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Cours gestion-actifs-r1-part-2b

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Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
M´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs Partie 2
Le mod`ele de Black-Litterman
Arthur Charpentier
http ://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/
blog.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/
Master 1, Universit´e Rennes 1
1
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Plan du cours
• Mesurer les risques
◦ Les hypoth`eses classiques
◦ Au del`a du mod`ele Gaussien, introduction aux copules
• Le mod`ele de Black & Litterman
• Rappels sur les r´esultats de Markowitz
• Estimation des param`etres, introduction `a l’approche bay´esienne
• Le mod`ele de Black & Litterman
• Portefeuille optimal pour d’autres crit`eres de risque
◦ Calcul de la VaR et de la TVaR pour un portefeuille
◦ Optimisation sous contrainte de VaR ou de TVaR
2
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Les approches traditionnelles en gestion d’actifs
Les m´ethodes de base de la gestion d’actifs reposent sur l’optimisation lin´eaire et
optimisation quadratique.
3
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Pourquoi une approche moyenne variance ?
Une premi`ere r´eponse est que l’optimisation moyenne variance correspond `a un
probl`eme d’optimisatin d’esp´erance d’utilit´e dans le cas o`u le fonction d’utilit´e
est quadratique u(x) = x − γx2
. Dans ce cas,
E(u(X)) = E(X) − γ E (X)
2
+ V ar(X)
Markowitz ´evoque cette construction, malgr´e ses (nombreux) d´efauts : l’utilit´e
n’est pas croissante, en particulier pour les grandes valeurs, et de plus la
demande d’actif sans risque croˆıt n´ecessairement avec la richesse.
Une seconde r´eponse est la suivante : lorsque le coefficient d’aversion absolue est
constant, alors u(x) = −e−γx
. En effet
coeff. Arrow Pratt = −
u (x)
u (x)
= −
−γ2
e−γx
γe−γx
= γ.
Dans ce cas, si la distribution de la X est normale, alors maximiser l’esp´erance
d’utilit´e revient `a maximiser E (x) −
γ
2
V ar(X). Un rapide calcul d’int´egral
4
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
montre en effet que
E(u(X)) = − exp γ E (x) −
γ
2
V ar(X) .
Une troisi`eme r´eponse a ´et´e apport´er par Ingersoll (1987).
Si la distribution de X est normale, et donc charact´eris´ee par sa moyenne et sa
variance, alors n´ecessairement, on peut d´efinir des courbes d’indiff´erence dans
l’espace moyenne-variance, et compte tenu des propri´et´es de fonctions d’utilit´es,
ces courbes d’indiff´erence seront croissantes et concaves.
Une quatri`eme r´eponse est apport´ee par la formule de Taylor, `a condition que le
risque soit ”petit”. En effet, notons que
u (x0 + h) ≈ u (x0) + u (x0)h +
1
2
u (x0)h2
= u (x0) + u (x0) h +
1
2
u (x0)
u (x0)
h2
o`u on retrouve le coefficient d’aversion pour le risque d’Arrow Pratt, not´e A.
5
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Alors
E (u (x0 + X)) ≈ u (x0) + u (x0) E(X) −
1
2
AE X2
= u (x0) + u (x0) E(X) −
A
2
E (X)
2
−
A
2
V ar(X)
6
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Diversification et taille du portefeuille
La variance du portefeuille sur n titres est de la forme suivante
V ar(α X) =
n
i=1
α2
i σ2
i
risque propre
+ 2
i>j
αiαjρijσiσj
risque syst´ematique
.
Pour simplifier, si on suppose le portefeuille ´equipond´er´e, i.e. αi = 1/n, alors
risque propre ≤
max σ2
i
n
→ 0 lorsque n → ∞,
si l’on suppose les variances uniform´ement born´ees. De plus,
risque syst´ematique =
n2
− n
n2
σn
o`u σn est la covariance moyenne des n actifs. Aussi, risque syst´ematique → σ.
La diversification (au sens d’une augmentation de la taille du portefeuille) fait
alors converger la variance du portefeuille vers un niveau plancher.
7
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Diversification et corr´lation
Supposons que l’on dispose de deux actifs, not´es 1 et 2, tels que les rendements
de ces deux titres v´erifient


X1
X2

 ∼ N




µ1
µ2

 ,


σ2
1 ρσ1σ2
ρσ1σ2 σ2
2




Un portefeuille est alors constitu´e avec les deux titres, avec pour poids
ω = (ω1, ω2). Les deux premiers moments sont alors
E(ω1X1 + ω2X2) = ω1µ1 + ω2µ2
V ar(ω1X1 + ω2X2) = ω2
1σ2
1 + 2ω1ω2ρσ1σ2 + ω2
2σ2
2.
Si l’on se fixe le rendement esp´er´e et un prix pour ce portefeuille (´equivalent `a
supposer que ω soit un vecteur de poids), la variance du portefeuille en d´ecoule
aussitˆot.
Le graphique suivant montrer l’´evolution de la variance du portefeuille en
8
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
fonction du choix du rendement esp´er´e pour le portefeuille, avec ou sans
contrainte d’interdiction de vente `a d´ecouvert.
q
q
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055
q
q
q
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055
q
q
q
q
Fig. 1 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.5.
9
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
q
q
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055
q
q
q
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055
q
q
q
q
Fig. 2 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.
10
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
q
q
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055
q
q
q
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055
q
q
q
q
Fig. 3 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.9.
11
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
q
q
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055
q
q
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0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055
q
q
q
q
Fig. 4 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = −0.5.
12
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
q
q
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055
q
q
q
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055
q
q
q
q
Fig. 5 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = −0.9.
Le graphique ci-dessous montre l’´evolution de la variance en fonction de la
corr´elation et de la moyenne esp´er´ee. Les courbes bleues correspondent au cas o`u
13
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
la rentabilit´e esp´er´ee est soit µ1, soit µ2. Les courbes rouges correspondent au cas
o`u la rentabilit´e esp´er´ee est comprise entre µ1 et µ2. Les courbes vertes
correspondent au cas o`u la rentabilit´e esp´er´ee est inf´erieure `a inf{µ1, µ2} ou
sup´erieure `a sup{µ1, µ2} .
Correlation
−1.0
−0.5
0.0
0.5
1.0
Rendementmoyen
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
Ecart−type
0.1
0.2
0.3
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0.020.030.040.050.06
Correlation
Rendementmoyen
0.05
0.05
0.1
0.1
0.1
0.15
0.15
0.2
0.2
0.25
0.25
0.3
−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0
0.000.050.100.150.200.250.30 Correlation
Ecart−type
Fig. 6 – Moyenne, ´ecart-type et corr´elation, deux titres.
14
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Pratique de la gestion d’actifs
En pratique, les programmes peuvent ˆetre un peu plus complexes afin de tenir
compte des r´ealit´es, en particulier
• limites sur la vente `a d´ecouvert (limit´ee ou non autoris´ee)
• limites sur la concentration sur certains titres
• limites sur la concentration par secteurs industriels ou par pays
• prise en compte de coˆuts de transations
Le cadre g´en´eral est le suivant
min
ω
{ω Σ + γ ω} s.c.



c−
≤ Aω ≤ c+
b−
≤ ω ≤ b+
Par exemple, pour une optimisation de portefeuille sans vente `a d´ecouvert,
A = (1, 1, · · · , 1), c−
= c+
= 1, b−
= (0, 0, · · · , 0) et b+
= (1, 1, · · · , 1).
15
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Pour une optimisation de portefeuille sans vente `a d´ecouvert, avec un rendement
esp´er´e cible, µ ,
A =


µ1, µ2, · · · , µk
1, 1, · · · , 1

 , c−
= (µ , 1) , c+
= (∞, 1) ,
b−
= (0, 0, · · · , 0) et b+
= (1, 1, · · · , 1).
16
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Exemple pratique sur quelques actifs
Il existe plusieurs packages de gestion d’actifs sous R, dont library(fPortfolio) et
library(portfolio).
Consid´erons les s´eries suivants, i.e. monthly data set of US smallcap equities
> Data = as.timeSeries(data(smallcap.ts))
> Data = Data[, c("BKE", "GG", "GYMB", "KRON")]
> (MU=apply(Data,2,mean))
BKE GG GYMB KRON
0.02749712 0.02198486 0.01204526 0.03570639
> (SIGMA=apply(Data,2,sd))
BKE GG GYMB KRON
0.1500879 0.1899235 0.2226543 0.1674082
> portfolioData(Data,spec=portfolioSpec())
On ne retient que 4 titres.
La fonction portfolioFrontier(Data) calcule la fronti`ere d’efficience des
portefeuilles construits `a partir de ces 4 titres. Le trac´e de la fronti`ere d’efficience
se fait alors simplement
17
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
> Frontier = portfolioFrontier(Data)
> frontierPlot(Frontier)
Il s’agit simplement de la r´esolution du programme de Markowitz, i.e.
min{ω Σω} sous la contrainte ω µ ≥ µ0.
Par des arguments de convexit´e, les deux programmes suivants sont ´equivaments
ω∗
= argmax{E(ω R)} sous la contrainte V ar(ω R) ≤ ν.
ω∗
= argmin{V ar(ω R)} sous la contrainte E(ω R) ≥ ε.
L’ensemble des couples moyenne-´ecart-type atteignables est not´e
E =
√
ω Σω, ω µ , ω vecteur de proportions, i.e. ω ∈ S
o`u S est le simplexe en dimension n, i.e.
S = ω ∈ Rn
avec
n
i=1
ωi = 1 .
18
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
La fronti`ere de E est alors une parabole, appel´ee fronti`ere d’efficience.
La forme parabolique de la fronti`ere d’efficience se traduit par plusieurs points
– il existe un portefeuille efficicace qui minimise le risque, appel´e portefeuille de
variance minimale
– la partie sup´erieure de la fronti`ere est croissance, i.e. on peut augmenter
(ind´efiniment) le rendement esp´er´es des portefeuilles efficients, mais le risque
augmentera
– enfin la courbe d’efficience est concave, i.e. l’augmentation de la variance est
plus forte que le gain un esp´erance. Fisher Black avvait traduit la concavit´e de
la mani`ere suivante “pour obtenir des gains attendus”
Definition 1. Une allocation ω est dite efficiente s’il n’est pas possible de
trouver une allocation proposant le mˆeme rentabilit´e moyen, pour une variance
strictement plus faible, ou de mani`ere duale, de trouver une allocation proposant
la mˆeme variance, pour un rentabilit´e esp´er´e strictement plus ´elev´e.
19
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
On s’int´eresse au programme d’optimisation
ω∗
= argmin{V ar(ω R)} sous les contraintes E(ω R) ≥ ε, et ω I = 1
Rappelons que de mani`ere g´en´erale, pour r´esoudre un programme d’optimisation
de la forme
ω∗
= argmin{f(ω)} sous les contraintes g1(ω) = ... = gp(ω) = 0,
o`u g1, ..., gp sont p fonctions continˆument d´erivables, une condition n´ecessaire
pour que ω∗
soit une solution est qu’il existe une solution (ω∗
, λ) aux n + p
´equations
∂
∂αi
(f(ω) + λ1g1(ω) + ... + λpgp(ω)) = 0 pour i = 1, 2, ..., n,
et
∂
∂λj
(f(ω) + λ1g1(ω) + ... + λpgp(ω)) = 0 pour j = 1, 2, ..., p.
Les constantes λ = (λ1, ..., λp) sont appel´ees multiplicateurs de Lagrange, et la
fonction α → (α) + λ1g1(α) + ... + λpgp(α) est appel´ee le Lagrangien associ´e au
20
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
probl`eme d’optimisation.
Dans le probl`eme qui nous int´eresse, on cherche `a minimiser V ar(ω R), soit
ω Σω, sous deux contraintes. On cherche alors `a r´esoudre
∂
∂αi
(ω Σω + λ1(ω I − 1) + λ2(ω µ − ε)) = 0 pour i = 1, 2, ..., n,
et
∂
∂λj
(ω Σω + λ1(ω I − 1) + λ2(ω µ − ε)) = 0 pour j = 1, 2.
En notant que
∂
∂ω
ω Σω = 2Σω et
∂
∂ω
R ω = R,
on en d´eduit que α∗
doit n´ecessairement ˆetre de la forme
ω∗
= λ1Σ−1
I + λ2Σ−1
R,
21
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
o`u les multiplicateurs de Lagrange sont donn´ees par le syst`eme



λ1I Σ−1
R + λ2I Σ−1
I = 1
λ1R Σ−1
µ + λ2R Σ−1
I = ε
,
En posant a = I Σ−1
R, b = R Σ−1
R et c = I Σ−1
I, on peut r´e´ecrire le dernier
syst`eme sous la forme 


λ1a + λ2c = 1
λ1c + λ2a = ε
,
En notant d = bc − a2
, on en d´eduit que
λ1 =
cε − a
d
et λ2 =
b − aε
d
.
De cette expression des multiplicateurs de Lagrange, on peut en d´eduire, `a l’aide
de la condition de premier ordre Σα = λ1R + λ2I que la variance du portefeuille
optimale s’´ecrit
σ2
∗ = ω Σω = λ1ε + λ2,
22
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
soit encore, par substitution
σ2
∗ =
cε2
− 2aε + b
d
Proposition 2. S’il n’y a pas d’actif sans risque, la fronti`ere d’efficience dans
un cadre moyenne-variance est une parabole d’´equation
σ2
∗ =
cε2
− 2aε + b
d
,
o`u ε d´esigne le rentabilit´e esp´er´e du portefeuille.
De plus, on peut obtenir les pond´erations optimales
ω∗
= Σ−1
(λ1R + λ2I) ,
qui peut se r´e´ecrire sous forme d’une combinaison lin´eaire.
23
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Proposition 3. Les portefeuilles optimaux s’´ecrivent comme des combinaisons
lin´eaires par rapport au rentabilit´e exig´e, i.e.
ω = p + εq,
o`u p et q ne d´ependent que de la matrice de variance-covariance des rentabilit´es
p =
1
d
(bΣ−1
I − aΣ−1
R) et q =
1
d
(cΣ−1
R − aΣ−1
I).
p est une allocation de portefeuille au sens o`u p I = 1, alors que q indique la
faon dont le portefeuille initial p doit ˆetre modifi´e (q I = 0).
p est alors le portefeuille dont le rentabilit´e esp´er´e est nul, et p + q est le
portefeuille de rentabilit´e unitaire (Merton (1972)). Notons qu’on peut aussi
´ecrire
ω = (1 − ε)p + ε(p + q).
24
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20
0.000.050.100.150.200.25Frontière moyenne−variance, portefeuilles admissibles
Ecart−type
Espérance
Portefeuille efficient
Portefeuilles admissibles
0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.000.050.100.150.200.25
Frontière moyenne−variance, portefeuille conservateur
Ecart−type
Espérance
Portefeuille conservateur
Fig. 7 – Allocations efficace et admissibles, et approche conservatrice.
25
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.000.010.020.030.04
qqqqqqqq q q q q q q q q q q q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
MV|solveRquadprog
Efficient Frontier
Target Risk[Cov]
TargetReturn[mean]
q
q
q
q
BKE
GG
GYMB
KRON
Fig. 8 – Fronti`ere d”efficience, sans contrainte. 26
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
On peut aussi traver la fronti`ere d’efficience avec contrainte, par exemple pas de
vente `a d´ecouvert,
> Frontier = portfolioFrontier(Data,constraints = "Short")
> frontierPlot(Frontier)
Il s’agit simplement de la r´esolution du programme de Markowitz, i.e.
min{ω Σω}s.c.ω µ ≥ µ0.
27
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.000.010.020.030.04
qqqqqqqq q q q q q q q q q q q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
MV|solveRquadprog
Efficient Frontier
Target Risk[Cov]
TargetReturn[mean]
q
q
q
q
BKE
GG
GYMB
KRON
Fig. 9 – Fronti`ere d”efficience, sans contrainte. 28
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
On peut aussi construire le portefeuille de variance minimale, tangeant, ou
´equir´eparti
> minvariancePoints(Frontier, pch = 19, col = "purple")
> tangencyPoints(Frontier, pch = 19, col = "blue")
> tangencyLines(Frontier, col = "blue")
> equalWeightsPoints(Frontier, pch = 15, col = "red")
29
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.000.010.020.030.04
qqqqqqqq q q q q q q q q q q q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
MV|solveRquadprog
Efficient Frontier
Target Risk[Cov]
TargetReturn[mean]
q
q
q
q
BKE
GG
GYMB
KRON
q
q
30
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Pour le portefeuille tangeant, on a l’allocation suivante entre les 4 actifs
> Porf.T=tangencyPortfolio(Data)
> weightsPie(Porf.T)
On peut d’ailleurs utiliser weightsSlider(Frontier) pour des graphiques interractifs
de composition des portefeuille.
31
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.10 0.15 0.20
0.0050.0150.0250.035
MV|solveRquadprog
Target Risk
TargetReturn
Efficient Frontier
BKE +
GG +
GYMB +
KRON +
Weights
MV|solveRquadprog
BKE
GG
GYMB
KRON
+29.5 %
+33.2 %
+9.3 %
+28 %
0.00.20.40.60.81.0
BKE
GG
GYMB
KRON
0.00.20.40.60.81.0
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weight
MV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789
Weights
0.00.20.40.60.81.0
BKE
GG
GYMB
KRON
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weight
MV|solveRquadprog|minRisk=0.0931
Weights
32
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.10 0.15 0.20
0.0050.0150.0250.035
MV|solveRquadprog
Target Risk
TargetReturn
Efficient Frontier
BKE +
GG +
GYMB +
Weights
MV|solveRquadprog
BKE
GG
GYMB
+11.5 %
+40.4 %
+48.1 %
0.00.20.40.60.81.0
BKE
GG
GYMB
KRON
0.00.20.40.60.81.0
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weight
MV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789
Weights
0.00.20.40.60.81.0
BKE
GG
GYMB
KRON
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weight
MV|solveRquadprog|minRisk=0.0931
Weights
33
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.10 0.15 0.20
0.0050.0150.0250.035
MV|solveRquadprog
Target Risk
TargetReturn
Efficient Frontier
BKE +
GG +
GYMB +
KRON +
Weights
MV|solveRquadprog
BKE
GG
GYMB
KRON
+27 %
+36.6 %
+24.5 %
+11.9 %
0.00.20.40.60.81.0
BKE
GG
GYMB
KRON
0.00.20.40.60.81.0
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weight
MV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789
Weights
0.00.20.40.60.81.0
BKE
GG
GYMB
KRON
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weight
MV|solveRquadprog|minRisk=0.0931
Weights
34
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.10 0.15 0.20
0.0050.0150.0250.035
MV|solveRquadprog
Target Risk
TargetReturn
Efficient Frontier
BKE +
GG +
KRON +
Weights
MV|solveRquadprog
BKE
GG
KRON
+16.6 %
+18.2 %
+65.2 %
0.00.20.40.60.81.0
BKE
GG
GYMB
KRON
0.00.20.40.60.81.0
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weight
MV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789
Weights
0.00.20.40.60.81.0
BKE
GG
GYMB
KRON
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weight
MV|solveRquadprog|minRisk=0.0931
Weights
35
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.10 0.15 0.20
0.0050.0150.0250.035
MV|solveRquadprog
Target Risk
TargetReturn
Efficient Frontier
BKE +
GG +
KRON +
Weights
MV|solveRquadprog
BKE
GG
KRON
+4.8 %
+7.7 %
+87.5 %
0.00.20.40.60.81.0
BKE
GG
GYMB
KRON
0.00.20.40.60.81.0
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weight
MV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789
Weights
0.00.20.40.60.81.0
BKE
GG
GYMB
KRON
0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16
0.012 0.0178 0.0265 0.0352
Target Risk
Target Return
Weight
MV|solveRquadprog|minRisk=0.0931
Weights
36
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
On peut aussi construire tous les portefeuilles ne comportant que 2 actifs (sur les
4)
> twoAssetsLines(Frontier, lty = 3, col = "grey")
37
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25
0.000.010.020.030.04
qqqqqqqq q q q q q q q q q q q
qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq
MV|solveRquadprog
Efficient Frontier
Target Risk[Cov]
TargetReturn[mean]
q
q
q
q
BKE
GG
GYMB
KRON
38
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Consid´erons le cas o`u trois actifs sont consid´er´es,
µ =




0.05
0.15
0.10



 et Σ =




0.12
0.2 · 0.1 · 0.4 0.5 · 0.1 · 0.2
0.42
−0.4 · 0.4 · 0.2
0.22



 .
La premi`ere contrainte du programme est que la somme des pond´erations (αi)
vale 1, et la second est que l’esp´erance de rentabilit´e du portefeuille soit ´egale `a ε.
Aussi 


α1 + α2 + α3 = 1
0.05α1 + 0.15α2 + 0.1α3 = ε
On peut r´e´ecrire ces contraintes sous la forme
α1 = α ∈ R, α3 =
0.15 − 0.1α − ε
0.05
et α2 = 1 − α − α3
On cherche alors `a minimiser la variance, sous cette contrainte : il suffit de
parcourir R. Sur la Figure 11, `a gauche sont repr´esent´es les cas o`u la corr´elation
entre les titres 1 et 3 change, et `a droite, le cas d’actifs ´equicorr´el´es, avec une
39
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
corr´elation allant de −0.4 et 0.5. La courbe en trait plus ´epais correspondant au
cas d’acifs ind´ependants (au sens L2
).
40
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
−4 −2 0 2 4 6
0510152025 Variance d’un portefeuille de trois titres
Pondération du premier titre
Variance
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.000.050.100.150.20
Portefeuilles de trois−titres (r=0.2,0.5,−0.4)
Ecart−type
Espérance
Fig. 10 – Variance du portefeuille pour ε = 5%, 10% et 15%, et repr´esentation de
la fronti`ere d’efficience. 41
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.000.050.100.150.20 Portefeuilles de trois−titres, frontière d’efficience
Ecart−type
Espérance
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
0.000.050.100.150.20
Portefeuilles de trois−titres, frontière d’efficience
Ecart−type
Espérance
Fig. 11 – Influence de la matrice de corr´elation entre les rentabilit´es.
42
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0 5 10 15
−1.0−0.50.00.51.01.52.02.5
Ecart−type
Rendementmoyen
.50.00.51.01.52.02.5
Espérance
43
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0 5 #0 #5
!#.0!0.50.00.5#.0#.5%.0%.5
&ca)t!type
&sp/)ance
0 " #0 #"!#.0!0."0.00."#.0#."2.02."
&ca)t!type
Rende1ent1oyen
Fig. 13 – Fronti`ere d’efficience, portefeuilles de 5 titres.
44
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0 " #0 #"
!#.0!0."0.00."#.0#."2.02."
&ca)t!t+pe
&sp/)ance
0 " #0 #"!#.0!0."0.00."#.0#."%.0%."
&ca)t!type
Rende1ent1oyen
Fig. 14 – Fronti`ere d’efficience, portefeuilles de 10 titres.
45
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0 " #0 #"
!#.0!0."0.00."#.0#."%.0%."
&ca)t!t+pe
&sp/)ance
0 5 #0 #5!#.0!0.50.00.5#.0#.5%.0%.5
&ca)t!t+pe
Rende1ent1o+en
Fig. 15 – Fronti`ere d’efficience, portefeuilles de 20 titres.
46
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Le probl`eme des couts de transaction
the more assets, the less risky the portfolio (in terms of variance). But it might
be more expensive to invest in 200 assets (sometimes more), and one might be
interest to find 10 assets such that the associated efficient frontier is close to the
one with much more assets.
47
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006
Standard deviation
Expectedvalue
qq q
q
q
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006
Standard deviation
Expectedvalue
Fig. 16 – Random subportfolios.
Considering all possible combinaisons of 5 assets among 35 is time consuming,
since
5
35
portfolio should be considered, i.e. more than 375, 000. From a
48
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
computational point of view, if the set of assets was larger, e.g. 100 or 200, there
would be not technique.
Analogousely, one might find natural to see if it could be possible to define 10
clusters of assets, and then to pick up one asset in each cluster.
49
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
A02
A34
A16
A19
A18
A08
A30
A07
A14
A01
A20
A33
A12
A27
A25
A32
A09
A15
A13
A21
A17
A11
A31
A10
A03
A05
A06
A04
A24
A22
A29
A23
A28
A26
A35
0.00.20.40.60.81.0
Cluster Dendrogram (Ward) distance, 35 assets
hclust (*, "ward")
Height
q q q q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006
Standard deviation
Expectedvalue
Fig. 17 – Finding clusters to define classes.
Normalized principal component analysis can be interesting. But principal axis
are defined as a linear combination of all assets, so the idea will be to find for
50
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
each axis one asset with coordinate being either 1 or −1 : the projection will be
strong on this axis, and null on the others.
A01
A02
A03A04
A05
A06
A07A08
A09
A10
A11
A12
A13
A14
A15
A16
A17
A18
A19
A20
A21
A22
A23
A24
A25
A26
A27
A28
A29
A30
A31
A32 A33
A34
A35
qq
q
q
q
q
q
q
Fig. 18 – Finding clusters to on the first two component hyperplane, in PCA
51
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
q
q
q
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006
Standard deviation
Expectedvalue
Fig. 19 – Finding clusters to on the first two component hyperplane, in PCA
52
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
0 5 10 15 20 25 30 35
05101520253035
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006
Standard deviation
Expectedvalue
q
q
q
q
q
Fig. 20 – Correlation between assets (the darker, the larger).
53
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Le probl`eme de l’estimation des param`etres
Rappelons que et sont ici suppos´es connues, mais en r´ealit´e, il faut les estimer.
Plusieurs techniques ont ´et´e propos´ees,
• dans le cas du mod`ele Gaussien, par des m´ethodes de type maximum de
vraisemblance ou m´ethode des moments
• dans le cas du mod`ele Gaussien, par des m´ethodes bay´esiennes
Le plus simple est de supposer des log-rendements Xi,t Gaussiens, N(µi, σ2
i ).
54
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006
Standard deviation
Expectedvalue
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q q
q
q
q
q
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q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
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q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
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q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07
−0.015−0.010−0.0050.0000.0050.010
Standard deviation
Expectedvalue
Period Sept 2002−July 2004
Period Feb 2001−Aug 2002
Fig. 21 – Efficient frontier on two periods.
55
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006
Standard deviation
Expectedvalue
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
q
q q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
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q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q q
q
q
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q
q
q
q
q
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q
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q
q
q
q
q
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q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05
−0.004−0.0020.0000.0020.0040.006
Standard deviation
Expectedvalue
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
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q
q
q
q
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q
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q
q
q
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q
q
q
q
q
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q
q
q
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q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
q
qq
q
q
Fig. 22 – Distribution of (σi, µi).
56
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Estimation des param`etres
Consid´erons le cas o`u on dispose d’un ´echantillon X = (X1, ...Xn), suppos´e i.i.d.
de loi N(µ, σ2
). On cherchera `a estimer le param`etre (vectoriel) θ = (µ, σ2
).
Un estimateur θ est une fonction des observations, i.e. θ (X) .
Pour mesurer la dispersion de θ (en temps que variable al´eatoire) par rapport `a
la vraie valeur θ (inconnue), on se donne une distance, not´ee · . On d´efinie alors
– une fonction de perte, qui est la variable al´eatoire θ − θ
2
– le biais qui est la valeur E(θ) − θ
– l’inefficience qui est la valeur E( θ − E(θ)
2
)
Notons qu’alors
E(fonction de perte) = biais2
+ inefficience2
Parmi les techniques classiques d’estimation, la plus classique est la m´ethode du
57
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
maximum de vraisemblance. On cherche alors
θ = arg max {L} ou arg max {log L}
o`u L (θ; X) =
n
i=1
fθ (Xi).
Dans le cas Gaussien rappelons que
θ = µ, σ2
=

 1
n
n
i=1
Xi,
1
n
n
i=1
Xi −
1
n
n
i=1
Xi
2


On peut montrer que E (µ) = µ et E σ2
= n−1
n σ2
.
On peut montrer que l’estimateur ainsi construit est asymptotiquement Gaussien,
et que la matrice de variance covariance est donn´ee par l’information de Fisher.
58
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Une introduction `a l’estimation Bay´esienne
Tout d’abord, si l’on suppose que θ soit al´eatoire, nous devons noter que
X|θ suit une loi normale N(µ, σ2
) o`u θ = (µ, σ2
),
i.e. conditionnellement `a θ qui est inconnu (et suppos´e al´eaoire) les Xi suivent
des lois normales ind´ependantes.
L’id´ee est ici d’utiliser la formule de Bayes pour trouver la loi de θ (pris comme
variable al´eatoire) en fonction des Xi. En particulier
fθ|x (θ) =
fθ (θ)
fx (x)
fx|θ (x) ∝ fθ (θ) fx|θ (x)
o`u
– fθ (θ) est appel´ee loi a priori du param`etre θ
– fx|θ (x) est la loi de l’´echantillon, correspondant `a la vraisemblance,
conditionnellement `a θ
Parmi les choix possible pour la loi a priori, on peut utiliser deux techniques
59
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
– une loi non-informative,
– une loi qui permet d’avoir des calculs simples : on utilise alors une loi dite
conjugu´ee si la loi des Xi est dans la famille des lois exponentielles.
En statistique classique, θ est un param`etre inconnu, de l’on cherche a estimer a
l’aide d’un ´echantillon {x1, · · · , xn}, en supposant que les xi sont des r´ealisations
ind´ependants de variables Xi, dont la loi est Fθ.
Supposons que les Xi ∼ N(θ, σ2
). Un estimateur naturel de θ, a partir de
l’´echantillon est
θ = x =
x1 + · · · + xn
n
.
En statistique bay´esienne, Θ est un param`etre al´eatoire. On se donne a priori
une loi pour Θ, et on ´etudie la loi a posteriori, conditionnellement a
X = (X1, · · · , Xn).
Dans l’exemple pr´ec´edant, on suppose - par exemple - que Θ suit a priori une loi
60
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
normale N(0, 1). On a ainsi



X|Θ ∼ N(Θ, σ2
I)
Θ ∼ N(α, β), loi a priori
A l’aide de la famille de Bayes, on peut en d’eduire la loi (non-conditionnelle) de
X mais surtout la loi conditionnelle de Θ sachant X, appel´ee loi a posteriori.Ici
f(θ|X = x) =
f(θ, x)
f(x)
=
f(θ)
f(x)
f(x|Θ = θ).
Afin de pouvoir m´ener les calculs en entiers, on peut r´e´ecrire cette expression
f(θ|X = x) =
f(θ)
f(x|θ)f(θ)dθ
f(x|Θ = θ).
En poursuivant les calculs, on peut alors obtenir simplement que
θ|X = x ∼ N (
α
β2
+
n
i=1 xi
σ2
)/(
1
β2
+
n
σ2
), (
1
β2
+
n
σ2
)−1
.
61
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 23 – Distribution a priori de Θ, i.e. N(0, 1)
62
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 24 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1
63
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 25 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2
64
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 26 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2, x3
65
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 27 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x4
66
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 28 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x5
67
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 29 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x10
68
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 30 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x20
69
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 31 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x50
70
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 32 – Distribution a priori de Θ, i.e. N(1.5, 0.5)
71
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 33 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1
72
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 34 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2
73
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 35 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2, x3
74
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 36 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x4
75
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 37 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x5
76
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 38 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x10
77
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne
−1 0 1 2
0.00.51.01.52.02.53.0
Fig. 39 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x50
78
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Plus g´en´eralement, dans le cas Gaussien, on peut supposer
µ|σ2
∼ N µ0,
σ2
λ0
et
1
σ2
∼ G ν0,
1
σ2
0
i.e. on parlera de mod`ele normal-inverse Gamma. Alors la distribution a
posteriori de des param`etres, conditionnellement aux Xi suit une loi de la mˆeme
famille, mais avec des param`etres mis `a jour. En particulier
µ|σ2
, X ∼ N
λ0µ0 + Xi
λ0 + n
,
σ2
λ0 + n
et
1
σ2
|X ∼ G

ν0 + n,
1
σ2
0 + λ0µ2
0 + Xi − (λ0µ0+ Xi)2
λ0+n


(qui peut ˆetre g´en´eralis´e dans le cadre des vecteurs Gaussiens).
Un fois d´etermin´ee la loi dite a posteriori, il convient de proposer un estimateur,
appel´ee estimateur bay´esien, pour θ. Une id´ee naturelle est de poser
θ = E (θ|X1, ..., Xn)
79
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Estimation et portefeuilles optimaux
En pratique, l’approche de Markowitz marche mal (on parle du paradoxe de
Markowitz) : en pratique, des portefeuilles ´equipond´er´es sont meilleurs que des
portefeuilles optimis´es.
L’optimisation bas´ee sur les moyennes et variances estim´ees conduit `a introduire
excessivement les outilers (qui ne sont des anormalit´es statistiques).
La formule synth´etique est que l’optimisation au sens de Markowitz correspond `a
une maximisation des erreurs.
L’id´ee des mod`eles bay´esiens et de l’approche de Black et Littermann est de
robustifier l’estimation
80
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Approche classique et portefeuilles optimaux
Naturellement, on ´ecrit le programme d’optimisation sur les grandeurs estim´ees
arg min
α∈R
{α Σα} s.c. α µ ≥ η
devient
arg min{α Σα} s.c. α µ ≥ η
On obtient alors un estimateur optimal sur les estimations, not´e α∗
. On peut
l´egitimement se demander si l’optimun d’une d’estimation est l’estimation d’un
optimum, i.e.
α∗ ?
= α∗
Plus g´en´eralement, supposons que l’on s’int´eresse `a mminimiser une fonction plus
g´en´erale que la variance du portefeuille, i.e.
arg min{R(α)} ou plutˆot arg min{R(α)}
arg max{S(α)} ou plutˆot arg max{S(α)}
81
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
o`u R est appel´ee mesure de risque, et S est une mesure de satisfaction.
Parmi les proprit´et´es classiques de S, on peut supposer une proprit´et´e
d’invariance d’´echelle, S(λα) = λS(α) pour tout λ > 0 (homog`ene de degr´e 1) ou
au contraire d’homog´en´eit´e S(λα) = S(α) pour tout λ > 0 (homog`ene de degr´e
0).
Il y a aussi une proprit´et´e de sous-addivit´e (ou de sur-addivit´e), i.e.
S(α + β) ≤ S(α) + S(β) ou S(α + β) ≥ S(α) + S(β)
Un propri´et´e un peu plus technique est une proprit´et´e de convexit´e (ou de
concavit´e), i.e.
S(λα + (1 − λ) β) ≤ λS(α) + (1 − λ) S(β)
ou
S(λα + (1 − λ) β) ≥ λS(α) + (1 − λ) S(β).
Parmi les fonctions classiques S,
82
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
celles qui d´ecoulent de l’approche par esp´erance d’utilit´e, de von Neumann &
Morgenstein, S(α) = E(u(α X)), e.g. une utilit´e logarithmique u (x) = log(x),
une fonction d’utilit´e puissance u(x) = x1−1/γ
, une fonction exponentielle
u(x) = exp (−x/α).
celles qui d´ecoulent d’une propri´et´e d’indiff´erence d’utilit´e, i.e.
S(α) = u−1
(E(u(α X))).
celles qui d´ecoulent de l’approche duale, de Yaari, S(α) =, e.g. une fonction
quantile, ou une mesure de risque coh´erence, e.g. une TV aR. On peut aussi
consid´erer une mesure de risque spectrale
Dans le premier cas, si on consid`ere une utilit´e exponentielle avec des risques
Gaussiens, on retrouve par exemple
S(α) = α µ −
α Σα
2
Dans le cas de la V aR, on peut utiliser l’approximation dite de Cornish-Fisher.
83
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Approche bay´esienne et portefeuilles optimaux
Le mod`ele le plus simple `a consid´erer pour µ sachant Σ,
µ|Σ ∼ N µ0,
Σ
T0
Pour la loi de Σ, il est naturel de supposer une loi de Wishart,
Σ−1
∼ W ν0,
Σ−1
0
ν0
o`u Σ0 une matrice symm´etrique positive, et ν0 est une constante positive.
On en d´eduit alors la loi non-conditionnelle µ,
µ ∼ St ν0, µ0,
Σ0
T0
de telle sorte que E(µ) = µ0 et cov(µ) =
ν0
ν0 − 2
Σ
T0
. De plus E(Σ−1
) = Σ−1
0 .
L’incertitude associ´ee `a la matrice de variance-covariance est plus compliqu´e `a
84
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
ecrire,
cov(vec(Σ−1
)) =
1
ν0
(In2 + Knn) Σ−1
0 ⊗ Σ−1
0
o`u vec est la fonction qui met les colonnes de la matrice Σ−1
dans une matrice
diagonale, K estest une matrice de commutation, et ⊗ d´esigne le produit de
Kronecker.
Consid´erons d´esormais la distribution a posteriori bas´e sur T observations.
Posons alors
T1 = T0 + T, µ1 =
1
T1
(T0µ0 + Tµ)
ν1 = ν0 + T et Σ1 =
1
ν1
ν0Σ0 + TΣ +
(µ0 − µ)(µ0 − µ)
1
T + 1
T0
de telle sorte que
µ|Σ ∼ N µ1,
Σ
T1
et Σ−1
∼ W ν0,
Σ−1
1
ν1
85
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
ce qui donne la loi (non-conditionnelle)
µ ∼ St ν1, µ1,
Σ1
T1
on en d´eduit alors les propri´et´es suivantes sur la loi a posteriori de µ
E (µ) =
T0
T0 + T
µ0 +
T
T0 + T
µ
et
V ar (µ) =
1
T1
ν1
ν1 − 2
Σ1
De mˆeme, on peut obtenir des propri´et´es sur la loi a posteriori de Σ
E (Σ) =
1
ν0 + T + n + 1
ν0Σ0 + TΣ +
(µ0 − µ)(µ0 − µ)
1
T + 1
T0
et
cov(vec(Σ)) =
2ν2
1
(ν1 + n + 1)3
Dn Σ−1
1 ⊗ Σ−1
1 Dn
−1
Rappelons que l’on cherche `a r´esoudre - de mani`ere tr`es g´en´erale - un probl`eme
86
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
de la forme
α∗
= arg max S(α)
Par exemple
α∗
= arg max α µ −
1
2γ
α Σα
Dans le cadre d’une approche par indiff´erence d’utilit´e
S(α) = u−1
(E(u(α X))) que l’on notera Sθ(α)
o`u X suit une loi de param`etre θ.
Dans l’approche classique, on pose
α∗
= arg max{Sθ(α)}.
Dans le cadre bay´esien, nous avons not´e
µ =
T0
T0 + T
µ0 +
T
T0 + T
µ
87
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
et
Σ =
1
ν0 + T + n + 1
ν0Σ0 + TΣ +
(µ0 − µ)(µ0 − µ)
1
T + 1
T0
88
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Le mod`ele de Black & Litterman avec R
La library(BLCOP) permet de mettre en oeuvre l’approche de Black & Litterman.
L’´equation centrale du programme de Black & Litterman est la suivante
µ = (τΣ)−1
+ P Ω−1
P
−1
(τΣ)−1
Π + P Ω−1
Q
o`u
• Π est le vecteur de taille n des rendements (dits de long terme)
• Σ est une matrice n × n de covariance des actifs, i.e. Σ,
• δ est un param`etre d’aversion au risque
• τ mesure l’incertitude de la variance `a l’´equilibre
correspondant aux information de long terme, et
• P est la matrice identit´e n × n
• Q est le vecteur de taille n donnant l’exc´dent de rendement sur chacun des
actifs
• Ω est la matrice diagonale de la variance des perceptions
L’´equation de Black & Litterman est parfois pr´esent´ee commme une correction
89
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
des rendements Π,
µ = Π + τΣP (PτΣP + Ω)
−1
[Q − PΠ]
Le facteur τ sera plus ou moins faible en fonction de la cr´diliibt´e donn´ee au
march´e.
90
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
La r´esolution d’un probl`eme d’allocation d’actifs n´ecessite deux grandeurs,
– un estimateur de la moyenne des rendements µ
– un estimateur de la matrice de variance-covariance des rendements Σ
Pour estimer la moyenne, on peut prendre la moyenne arithm´etique des
rendements historiques, ou des anticipations de rendements.
Pour estimer la variance, on utilise les donn´ees historiques, via une moyenne
arithm´etique, ou un estimateur EWMA (qui correspond `a un mod`ele
GARCH(1, 1) dans le cas univari´e. Ici, on suppose que
covt(Xi, Xj) = ω + αui,t−1vi,t−1 + βcovt−1(Xi, Xj)
en g´en´eralisant l’´ecriture que nous avions en dimension 1, d’un GARCH(1, 1), i.e.
V art(Xi) = σ2
i,t = ω + αε2
i,t−1 + βσ2
i,t−1
Le portefeuille initial est un portefeuille d’´equilibre pr´ed´efini, de poids ω∗, et
d’´evoluer autour de se portefeuille avec plus ou moins d’´ecart, selon le degr´e de
confiance dans les sc´enarios. On cherche `a r´esoudre, par exemple, un programme
91
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
de la forme suivante
min
ω
(ω − ω∗) Σ(ω − ω∗) s.c.



ω µ = η
0 ≤ ωi ≤ 1
ωi = 1
L’approche de Black & Litterman propose de d´efinir une allocation d’actifs en
r´ef´erence `a un portefeuille initial `a partir de ”vues” sur un sous-ensemble, ou sur
la totalit´e, des actifs.
On se donne alors des vecteurs de rendements `a l’´equilibre Π = λΣω∗.
Pour aller au del`a de ce portefeuille de base, on int`egre des ”vues” avec un degr´e
de confiance sur tout ou partie des actifs. On consid`ere alors un portefeuille qui
sera la moyenne entre le portefeuille d’´equilibre et les vues. Ceci peut ˆetre justifi´e
par un mod`ele bay´esien, on l’on cherche le vecteur des rendements esp´er´es a
posteriori, apr`es int´egration des vues. Aussi,
µ = (τΣ)
−1
+ P Ω−1
P
−1
(τΣ)
−1
Π + P Ω−1
V
92
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Idzorek (2002) propose de calibrer le mod`ele de telle sorte que le degr´e de
confiance apparaisse comme une variable distribu´ee sur [0, 1] centr´e autour de
1/2, et que les d´eviations des poids soient doubl´ees si on passe de 1/2 `a 1, et
tendent vers 0 si le degr´e de confiance tend vers 0.
Formellement on cherche Σ telle que Σi,i =
1
2
ω
1
CDi
, o`u ω est la somme des
´el´ements de P ΣP, et CDi est le degr´e de confiance dans la vue i.
Parall`element, τ est tel que τ =
2
k
k
i=1
CDi.
Notons que l’on suppose ici que Ω, la matrice de variance attendue des erreurs,
est une matrice diagonale. Cette hypoth`ese est (trop) forte d’un point de vue de
la finance comportementale.
Black & Litterman propose de n’int´egrer que des vues sur la moyenne des
rendements.
Qian & Gorman ont propos´e un mod`ele int´egrant des vues sur la moyenne et la
93
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
variance des rendements, avec



µ = Π + (ΣP )Ω−1
(V − PΠ)
Σ = Σ + (ΣP ) Ω−1
ΣvΩ−1
− Ω−1
(PΣ)
o`u naturellement Σv d´esigne la matrice de variance anticip´ee.
Consid´erons le portefeuille suivant
P = ω X =
1
2
X1 +
3
2
X2 − X3
Notre croyance a priori est que P ∼ N(0.05; 0.1). Supposons que l’on ait `a notre
disposition d’un autre actif X4.
> Matrice=matrix(c(.5,1.5,-1,0),nrow=1,ncol=4)
> vue=BLViews(P=Matrice,q=.06,confidences = 100,
+ assetNames = colnames(Data))
Il faut ensuite donner les moyennes et variance a priori. Le plus simple est de
supposer les moyennes nulles, et d’utiliser la variance historique,
> library(corpcor)
94
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
> moy.prior=rep(0,4)
> var.prior=unclass(cov.shrink(Data))
Estimating optimal shrinkage intensity lambda.var (variance vector): 1
Estimating optimal shrinkage intensity lambda (correlation matrix): 0.3002
L’int´erˆet de cette m´ethode est de pouvoir en d´eduire unes estimation du
param`etre λ
On peut alors en d´eduire la distribution a posteriori, m´elant la loi a priori et les
vues.
> posteriorEst(views=vue,sigma=var.prior,alpha=moy.prior,tau=.5)
Prior means:
BKE GG GYMB KRON
0 0 0 0
Posterior means:
BKE GG GYMB KRON
0.002346602 0.022983752 -0.014915312 -0.004058411
Posterior covariance:
BKE GG GYMB KRON
BKE 0.047975085 -0.005078094 0.011005451 0.010793786
GG -0.005078094 0.038741658 0.003026534 -0.005623743
95
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
GYMB 0.011005451 0.003026534 0.044142855 0.006239874
KRON 0.010793786 -0.005623743 0.006239874 0.047781422
attr(,"lambda")
[1] 0.3001854
attr(,"lambda.estimated")
[1] TRUE
attr(,"lambda.var")
[1] 1
attr(,"lambda.var.estimated")
[1] TRUE
Pour ´etudier la robustesse, on peut utiliser d’autres vues, par exemple, supposer
qu’un portefeuille compos´e de la moyenne des trois derniers titres suit une loi
N(0.07; 0.15),
> Matrice <- matrix(ncol = 3, nrow = 1, dimnames = list(NULL, colnames(Data)[2:4]))
> Matrice[,1:3] <- rep(1/3,3)
> Matrice
GG GYMB KRON
[1,] 0.3333333 0.3333333 0.3333333
> vue2=addBLViews(Matrice,.07,90,vue)
> vue2
96
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
1 : 0.5*BKE+1.5*GG+-1*GYMB=0.06 . Confidence: 100
2 : 0.333333333333333*GG+0.333333333333333*GYMB+0.333333333333333*KRON=0.07 . Confidence:
On peut alors lancer la phase d’optimisation de portefeuille,
> marche=as.timeSeries(data(smallcap.ts))[, c("market")]
> taux =as.timeSeries(data(smallcap.ts))[, c("t90")]
> posterior=BLPosterior(as.matrix(Data),vue2,tau=.5,marketIndex = as.matrix(marche))
Estimating optimal shrinkage intensity lambda.var (variance vector): 1
Estimating optimal shrinkage intensity lambda (correlation matrix): 0.3002
> posterior
Prior means:
BKE GG GYMB KRON
0.01986394 0.01445708 0.01317127 0.02922796
Posterior means:
BKE GG GYMB KRON
0.02712333 0.04168138 0.02192929 0.04325334
Posterior covariance:
BKE GG GYMB KRON
BKE 0.047770391 -0.005488871 0.010311980 0.010182121
GG -0.005488871 0.037917318 0.001634891 -0.006851220
97
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
GYMB 0.010311980 0.001634891 0.041793495 0.004167658
KRON 0.010182121 -0.006851220 0.004167658 0.045953656
attr(,"lambda")
[1] 0.3001854
attr(,"lambda.estimated")
[1] TRUE
attr(,"lambda.var")
[1] 1
attr(,"lambda.var.estimated")
[1] TRUE
> opt=optimalPortfolios(posterior,doPlot=TRUE)
> opt
$priorPfolioWeights
BKE GG GYMB KRON
0.1871428 0.2311983 0.0000000 0.5816589
$postPfolioWeights
BKE GG GYMB KRON
0.002424798 0.524147656 0.000000000 0.473427546
98
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
BKE GG KRON
Prior
Posterior
Optimal weights
Weights
0.00.10.20.30.40.5
Si l’on s’int´eresse `a un programme d’optimisation avec contrainte, il suffit de
rajouter les contraintes dans l’optimisation. Par exemple, si les positions courtes
sont interdites
99
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
> contraintes = list()
> contraintes$bvec=1
> contraintes$meq=1
> contraintes$Amat=matrix(rep(1,5),5,1)
> contraintes
$bvec
[1] 1
$meq
[1] 1
$Amat
[,1]
[1,] 1
[2,] 1
[3,] 1
[4,] 1
> opt=optimalPortfolios(posterior,contraints=contraintes)
On peut d’ailleurs obtenir plus g´en´eralement le degr´e confiance de l’allocation
optimale dans un des titres. Par exemple, pour le premier actif,
100
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
> densityPlots(posterior,assetsSel="KRON")
−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4
0.00.51.01.52.0
GG
Density
Prior
Posterior
−0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6
0.00.51.01.52.0
KRON
Density
Prior
Posterior
Mais plus g´en´erallement, aussi lieu de supposer un mod`ele Gaussien mis `a jour, il
est possible de supposer des distributions jointes plus complexes. De mˆeme pour
les vues, on l’on n’est plus oblig´e de supposer un mod`ele Gaussien.
101
Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009)
Notons que l’on peut s’affranchir de l’hypoth`ese de normalit´e : pour une loi de
Student multivari´ee, de matrice de dispersion Σ, `a ν = 5 degr´es de libert´e,
> md=mvdistribution("mt",mean=mu,S=sigma,df=nu)
102

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  • 1. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) M´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs Partie 2 Le mod`ele de Black-Litterman Arthur Charpentier http ://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/ blog.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/ Master 1, Universit´e Rennes 1 1
  • 2. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Plan du cours • Mesurer les risques ◦ Les hypoth`eses classiques ◦ Au del`a du mod`ele Gaussien, introduction aux copules • Le mod`ele de Black & Litterman • Rappels sur les r´esultats de Markowitz • Estimation des param`etres, introduction `a l’approche bay´esienne • Le mod`ele de Black & Litterman • Portefeuille optimal pour d’autres crit`eres de risque ◦ Calcul de la VaR et de la TVaR pour un portefeuille ◦ Optimisation sous contrainte de VaR ou de TVaR 2
  • 3. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Les approches traditionnelles en gestion d’actifs Les m´ethodes de base de la gestion d’actifs reposent sur l’optimisation lin´eaire et optimisation quadratique. 3
  • 4. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Pourquoi une approche moyenne variance ? Une premi`ere r´eponse est que l’optimisation moyenne variance correspond `a un probl`eme d’optimisatin d’esp´erance d’utilit´e dans le cas o`u le fonction d’utilit´e est quadratique u(x) = x − γx2 . Dans ce cas, E(u(X)) = E(X) − γ E (X) 2 + V ar(X) Markowitz ´evoque cette construction, malgr´e ses (nombreux) d´efauts : l’utilit´e n’est pas croissante, en particulier pour les grandes valeurs, et de plus la demande d’actif sans risque croˆıt n´ecessairement avec la richesse. Une seconde r´eponse est la suivante : lorsque le coefficient d’aversion absolue est constant, alors u(x) = −e−γx . En effet coeff. Arrow Pratt = − u (x) u (x) = − −γ2 e−γx γe−γx = γ. Dans ce cas, si la distribution de la X est normale, alors maximiser l’esp´erance d’utilit´e revient `a maximiser E (x) − γ 2 V ar(X). Un rapide calcul d’int´egral 4
  • 5. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) montre en effet que E(u(X)) = − exp γ E (x) − γ 2 V ar(X) . Une troisi`eme r´eponse a ´et´e apport´er par Ingersoll (1987). Si la distribution de X est normale, et donc charact´eris´ee par sa moyenne et sa variance, alors n´ecessairement, on peut d´efinir des courbes d’indiff´erence dans l’espace moyenne-variance, et compte tenu des propri´et´es de fonctions d’utilit´es, ces courbes d’indiff´erence seront croissantes et concaves. Une quatri`eme r´eponse est apport´ee par la formule de Taylor, `a condition que le risque soit ”petit”. En effet, notons que u (x0 + h) ≈ u (x0) + u (x0)h + 1 2 u (x0)h2 = u (x0) + u (x0) h + 1 2 u (x0) u (x0) h2 o`u on retrouve le coefficient d’aversion pour le risque d’Arrow Pratt, not´e A. 5
  • 6. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Alors E (u (x0 + X)) ≈ u (x0) + u (x0) E(X) − 1 2 AE X2 = u (x0) + u (x0) E(X) − A 2 E (X) 2 − A 2 V ar(X) 6
  • 7. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Diversification et taille du portefeuille La variance du portefeuille sur n titres est de la forme suivante V ar(α X) = n i=1 α2 i σ2 i risque propre + 2 i>j αiαjρijσiσj risque syst´ematique . Pour simplifier, si on suppose le portefeuille ´equipond´er´e, i.e. αi = 1/n, alors risque propre ≤ max σ2 i n → 0 lorsque n → ∞, si l’on suppose les variances uniform´ement born´ees. De plus, risque syst´ematique = n2 − n n2 σn o`u σn est la covariance moyenne des n actifs. Aussi, risque syst´ematique → σ. La diversification (au sens d’une augmentation de la taille du portefeuille) fait alors converger la variance du portefeuille vers un niveau plancher. 7
  • 8. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Diversification et corr´lation Supposons que l’on dispose de deux actifs, not´es 1 et 2, tels que les rendements de ces deux titres v´erifient   X1 X2   ∼ N     µ1 µ2   ,   σ2 1 ρσ1σ2 ρσ1σ2 σ2 2     Un portefeuille est alors constitu´e avec les deux titres, avec pour poids ω = (ω1, ω2). Les deux premiers moments sont alors E(ω1X1 + ω2X2) = ω1µ1 + ω2µ2 V ar(ω1X1 + ω2X2) = ω2 1σ2 1 + 2ω1ω2ρσ1σ2 + ω2 2σ2 2. Si l’on se fixe le rendement esp´er´e et un prix pour ce portefeuille (´equivalent `a supposer que ω soit un vecteur de poids), la variance du portefeuille en d´ecoule aussitˆot. Le graphique suivant montrer l’´evolution de la variance du portefeuille en 8
  • 9. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) fonction du choix du rendement esp´er´e pour le portefeuille, avec ou sans contrainte d’interdiction de vente `a d´ecouvert. q q 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055 q q q 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055 q q q q Fig. 1 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.5. 9
  • 10. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) q q 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055 q q q 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055 q q q q Fig. 2 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0. 10
  • 11. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) q q 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055 q q q 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055 q q q q Fig. 3 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = 0.9. 11
  • 12. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) q q 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055 q q q 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055 q q q q Fig. 4 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = −0.5. 12
  • 13. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) q q 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055 q q q 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.0250.0300.0350.0400.0450.0500.055 q q q q Fig. 5 – Moyenne et ´ecart-type d’un portefeuille sur deux titres, ρ = −0.9. Le graphique ci-dessous montre l’´evolution de la variance en fonction de la corr´elation et de la moyenne esp´er´ee. Les courbes bleues correspondent au cas o`u 13
  • 14. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) la rentabilit´e esp´er´ee est soit µ1, soit µ2. Les courbes rouges correspondent au cas o`u la rentabilit´e esp´er´ee est comprise entre µ1 et µ2. Les courbes vertes correspondent au cas o`u la rentabilit´e esp´er´ee est inf´erieure `a inf{µ1, µ2} ou sup´erieure `a sup{µ1, µ2} . Correlation −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 Rendementmoyen 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 Ecart−type 0.1 0.2 0.3 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 0.020.030.040.050.06 Correlation Rendementmoyen 0.05 0.05 0.1 0.1 0.1 0.15 0.15 0.2 0.2 0.25 0.25 0.3 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 0.000.050.100.150.200.250.30 Correlation Ecart−type Fig. 6 – Moyenne, ´ecart-type et corr´elation, deux titres. 14
  • 15. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Pratique de la gestion d’actifs En pratique, les programmes peuvent ˆetre un peu plus complexes afin de tenir compte des r´ealit´es, en particulier • limites sur la vente `a d´ecouvert (limit´ee ou non autoris´ee) • limites sur la concentration sur certains titres • limites sur la concentration par secteurs industriels ou par pays • prise en compte de coˆuts de transations Le cadre g´en´eral est le suivant min ω {ω Σ + γ ω} s.c.    c− ≤ Aω ≤ c+ b− ≤ ω ≤ b+ Par exemple, pour une optimisation de portefeuille sans vente `a d´ecouvert, A = (1, 1, · · · , 1), c− = c+ = 1, b− = (0, 0, · · · , 0) et b+ = (1, 1, · · · , 1). 15
  • 16. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Pour une optimisation de portefeuille sans vente `a d´ecouvert, avec un rendement esp´er´e cible, µ , A =   µ1, µ2, · · · , µk 1, 1, · · · , 1   , c− = (µ , 1) , c+ = (∞, 1) , b− = (0, 0, · · · , 0) et b+ = (1, 1, · · · , 1). 16
  • 17. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Exemple pratique sur quelques actifs Il existe plusieurs packages de gestion d’actifs sous R, dont library(fPortfolio) et library(portfolio). Consid´erons les s´eries suivants, i.e. monthly data set of US smallcap equities > Data = as.timeSeries(data(smallcap.ts)) > Data = Data[, c("BKE", "GG", "GYMB", "KRON")] > (MU=apply(Data,2,mean)) BKE GG GYMB KRON 0.02749712 0.02198486 0.01204526 0.03570639 > (SIGMA=apply(Data,2,sd)) BKE GG GYMB KRON 0.1500879 0.1899235 0.2226543 0.1674082 > portfolioData(Data,spec=portfolioSpec()) On ne retient que 4 titres. La fonction portfolioFrontier(Data) calcule la fronti`ere d’efficience des portefeuilles construits `a partir de ces 4 titres. Le trac´e de la fronti`ere d’efficience se fait alors simplement 17
  • 18. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) > Frontier = portfolioFrontier(Data) > frontierPlot(Frontier) Il s’agit simplement de la r´esolution du programme de Markowitz, i.e. min{ω Σω} sous la contrainte ω µ ≥ µ0. Par des arguments de convexit´e, les deux programmes suivants sont ´equivaments ω∗ = argmax{E(ω R)} sous la contrainte V ar(ω R) ≤ ν. ω∗ = argmin{V ar(ω R)} sous la contrainte E(ω R) ≥ ε. L’ensemble des couples moyenne-´ecart-type atteignables est not´e E = √ ω Σω, ω µ , ω vecteur de proportions, i.e. ω ∈ S o`u S est le simplexe en dimension n, i.e. S = ω ∈ Rn avec n i=1 ωi = 1 . 18
  • 19. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) La fronti`ere de E est alors une parabole, appel´ee fronti`ere d’efficience. La forme parabolique de la fronti`ere d’efficience se traduit par plusieurs points – il existe un portefeuille efficicace qui minimise le risque, appel´e portefeuille de variance minimale – la partie sup´erieure de la fronti`ere est croissance, i.e. on peut augmenter (ind´efiniment) le rendement esp´er´es des portefeuilles efficients, mais le risque augmentera – enfin la courbe d’efficience est concave, i.e. l’augmentation de la variance est plus forte que le gain un esp´erance. Fisher Black avvait traduit la concavit´e de la mani`ere suivante “pour obtenir des gains attendus” Definition 1. Une allocation ω est dite efficiente s’il n’est pas possible de trouver une allocation proposant le mˆeme rentabilit´e moyen, pour une variance strictement plus faible, ou de mani`ere duale, de trouver une allocation proposant la mˆeme variance, pour un rentabilit´e esp´er´e strictement plus ´elev´e. 19
  • 20. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) On s’int´eresse au programme d’optimisation ω∗ = argmin{V ar(ω R)} sous les contraintes E(ω R) ≥ ε, et ω I = 1 Rappelons que de mani`ere g´en´erale, pour r´esoudre un programme d’optimisation de la forme ω∗ = argmin{f(ω)} sous les contraintes g1(ω) = ... = gp(ω) = 0, o`u g1, ..., gp sont p fonctions continˆument d´erivables, une condition n´ecessaire pour que ω∗ soit une solution est qu’il existe une solution (ω∗ , λ) aux n + p ´equations ∂ ∂αi (f(ω) + λ1g1(ω) + ... + λpgp(ω)) = 0 pour i = 1, 2, ..., n, et ∂ ∂λj (f(ω) + λ1g1(ω) + ... + λpgp(ω)) = 0 pour j = 1, 2, ..., p. Les constantes λ = (λ1, ..., λp) sont appel´ees multiplicateurs de Lagrange, et la fonction α → (α) + λ1g1(α) + ... + λpgp(α) est appel´ee le Lagrangien associ´e au 20
  • 21. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) probl`eme d’optimisation. Dans le probl`eme qui nous int´eresse, on cherche `a minimiser V ar(ω R), soit ω Σω, sous deux contraintes. On cherche alors `a r´esoudre ∂ ∂αi (ω Σω + λ1(ω I − 1) + λ2(ω µ − ε)) = 0 pour i = 1, 2, ..., n, et ∂ ∂λj (ω Σω + λ1(ω I − 1) + λ2(ω µ − ε)) = 0 pour j = 1, 2. En notant que ∂ ∂ω ω Σω = 2Σω et ∂ ∂ω R ω = R, on en d´eduit que α∗ doit n´ecessairement ˆetre de la forme ω∗ = λ1Σ−1 I + λ2Σ−1 R, 21
  • 22. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) o`u les multiplicateurs de Lagrange sont donn´ees par le syst`eme    λ1I Σ−1 R + λ2I Σ−1 I = 1 λ1R Σ−1 µ + λ2R Σ−1 I = ε , En posant a = I Σ−1 R, b = R Σ−1 R et c = I Σ−1 I, on peut r´e´ecrire le dernier syst`eme sous la forme    λ1a + λ2c = 1 λ1c + λ2a = ε , En notant d = bc − a2 , on en d´eduit que λ1 = cε − a d et λ2 = b − aε d . De cette expression des multiplicateurs de Lagrange, on peut en d´eduire, `a l’aide de la condition de premier ordre Σα = λ1R + λ2I que la variance du portefeuille optimale s’´ecrit σ2 ∗ = ω Σω = λ1ε + λ2, 22
  • 23. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) soit encore, par substitution σ2 ∗ = cε2 − 2aε + b d Proposition 2. S’il n’y a pas d’actif sans risque, la fronti`ere d’efficience dans un cadre moyenne-variance est une parabole d’´equation σ2 ∗ = cε2 − 2aε + b d , o`u ε d´esigne le rentabilit´e esp´er´e du portefeuille. De plus, on peut obtenir les pond´erations optimales ω∗ = Σ−1 (λ1R + λ2I) , qui peut se r´e´ecrire sous forme d’une combinaison lin´eaire. 23
  • 24. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Proposition 3. Les portefeuilles optimaux s’´ecrivent comme des combinaisons lin´eaires par rapport au rentabilit´e exig´e, i.e. ω = p + εq, o`u p et q ne d´ependent que de la matrice de variance-covariance des rentabilit´es p = 1 d (bΣ−1 I − aΣ−1 R) et q = 1 d (cΣ−1 R − aΣ−1 I). p est une allocation de portefeuille au sens o`u p I = 1, alors que q indique la faon dont le portefeuille initial p doit ˆetre modifi´e (q I = 0). p est alors le portefeuille dont le rentabilit´e esp´er´e est nul, et p + q est le portefeuille de rentabilit´e unitaire (Merton (1972)). Notons qu’on peut aussi ´ecrire ω = (1 − ε)p + ε(p + q). 24
  • 25. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.000.050.100.150.200.25Frontière moyenne−variance, portefeuilles admissibles Ecart−type Espérance Portefeuille efficient Portefeuilles admissibles 0.00 0.05 0.10 0.15 0.200.000.050.100.150.200.25 Frontière moyenne−variance, portefeuille conservateur Ecart−type Espérance Portefeuille conservateur Fig. 7 – Allocations efficace et admissibles, et approche conservatrice. 25
  • 26. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.000.010.020.030.04 qqqqqqqq q q q q q q q q q q q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq MV|solveRquadprog Efficient Frontier Target Risk[Cov] TargetReturn[mean] q q q q BKE GG GYMB KRON Fig. 8 – Fronti`ere d”efficience, sans contrainte. 26
  • 27. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) On peut aussi traver la fronti`ere d’efficience avec contrainte, par exemple pas de vente `a d´ecouvert, > Frontier = portfolioFrontier(Data,constraints = "Short") > frontierPlot(Frontier) Il s’agit simplement de la r´esolution du programme de Markowitz, i.e. min{ω Σω}s.c.ω µ ≥ µ0. 27
  • 28. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.000.010.020.030.04 qqqqqqqq q q q q q q q q q q q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq MV|solveRquadprog Efficient Frontier Target Risk[Cov] TargetReturn[mean] q q q q BKE GG GYMB KRON Fig. 9 – Fronti`ere d”efficience, sans contrainte. 28
  • 29. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) On peut aussi construire le portefeuille de variance minimale, tangeant, ou ´equir´eparti > minvariancePoints(Frontier, pch = 19, col = "purple") > tangencyPoints(Frontier, pch = 19, col = "blue") > tangencyLines(Frontier, col = "blue") > equalWeightsPoints(Frontier, pch = 15, col = "red") 29
  • 30. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.000.010.020.030.04 qqqqqqqq q q q q q q q q q q q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq MV|solveRquadprog Efficient Frontier Target Risk[Cov] TargetReturn[mean] q q q q BKE GG GYMB KRON q q 30
  • 31. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Pour le portefeuille tangeant, on a l’allocation suivante entre les 4 actifs > Porf.T=tangencyPortfolio(Data) > weightsPie(Porf.T) On peut d’ailleurs utiliser weightsSlider(Frontier) pour des graphiques interractifs de composition des portefeuille. 31
  • 32. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.10 0.15 0.20 0.0050.0150.0250.035 MV|solveRquadprog Target Risk TargetReturn Efficient Frontier BKE + GG + GYMB + KRON + Weights MV|solveRquadprog BKE GG GYMB KRON +29.5 % +33.2 % +9.3 % +28 % 0.00.20.40.60.81.0 BKE GG GYMB KRON 0.00.20.40.60.81.0 0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16 0.012 0.0178 0.0265 0.0352 Target Risk Target Return Weight MV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789 Weights 0.00.20.40.60.81.0 BKE GG GYMB KRON 0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16 0.012 0.0178 0.0265 0.0352 Target Risk Target Return Weight MV|solveRquadprog|minRisk=0.0931 Weights 32
  • 33. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.10 0.15 0.20 0.0050.0150.0250.035 MV|solveRquadprog Target Risk TargetReturn Efficient Frontier BKE + GG + GYMB + Weights MV|solveRquadprog BKE GG GYMB +11.5 % +40.4 % +48.1 % 0.00.20.40.60.81.0 BKE GG GYMB KRON 0.00.20.40.60.81.0 0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16 0.012 0.0178 0.0265 0.0352 Target Risk Target Return Weight MV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789 Weights 0.00.20.40.60.81.0 BKE GG GYMB KRON 0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16 0.012 0.0178 0.0265 0.0352 Target Risk Target Return Weight MV|solveRquadprog|minRisk=0.0931 Weights 33
  • 34. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.10 0.15 0.20 0.0050.0150.0250.035 MV|solveRquadprog Target Risk TargetReturn Efficient Frontier BKE + GG + GYMB + KRON + Weights MV|solveRquadprog BKE GG GYMB KRON +27 % +36.6 % +24.5 % +11.9 % 0.00.20.40.60.81.0 BKE GG GYMB KRON 0.00.20.40.60.81.0 0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16 0.012 0.0178 0.0265 0.0352 Target Risk Target Return Weight MV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789 Weights 0.00.20.40.60.81.0 BKE GG GYMB KRON 0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16 0.012 0.0178 0.0265 0.0352 Target Risk Target Return Weight MV|solveRquadprog|minRisk=0.0931 Weights 34
  • 35. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.10 0.15 0.20 0.0050.0150.0250.035 MV|solveRquadprog Target Risk TargetReturn Efficient Frontier BKE + GG + KRON + Weights MV|solveRquadprog BKE GG KRON +16.6 % +18.2 % +65.2 % 0.00.20.40.60.81.0 BKE GG GYMB KRON 0.00.20.40.60.81.0 0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16 0.012 0.0178 0.0265 0.0352 Target Risk Target Return Weight MV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789 Weights 0.00.20.40.60.81.0 BKE GG GYMB KRON 0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16 0.012 0.0178 0.0265 0.0352 Target Risk Target Return Weight MV|solveRquadprog|minRisk=0.0931 Weights 35
  • 36. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.10 0.15 0.20 0.0050.0150.0250.035 MV|solveRquadprog Target Risk TargetReturn Efficient Frontier BKE + GG + KRON + Weights MV|solveRquadprog BKE GG KRON +4.8 % +7.7 % +87.5 % 0.00.20.40.60.81.0 BKE GG GYMB KRON 0.00.20.40.60.81.0 0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16 0.012 0.0178 0.0265 0.0352 Target Risk Target Return Weight MV|solveRquadprog|minRisk=0.0930789 Weights 0.00.20.40.60.81.0 BKE GG GYMB KRON 0.223 0.13 0.0977 0.098 0.16 0.012 0.0178 0.0265 0.0352 Target Risk Target Return Weight MV|solveRquadprog|minRisk=0.0931 Weights 36
  • 37. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) On peut aussi construire tous les portefeuilles ne comportant que 2 actifs (sur les 4) > twoAssetsLines(Frontier, lty = 3, col = "grey") 37
  • 38. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.000.010.020.030.04 qqqqqqqq q q q q q q q q q q q qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq MV|solveRquadprog Efficient Frontier Target Risk[Cov] TargetReturn[mean] q q q q BKE GG GYMB KRON 38
  • 39. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Consid´erons le cas o`u trois actifs sont consid´er´es, µ =     0.05 0.15 0.10     et Σ =     0.12 0.2 · 0.1 · 0.4 0.5 · 0.1 · 0.2 0.42 −0.4 · 0.4 · 0.2 0.22     . La premi`ere contrainte du programme est que la somme des pond´erations (αi) vale 1, et la second est que l’esp´erance de rentabilit´e du portefeuille soit ´egale `a ε. Aussi    α1 + α2 + α3 = 1 0.05α1 + 0.15α2 + 0.1α3 = ε On peut r´e´ecrire ces contraintes sous la forme α1 = α ∈ R, α3 = 0.15 − 0.1α − ε 0.05 et α2 = 1 − α − α3 On cherche alors `a minimiser la variance, sous cette contrainte : il suffit de parcourir R. Sur la Figure 11, `a gauche sont repr´esent´es les cas o`u la corr´elation entre les titres 1 et 3 change, et `a droite, le cas d’actifs ´equicorr´el´es, avec une 39
  • 40. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) corr´elation allant de −0.4 et 0.5. La courbe en trait plus ´epais correspondant au cas d’acifs ind´ependants (au sens L2 ). 40
  • 41. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) −4 −2 0 2 4 6 0510152025 Variance d’un portefeuille de trois titres Pondération du premier titre Variance 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50.000.050.100.150.20 Portefeuilles de trois−titres (r=0.2,0.5,−0.4) Ecart−type Espérance Fig. 10 – Variance du portefeuille pour ε = 5%, 10% et 15%, et repr´esentation de la fronti`ere d’efficience. 41
  • 42. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.000.050.100.150.20 Portefeuilles de trois−titres, frontière d’efficience Ecart−type Espérance 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.000.050.100.150.20 Portefeuilles de trois−titres, frontière d’efficience Ecart−type Espérance Fig. 11 – Influence de la matrice de corr´elation entre les rentabilit´es. 42
  • 43. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0 5 10 15 −1.0−0.50.00.51.01.52.02.5 Ecart−type Rendementmoyen .50.00.51.01.52.02.5 Espérance 43
  • 44. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0 5 #0 #5 !#.0!0.50.00.5#.0#.5%.0%.5 &ca)t!type &sp/)ance 0 " #0 #"!#.0!0."0.00."#.0#."2.02." &ca)t!type Rende1ent1oyen Fig. 13 – Fronti`ere d’efficience, portefeuilles de 5 titres. 44
  • 45. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0 " #0 #" !#.0!0."0.00."#.0#."2.02." &ca)t!t+pe &sp/)ance 0 " #0 #"!#.0!0."0.00."#.0#."%.0%." &ca)t!type Rende1ent1oyen Fig. 14 – Fronti`ere d’efficience, portefeuilles de 10 titres. 45
  • 46. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0 " #0 #" !#.0!0."0.00."#.0#."%.0%." &ca)t!t+pe &sp/)ance 0 5 #0 #5!#.0!0.50.00.5#.0#.5%.0%.5 &ca)t!t+pe Rende1ent1o+en Fig. 15 – Fronti`ere d’efficience, portefeuilles de 20 titres. 46
  • 47. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Le probl`eme des couts de transaction the more assets, the less risky the portfolio (in terms of variance). But it might be more expensive to invest in 200 assets (sometimes more), and one might be interest to find 10 assets such that the associated efficient frontier is close to the one with much more assets. 47
  • 48. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 −0.004−0.0020.0000.0020.0040.006 Standard deviation Expectedvalue qq q q q 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 −0.004−0.0020.0000.0020.0040.006 Standard deviation Expectedvalue Fig. 16 – Random subportfolios. Considering all possible combinaisons of 5 assets among 35 is time consuming, since 5 35 portfolio should be considered, i.e. more than 375, 000. From a 48
  • 49. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) computational point of view, if the set of assets was larger, e.g. 100 or 200, there would be not technique. Analogousely, one might find natural to see if it could be possible to define 10 clusters of assets, and then to pick up one asset in each cluster. 49
  • 50. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) A02 A34 A16 A19 A18 A08 A30 A07 A14 A01 A20 A33 A12 A27 A25 A32 A09 A15 A13 A21 A17 A11 A31 A10 A03 A05 A06 A04 A24 A22 A29 A23 A28 A26 A35 0.00.20.40.60.81.0 Cluster Dendrogram (Ward) distance, 35 assets hclust (*, "ward") Height q q q q q q q q q q q q q q q q 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 −0.004−0.0020.0000.0020.0040.006 Standard deviation Expectedvalue Fig. 17 – Finding clusters to define classes. Normalized principal component analysis can be interesting. But principal axis are defined as a linear combination of all assets, so the idea will be to find for 50
  • 51. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) each axis one asset with coordinate being either 1 or −1 : the projection will be strong on this axis, and null on the others. A01 A02 A03A04 A05 A06 A07A08 A09 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 A17 A18 A19 A20 A21 A22 A23 A24 A25 A26 A27 A28 A29 A30 A31 A32 A33 A34 A35 qq q q q q q q Fig. 18 – Finding clusters to on the first two component hyperplane, in PCA 51
  • 52. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) q q q 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 −0.004−0.0020.0000.0020.0040.006 Standard deviation Expectedvalue Fig. 19 – Finding clusters to on the first two component hyperplane, in PCA 52
  • 53. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q 0 5 10 15 20 25 30 35 05101520253035 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 −0.004−0.0020.0000.0020.0040.006 Standard deviation Expectedvalue q q q q q Fig. 20 – Correlation between assets (the darker, the larger). 53
  • 54. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Le probl`eme de l’estimation des param`etres Rappelons que et sont ici suppos´es connues, mais en r´ealit´e, il faut les estimer. Plusieurs techniques ont ´et´e propos´ees, • dans le cas du mod`ele Gaussien, par des m´ethodes de type maximum de vraisemblance ou m´ethode des moments • dans le cas du mod`ele Gaussien, par des m´ethodes bay´esiennes Le plus simple est de supposer des log-rendements Xi,t Gaussiens, N(µi, σ2 i ). 54
  • 55. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 −0.004−0.0020.0000.0020.0040.006 Standard deviation Expectedvalue q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 −0.015−0.010−0.0050.0000.0050.010 Standard deviation Expectedvalue Period Sept 2002−July 2004 Period Feb 2001−Aug 2002 Fig. 21 – Efficient frontier on two periods. 55
  • 56. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 −0.004−0.0020.0000.0020.0040.006 Standard deviation Expectedvalue q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 −0.004−0.0020.0000.0020.0040.006 Standard deviation Expectedvalue q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q q q q q q q qq q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q q qq q q Fig. 22 – Distribution of (σi, µi). 56
  • 57. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Estimation des param`etres Consid´erons le cas o`u on dispose d’un ´echantillon X = (X1, ...Xn), suppos´e i.i.d. de loi N(µ, σ2 ). On cherchera `a estimer le param`etre (vectoriel) θ = (µ, σ2 ). Un estimateur θ est une fonction des observations, i.e. θ (X) . Pour mesurer la dispersion de θ (en temps que variable al´eatoire) par rapport `a la vraie valeur θ (inconnue), on se donne une distance, not´ee · . On d´efinie alors – une fonction de perte, qui est la variable al´eatoire θ − θ 2 – le biais qui est la valeur E(θ) − θ – l’inefficience qui est la valeur E( θ − E(θ) 2 ) Notons qu’alors E(fonction de perte) = biais2 + inefficience2 Parmi les techniques classiques d’estimation, la plus classique est la m´ethode du 57
  • 58. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) maximum de vraisemblance. On cherche alors θ = arg max {L} ou arg max {log L} o`u L (θ; X) = n i=1 fθ (Xi). Dans le cas Gaussien rappelons que θ = µ, σ2 =   1 n n i=1 Xi, 1 n n i=1 Xi − 1 n n i=1 Xi 2   On peut montrer que E (µ) = µ et E σ2 = n−1 n σ2 . On peut montrer que l’estimateur ainsi construit est asymptotiquement Gaussien, et que la matrice de variance covariance est donn´ee par l’information de Fisher. 58
  • 59. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Une introduction `a l’estimation Bay´esienne Tout d’abord, si l’on suppose que θ soit al´eatoire, nous devons noter que X|θ suit une loi normale N(µ, σ2 ) o`u θ = (µ, σ2 ), i.e. conditionnellement `a θ qui est inconnu (et suppos´e al´eaoire) les Xi suivent des lois normales ind´ependantes. L’id´ee est ici d’utiliser la formule de Bayes pour trouver la loi de θ (pris comme variable al´eatoire) en fonction des Xi. En particulier fθ|x (θ) = fθ (θ) fx (x) fx|θ (x) ∝ fθ (θ) fx|θ (x) o`u – fθ (θ) est appel´ee loi a priori du param`etre θ – fx|θ (x) est la loi de l’´echantillon, correspondant `a la vraisemblance, conditionnellement `a θ Parmi les choix possible pour la loi a priori, on peut utiliser deux techniques 59
  • 60. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) – une loi non-informative, – une loi qui permet d’avoir des calculs simples : on utilise alors une loi dite conjugu´ee si la loi des Xi est dans la famille des lois exponentielles. En statistique classique, θ est un param`etre inconnu, de l’on cherche a estimer a l’aide d’un ´echantillon {x1, · · · , xn}, en supposant que les xi sont des r´ealisations ind´ependants de variables Xi, dont la loi est Fθ. Supposons que les Xi ∼ N(θ, σ2 ). Un estimateur naturel de θ, a partir de l’´echantillon est θ = x = x1 + · · · + xn n . En statistique bay´esienne, Θ est un param`etre al´eatoire. On se donne a priori une loi pour Θ, et on ´etudie la loi a posteriori, conditionnellement a X = (X1, · · · , Xn). Dans l’exemple pr´ec´edant, on suppose - par exemple - que Θ suit a priori une loi 60
  • 61. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) normale N(0, 1). On a ainsi    X|Θ ∼ N(Θ, σ2 I) Θ ∼ N(α, β), loi a priori A l’aide de la famille de Bayes, on peut en d’eduire la loi (non-conditionnelle) de X mais surtout la loi conditionnelle de Θ sachant X, appel´ee loi a posteriori.Ici f(θ|X = x) = f(θ, x) f(x) = f(θ) f(x) f(x|Θ = θ). Afin de pouvoir m´ener les calculs en entiers, on peut r´e´ecrire cette expression f(θ|X = x) = f(θ) f(x|θ)f(θ)dθ f(x|Θ = θ). En poursuivant les calculs, on peut alors obtenir simplement que θ|X = x ∼ N ( α β2 + n i=1 xi σ2 )/( 1 β2 + n σ2 ), ( 1 β2 + n σ2 )−1 . 61
  • 62. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 23 – Distribution a priori de Θ, i.e. N(0, 1) 62
  • 63. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 24 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1 63
  • 64. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 25 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2 64
  • 65. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 26 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2, x3 65
  • 66. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 27 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x4 66
  • 67. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 28 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x5 67
  • 68. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 29 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x10 68
  • 69. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 30 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x20 69
  • 70. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 31 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x50 70
  • 71. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 32 – Distribution a priori de Θ, i.e. N(1.5, 0.5) 71
  • 72. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 33 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1 72
  • 73. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 34 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2 73
  • 74. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 35 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, x2, x3 74
  • 75. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 36 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x4 75
  • 76. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 37 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x5 76
  • 77. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 38 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x10 77
  • 78. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Distribution conditionnelle, estimation bay´esienne −1 0 1 2 0.00.51.01.52.02.53.0 Fig. 39 – Distribution a posteriori de Θ sachant x1, · · · , x50 78
  • 79. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Plus g´en´eralement, dans le cas Gaussien, on peut supposer µ|σ2 ∼ N µ0, σ2 λ0 et 1 σ2 ∼ G ν0, 1 σ2 0 i.e. on parlera de mod`ele normal-inverse Gamma. Alors la distribution a posteriori de des param`etres, conditionnellement aux Xi suit une loi de la mˆeme famille, mais avec des param`etres mis `a jour. En particulier µ|σ2 , X ∼ N λ0µ0 + Xi λ0 + n , σ2 λ0 + n et 1 σ2 |X ∼ G  ν0 + n, 1 σ2 0 + λ0µ2 0 + Xi − (λ0µ0+ Xi)2 λ0+n   (qui peut ˆetre g´en´eralis´e dans le cadre des vecteurs Gaussiens). Un fois d´etermin´ee la loi dite a posteriori, il convient de proposer un estimateur, appel´ee estimateur bay´esien, pour θ. Une id´ee naturelle est de poser θ = E (θ|X1, ..., Xn) 79
  • 80. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Estimation et portefeuilles optimaux En pratique, l’approche de Markowitz marche mal (on parle du paradoxe de Markowitz) : en pratique, des portefeuilles ´equipond´er´es sont meilleurs que des portefeuilles optimis´es. L’optimisation bas´ee sur les moyennes et variances estim´ees conduit `a introduire excessivement les outilers (qui ne sont des anormalit´es statistiques). La formule synth´etique est que l’optimisation au sens de Markowitz correspond `a une maximisation des erreurs. L’id´ee des mod`eles bay´esiens et de l’approche de Black et Littermann est de robustifier l’estimation 80
  • 81. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Approche classique et portefeuilles optimaux Naturellement, on ´ecrit le programme d’optimisation sur les grandeurs estim´ees arg min α∈R {α Σα} s.c. α µ ≥ η devient arg min{α Σα} s.c. α µ ≥ η On obtient alors un estimateur optimal sur les estimations, not´e α∗ . On peut l´egitimement se demander si l’optimun d’une d’estimation est l’estimation d’un optimum, i.e. α∗ ? = α∗ Plus g´en´eralement, supposons que l’on s’int´eresse `a mminimiser une fonction plus g´en´erale que la variance du portefeuille, i.e. arg min{R(α)} ou plutˆot arg min{R(α)} arg max{S(α)} ou plutˆot arg max{S(α)} 81
  • 82. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) o`u R est appel´ee mesure de risque, et S est une mesure de satisfaction. Parmi les proprit´et´es classiques de S, on peut supposer une proprit´et´e d’invariance d’´echelle, S(λα) = λS(α) pour tout λ > 0 (homog`ene de degr´e 1) ou au contraire d’homog´en´eit´e S(λα) = S(α) pour tout λ > 0 (homog`ene de degr´e 0). Il y a aussi une proprit´et´e de sous-addivit´e (ou de sur-addivit´e), i.e. S(α + β) ≤ S(α) + S(β) ou S(α + β) ≥ S(α) + S(β) Un propri´et´e un peu plus technique est une proprit´et´e de convexit´e (ou de concavit´e), i.e. S(λα + (1 − λ) β) ≤ λS(α) + (1 − λ) S(β) ou S(λα + (1 − λ) β) ≥ λS(α) + (1 − λ) S(β). Parmi les fonctions classiques S, 82
  • 83. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) celles qui d´ecoulent de l’approche par esp´erance d’utilit´e, de von Neumann & Morgenstein, S(α) = E(u(α X)), e.g. une utilit´e logarithmique u (x) = log(x), une fonction d’utilit´e puissance u(x) = x1−1/γ , une fonction exponentielle u(x) = exp (−x/α). celles qui d´ecoulent d’une propri´et´e d’indiff´erence d’utilit´e, i.e. S(α) = u−1 (E(u(α X))). celles qui d´ecoulent de l’approche duale, de Yaari, S(α) =, e.g. une fonction quantile, ou une mesure de risque coh´erence, e.g. une TV aR. On peut aussi consid´erer une mesure de risque spectrale Dans le premier cas, si on consid`ere une utilit´e exponentielle avec des risques Gaussiens, on retrouve par exemple S(α) = α µ − α Σα 2 Dans le cas de la V aR, on peut utiliser l’approximation dite de Cornish-Fisher. 83
  • 84. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Approche bay´esienne et portefeuilles optimaux Le mod`ele le plus simple `a consid´erer pour µ sachant Σ, µ|Σ ∼ N µ0, Σ T0 Pour la loi de Σ, il est naturel de supposer une loi de Wishart, Σ−1 ∼ W ν0, Σ−1 0 ν0 o`u Σ0 une matrice symm´etrique positive, et ν0 est une constante positive. On en d´eduit alors la loi non-conditionnelle µ, µ ∼ St ν0, µ0, Σ0 T0 de telle sorte que E(µ) = µ0 et cov(µ) = ν0 ν0 − 2 Σ T0 . De plus E(Σ−1 ) = Σ−1 0 . L’incertitude associ´ee `a la matrice de variance-covariance est plus compliqu´e `a 84
  • 85. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) ecrire, cov(vec(Σ−1 )) = 1 ν0 (In2 + Knn) Σ−1 0 ⊗ Σ−1 0 o`u vec est la fonction qui met les colonnes de la matrice Σ−1 dans une matrice diagonale, K estest une matrice de commutation, et ⊗ d´esigne le produit de Kronecker. Consid´erons d´esormais la distribution a posteriori bas´e sur T observations. Posons alors T1 = T0 + T, µ1 = 1 T1 (T0µ0 + Tµ) ν1 = ν0 + T et Σ1 = 1 ν1 ν0Σ0 + TΣ + (µ0 − µ)(µ0 − µ) 1 T + 1 T0 de telle sorte que µ|Σ ∼ N µ1, Σ T1 et Σ−1 ∼ W ν0, Σ−1 1 ν1 85
  • 86. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) ce qui donne la loi (non-conditionnelle) µ ∼ St ν1, µ1, Σ1 T1 on en d´eduit alors les propri´et´es suivantes sur la loi a posteriori de µ E (µ) = T0 T0 + T µ0 + T T0 + T µ et V ar (µ) = 1 T1 ν1 ν1 − 2 Σ1 De mˆeme, on peut obtenir des propri´et´es sur la loi a posteriori de Σ E (Σ) = 1 ν0 + T + n + 1 ν0Σ0 + TΣ + (µ0 − µ)(µ0 − µ) 1 T + 1 T0 et cov(vec(Σ)) = 2ν2 1 (ν1 + n + 1)3 Dn Σ−1 1 ⊗ Σ−1 1 Dn −1 Rappelons que l’on cherche `a r´esoudre - de mani`ere tr`es g´en´erale - un probl`eme 86
  • 87. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) de la forme α∗ = arg max S(α) Par exemple α∗ = arg max α µ − 1 2γ α Σα Dans le cadre d’une approche par indiff´erence d’utilit´e S(α) = u−1 (E(u(α X))) que l’on notera Sθ(α) o`u X suit une loi de param`etre θ. Dans l’approche classique, on pose α∗ = arg max{Sθ(α)}. Dans le cadre bay´esien, nous avons not´e µ = T0 T0 + T µ0 + T T0 + T µ 87
  • 88. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) et Σ = 1 ν0 + T + n + 1 ν0Σ0 + TΣ + (µ0 − µ)(µ0 − µ) 1 T + 1 T0 88
  • 89. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Le mod`ele de Black & Litterman avec R La library(BLCOP) permet de mettre en oeuvre l’approche de Black & Litterman. L’´equation centrale du programme de Black & Litterman est la suivante µ = (τΣ)−1 + P Ω−1 P −1 (τΣ)−1 Π + P Ω−1 Q o`u • Π est le vecteur de taille n des rendements (dits de long terme) • Σ est une matrice n × n de covariance des actifs, i.e. Σ, • δ est un param`etre d’aversion au risque • τ mesure l’incertitude de la variance `a l’´equilibre correspondant aux information de long terme, et • P est la matrice identit´e n × n • Q est le vecteur de taille n donnant l’exc´dent de rendement sur chacun des actifs • Ω est la matrice diagonale de la variance des perceptions L’´equation de Black & Litterman est parfois pr´esent´ee commme une correction 89
  • 90. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) des rendements Π, µ = Π + τΣP (PτΣP + Ω) −1 [Q − PΠ] Le facteur τ sera plus ou moins faible en fonction de la cr´diliibt´e donn´ee au march´e. 90
  • 91. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) La r´esolution d’un probl`eme d’allocation d’actifs n´ecessite deux grandeurs, – un estimateur de la moyenne des rendements µ – un estimateur de la matrice de variance-covariance des rendements Σ Pour estimer la moyenne, on peut prendre la moyenne arithm´etique des rendements historiques, ou des anticipations de rendements. Pour estimer la variance, on utilise les donn´ees historiques, via une moyenne arithm´etique, ou un estimateur EWMA (qui correspond `a un mod`ele GARCH(1, 1) dans le cas univari´e. Ici, on suppose que covt(Xi, Xj) = ω + αui,t−1vi,t−1 + βcovt−1(Xi, Xj) en g´en´eralisant l’´ecriture que nous avions en dimension 1, d’un GARCH(1, 1), i.e. V art(Xi) = σ2 i,t = ω + αε2 i,t−1 + βσ2 i,t−1 Le portefeuille initial est un portefeuille d’´equilibre pr´ed´efini, de poids ω∗, et d’´evoluer autour de se portefeuille avec plus ou moins d’´ecart, selon le degr´e de confiance dans les sc´enarios. On cherche `a r´esoudre, par exemple, un programme 91
  • 92. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) de la forme suivante min ω (ω − ω∗) Σ(ω − ω∗) s.c.    ω µ = η 0 ≤ ωi ≤ 1 ωi = 1 L’approche de Black & Litterman propose de d´efinir une allocation d’actifs en r´ef´erence `a un portefeuille initial `a partir de ”vues” sur un sous-ensemble, ou sur la totalit´e, des actifs. On se donne alors des vecteurs de rendements `a l’´equilibre Π = λΣω∗. Pour aller au del`a de ce portefeuille de base, on int`egre des ”vues” avec un degr´e de confiance sur tout ou partie des actifs. On consid`ere alors un portefeuille qui sera la moyenne entre le portefeuille d’´equilibre et les vues. Ceci peut ˆetre justifi´e par un mod`ele bay´esien, on l’on cherche le vecteur des rendements esp´er´es a posteriori, apr`es int´egration des vues. Aussi, µ = (τΣ) −1 + P Ω−1 P −1 (τΣ) −1 Π + P Ω−1 V 92
  • 93. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Idzorek (2002) propose de calibrer le mod`ele de telle sorte que le degr´e de confiance apparaisse comme une variable distribu´ee sur [0, 1] centr´e autour de 1/2, et que les d´eviations des poids soient doubl´ees si on passe de 1/2 `a 1, et tendent vers 0 si le degr´e de confiance tend vers 0. Formellement on cherche Σ telle que Σi,i = 1 2 ω 1 CDi , o`u ω est la somme des ´el´ements de P ΣP, et CDi est le degr´e de confiance dans la vue i. Parall`element, τ est tel que τ = 2 k k i=1 CDi. Notons que l’on suppose ici que Ω, la matrice de variance attendue des erreurs, est une matrice diagonale. Cette hypoth`ese est (trop) forte d’un point de vue de la finance comportementale. Black & Litterman propose de n’int´egrer que des vues sur la moyenne des rendements. Qian & Gorman ont propos´e un mod`ele int´egrant des vues sur la moyenne et la 93
  • 94. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) variance des rendements, avec    µ = Π + (ΣP )Ω−1 (V − PΠ) Σ = Σ + (ΣP ) Ω−1 ΣvΩ−1 − Ω−1 (PΣ) o`u naturellement Σv d´esigne la matrice de variance anticip´ee. Consid´erons le portefeuille suivant P = ω X = 1 2 X1 + 3 2 X2 − X3 Notre croyance a priori est que P ∼ N(0.05; 0.1). Supposons que l’on ait `a notre disposition d’un autre actif X4. > Matrice=matrix(c(.5,1.5,-1,0),nrow=1,ncol=4) > vue=BLViews(P=Matrice,q=.06,confidences = 100, + assetNames = colnames(Data)) Il faut ensuite donner les moyennes et variance a priori. Le plus simple est de supposer les moyennes nulles, et d’utiliser la variance historique, > library(corpcor) 94
  • 95. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) > moy.prior=rep(0,4) > var.prior=unclass(cov.shrink(Data)) Estimating optimal shrinkage intensity lambda.var (variance vector): 1 Estimating optimal shrinkage intensity lambda (correlation matrix): 0.3002 L’int´erˆet de cette m´ethode est de pouvoir en d´eduire unes estimation du param`etre λ On peut alors en d´eduire la distribution a posteriori, m´elant la loi a priori et les vues. > posteriorEst(views=vue,sigma=var.prior,alpha=moy.prior,tau=.5) Prior means: BKE GG GYMB KRON 0 0 0 0 Posterior means: BKE GG GYMB KRON 0.002346602 0.022983752 -0.014915312 -0.004058411 Posterior covariance: BKE GG GYMB KRON BKE 0.047975085 -0.005078094 0.011005451 0.010793786 GG -0.005078094 0.038741658 0.003026534 -0.005623743 95
  • 96. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) GYMB 0.011005451 0.003026534 0.044142855 0.006239874 KRON 0.010793786 -0.005623743 0.006239874 0.047781422 attr(,"lambda") [1] 0.3001854 attr(,"lambda.estimated") [1] TRUE attr(,"lambda.var") [1] 1 attr(,"lambda.var.estimated") [1] TRUE Pour ´etudier la robustesse, on peut utiliser d’autres vues, par exemple, supposer qu’un portefeuille compos´e de la moyenne des trois derniers titres suit une loi N(0.07; 0.15), > Matrice <- matrix(ncol = 3, nrow = 1, dimnames = list(NULL, colnames(Data)[2:4])) > Matrice[,1:3] <- rep(1/3,3) > Matrice GG GYMB KRON [1,] 0.3333333 0.3333333 0.3333333 > vue2=addBLViews(Matrice,.07,90,vue) > vue2 96
  • 97. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) 1 : 0.5*BKE+1.5*GG+-1*GYMB=0.06 . Confidence: 100 2 : 0.333333333333333*GG+0.333333333333333*GYMB+0.333333333333333*KRON=0.07 . Confidence: On peut alors lancer la phase d’optimisation de portefeuille, > marche=as.timeSeries(data(smallcap.ts))[, c("market")] > taux =as.timeSeries(data(smallcap.ts))[, c("t90")] > posterior=BLPosterior(as.matrix(Data),vue2,tau=.5,marketIndex = as.matrix(marche)) Estimating optimal shrinkage intensity lambda.var (variance vector): 1 Estimating optimal shrinkage intensity lambda (correlation matrix): 0.3002 > posterior Prior means: BKE GG GYMB KRON 0.01986394 0.01445708 0.01317127 0.02922796 Posterior means: BKE GG GYMB KRON 0.02712333 0.04168138 0.02192929 0.04325334 Posterior covariance: BKE GG GYMB KRON BKE 0.047770391 -0.005488871 0.010311980 0.010182121 GG -0.005488871 0.037917318 0.001634891 -0.006851220 97
  • 98. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) GYMB 0.010311980 0.001634891 0.041793495 0.004167658 KRON 0.010182121 -0.006851220 0.004167658 0.045953656 attr(,"lambda") [1] 0.3001854 attr(,"lambda.estimated") [1] TRUE attr(,"lambda.var") [1] 1 attr(,"lambda.var.estimated") [1] TRUE > opt=optimalPortfolios(posterior,doPlot=TRUE) > opt $priorPfolioWeights BKE GG GYMB KRON 0.1871428 0.2311983 0.0000000 0.5816589 $postPfolioWeights BKE GG GYMB KRON 0.002424798 0.524147656 0.000000000 0.473427546 98
  • 99. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) BKE GG KRON Prior Posterior Optimal weights Weights 0.00.10.20.30.40.5 Si l’on s’int´eresse `a un programme d’optimisation avec contrainte, il suffit de rajouter les contraintes dans l’optimisation. Par exemple, si les positions courtes sont interdites 99
  • 100. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) > contraintes = list() > contraintes$bvec=1 > contraintes$meq=1 > contraintes$Amat=matrix(rep(1,5),5,1) > contraintes $bvec [1] 1 $meq [1] 1 $Amat [,1] [1,] 1 [2,] 1 [3,] 1 [4,] 1 > opt=optimalPortfolios(posterior,contraints=contraintes) On peut d’ailleurs obtenir plus g´en´eralement le degr´e confiance de l’allocation optimale dans un des titres. Par exemple, pour le premier actif, 100
  • 101. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) > densityPlots(posterior,assetsSel="KRON") −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.00.51.01.52.0 GG Density Prior Posterior −0.4 −0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.00.51.01.52.0 KRON Density Prior Posterior Mais plus g´en´erallement, aussi lieu de supposer un mod`ele Gaussien mis `a jour, il est possible de supposer des distributions jointes plus complexes. De mˆeme pour les vues, on l’on n’est plus oblig´e de supposer un mod`ele Gaussien. 101
  • 102. Arthur CHARPENTIER - m´ethodes avanc´ees en gestion d’actifs (2008/2009) Notons que l’on peut s’affranchir de l’hypoth`ese de normalit´e : pour une loi de Student multivari´ee, de matrice de dispersion Σ, `a ν = 5 degr´es de libert´e, > md=mvdistribution("mt",mean=mu,S=sigma,df=nu) 102