- Les hypothèses du modèle black scholes - Le modèle black scholes - Les formules black scholes - les ratios de couverture d'une option européenne - La volatilité implicite - Les limites du modèle BS

1. F
aculté des
U
S
niversité
C A
T
ciences et
adi
yyad
echniques
M
arrakech
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Modèle de Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Preparé par :
Amal ELJADIRI
Evalué par :
Mme.Khadija AKDIM
Année Universitaire : 2012/2013
Conclusion

2. PLAN
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Introduction
Les Formules de
Les Hypothèses du Modèle
Les Ratios de
Black Scholes
Couverture d'une
Le Modèle Black Scholes
Les Formules de Black Scholes
Les Ratios de Couverture d'une Option Européenne
La Volatilité Implicite
Les Limites du Modèle BS
Conclusion
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

3. Introduction
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Un peu d'historique...
Robert C. Merton a été le premier à publier un article développant
l'aspect mathématique d'un modèle d'évaluation d'option en citant les
travaux de Fischer Black et de Myron Scholes. Ceux-ci, publiés en 1973,
se fondent sur les développements de théoriciens comme Louis Bachelier
ou encore Paul Samuelson. Robert Merton et Myron Scholes (Fischer
Black était décédé en 1995) ont obtenu en 1997 le prix de la Banque de
Suède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel. Black a été
cité comme contributeur.
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

4. Introduction
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Le concept fondamental de Black et Scholes fut de mettre en rapport
le prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacent
à temps continu. Black et Scholes avaient proposé une formule pour
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
estimer la valeur théorique d'une option nancière de type européenne
option européenne
(call ou put).
La Volatilité
Le modèle de Black Scholes est devenu la référence en termes de
Implicite
Les Limites du
modèle d'évaluation des produits dérivés. Il a eu un impact majeur sur
Modèle BS
les méthodes utilisées par les traders, tant vis-à-vis de l'évaluation du
Conclusion
prix des options que dans l'élaboration de technique de couverture. Ce
modèle constitue le point de départ de l'essor de l'ingénierie nancière
dans les années 1980 et 1990.

5. Les Hypothèses du Modèle
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
•
•
Le temps est une fonction continue,
Les options sont de types européennes : elles ne peuvent s'exercer
qu'à la maturité,
•
Le sous-jacent considéré ne paye pas de dividendes pendant la période
considérée (ou du moins un dividende constant),
•
•
•
•
Le prix de l'actif sous-jacent suit un mouvement brownien,
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
La vente à découvert est possible,
Les Limites du
Les coûts de transactions sont nuls, et il n'y a pas de restriction sur
Il n'y a pas de taxes,
Il existe un taux d'intérêt sans risque, connu et constant pendant la
période considérée,
•
Scholes
Il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage,
leurs volumes,
•
•
Le Modèle Black
Les sous-jacents sont parfaitement divisibles (on peut par exemple
acheter 1/100e d'action).
Modèle BS
Conclusion

6. Le Modèle Black Scholes
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Énoncé
Scholes
Le modèle de BlackScholes est, à l'origine, un modèle à deux actifs :
l'un risqué St (l'action sous-jacente à l'option), l'autre pas Rt(une
obligation).
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
stochastique (EDS) suivante :
Conclusion
dSt = µSt dt + σ St dWt (∗)
: paramètre réel
Les Ratios de
option européenne
Le prix de l'action, St t=0, est régi par l'équation diérentielle
µ
Black Scholes
Couverture d'une
Rt = e rt
, où r le taux sans risque.
Wt
Les Formules de
σ
: la volatilité de l'actif, 0
S0
: mouvement Brownien sur un espace probabiliste (Ω,F,P)
: connu

7. Le Modèle Black Scholes
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Signification
Les Ratios de
Couverture d'une
(*) =
dSt
= µdt + σ dWt
St
C'est le rendement du spot St . Il est à peu près constant égal à µdt,
une (petite) perturbation aléatoire σ dWt . L' amplitude de cette
perturbation est mesurée par la volatilité σ .
option européenne
La Volatilité
Implicite
à
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

8. Le Modèle Black Scholes
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Solution de l'EDS (*)
Le Modèle Black
Scholes
La solution est :
t
St = S0 +
0
µSu dx +
t
0
Les Formules de
Black Scholes
σ Su dWu
St = S0 e
2
Couverture d'une
option européenne
Ou encore, en utilisant la Formule d'Ito :
2
(µ− σ
Les Ratios de
La Volatilité
Implicite
)t +σ Wt
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Rappel : La formule d'Ito
Si f : IR - IR de Classe
C2
f (W t ) = f (0) +
, Alors :
t
0
f (Ws ) dWs +
t
1
2
0
f (Ws ) ds

9. Le Modèle Black Scholes
Introduction
Exemple
Les Hypothèses du
Considérons un agent qui investit dans ce marché. Désignons par
βt
αt
et
les nombres respectifs d'obligations et d'actions détenues par l'agent
à l'instant t. La valeur du portefeuille de cet investisseur est :
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Vt = αt .Rt + βt .St
la stratégie de nancement(
αt , β t)
est un processus adapté : pour
déterminer la stratégie on n'anticipe pas sur le futur car on ne dispose
que de l'information jusqu'à l'instant t. Cela proscrit en particulier les
délits d'initiés. Nous supposons que cette stratégie est autonancée.
c'est à dire :
dVt = αt .dRt + βt .dSt
Donc le portefeuille actualisé
˜
Vt = e −rt Vt
est aussi autonancé, et on a :
˜
˜
d Vt = αt .d St
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

10. Le Modèle Black Scholes
Exemple (suite)
Introduction
- Le marché est viable : il existe une probabilité
ˆ
P
pour laquelle
˜
St
est
une martingale locale. C'est l'équivalent de l'AOA dans un marché
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
discret.
c
r −µ
ˆ
d P = e c .Wt − .T , c =
σ
2
Les Formules de
2
- Le marché est
Black Scholes
µ−r
˜
˜ ˆ ˆ
, d St = σ.St .Wt , Wt = Wt −
.t (MB )
σ
complet : Tout actif de la forme : Zt=φ(St) (donc
σ
ˆ
˜
St = S0 .e σ.Wt −
2
.t
2
toute variable aléatoire Ft mesurable) est réplicable (duplicable). Cela
résulte du théorème de représentation des martingales dû à Ito.
Résultat
En notant
Les Hypothèses du
ˆ
E
l'espérance pour la probabilité
ˆ
P,
on a :
˜
ˆ
˜
˜
˜
Vt = E (ψ(St )/Ft ) = f (t , St ), ψ(St )martingale
Avec,
f (t , x ) =
1
(2π)
+∞
.
√
−y
ψ(x .e σ.y . (T −t ) ).e
dy
2
2
−∞
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

11. Le Modèle Black Scholes
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Pour une option
Les Ratios de
Couverture d'une
- Son prix est :
option européenne
˜
V0 = V0 = f (0, S0 )
La Volatilité
Implicite
- Avec :
Les Limites du
f (0, S0 ) =
1
(2π)
+∞
.
−∞
ψ(S0 .e
√
σ.y .
(T )
).e
−y 2
2
Modèle BS
dy
Conclusion

12. Les Formules de Black Scholes
Pour un Call
Introduction
La valeur d'un actif à l'instant T est
(St − K )+,
¯
C = S0 . N ( d 1 ) − K . e
où
¯
N
−rT
et à la date t est :
¯
.N ( d 2 )
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
est la fonction de répartition d'une N(0,1) :
¯
N (x ) =
et
d1 =
Les Ratios de
x
1
(2π)
e
.
−u 2
Couverture d'une
du
−∞
log ( S ) + T (r +
K
0
σ
2
(T )
Les Limites du
σ2
2
)
(T )
(K − St )+,
¯
P = −S0 .N (−d 1) + K .e
−rT
Modèle BS
Conclusion
Pour un Put
La valeur d'un actif à l'instant T est
La Volatilité
Implicite
et
d2 = d1 − σ
option européenne
et à la date t est :
¯
.N (−d 2)

13. Les Formules de Black Scholes
Introduction
Les Hypothèses du
Remarque :
Modèle
- La Formule de Call Put Parity est bien vériée. En eet, puisque
est une martingale sous
C −P =e
−rT
ˆ
P,
on a :
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
ˆ
.E ((ST − K )+) − e
−rT
Black Scholes
ˆ
.E ((K − ST )+)
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
Donc
C −P =e
−rT
ˆ
.E (ST ) − e
−rT
.K
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Finalement
C − P = S0 − e
- Connaissant K,
˜
St
S0 ,
r,
µ
−rT
Modèle BS
.K
et T, on peut facilement calculer la valeur du
Call et du Put sous Excel :
Conclusion

14. Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Les Grecques
Le Modèle Black
Les Grecques sont des indicateurs qui mesurent la sensibilité du prix par
Scholes
rapport à un paramètre donné.
Les Formules de
•∆
Black Scholes
mesure la sensibilité du prix par rapport au sous jacent :
∂f
∆ t (S t ) =
∂x
Couverture d'une
( t , St )
couverture !
La Volatilité
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
mesure la sensibilité du delta par rapport au sous jacent :
Γt ( S t ) =
∂∆
∂x
( t , St )
C'est aussi une mesure de la fréquence de rebalancement du portefeuille
de couverture !
option européenne
Implicite
C'est aussi la quantité de l'actif risqué dans le portefeuille de
•Γ
Les Ratios de

15. Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Introduction
Les Grecques (Suite)
Les Hypothèses du
•Θ
Le Modèle Black
Modèle
mesure la sensibilité du prix par rapport au temps :
Θt (St ) =
∂f
∂t
(t , St )
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
•ρ
mesure la sensibilité du prix par rapport au taux d'intérêt :
option européenne
La Volatilité
∂f
ρt (St ) =
∂r
Implicite
( t , St )
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
•
Vega (qui n'est pas une lettre grecque ! ! !) mesure la sensibilité du
prix par rapport à la volatilité :
Vegat (St ) =
∂f
∂σ
( t , St )
C'est aussi un indicateur des précautions à prendre dans l'estimation de
la volatilité !

16. Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Pour un Call/Put
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Ce sont les valeurs des Grecques à t=0. Pour avoir celles en t, il sut
de remplacer T pat T-t.
x :=
St

17. Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Introduction
Les Hypothèses du
Interprétation des Grecques pour un Call
Modèle
Le Modèle Black
DELTA :
Scholes
Les Formules de
∆ = N (d 1)
Il mesure la variation d'un Call en
euros pour une variation de 1 euro
du sous-jacent : si le delta de ce Call
est de 50
%,
alors la variation du
sous-jacent de 1 euro fera augmenter la valeur du Call de 50 centimes.
Un delta intéressant se situe entre
25% et 75%. En eet, pour simplier, le delta représente la probabilité que le Call a de terminer dans
la monnaie à échéance. Plus le delta
est proche de zéro, plus le call est
risqué.
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

18. Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Interprétation des Grecques pour un Call
GAMMA :
Γ=
N (d 1)
0
St .σ. (T − t )
Le gamma représente la variation du
delta par rapport à la valeur de l'actif sous-jacent. Mathématiquement
parlant, c'est la dérivée seconde de
la valeur d'un portefeuille par rapport au cours de l'actif. Il représente
donc la vitesse d'évolution du delta :
si le gamma est faible, le delta varie
lentement.
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

19. Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Introduction
Interprétation des Grecques pour un Call
Θ=−
Les Hypothèses du
Modèle
THETA :
Le Modèle Black
2
St .σ
N (d 1)
(T − t )
−Ke −r (T −t ) rN (d 2)
le thêta est le taux de variation d'un
Call dans le futur en fonction du
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
temps. Un thêta de -1% sur une
Modèle BS
période de 24h signie que le Call
Conclusion
concerné perdra 1% de sa valeur
tous les jours à cause de la diminution de sa valeur temps. Il est donc
préférable de choisir un Call dont le
thêta est le plus petit possible surtout si on investit sur le long terme.
Absence d'arbitrage, lorsque :
Θ + r .St .∆ +
1
2
.σ 2 .St2 .Γ − r .C = 0

20. Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Interprétation des Grecques pour un Call
RHO :
ρ = K (T − t )e
−r (T −t )
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
N (d 2) 0
option européenne
La Volatilité
Implicite
Il représente la variation de la valeur du Call par rapport aux taux
Les Limites du
d'intérêts : Plus le taux d'intérêt est élevé plus le prix du call l'est, et
Modèle BS
plus le taux d'intérêt est élevé moins on veut emprunter pour investir.
Conclusion
Ainsi il est plus intéressant de se positionner sur le call ce qui fait
grimper sa valeur. Mais il reste le paramètre qui inue le moins sur la
valorisation des Calls.

21. Les Ratios de Couverture d'une option européenne
Introduction
Interprétation des Grecques pour un Call
VEGA :
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Vega = St .
(T − t ).N (d 1) 0
Les Formules de
Black Scholes
Le call est très sensible à la volatilité
Les Ratios de
car c'est elle qui peut amener l'ac-
option européenne
tion sous le strike. Cela est d'autant
La Volatilité
plus vrai dans la monnaie. Le véga
mesure la variation du prix d'une
option pour une variation de 1%
dans la volatilité implicite. La volatilité étant une mesure du risque,
une hausse de cette dernière augmente la valeur de l'option. Un call
avec un véga de 0,20 augmente de
0,20 Euros à la suite d'une hausse
de volatilité de 1%. Le véga est plus
élevé pour les options à long terme
que celles à court terme.
Couverture d'une
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

22. La Volatilité Implicite
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Définition de la volatilité
C'est une mesure des amplitudes des variations du cours d'un actif
nancier : Plus la volatilité d'un actif est élevée, plus son cours varie
fortement sur une période donnée, et plus l'investissement dans cet actif
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
sera considéré comme risqué et par conséquent plus l'espérance de gain
Implicite
(ou risque de perte) sera important.
Les Limites du
Aurement dit, la volatilité permet de calculer l'amplitude des
variations positives et négatives de la valeur d'un titre autour de sa
valeur moyenne. Elle constitue une des mesures du risque
d'investissement.
Modèle BS
Conclusion

23. La Volatilité Implicite
Introduction
Types de Volatilité
Les Hypothèses du
- La volatilité historique : basée sur les variations historiques que le
cours d'un titre a connu. Elle peut être calculée sur diérents horizons
de temps suivant l'analyse désirée. La seule limite à cette méthode
repose sur le fait qu'il est dicile de se baser sur des données historiques
pour prédire les variations futures. Mais, elle est simple à calculer :
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
σ=
où : n est le nombre de périodes,
titre à la période i et
x
¯
¯
i (xi − x )
n
xi , i = 1, .., n
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
le cours de clôture du
la moyenne des cours passés.
- La volatilité implicite : correspondant au prix du risque d'une option.
Elle représente la volatilité anticipée par les acteurs du marché pour la
durée de vie de l'option et transparaît dans la prime de l'option. Ainsi,
plus la volatilité implicite est élevée et plus la prime de l'option sera
élevée et inversement.
Modèle BS
Conclusion

24. La Volatilité Implicite
Introduction
La Volatilité Implicite
La volatilité implicite est la valeur du paramètre volatilité permettant
d'égaler le prix Black Scholes au prix du marché. Elle est obtenue par
inversion de la formule Black Scholes : C'est la solution de l'équation
C B (σ) = C ,
marché et
où C est le prix d'une option européenne observé sur le
CB
son prix selon BS. Elle est unique en l'absence d'arbitrage.
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

25. La Volatilité Implicite
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Calcul de la Volatilité Implicite
Le calcul s'eectue par itérations se basant sur le modèle de Black
Scholes et sur l'algorithme de Newton-Raphson. Le Calculateur de
volatilité implicite intégré au Calculateur d'options disponible dans les
outils de négociation en ligne donne le résultat en faisant entrer les
paramètres connus (S0,K,r,T,St).
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
http : //www .strategies − options .com/implied − volatility − matrix .html
L'investisseur peut ainsi comparer la volatilité implicite à la volatilité
historique de l'actif sous-jacent, et se forger sa propre opinion de la
volatilité à venir pour l'aider à implanter la stratégie sur l'option qu'il
juge optimale.
Modèle BS
Conclusion

26. La Volatilité Implicite
Introduction
Calculateur de la Volatilité Implicite en Ligne
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

27. La Volatilité Implicite
Introduction
Calculateur de la Volatilité Implicite en Ligne
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

28. La Volatilité Implicite
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
Calcul de la Volatilité Implicite sous Excel
Via la fonction Valeur Cible dans Données...
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

29. La Volatilité Implicite
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
La Volatilité Implicite selon BS
Le Modèle Black
Scholes
Le modèle de Black-Scholes implique que la volatilité implicite de toutes
Les Formules de
les options sur le même sous-jacent doit être la même, et égale à la
Black Scholes
volatilité historique du sous-jacent.
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

30. La Volatilité Implicite
Introduction
En Pratique..
Les Hypothèses du
Lorsqu'on calcule la volatilité implicite à partir des prix des diérentes
Modèle
options observés sur le marché, on constate que :
Le Modèle Black
•
La volatilité implicite est toujours supérieure à la volatilité du
Scholes
Les Formules de
sous-jacent.
Black Scholes
•
Les Ratios de
Les volatilités implicites de diérentes options sur le même sous-jacent
dépendent de leur strikes et maturités.
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Optionsd AchatCAC40au20 /02 /06

31. La Volatilité Implicite
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
La Surface de Volatilité
Le Modèle Black
Le graphique trace les volatilités implicites des options sur l'indice SP
500 du 23 janvier 2006.
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
•
Pour presque tous les strikes : la
volatilité implicite décroît en fonction du strike : Phénomène su skew.
•
Pour des très grands strikes : une
légère remontée de la volatilité implicite : Phénomène su smile.
•
Les phénomènes de smile et skew
sont les plus prononcés pour les options de courte maturité ; la courbe
de volatilité implicite en fonction de
strike s'aplatit pour les grandes maturités.
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

32. La Volatilité Implicite
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Le Smile
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
Un `Smile' sourire signie que
La Volatilité
ces volatilités implicites sont plus
Implicite
élevées pour les puts et calls hors
Les Limites du
de la monnaie que pour les options
à la monnaie.
Modèle BS
Conclusion

33. La Volatilité Implicite
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Le Skew
Les Formules de
Black Scholes
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
Quand il ne s'agit pas d'un 'sourire',
La Volatilité
mais d'une pente sur la courbe, on
Implicite
utilise le terme `skew' : un skew né-
Les Limites du
gatif donnerai une courbe de pente
négatif par exemple.
Modèle BS
Conclusion

34. La Volatilité Implicite
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
Skew,Smile..
Le phénomène de skew est dû au fait que le modèle de Black Scholes
sous-estime la probabilité d'un krach boursier ou d'un grand mouvement
de prix en général. Le traders corrigent cette probabilité en augmentant
les volatilités implicites des options loin de la monnaie.
le smile peut être expliqué par les primes de liquidité qui sont plus
élevées pour les options loin de la monnaie.
Les Ratios de
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

35. Les Limites du Modèle BS
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Erreur relative de pricing
Les Formules de
Black Scholes
Le modèle sous estime les prix dans le cas où :
Les Ratios de
- La maturité est petite,
option européenne
- Les options d'achat sont fortement dans la monnaie.
La Volatilité
Il n'est valable que pour les options européennes. Pour le pricing des
Couverture d'une
Implicite
Les Limites du
options exotiques, par exemple, supposons que l'on a besoin de pricer
Modèle BS
un Call avec un prix d'exercice K et qui un a une barrière K' avec K'
Conclusion
K, doit-on alors utiliser la volatilité implicite de K ? Ou celle de K' ? Ou
une combinaison linéaire des deux ?

36. Les Limites du Modèle BS
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
Scholes
Les Formules de
Black Scholes
La Volatilité Implicite
Dans Black Scholes, on devrait avoir en théorie
σ
=
σ (impl)=
Les Ratios de
cte. Or,
on observe en pratique que c'est pas vrai.
Tant que
deux
de
σ,
σ
dépend de K, elle dépend aussi de S0, ainsi elle dépend des
σ (K,S0),
dans ce cas un changement de
S0
induit un changement
donc le risque Vega change également et il doit être couvert plus
et devrait être couvert plus correctement (et à moindre coût) que les
risques de delta.
Couverture d'une
option européenne
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion

37. Conclusion
Introduction
Les Hypothèses du
Modèle
Le Modèle Black
La prophétie auto-réalisée
Scholes
Les Formules de
Fisher Black lui même ironisait sur le sujet :
Black Scholes
Les opérateurs savent maintenant utiliser la formule et les variantes. Ils
Les Ratios de
l'utilisent tellement bien que les prix de marché sont généralement
option européenne
proches de ceux donnés par la formule, même lorsqu'il devrait exister un
écart important...
Couverture d'une
La Volatilité
Implicite
Les Limites du
Modèle BS
Conclusion
Les limites de BS nous poussent à utiliser d'autres modèles plus
adéquats avec les données du marché, les modèles à volatilité locale
(Dupire ) ou encore mieux, des modèles à volatilité stochastique (
Heston SABR ) et on les calibre an de retrouver le smile correct.