de la VaR, même si ce n’est plus de fa on exclusive.

Introduction
Risque de liquidité
Definition (risque de liquidité)
La notion de risque de liquidité regroupe deux types de risques :
le risque de liquidité d’actif (asset liquidity risk) et le risque de
liquidité de financement (runding liquidity risk ou cash flow risk).

Introduction
Definition (asset liquidity risk)
Le risque de liquidité d'actir (asset-market-product liquidity risk)
survient lorsqu’une transaction ne peut pas intervenir au prix au
prix prévu du fait de la taille relative de la position au regard du
volume des transactions usuelles (Jorion, 2007).

Introduction
Remarque : la notion de risque de liquidité est à distinguer de la
notion marché liquide / non liquide (exemple : marché de change
verus emerging-market equities) puisque ce risque peut survenir sur
un marché liquide suivant l’importance de la position.

Introduction
Definition (cash flow liquidity risk)
Le risque de liquidité de financement (cash flow liquidity risk)
fait référence à l’impossibilté de faire face à ses obligations de
paiement, impliquant des liquidations de position et donc la
transformation de pertes "papier" en pertes réalisées (Jorion,
2007).

Introduction
La VaR ne s'applique pas directement au concept de risque
de liquidité, mais :
Il est possible de construire des transformations de la VaR
intégrant ce type de risque comme la LVAR (Liquidity
adjusted Value−at−Risk)
Proposer des concepts similaires dans le domaine des données
de hautes fréquences portant sur la durée séparant deux
transactions successives comme le TaR (Time−at−Risk‚
Gouriéroux‚ 2004)

Introduction
Risque de crédit
Definition (risque de crédit)
Le risque de crédit désigne le risque de pertes engendrées par une
situation dans laquelle les contreparties sont incapables ou ne
désirent pas remplir leurs obligations contractuelles.

Introduction
Risque de crédit
Le risque de crédit peut être exprimé sous forme d'exposition
(exposure) c’est à dire de montant soumis au risque ou de taux
de recouvrement (recovery rate) qui désigne la proportion
remboursée par l’emprunteur.

Introduction
Risque de crédit
Dans le cas du risque de crédit, les facteurs de risques sont
nombreux : statut du défaut (partiel ou total), exposition au
défaut, et les pertes étant donnée le défaut sont difficiles à
calculer.
Ce qui explique que la VaR est rarement utilisée en tant
que telle dans le domaine de crédit
On préferre généralement des notions plus spécifiques comme
l'expected credit losses (ECT) ou la Worse Credit
Exposure (WCE)

Introduction
Risque opérationnel
Definition (risque opérationnel)
Le risque opérationnel est le risque qui résulte de processus
internes inapropriés, ou de systèmes défecteux ou d’événements
externes (Jorion, 2007).

Introduction
Les risques opérationnels couvrent notamment :
1 le risque de modèle (model risk)
risque de personne ou de personnel (people risk)
risque légal (legal risk)
2
3

Introduction
Etant donnée l’importance des risques opérationnels et
certains exemples de désastres financiers, il existe aujourd’hui
une volonté de quantifier ces risques
Dans ce contexte, des calculs de VaR peuvent
théoriquement être appliqués aux risques opérationnels
Toutefois, la collecte de données de rérérence permettant
d’établir la P&L associée à ces risques pose généralement de
très gros problèmes et limite par conséquent la portée de
l’application de la VaR à ce contexte.

Introduction
Mesurer les rendements
Distribution de Profits et Pertes (P&L)
Value-at-Risk conditionnelle
Horizon de détention et agrégation temporelle
Préambule

Introduction
La Value−at−Risk (VaR) définie pour un taux de couverture
de α% correspond au quantile d'ordre α de la distribution de
profits et pertes (profits and losses‚ P&L) associée à la
détention d'un actir ou d'un portereuille d'actirs sur une
période donnée.

Introduction

Introduction
Ainsi, la définition de la Value-at-Risk est fondée sur trois éléments
1 La distribution des profits et pertes (P&L) du portefeuille
ou de l’actif
Le niveau de confiance (ou de façon équivalente le taux de
couverture égal à un moins le niveau de confiance) ; appelé
aussi taux de couverture
La période de détention de l’actif (ou horizon du risque)
qui pose parfois le problème de l’agrégration temporelle de
la VaR
2
3

Introduction
Au délà des éléments de cette définition, divers aspects de la VaR
doivent être évoqués à ce niveau :
1 La notion de VaR (ou de P&L) conditionnelle
et plus générallement la prévision de VaR
2

Introduction

Introduction
Profits et Pertes (P&L)
Quelles sont les données qui servent au calcul de la VaR ?
Comment transformer les données de sorte à les exprimer sous
forme de P&L ?

Introduction
Fact
Les données de P&L à partir desquelles on calcule une
Value-at-Risk peuvent prendre diflérentes formes, mais elles sont
généralement exprimées sousrorme de rendements (Dowd,
2005)
DOwd, K. (2005), Measuring market risk, John Wiley & Sons
Ltd.

Introduction
Definition (profits et pertes)
On note Pt la valeur d’un actif (ou d’un portefeuille) à la fin de la
période t. On note Dt l’ensemble des paiements intermédiaires
obtenus entre les dates t —1 et t. Les profits et pertes (P&L)
associés à la détention de l’actif (ou du portefeuille) sont alors
définis par :
P /Lt = Pt + Dt —Pt—1

Introduction
Remarque 1 si les données sont exprimées sous forme de P&L, les
valeurs positives indiquent des profits et les valeurs
négatives indiquent des pertes.
Remaqrue 2 Il est aussi possible d’exprimer les données sous forme
de pertes et profits (L&P pour losses and profits)
telles que :
L/Pt = —P/Lt

Introduction
Remarque 3 Il conviendrait de tenir compte d’un facteur
d’actualisation dans la comparaison des valorisations
aux dates t et t —1. Si l’on évalue la valeur présente
des P&L à la fin de la date t —1, il vient :
present value P/L =
P + D
t t
(1+ d)
—Pt—1
où d désigne le taux d’escompte psychologique.

Introduction
Remarque 4 Si l’on évalue la valeur future des P&L à la fin de la
date t, il vient :
forward value P/L = Pt + Dt —(1 + d) Pt—1
Remarque 5 Généralement on néglige l’escompte psychologique
dans le calcul des P&L sur des horizons courts
(quotidiens, hebdomadaires, mensuels, etc.)

Introduction
Les P&L sont généralement exprimées sous forme de rendements :
1 Rendements arithmétiques
Rendements géométriques
2

Introduction
Definition (rendements arithmétiques)
Les rendements arithmétiques associés aux profits et pertes
(P&L), notés rt, sont définis comme :
rt =
Pt + Dt —Pt—1
=
Pt + Dt
—1
Pt—1 Pt—1
Cette définition des rendements suppose que les paiements
intérmédiaires Dt ne sont pas ré-investit (problème sur longue
période).

Introduction
Definition (rendements géométriques)
Les rendements géométriques associés aux profits et pertes
(P&L), notés Rt , sont définis comme suit :
t
R = ln
P + D
t t
Pt—1

Introduction
On peut passer de l’une à l’autre définition par les formules
d’approximation suivantes :
Rt = ln(1+ rt )
ce qui implique que si les rendements sont "petits" alors :
rt ' Rt

Introduction
Example (rendements géométrique et arithmétique )
Supposons qu’à une certaine date t les rendements arithmétiques
rt par unité de temps soient égaux à 5%. Les rendements
géométriques correspondants sont alors égaux à :
Rt = ln(1+ 0.05) = 0.0488
Inversement, si les rendements géométriques sont égaux à 5%, les
rendements arithmétiques sont alors égaux à
rt = exp(Rt ) —1 = exp(0.05) —1 = 0.0513

Introduction
Les rendements géométriques supposent implicitement que les
paiements intermédiaires Dt sont ré-investis de façon continue.
Les rendements géométriques garantissent que le prix d’actifs
ne devient jamais négatif (contrairement au rendement
arithmétique), y compris en cas de pertes massives
Généralement, on préfére utiliser les rendements
géométriques en lieu et place des rendements arithmétiques

Introduction
Example (Rendements géométriques)
Considérons à titre d’exemple l’indice Standard & Poor observé en
clôture sur la période du 03/07/1989 au 24/11/2003 ainsi que le
rendement géométrique quotidien associé

Introduction

Introduction
Definition (distribution de profits et pertes)
La distribution de profits et de pertes (P&L pour profit and
losses) correspond à la ronction de densité des pertes et profits,
supposées aléatoires, associées à la détention de l’actif ou du
portefeuille sur un horizon donné.

Introduction
On considère les rendements géométriques‚ notés Rt ,
associés à la détention d’un actif sur un horizon donné
(exemple quotidien)
Ces rendements sont exprimés sous une rorme P&L : un
rendement positif indique un gain, un rendement négatif une
perte
On suppose que ces rendements sont aléatoires : Rt est une
variable aléatoire réelle (v.a.r)

Introduction
Comme toute v.a.r., le rendement à la date t, Rt , est caractérisé
par une ronction de densité, notée
fRt (r) 6r ∈ R
Definition (P&L distribution)
C’est précisèment cette fonction de densité que l’on qualifie de
distribution de profits et pertes (P&L distribution).

Introduction
Remarque 1 : l’idéal pour caractériser le risque serait de connaître
l’ensemble de la densité de P&L, toutefois on se limite
généralement à une caractérisation du risque au travers de la
connaissance de certains moments (variance, skeweness, kurtosis)
ou de certains rractiles (VaR).

Introduction
Remarque 2 : si la distribution de P&L est connue, on en déduit
immédiatement la VaR, puisque la VaR n’est rien d’autre qu’un
rractile de cette ronction de distribution

Introduction
Définition de la Value-at-Risk

Introduction
Definition (définition statistique de la VaR)
Pour un taux de couverture (coverage rate) de α%‚ la
Value−at−Risk‚ notée VaRt (α) , correspond à l'opposé du
rractile d'ordre α de la distribution de profits et pertes
(P&L).
t
—1
Rt
VaR (α) = —F (α)
où FRt
(.) désigne la ronction de répartition associée à la
ronction de densité fRt (r) .

Introduction
Remarque : la VaR est généralement négative (perte) dans
une représentation P&L. Dès, lors par souci de simplification, dans
la plupart des ouvrages on définit la VaR en valeur positive en
considérant l’opposé du fractile
t
—1
Rt
VaR (α) = —F (α)

Introduction
Remarque : par définition, on a :
∫
t
—VaR (α)
fRt (r) dr = α
—∞

Introduction
Definition (taux de couverture)
Quelle que soit la définition retenue (positive ou négative) de la
VaR, la probabilité d’observer une perte supérieure à la VaR sur
l’horizon de détention fixé est égale par définition au taux de
couverture (coverage rate) :
t
—1
Rt
Pr [Rt < —VaRt (α)] = α si VaR (α) = —F (α)
t
Pr [Rt < VaRt (α)] = α si VaRt (α) = FR
—1 (α)

Introduction
Remarque : Dans certains ouvrages (Jorion, Dowd..) ou certains
articles, on exprime la VaR en ronction du niveau de confiance :
—1
Rt
VaR (1—α) = —F (α)
On évoque par exemple une VaR à 99% pour un taux de
couverture de 1%, une VaR à 95% de niveau de confiance etc.

Introduction
Definition (convention de notation)
Dans le cadre de ce cours, on adoptera pour convention de
définir la VaR de raçon positive et en ronction du taux de
couverture et non du niveau de confiance :
t
—1
Rt
VaR (α) = —F (α)
Pr [Rt < —VaRt (α)] = α

Introduction
Le principe des méthodes paramétriques de calcul de la VaR
(cr. section 5) :
1 Postuler une distribution paramétrique de P&L (normale,
Student, GED etc..)
Donner une valeur aux paramètres de cette distribution
(estimation ou étalonnage)
Calculer le fractile correspondant
2
3

Introduction
Nypoth%se N1 : On suppose que la distribution des P&L à la date
t est une distribution normale d’espérance µ et de variance σ2
Rt ~ N µ, σ2

Introduction
Par définition de la VaR on sait que :
Pr [Rt < —VaRt (α)] = α
Par conséquent :
Pr
t
R —µ t
—VaR (α) —µ
σ σ
< = α
où sous l’hypothèse H1 la variable centrée réduite (Rt —µ) /σ suit
une loi normale standard N (0, 1)
t
R —µ
σ
~ N (0,1)

Introduction
Si l’on note Φ (.) la fonction de répartition de la loi N (0, 1), il
vient :
Φ
t
—VaR (α) —µ
σ
= α
Ou encore :
—VaRt (α) —µ
= Φ—1 (α)
σ
On en déduit l’expression de la VaR :
VaRt (α) = —µ —σΦ—1 (α)

Introduction
Definition (VaR sous hypothèse de normalité)
Sous l’hypothèse de normalité de la distribution de P&L, la VaR
associée à un taux de couverture de α% est égale à :
VaRt (α) = —µ —σΦ—1 (α)
où µ désigne l’éspérance et σ2 la variance de la distribution de
P&L.

Introduction
Example (VaR sous normalité)
On suppose que le rendement géométrique quotidien d’un actif
observé à la date t, noté Rt , suit une loi normale d’espérance égale
à 0.01% et d’écart-type égale à 1.5. On en déduit immédiatement
les VaR à 1% et 5% :
VaRt (0.01) = —0.01—1.5 Φ—1 (0.01) = 3.2451%
VaRt (0.05) = —0.01—1.5 Φ—1 (0.05) = 2.4573%

Introduction
Example (VaR sous normalité, suite)
Si l’on détient cet actif sur une journée, il y a 1% de chance de
réaliser une perte au moins égale à 3.2451% du capital investit.
Pour un montant investit de 1M d’€ on a :
VaR (5%) = 24 573€ VaR (1%) = 32 451€

Introduction
•5 •4 •3 •2 •1 1 2 3 4 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0
x
Distribution
de
P&L
VaR sous hypothèse de normalité
P&L Distribution
1%VaR = 3.2451
5%VaR = 2.4573

Introduction
Nypoth%se N2 : On suppose que la distribution des P&L à la date
t est une distribution de Student à v degrés de liberté
Rt ~ t (v)
Comment calculer la VaR sous l’hypothèse H2?

Introduction
Definition (VaR et distribution de Student)
Sous l’hypothèse de distribution de Student, la VaR associée à un
taux de couverture de α% est égale à :
VaRt (α) = G (α;v)—1
où G (α; v) désigne la fonction de répartition d’une loi de Student
à v degrés de liberté.

Introduction
Example (VaR sous hypothèse de Student)
On suppose que le rendement géométrique quotidien d’un actif
observé à la date t, noté Rt , suit une loi de Student à 5 degrés de
liberté, on en déduit :
VaRt (0.01) = G—1 (0.01;5) = 3.3649%
VaRt (0.05) = G—1 (0.05;5) = 2.015%

Introduction
Example (VaR sous hypothèse de Student, suite)
Si l’on détient cet actif sur une journée, il y a 1% de chance de
réaliser une perte au moins égale à 3.3649% du capital investit.
Pour un montant investit de 1M d’€ on a :
VaR (1%) = 33 649€ VaR (5%) = 20 015€

Introduction
•5 •4 •3 •2 •1 1 2 3 4 5
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0
x
Distribution
de
P&L
VaR sous distribution de Student
P&L Distributionde Studentt(5)
1%VaR = 3.3649
5%VaR = 2.015

Introduction

Introduction
Généralement, on caractérise la distribution de P&L de raçon
conditionnelle et non de façon marginale.
On définit alors une distribution de pertes et profits
conditionnelle, c’est-à-dire une fonction de densité
conditionnelle à un ensemble d'inrormation disponible à la
date t, noté Ωt .
Cette densité conditionnelle est notée :
fRt ( r | Ω t )

Introduction
Definition (VaR conditionnelle)
Pour un taux de couverture (coverage rate) de α%, la
Value−at−Risk conditionnelle à un ensemble d'inrormation
Ωt , notée VaRt ( α|Ωt ) , correspond à l’opposé du fractile d’ordre
α de la distribution conditionnelle de profits et pertes (P&L) :
t t
—1
Rt
t
VaR ( α|Ω ) = —F ( α|Ω )
où FRt
( r|Ωt ) désigne la fonction de répartition associée à la
fonction de densité conditionnelle fRt ( r|Ω t ) .

Introduction
Cette densité conditionnelle peut elle aussi être différente
d’une date à l’autre, mais généralement on se restreint à des
densités conditionnelles invariantes dans le temps, i.e. telles
que :
fRt ( r | Ω t ) = fR ( r | Ω t ) 6t
Cela revient à supposer que conditionnellement à un
ensemble d'inrormation (ou lorsque l'on cherche à
prévoir la Value−at−Risk)‚ les rendements sont
identiquement distribués.

Introduction
Definition (prévision de VaR)
La prévision de la Value−at−Risk pour la date t + 1 et pour
un taux de couverture de α%‚ obtenue conditionnellement à
l'ensemble d'inrormation Ωt disponible à la date t, notée
VaRt+1 ( α|Ω t ) , est définie par :
VaRt+1|t (α) = VaRt+1 ( α|Ωt ) = —FR
—1( α|Ωt )
où FR ( r|Ω t ) désigne la ronction de répartition associée à la
ronction de densité conditionnelle fR ( r|Ωt ) .

Introduction
Example (prévision de VaR)
Supposons que les P&L à la date t + 1, notées Rt+1, soient
normalement distribués. On cherche à prévoir la moyenne et la
variance de cette distribution conditionnellement à l’information
disponible. Supposons que ces estimateurs soient définis par les
moments conditionnels suivants :
µ
^t+1|t = E ( Rt+1|Ω t )
2
σ
^t+1|t = V Rt+1 t
( |Ω )

Introduction
t+1 t t+1|t
R |Ω ~ N µ
^ , σ
^2
t+1|t
Example (prévision de VaR, suite)
La distribution de P&L conditionnelle est alors :
On en déduit immédiatement une prévision de la VaR de t + 1
pour un taux de couverture de α% :
VaRt+1|t (α) = —µ
^t+1 —σ
^ Φ—1 (α)
|t t+1|t

Introduction

Introduction
Le deuxième élément fondamental dans le calcul de la
Value-at-Risk est la période de détention (ou l'horizon de
risque) de l’actif ou du portefeuille d’actifs.
Il n’existe aucune r%glequant au choix de la période de
détention dans le calcul de la Value−at−Risk puisque ce
choix dépend fondamentalement de l’horizon de reporting ou
de l’horizon d’investissement des opérateurs.
Toutefois, les autorités de régulation peuvent spécifier des
horizons de détention spécifiques notamment dans le cadre
des procédures de validation de la Value-at-Risk.

Introduction
Un problème se lorsque la rréquence d'observations des
P&L (intra-day, quotidienne, hebdomadaire, mensuelle etc..)
ne correspond pas à l'horizon de risque
On doit alors transformer une mesure de risque adaptée à un
horizon en une mesure de risque adaptée en autre horizon,
généralement plus long : c'est le probl%mede l'agrégation
temporelle

Introduction
Le probl%mede l'agrégation temporelle peut se poser de la
même façon lorsque l’on cherche à prévoir la VaR à un horizon
supérieur h à l’unité. En effet pour ce faire deux solutions existent :
1 Soit prévoir directement la VaR en t + h, c’est à dire
VaRt+h|t (α) , dans ce cas le problème de l’agrégation
temporelle ne se pose pas
Soit on cherche à établir la prévision de la VaR en t + h,
2
VaRt+h|t (α) , à partir de prévisions réalisées à un horizon
inférieur, typiquement à un horizon d’une période, c’est à dire
VaRt+1|t (α) , VaRt+2|t+1 (α) , .., VaRt+h|t+h—1 (α) .

Introduction
Dans le cadre du probl%me de l'agrégation temporelle des
mesures de VaR‚ on doit distinguer deux cas :
1 le cas où l’on suppose que les rendements sont i.i.d.
le cas où l’on suppose que les rendements ne sont pas i.i.d.
2

Introduction
Dans le cas où les rendements sont i.i.d., le problème est
relativement simple.
Supposons que l’on dispose de l’espérance et de la variance de
la P&L exprimés en base annuelle. Soient µy et σ2 ces valeurs.
y
On cherche à déterminer les moments correspondants sur un
horizon différent de l’année sous l’hypothèse de rendements
i .i .d. et sous l’hypothèse que les mêmes positions ont été
maintenues sur l’année.

Introduction
Sous l’hypothèse i.i.d., on a alors :
E (Rt ) = µy T V (Rt ) = σ2T
y
où T désigne l’horizon du risque mesuré en nombre d’années.
Exemple : 1/12 pour un horizon mensuel, 1/252 pour un horizon
quotidien si il y a 252 journée de cotation dans une année.

Introduction
Example (Jorion, 2007)
Sur une base mensuelle, on suppose que le rendement moyen du
change EUR/$ est -0.15% et la volatilité est 3.28%. Sur une base
annuelle, sous l’hypothèse i.i.d., le rendement espéré est égal à :
—0.15× 12 = —1.8% par an
et la volatilité annuelle
3.28×
√
12 = 11.4% par an

Introduction
Dans le cas où les rendements ne sont pas i.i.d., il convient de
postuler un mod%le de dépendance entre les rendements :
Supposons par exemple que les rendements vérifient
Rt = ρRt—1 + εt
t
2
ε
où ε est i.i.d. 0, σ .
Dans ce cas, on montre que :
T
∑
i=1
i
2
R
V R = σ
h
T + 2(T —1) ρ+ 2(T —2) ρ2 + .. + 2(1) ρT —
R
2 2
ε
2
où σ = σ 1 —ρ désigne la variance sur l’horizon de
référence

Introduction
Example (Jorion, 2007)
Supposons que la volatilité quotidienne soit égale à 1%. Sur deux
semaines (10 jours de cotations), la volatilité est multipliée par
√
10 = 3.16 si l’on suppose l’absence de dépendance des
rendements (ρ = 0). En revanche, si ρ = 0.2, la volatilité
augmente de 3.79. Si ρ = 0.5, il faut mutiplier la volatilité
quotidienne par 5.10 pour obtenir la volatilité en base
bi-hebdomadaire.

Introduction
Préambule
Méthodes non paramétriques
Méthodes paramétriques
Les Méthodes Semi-Paramétriques
Préambule

Introduction
Préambule
On dénombre trois grandes classes de méthodes d’estimation de la
VaR :
1 Méthodes non−paramétriques(Historical Simulation,
Weighted Historical Simulation, Filtered Historical
Simulation...).
Méthodes semi−paramétriques (CAViaR, théorie des
extrêmes).
Méthodes paramétriques (ARCH, GARCH univarié, GARCH
multivarié, RiskMetrics).
2
3

Introduction
Préambule
Dans cette section, nous limiterons notre analyse aux méthodes
d'estimation de la VaR de type univariées applicables :
1 aux rendements associés à la détention d'un actir
aux rendements associés à la détention d'un portereuille
d'actirs en négligeant les gains liés à la diversification des
risques et les corrélations entre actifs.
2

Introduction
Préambule
Remarque : on trouve dans certains ouvrage le terme "méthodes
de calcul"’ de la VaR. Ce terme est impropre, on doit plutôt utiliser
le terme de "méthodes d’estimation" de la VaR. La VaR est le
fractile d’une distribution de P&L, dès lors deux solutions
1 Soit la distribution de P&L est connue, et à ce moment on
calcule le fractile correspondant
Mais généralement, la distribution de P&L n'est pas
connue ou les param%tres de cette distribution ne sont
pas connues. On doit estimer la densité associée, ou les
paramètres de cette densité, ou son fractile directement. On
parle alors de méthodes d'estimation de la VaR.
2

Introduction
Préambule

Introduction
Préambule
Definition (Méthodes non paramétriques)
Le principe général des méthodes non paramétriques
d’estimation / prévision de la Value-at-Risk est que l'on impose a
priori aucune distribution paramétrique de pertes et profits.

Introduction
Préambule
Les principales méthodes sont les suivantes :
1 Nistorical Simulation (NS)
2 Bootstrapped Nistorical Simulation
3 Simulation Historique et Estimation Non Paramétrique de
Densité
4 Weighted Nistorical Simulation (WHS) ou Nybrid
Method
5 Filtered Nistorical Simulation (FHS)

Introduction
Préambule
Simulation Historique

Introduction
Préambule
1 La simulation historique (Historical Simulation, ou HS) est
une méthode très simple qui est sans doute la plus utilisée
actuellement
Formellement, la VaR est estimée simplement par le rractile
empirique des rendements passés.
Si l’on considère par exemple un niveau de confiance de 95%
et que l’on dispose d’un échantillon de 1000 observations
historiques de rendements, la VaR est donnée par la valeur du
rendement qui correspond à la 50ème plus forte perte.
2
3

Introduction
Préambule
Definition
Soit (R1 , R2 , ..RT } la séquence des rendements Rt de l’actif ou du
portefeuille, observés aux dates t = 1 à T. A cette séquence
correspond un échantillon de T observations ( r1, r2,..,rT } .

Introduction
Préambule
Problem
Théoriquement, à chaque date, le rendement Rt est une v.a.r qui
admet une certaine distribution, notée fRt (.) , et donc un fractile
d’ordre α, noté VaRt (α) , qui lui est propre. Or, on ne dispose que
d’une seule réalisation, rt, de cette distribution. A partir de cette
unique réalisation, sans hypoth%se supplémentaire, il est
impossible d’estimer le fractile de la distribution des P&L à la date
t, c’est à dire la VaR.

Introduction
Préambule
Dans l’approche HS, on fait deux hypoth%ses tr%s rortes :
1 On suppose que la distribution non conditionnelle des
rendements est identique quelle que soit la date t :
fRt (w) = fR (w) 6t
par conséquent le rractile de cette distribution non
conditionnelle (la VaR) est aussi identique :
VaRt (α) = VaR (α) 6t
On suppose que les rendements R1, ..,RT sont
indépendamment distribués.
2

Introduction
Préambule
Nypoth%se : on suppose que les rendements Rt associés aux P&L,
observés à toute date t, sont identiquement et
indépendamment distribués (i.i.d) avec :
fRt (w) = fR (w) 6t
VaRt (α) = VaR (α) 6t

Introduction
Préambule
Solution
Sous l’hypothèse i .i .d, on dispose alors d'un échantillon de T
réalisations (r1 , r2 , .., rT } de T v.a.r. admettant la même
distribution (ou de la même variable aléatoire) et donc la même
VaR. Il est d%s lors possible d'estimer cette VaR.

Introduction
Préambule
^
Definition (VaR HS)
Sous l’hypothèse de rendements i .i .d., un estimateur convergent
de la VaR pour un taux de couverture de α% est défini par le
fractile empirique d’ordre α associés aux T réalisations historiques
des rendements, notées ( r1,r2, ..,rT } .
j
T
j=1
V aR (α) = percentile ( r } , 100α
p
V
^aR (α)
T
—
→
→
∞
VaR (α)

Introduction
Préambule
FhC.: Source : Jorion (2007)

Introduction
Préambule
Example
On considère les rendements quotidiens définies à partir des cours
à la clotûre du Nikkei entre le 05/01/2004 et le 02/05/2006, soit
un total de 5550 observations. Supposons que l’on classe par ordre
croissant les observations r1 , .., r5550 . La VaR HS à 1%est alors
égale à la 56e`me, soit :
V
^aRt (1%) = —0,01507%

Introduction
Préambule
FhC.: Rendements Quotidiens Nikkei 05/01/2004 - 02/05/2006
0.06
0.04
0.02
0.00
•0.02
•0.04
1000 2000 3000 4000 5000

Introduction
Préambule
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
• 0.02 0.00 0.02 0.04 0.06
EmpiricalCDF ofNIKKEI
• 0.04
• 0.02
0.00
0.02
0.04
0.06
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Quantiles ofNIKKEI

Introduction
Préambule
Remarque : La VaR HS est l’estimateur d’une VaR non
conditionnelle (ou associée à une distribution de P&L non
conditionnelle).
Par conséquent la prévision de VaR selon la méthode HS sera
relativement "invariante" aux modifications de
l’environnement économique.
Les prévisions de VaR selon la méthode NS sont "plates"
ou "pratiquement plates" (dans le cas rolling estimates).

Introduction
Préambule
C’est le principal déraut de cette méthode (Hendricks, 1996;
Boudoukh et al. 1998; Pritsker, 2006) : il est invraisemblable que
les nombreux facteurs microstructurels et macroéconomiques
concourant à la formation du prix d’un actif demeurent inchangés
dans le temps.
HEw
dRHCKS, D.. (1996), ”Evaluation of Value-at-Risk Models
Using Historical Data ”,Economic Policy Review, Federal
Reserve Bank of New York, April, pp. 39-69.
PRHTS
KER, M. (2006), "The hidden dangers of historical
simulation", Journal of Banking & Finance, Volume 30, Issue

Introduction
Préambule
T
T +1|T j j=1
VaR (α) = percentile ( r } , 100α
Problem
Comment construire une prévision de VaR selon la méthode
NS ?
La solution consiste tout simplement à utiliser le fractile empirique
associé aux observations passées R1,..,R2
L’idée est alors que puisque le rendement en T + 1 à la même
distribution que R1 , .., RT , un estimateur de sa VaR peut être
obtenu à partir de l’estimateur de la VaR des rendements passés.

Introduction
Préambule
Problem
Comment construire une séquence de prévisions de la VaR
selon la méthode NS (backtesting) ?
Comme pour tous les estimateurs, il y a deux solutions :
soit on construit un estimateur glissant (rolling estimate)
de la VaR en t + 1 à partir d’un sous ensemble
d’informations récentes de taille fixe (idée de
conditionnement).
soit on construit une successions d’estimateurs de la VaR
conditionnellement à toute l'inrormation disponible‚ qui
croît au rer et à mesure que le temps passe

Introduction
Préambule
FhC.: Prévision Glissante (Rolling Estimate)
temps
1ère
Estimation Prévision
1 T•N T•N+1
2ème
T•N+1 T•N+2
1 2

Introduction
Préambule
FhC.: Prévision HS non Glissante
temps
1ère
1 T•N T•N+1
2ème
T•N+1 T•N+2
1 2

Introduction
Préambule
Fact
Dans la littérature, on utilise généralement des séquences de
prévisions construites à partir d'une estimation glissante
(rolling estimate) afin d’introduire un "minimum de
conditionnement" dans la VaR-HS et de ne pas accorder trop de
poids aux réalisations des rendements les plus anciennes.

Introduction
Préambule
Definition (Prévisions VaR-HS)
Les prévisions glissantes de VaR pour un taux de couverture de α%
obtenues par la méthode de simulation historiques correspondent
au fractile empirique d’ordre α de la chronique des rentabilités
passées observées sur une fenêtre de taille Te :
t|t—1 j
VaR (α) = percentile (r } t—1
j=t—Te
, 100α

Introduction
Préambule
Plus la taille de la fenêtre Te est petite, plus les prévisions de
VaR seront volatiles
Plus la taille de la fenêtre Te est grande, plus la VaR prévue
convergera vers la VaR non conditionnelle et sera par
conséquent quasi "constante" dans le temps.

Introduction
Préambule
Example (Candelon et al. 2008)
Les auteurs considèrent les rendements quotidiens du Nasdaq et
appliquent trois méthodes de prévisions de la VaR à 5%dont la
méthode HS. Ils considèrent une estimation glissante (rolling
estimation) sur une fenêtre de 250 observations. Sur le graphique
suivant est reportée une séquence de 250 prévisions obtenues pour
la période du 22 Juin 2005 au 20 Juin 2006 ainsi que les
rendements observés ex-post.
Candelon, B, Colletaz, G, Hurlin C. et Tokpavi. (2008),
”Backtesting Value-at-Risk : A GMM duration-based test”,
Working Paper.

Introduction
Préambule
FhC.: Historical Returns and 5% VaR Forecasts. Nasdaq (June 2005-
June 2006)
0 50 100 150 200 250
• 0.03
• 0.02
• 0.01
0
0.01
0.02
0.03
Nasdad
Returns
Historical Sim ulation 5% VaR

Introduction
Préambule
Example (Christoffersen et Pelletier, 2004)
Les auteurs proposent un test de backtesting. Afin d’étudier les
propriétés de ce test, ils proposent des simulations de Monte Carlo
dans lesquelles ils simulent des rendements selon un processus
GARCH sous Student, puis appliquent la méthodologie HS pour
prévoir les VaR sur ces rendements simulés.
CHRHS
TOff ERS
Ew, P. F. i wd D. PELLETHER (2004),
"Backtesting Value-at-Risk : A duration-based approach",
Journal of Financial Econometrics, 2, 1, pp. 84-108.

Introduction
Préambule
FhC.: Source : Christoffersen and Pelletier (2004)

Introduction
Préambule
Bootstrapped Historical Simulation (BHS)

Introduction
Préambule
Une amélioration simple de la méthode HS consiste à
estimer la VaR à partir de données simulées par Bootstrap.
Le Bootstrap consiste à ré-échantillonner les données
historiques de rendements avec remise.

Introduction
Préambule
Plus précisément, la procédure consiste à créer un grand
nombre d'échantillons de rendements simulés, où chaque
observation est obtenue par tirage au hasard à partir de
l’échantillon original.
Chaque nouvel échantillon constitué de la sorte permet
d’obtenir une estimation de la VaR par la méthode NS
standard, et l’on définit au final une estimation en faisant la
moyenne de ces estimations basées sur les ré-échantillonnages.

Introduction
Préambule
Definition (Bootstrapped Historical Simulation)
Soit ˜
rs
j
n oT
j=1
une séquence de rendements tirés au hasard avec
remise dans l’échantillon de rendements historiques, et soit
˜ s
V aR (α) la VaR-HS associée à cet échantillon de rendements
bootstrappés. L’estimateur BNS (Bootstrapped Nistorical
^
V aR (α) =
1
S
Simulation) de la VaR correspond à la moyenne empirique des
VaR-HS obtenues à partir de S échantillons de rendements
boostrappés :
S
∑
s=1
˜ s
V aR (α)
˜ s
V aR (α) = percentile ( s T
j j=1
r̃ } , 100α s = 1, ..,S

Introduction
Préambule
Remarque 1 : Le fait de construire la moyenne d’un grand nombre
de VaR-HS obtenues sur des échantillons de rendements
boostrapés fait que l’on limite l’influence des pertes extrêmes,
notamment lorsque l’on utilise cette méthode pour la prévision. On
obtient ainsi des prévisions plus volatiles.

Introduction
Préambule
Remarque 2 : pour construire une prévision glissante par la
méthode BHS, il suffit de ré-échantilloner (pour chaque prévision)
non plus T valeurs, mais uniquement Te valeurs, où Te désigne la
taille de la fenêtre.

Introduction
Préambule
Example (Boostrapped Historical Simulation)
A partir des codes développés par Dowd (2005), Dutta et
Bhattacharya (2006) évaluent les peformances des prévisions de
VaR par la méthode BHS sur un indice de valeurs indiennes. Ils
reportent notamment l’histogramme des réalisations des VAR-HS
obtenues sur les 10 000 échantillons bootstrappés. Dans leur
application, la VaR(5%) HS était égale à 49.935 tandis que la VaR
BHS est égale à 51.23
Debashis Dutta and Basabi Bhattacharya (2006), "A
Bootstrapped Historical Simulation Value at Risk Approach to
S & P CNX Nifty", Working paper, Jadavpur University

Introduction
Préambule

Introduction
Préambule
Simulation Historique et Estimation Non
Paramétrique de Densité

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