1. 1
Specific greeks1 on cliquet options and variance options
Synopsis : Ce projet, commencé en 2010, visait la détermination et le calcul des sensibilités
adaptées à la gestion de produits dérivés de type « cliquets2 », ou de type « options sur
variance », gérés avec un modèle à volatilité stochastique. Ce projet avait également pour
objectif de déterminer le portefeuille de couverture en delta optimal pour les options sur
variance. Le développement continu du marché de produits dérivés de type « cliquet » et des
produits de type « options sur variance » exigeaient de gérer plus finement les risques des
produits, et avec des coûts moins élevés. MWA disposait pour ses clients d’un modèle à
volatilité stochastique permettant la prise en compte de nouveaux effets, il est apparu
judicieux de l’exploiter afin de développer de nouveaux modules permettant une meilleure
détermination des risques, et améliorer ainsi la couverture de son modèle de volatilité
stochastique. La problématique majeure du projet était liée à une détermination exhaustive des
risques encourus par les produits dérivés ; par ailleurs, il fallait déterminer lesquels de ces
produits étaient susceptibles d’être impactés par le modèle. La difficulté résidait donc dans la
détermination de la sensibilité. Ainsi, pour avoir un effet notable, choisir la bonne sensibilité
était primordiale. Or cette détermination n’était pas triviale et impliquait des calculs
complexes. Dans le cas particulier des solutions de type options sur variance, MWA a
déterminé le portefeuille de couverture optimal en delta à l’aide de « Variance Swap ». Cette
détermination était sujette à de nombreuses hypothèses simplificatrices qui rendaient instables
les développements. Ces travaux de calcul de risques, ainsi que l’élaboration de répartition via
les "deltaVarSwap" ont permis d’améliorer la gestion des risques sur une gamme importante
et en pleine croissance de produits dérivés. Ils ont également permis de réduire les coûts de
couverture sur des produits de types options sur variance. L’approche utilisée pour la
constitution du portefeuille de couverture en delta sur les options sur variance est extensible à
d’autres modèles. Il s’agissait de travaux nouveaux qui n’avaient jamais été discutés pour des
produits dérivés de type cliquets. Ces travaux étaient de deux natures : tout d’abord, ils ont
consisté à développer des équations mathématiques de modélisation des phénomènes et ils ont
ensuite consisté en une programmation (analyse numérique et implémentation) de ces
modèles. Cette deuxième partie de discrétisation a permis à MWA d’utiliser par la suite ces
modèles dans ses librairies. Les travaux de recherche engagés sur ce projet étaient intégrés à
un programme de recherche global sur la gestion financière des options lancé par MWA
depuis 2010 ; les travaux de 2010 et 2011 visaient entre autres, lors du pricing de produits
dérivés, à concevoir un modèle permettant de tenir compte de contraintes de hedging issues de
problématiques réglementaires (interdiction de vente à découvert) ou de marché (liquidité des
sous-jacents).
Les lettres grecques ou grecques ou grecs sont les instruments de base de la gestion financière des options. Elles découlent des
principaux modèles d'évaluation d'option, notamment de celui de Black et Scholes.
2 Produits à effet de structure cumulatif dans la mesure où le taux payé à chaque échéance est déterminé sur la base d’une
incrémentation cumulative par rapport au taux de la ou des échéances précédentes, qui servent ainsi de base pour la
détermination des taux suivants, de telle sorte que le taux supporté ne peut qu'augmenter voire se stabiliser.
1
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2. 1.1
Contexte de l’opération
Le développement continu du marché de produits dérivés de type « cliquet » et des
produits de type « options sur variance », ainsi que la compétition accrue entre les
différents acteurs présents sur ces marchés exigeaient de gérer plus finement les
risques des produits, et avec des coûts moins élevés. Nous disposions au lancement
des travaux dans nos systèmes d’un modèle à volatilité stochastique permettant la
prise en compte de nouveaux effets, il est apparu judicieux de l’exploiter afin de
développer de nouveaux modules permettant une meilleure détermination des
risques, et améliorer ainsi la couverture du modèle. Les travaux sur cette thématique
se sont déroulés de 2010 à 2012.
1.2
Objet du projet
1.2.1
Objectif visé
Le but du projet était de déterminer et calculer des sensibilités adaptées à la gestion
de produits dérivés de type « cliquets », ou de type « options sur variance », gérés
avec un modèle à volatilité stochastique.
Ce projet avait également pour objectif de déterminer le portefeuille de couverture en
delta optimal pour les options sur variance.
En effet, pour des options traditionnelles, le risque le plus important est le risque de
variation de la valeur de l’option en fonction du niveau du sous-jacent. Ce risque est
évalué via le calcul d’une sensibilité appelée Delta, et définie sur une option a un
sous-jacent par :
.
La sensibilité d’ordre 2 au niveau du sous-jacent est appelée gamma, et rend compte
de la stabilité du delta. Elle est définie par :
.
Etant donné que les Variance Swap (VS) sont des instruments très liquides, les
options de type « options sur variances » sont gérées directement comme des options
dont les sous-jacents sont des VS. Il devient alors important de savoir calculer les
sensibilités d’ordre 1 et 2 à la valeur du VS. Ces sensibilités sont respectivement
appelées « DeltaVarSwap » (DeltaVS) et « GammaVarSwap » (GammVS).
1.2.2
Performances à atteindre
Il s’agissait d’identifier le plus finement possible les risques portés par les produits
de la gamme cible, et quantifier le plus exactement possible leur niveau.
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3. De façon plus détaillée, les produits cibles, qui sont des options sur la variance d’une
sous-jacent action ou indice donné sont en réalité parfois décrits comme des options
sur le sous-jacent. Mais les traiter comme tels reviendrait à avoir une couverture très
instable. Cependant, une bonne compréhension du produits montre que ce sont en
fait des options sur des VS sur notre sous-jacent, avec de termes différents.
Le travail attendu après notre modélisation était de trouver les bonnes quantités de
couverture relatives aux VS de chaque maturité afin d’annuler la sensibilité du
portefeuille aux variations de la structure par terme de vol VS. Ensuite, de trouver un
bon indicateur de la sensibilité d’ordre 2 à ces VS.
1.3
Analyse de l’état de l’art
1.3.1
Etat de l’art scientifique
La gamme de produits financiers offrant une exposition aux variations de niveaux de
volatilité du rendement des actifs financiers a vu son intérêt grandement accru.
Cependant, les modèles disponibles pour la couverture des risques de volatilité
demeurent encore limités. Ces limites sont dues à l’absence d’un cadre de tarification
et de couverture flexible et efficient permettant l’introduction des produits dérivés de
volatilité comme instrument de gestion des risques.
Plusieurs auteurs ont étudié les problématiques liées à l’évaluation et la couverture
d’instruments financiers permettant de pallier ces limites :

Detemple, J., Osakwe, C., (2000). The Valuation of Volatility Options
European Finance Review, 4, 21-50 ;
 Heston, S.-L., Nandi, S. (2000). Derivatives on Volatility : Some Simple
Solutions Based on Observables Working Paper, Federal Reserve Bank of
Atlanta ;
 Saseville, C., (2002). Option Pricing Using GARCH Models : An Empirical
Examination Working Paper;
 Etc.
Notre analyse de l’état de l’art scientifique nous a permis de démontrer que les
travaux publiés par Heston & Nandi (2000), semblaient être une approche à potentiel
dans le domaine. Ces travaux portaient sur la mise en œuvre d’une solution
analytique de tarification d’une option d’achat. Cette solution, basée sur la variance
dans le contexte d’un « modèle3 à temps discret permettant de capter le caractère
stochastique de la variance du rendement d’un actif », était « la plus avancée dans le
sens qu’elle était adaptée au cas de l’évaluation de titres non-linéaires, qu’elle proposait une
stratégie de couverture et reposait sur une famille de modèle de marché bien accepté dans la
littérature financière que dans la pratique ».
Selon ce modèle, pour une période de temps donnée, le niveau de la variance du rendement d’un actif dépend à la fois du
niveau de la variance pour les périodes précédentes et des chocs ayant affecté le rendement de l’actif. Cette spécification permet
de reproduire la persistance expliquant les périodes de fortes et de faibles volatilités observées empiriquement.
3
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4. Cependant, cette solution ne pouvait être généralisée à l’évaluation d’une option
portant sur la volatilité et était limitée à un seul des modèles discret permettant de
capter le caractère stochastique de la variance du rendement d’un actif. Ainsi, bien
qu’évoluée, cette solution manquait de flexibilité.
La problématique traitée dans ce projet était donc de proposer un cadre de
tarification flexible et efficient pour évaluer tant des options européennes que des
contrats à terme dont la variable sous-jacente est la variance du rendement d’un
actif4. Notre approche scientifique était de réaliser une approximation analytique
permettant de résoudre le problème d’évaluation de produits dérivés de variance et
ce, dans le contexte du modèle à temps discret.
1.3.2
Techniques et concepts existants
Une option cliquet est une option dont le prix d’exercice peut être ajusté au cours de
la durée de vie de l’option. Cet ajustement intervient à des périodes (généralement
régulière) bien définies dès le début de l’option. Ainsi le prix d’exercice X (Strike),
changera s’il y a un avantage pour le détenteur, à la date de réajustement et ce prix
d’exercice sera porté au cours de marché du sous-jacent. Donc plusieurs cas (trois)
peuvent se présenter au cours de la vie de l’option cliquet.
Figure 1.1 - Les payoffs d'un cliquet put : 1 er cas
4
Le cadre de tarification peut être adapté au cas des produits dérivé de volatilité.
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5. Figure 1.2 - Les payoffs d’un cliquet put : 2ème cas
Figure 1.3 - Les payoffs d’un cliquet put : 3 ème cas
Quelques solutions couvrent un périmètre technico-fonctionnel voisin de celui que
nous ciblions. Nous les avions identifiées à l’entame du projet et nous avions mis en
exergue pour chacune d’entre elles de fortes limitations techniques :
 La valorisation de ces options cliquets pouvait être réalisée par une solution de
Gray et Whaley 1999 dans le cas d’une seule période de rajustement. Cette
méthode valorise ainsi le cliquet put option selon une « approche
horizontale » qui consiste à séparer les payoffs terminaux attendus du cliquet
des trois résultats possibles (comme montré précédemment), puis d’en faire
une somme pondérée par les probabilités d’occurrence des différents
évènements ;
 D’autres méthodes de valorisation ont été proposées notamment par Haug et
Haug en 2001 (méthode binomiale).
La principale carence qui nous empêche de nous appuyer de façon immédiate sur ces
solutions a trait au fait que ces études et méthodes présentes dans l’état de l’art au
lancement du projet étaient limitées (une seule période de réajustement). De plus
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6. celles-ci ne nous permettaient pas de calculer les sensibilités nécessaires : adaptés à la
gestion de ces produits.
1.3.3
Conclusions et constats d’insuffisance de l’existant
Il apparait clairement qu’aucun résultat abouti de recherche fondamentale ni aucune
solution technique disponible à l’entame de ce projet ne permettait d’atteindre nos
objectifs en termes de tarification flexible et efficient pensée pour évaluer tant des
options européennes que des contrats à terme dont la variable sous-jacente est la
variance du rendement d’un actif.
Un processus itératif, à la jonction entre la recherche appliquée et le développement
expérimental était donc requis pour nous permettre de construire d’une part un
modèle de détermination et de calcul des sensibilités adaptées à la gestion de
produits dérivés de type « cliquets », ou de type « options sur variance », gérés avec
un modèle à volatilité stochastique. D’autre part, il nous fallait construire un modèle
permettant de déterminer le portefeuille de couverture en delta optimal pour les
options sur variance.
1.3.4
Incertitudes scientifiques et verrous technologiques
La problématique majeure de nos travaux était la suivante : Comment réaliser une
détermination exhaustive des risques encourus par nos produits et déterminer
lesquels de ces produits sont susceptibles d’être impactés par notre modèle volatilité
stochastique ? La difficulté résidait dans la détermination de la sensibilité. Pour avoir
un effet notable, choisir la bonne sensibilité était primordiale, or cette détermination
n’était pas triviale et impliquait des calculs complexes.
Par ailleurs, dans le cas particulier des produits de type options sur variance, nous
devions déterminer le portefeuille de couverture optimal en delta à l’aide de
« Variance Swap ». Cette détermination est sujette à de nombreuses hypothèses
simplificatrices qui rendent instables les développements.
1.4
Travaux effectués
Les produits concernés par ce projet étant classés confidentiels, nous ne les
présenterons pas dans la description de nos travaux, car nous n’avons pas
l’autorisation de le faire compte tenu des exigences strictes de confidentialité
appliquées par nos clients. La documentation et les schémas d’architecture des
modèles imaginés sont soumis à copyright.
1.4.1
Etude préliminaire des travaux de recherche en 2010
Le but de nos travaux préliminaires au lancement de nos travaux en 2010 était de
tenir compte, lors du pricing de produits dérivés, de contraintes de hedging issues de
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7. problématiques réglementaires (interdiction de vente à découvert) ou de marché
(liquidité des sous-jacents). Les contraintes citées ci-dessus se traduisaient
immédiatement en contrainte sur les greeks :
 Delta positif pour l’interdiction de vente à découvert ;
 Delta ou Gamma inférieur à une certaine valeur max pour la liquidité.
Celles-ci pouvant augmenter le prix du produit, il était indispensable d’en tenir
compte lors du pricing, mais aussi pour les greeks afin de fiabiliser la gestion
quotidienne de ces produits.
La motivation de ces travaux était en grande partie due à la crise qu’ont subie les
marchés ces dernières années. L’interdiction de vente à découvert est plus rare, au
moins ponctuellement, et l’attention portée aux sous-jacents moins liquides s’est
grandement renforcée dans l’optique du risk management.
Quelques articles ont été écrits au sujet de la sur-réplication sous contraintes, mais
n’avaient jamais été exploités chez notre client.
En s’en inspirant, il nous a fallu ré-écrire et améliorer l’algorithme afin qu’il soit
adapté à nos besoins :
 Contraintes Delta et Gamma ;
 Généricité pour tout type de payoff priçable en EDP5 ;
 Optimisation pour rendre raisonnable le temps de calcul.
Enfin, la technique de sur-réplication sous contraintes greeks existait notamment chez
nos concurrents, mais cette technique était utilisée pour des cas simples et des
produits simples. Nous avons souhaité développer un outil capable de traiter
plusieurs payoff et offrir une plus grande généricité (D1, D2 Stock Rate, D2 Stock
Stock -contrainte sur une seule stock- et avec ou sans PathDep). En effet, le peu
d’articles traitant le sujet et les formules étaient uniquement théoriques et loin d’être
pratiques, par exemple, sur le retraitement du payoff.
La formule d’une option Vanille sous le modèle Black-Scholes avec contrainte
Gamma est bien connue, mais la multitude de payoffs différents traités et éligibles à
ces contraintes pour la salle de marché de notre client a rendu indispensable la
création et l’implémentation d’un algorithme propriétaire, rapide et robuste, tout en
étant générique.
Parmi les problématiques techniques, outre le temps de calcul assez prohibitif d’un
algorithme naïf, il nous a fallu par exemple se poser la question de la persistance des
contraintes lors des évènements produits (clauses de sortie, constatations), sousjacents (dividendes), ou modèle (volatilité incertaine de type Avellaneda).
L’idée est d’appliquer un lissage du payoff, afin qu’il obéisse aux contraintes. Dans le
cas de payoff multiples, chaque payoff est calculé séparément (comme pour la
5
EDP : Equations aux Dérivées Partielles
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8. volatilité Avellaneda), mais on se garde la possibilité, via le scripting, de netter tous
les payoffs afin d’appliquer la contrainte sur le greek global.
Le lissage est appliqué évidemment au payoff terminal. Il est aussi appliqué à chaque
fois qu’un jump (dividendes, clauses, pathDep) peut altérer les propriétés voulues :
 Le temps de calcul peut vite se détériorer ;
 En diffusion sans jump, les propriétés sont conservées, sauf en vol locale (d’où
l’exclusion).
En 2010, nous avons émis deux hypothèses :
 La première concerne l’algorithme que nous avons défini par la suite
d’algorithme « naïf » ;
 La seconde est le développement d’un algorithme Primal-Dual, qui trouve la
stratégie optimale de sur-réplication sous contraintes.
C’est cette seconde hypothèse que nous avons retenue pour la suite de nos travaux
en 2011, car celle-ci nous permettait de recalculer les payoffs tout en saturant les
contraintes.
1.4.2
.1.4.2.1
Approche de modélisation en 2011
Hypothèse 1 : Méthode naïve
Le principe de notre approche en 2011 consistait à parcourir le payoff en le corrigeant
pour obéir aux contraintes
 De gauche (spotMin) à droite (spotMax) pour le Delta Inf ;
 De droite à gauche pour le Delta Max.
Il en était de même pour la contrainte Gamma.
Figure 1.4 - Callspread sous contrainte Delta
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9. Nous nous sommes aperçus par la suite que cette méthode n’était pas suffisante. En
effet, bien qu’elle offre l’avantage d’être simple et rapide, l’inconvénient majeur était
que nous n’avions aucune preuve qu’un traitement n’altère pas les qualités du
précédent (interactions Delta/Gamma).
.1.4.2.2
Hypothèse 2 : Programmation linéaire
L’algorithme développé et appliqué en EDP au payoff à différents moments
stratégiques de sa vie, permettait d’obtenir le prix minimal sous les contraintes
imposées.
Nous avons appliqué l’algorithme à des produits Vanille sur lesquels nous
connaissions explicitement une formule théorique. Les résultats étaient totalement
satisfaisants. Nous avons réitéré des tests sur des produits plus complexes (pathdependent ou bi sous-jacents) ou sur des cas limites. Dans l’ensemble, les résultats
étaient conformes aux attentes, à la condition néanmoins que les contraintes
imposées ne soient pas trop fortes (exemple : put à delta positif).
Notre équation était la suivante, où ĝ devait être la solution du problème :
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
min g (S )  g (S ),   S ² g SS ,  S ² g SS ,   g S ,  g S   0
Localement, le minimum devait forcément saturer une des contraintes. Cela nous a
conduits à la notation matricielle suivante :
Grid N points
θ i Є Ө= {0, 1, 2, 3 ,4}
g(Si) : payoff pour Spot i (ε-LogSpaced)
indicateur de la contrainte saturée au Spot i
Matrice Tri-Diag
 A0 ( 0 )
 0

 

 0
ˆ
  g ( S1 )   B0 ( 0 ) 
  g ( S )   B ( ) 
ˆ 2

 1 1 

0       
 
 

ˆ
0 AN ( N )  g ( S N )  BN ( N )
0

A1 (1 ) 


0

A i (0)  { 0, 1, 0} A i (1)  { - 1   / 2, 2, - 1   / 2} A i (2)  {1   / 2, - 2, 1   / 2} A i (3)  {1, 0, - 1} A i (4)  {-1, 0, 1}
Bi (0)  g(S)
Bi (1)  - . ²
Bi (2)  . ²
Bi (3)  .S / 2 Bi (4)  .S / 2
1.4.3
Cas d’application
Call
K  70%
  0.5
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10. CallSpread
K  95% / 105%
0.01    0.3
  0.5
Nous avons pu démontré que la méthode convergeait et qu’elle saturait également
les contraintes (en partant de la plus forte à la plus faible) tout en recalculant les
payoff lors d’évènements produits, sous jacents ou modèles.
In fine les contraintes disponibles sont les suivantes :
 Delta Min ;
 Delta Max ;
 Gamma Max ;
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11. Cependant notre algorithme ne pouvait solutionner les contraintes Inf sur le Gamma.
En effet, le terme a été abandonné car celui-ci n’assurait pas la condition de stricte
positivement de la matrice Tri-Diag présentée dans l’hypothèse 2.
Notre méthode ne pouvait pas être encore appliquée à une volatilité locale (ni ST, ni
FP), car trop de points du spot devaient être pris en compte. Cependant, le
développement de ce pricing sous contraintes de greeks nous a permis de renforcer le
risk-management sur les dérivés et préparés nos travaux de recherche de 2012. La
généricité de l’algorithme a permis d’étendre cette méthodologie sur des produits
complexes, ce qui n’est à notre connaissance pas le cas chez la concurrence. Cette
fonctionnalité doit permettre de pricer des payoffs sous contraintes Delta ou
Gamma :
 Décisions de régulateurs ;
 Problématiques de hedge.
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12. En 2011, certains produits ont été bookés avec des contraintes sur le Gamma, afin que
le hedge en Delta à passer en intraday ne soit pas incompatible avec la liquidité du
sous-jacent. L’algorithme a été validé. Cependant, nous avons réussi à déceler les cas
limites pour mettre en place une alerte lorsque la contrainte est trop forte pour
donner un prix qui ait du sens. Par exemple, une alerte est levée dans notre applicatif
pré-trade (“Pricing Warning : constrained lifted Payoff depends on grid bounds”) si les
contraintes rendent un payoff lifté dépendant des bornes de la grille. Cela peut être
causé par deux éléments :
 L’alerte ne serait plus levée avec une grille plus large ;
 Sur-réplication impossible.
Quelques soient les bornes de la grille, le payoff contraint était donc toujours impacté
par celles-ci.
1.4.4
Définition du problème de recherche en 2012
A la suite de nos travaux de 2010 et 2011, l’approche retenue dans le cadre de nos
travaux en 2012 était de calculer les « DeltaVarSwap » de nos options sur variance, ce
qui devait nous permettre de constituer le portefeuille optimal pour la gestion du
risque en delta des options, et permettre également d’expliquer les variations de prix
des produits.
Nous avons utilisé les hypothèses de développement suivantes :
 Le risque par rapport au skew forward, le risque à la corrélation
spot/volatilité, le risque à la variance de la volatilité (importants dans un
produit de type cliquet) ainsi que le risque à la variance de la volatilité
(important dans un produit de type option sur variance) sont quantifiables à
l’aide du modèle à volatilité stochastique ;
 Les sensibilités aux paramètres retenues dans le cadre de notre travail
permettront de quantifier ces risques.
Les différents modèles à volatilité stochastique disponibles dans notre librairie ont
été utilisés dans le cadre de ce travail. Mais l’approche retenue était générique et
pouvait être étendue à tout modèle à volatilité stochastique calibré sur la structure
par terme de variance swaps.
Les nouvelles grecques spécifiques au Model IV devaient être activables via
l’interface de pricing. La figure suivante présente les différents indicateurs que nous
devions proposer au trading par le biais de notre outil.

13. Figure 1.5 - Interface présentant les nouveaux indicateurs de risques (Greeks)
Ainsi les indicateurs que nous devions déterminer étaient les suivants :
 Sensi Correl Spot Vol : Les paramètres de corrélation entre le spot et la
volatilité du spot en Modèle IV sont : Rho et Omega. Cette grecque calculera
une sensibilité jointe à ces deux paramètres. La valeur retournée devra
correspondre à : (P (Rho + epsilon, Omega+ epsilon) – P (Rho, Omega)) avec
un epsilon égal à 0.05 ;
 Delta VS : Sur le modèle du Vega Term, cette grecque devra renvoyer la
sensibilité à la volatilité VarSwap correspondant à chaque pilier de la Term
structure de variance ;
 Thêta VS : Cette grecque permettra de réaliser un Thêta ajusté pour que le prix
en J+1 ne se fasse pas avec une baisse automatique de Variance. En fait, les
volatilités VarSwap aux différentes dates de la Term Structure seront
conservées dans les deux prix ;
 Vega VS and Voma VS : C’est une sensibilité jointe aux deux vol de vol du
Modèle IV : Sigma et Sigma0. La valeur retournée pour le Vaga correspond à :
(1.0/5%)*(P (Sigma*(1+5%), Sigma0*(1+5%))-P (Sigma, Sigma0)) et le Voma
retournera l’approximation centrée de la dérivée seconde équivalente ;
 Vega VS CST Skew and Voma VS CST Skew : Le calcul était pratiquement le
même que précédemment. Seulement, les corrélations Rho et Omega sont
ajustées afin de garder les produits Sigma*Rho et Sigma0*Omega constants.
Pour avoir des corrélations toujours supérieures à -1, le Voma ici devra être
décentré.
 Etc.
1.4.5
.1.4.5.1
Développement du modèle, problématique des Gammas
Hypothèses
Dans l’élaboration des différents indicateurs nous avons rencontré des difficultés au
sujet de la détermination du Gamma VarSwap. Nous avons à ce sujet considéré deux
hypothèses d’étude :

14.  Gammas « Purs » (diagonaux + croisés) ;
 Gammas Corrigés (intégrant une projection des termes croisés).
Ainsi, pour étudier ces deux hypothèses nous avons supposé trois maturités de
projection : T1, T2 et T3 avec T1<T2<T3.
.1.4.5.2
Rappel
Les deltas sont calculés en faisant des déformations Backward. Cette approche évite
de créer des arbitrages avec les déformations :
.1.4.5.3
Gammas « purs »
Dans le même esprit nous avons calculé les Gammas en backwardant, de manière à
ne pas répliquer de déformations susceptibles de créer des arbitrages dans la Term
Structure. Ainsi nous avons déterminé les formules approchées suivantes :
 Termes Diagonaux :
 Termes croisés :
Ces approximations permettent de retrouver le Gamma « global » :
.1.4.5.4
Gammas Corrigés
Nous avons, après des itérations, déterminé une formule permettant de calculer cet
indicateur comme la sensibilité du delta calculée pour chaque maturité en réalisant
une différence des deux deltas VS. Ceux-ci sont obtenus avec la méthodologie cidessus à partir d’une part de la Term Structure de Vols Var Swap initiale, et d’autre
part de la Term Structure décalée de « eps ». Nous obtenons alors :

15. Les Gammas ici comportent une projection des termes croisés qu’il n’est plus
nécessaire de calculer.
1.4.6
Tests
Ces différentes hypothèses, qui sont en fait des résultats d’études théoriques ont
donc tout naturellement été vérifiées à travers les calculs. Les simulations et les
différents tests ont permis de les confirmer. Il a particulièrement été vérifié que dans
des cas triviaux, nous obtenions les résultats attendus. Puisque ce sont des quantités
numériques, un travail de choix de paramètres optimaux a parfois été nécessaire
(amplitude des chocs pour le calcul de sensibilité, etc.).
1.5
Conclusions
Pour une meilleure précision, nous aurions pu utiliser les Gammas « Purs »
(diagonaux et croisé), mais le temps de calcul peut s’avérer long. Cependant, si
l’information renvoyée par les Gammas corrigés était suffisante, nous pouvions les
utiliser comme une approximation acceptable. Ceux-ci avaient l’avantage de
diminuer le temps de calcul, en effet, moins de prix étaient calculés dans ce cas.
Nous avons décidé d’implémenter les deux versions afin de permettre le calcul de
trois types de Gammas :
 GAMMAVS (pour les termes diagonaux des Gammas « Purs ») ;
 CROSSGAMMAVS (Pour les termes en dehors de la diagonale) ;
 CORRGAMMAVS (Pour les Gammas Corrigés).
Cela permettra au trading de choisir le cas qui correspond le mieux à son action.
Le calcul de ces nouvelles sensibilités et le calcul du portefeuille de couverture ont
contribué à donner une meilleure visibilité des risques contenus dans les produits
cibles de l’étude, et à favoriser une meilleure gestion de ces risques par le trading.
Ces travaux se sont terminés en fin d’année 2012, cependant il n’est pas exclu que
d’autres travaux soient nécessaires pour répondre à une évolution du marché ou à
des instabilités constatées par le trading en 2013.