Le but de ce projet était de montrer la convergence du modèle discret binomial de Cox-Ross-Rubinstein (BOPM pour “binomial option pricing modèle”) vers le modèle continu de Black, Scholes et Merton (BSM).\\
Ces deux modèles sont des modèles de l'évaluation des produits financiers vus dans le cours.
L'intérêt d’une telle étude est de savoir si l’on peut approximer un temps discret par un temps continu et inversement.
3. 2
Avant-propos
Le but de ce projet était de montrer la convergence du modèle discret binomial de Cox-Ross-
Rubinstein (BOPM pour “binomial option pricing modèle”) vers le modèle continu de Black,
Scholes et Merton (BSM).
Ces deux modèles sont des modèles de l’évaluation des produits financiers vus dans le cours.
L’intérêt d’une telle étude est de savoir si l’on peut approximer un temps discret par un temps
continu et inversement.
4. 3
Introduction
Nul le pouvait imaginer que les mouvements de particules à l’intérieur de grains de pollen de
Clarkia pulchella avait un lien mathématique avec les cours d’une action boursière. Si les études
furent très intenses dans la démonstration physique de l’existence de ces mouvements browniens,
il a fallu attendre la thèse de Louis Bachelier (1900) pour comprendre que les trajectoires de ces
petites particules ont une relation mathématique avec le cours d’une action boursière : Ils obéissent
à leur insu les mêmes modèle mathématique.
Depuis le travail de Louis Bachelier, d’importants travaux (Paul Levi, Wiener, Ito) s’en suivent
théoriquement sans pourtant aboutir à une solution utilisable pour l’homme financier. Le salut
viendra du côté des chercheurs ayant une connaissance mathématique et financière (Fisher, Sc-
holes 1973) dans leur rapport publié dans le Journal of Political Economy en 1973 pour mettre
fin à ce problème vieux de plus de 70 ans. En effet, il constitue le véritable point de départ de
la théorie de l’évaluation des actifs dérivés. Ils supposent des hypothèses discutables telle que la
continuité du temps, la log-normalité de la distribution du cours de l’action, et la normalité du
taux de rentabilité composée en continue des actions.
De leurs travaux naissent d’autres méthodes de calcul simple en discrétisant le temps. C’est le
cas de la méthode binomiale qui suppose qu’une action ne possède que deux états: Soit elle aug-
mente ou diminue, en un intervalle de temps donné. Nous avons ainsi deux méthodes de l’évaluation
des produits financiers l’un en temps continue et sa simplification en temps discret.Donne-t-ils le
même résultat pour une même option ? Mais comment se comportent -t-il lorsque l’intervalle
de temps devient infiniment petit. C’est ce sujet que nous étudierons dans ce présent rapport.
Pour ce faire, il convient de rappeler les deux modèles utilisés, le type d’option à étudier ainsi que
les propriétés générales et l’environnement de nos modèles pour pouvoir, à l’aide d’une approche
graphique, observer la convergence du modèle binomial que nous noterons (BOPM) vers le modèle
de Black Scholes Merton (BSM).
Ce projet est alors principalement axé sur trois grandes parties que nous divisons en chapitres.
Dans la première partie nous allons expliquer les problématiques, les objectifs, l’environnement de
travail. Nous nous servirons de la deuxième partie pour démontrer théoriquement la convergence.
Enfin dans la dernière partie nous détaillerons l’implémentation, le résultat fourni, la conclusion,
l’expérience reçue et les difficultés rencontrée.
5. 4
Problématique
Dans cette partie du rapport, nous allons dans un premier temps nous intéresser sur la présentation
des méthodes binomiales et Black Scholes, leur formule et leur limite. Ensuite nous présenterons
le problématique et quel sera l’intérêt de la convergence
Avant d’entrer dans le vif du sujet, nous tenons à rappeler les produits sur lesquels seront
appliqués nos modèles dans le cadre de ce projet.
Pour rappel, une option est un contrat qui permet à son détenteur d’acheter ou de vendre
une certaine quantité d’un bien ou un actif à un cours convenu à l’avance, appelé prix d’exercice
(Strike), à (ou jusqu’à) une date fixée, dite échéance de l’option ou maturité. En contrepartie,
l’acheteur verse immédiatement au vendeur de l’option une prime qui est le prix de l’option.
Les modèles que nous allons présenter servent d’évaluer ce prix.
0.1 Le modèle de Black Scholes
Le modèle de Black-Scholes (du nom de Fischer Black et Myron Scholes) d’évaluation d’option est
un modèle utilisé en mathématiques financières afin d’estimer en théorie la valeur d’une option
financière, du type option européenne. Il se repose sur un certain nombre de conditions :
• Le prix de l’actif sous-jacent suit un mouvement brownien géométrique avec une volatilité
constante et une dérive constante.
• Il n’y a pas d’opportunités d’arbitrage.
• Il est possible d’effectuer des ventes à découvert.
• Il n’y a pas de coûts de transactions.
• Il existe un taux d’intérêt sans risque, connu à l’avance et constant.
• Tous les sous-jacents sont parfaitement divisibles.
• Le temps est continue.
0.1.1 Évaluation du payoff
Pour une option d’achat (call), la formule est la suivante :
Call = SN(d1) − Kert
N(d2)
6. 0.1. LE MODÈLE DE BLACK SCHOLES 5
Pour une option de vente (call), la formule est la suivante :
PUT = KN(d1) − Kert
N(d2)
où
d1 =
ln(
S
K
) + (r +
σ2
2
)T
σ
√
T
et d2 = d1 − σ
√
T
Avec :
S = Prix de l’action
K = Strike de l’option ou Prix d’exercice
r = taux sans risque
T = Maturité de l’option (en année)
σ = volatilité implicite du sous-jacent
N(x) = Fonction de répartition cumulative de la loi normale.
Le prix théorique d’une option d’achat, qui donne le droit mais pas l’obligation d’acheter l’actif S
à la valeur K à la date T, est caractérisé par son payoff qui est défini par:
payoff = max(ST − K; 0)
0.1.2 Caractéristiques
Le modèle Black Scholes est basé sur une histoire mathématique solide et sophistiqué ayant par-
couru plus de soixante-dix (70) ans afin d’être utilisable sur le marché financier. Cependant il se
repose sur certaines hypothèses discutables dans la réalité:
• La continuité du temps.
• Les variables sous-jacent sont constantes.
• Il n’est pas applicable aux options américaines.
Par la continuité du temps, Black Scholes permet d’évaluer la valeur d’une option en tout point
maturité. Quoi que l’on dise (actuellement), Black-Scholes, qu’il soit simplifié, amélioré ou autre
est le seul modèle connu populaire et quotidiennement utilisé.
0.1.3 Implémentions sous python
Le code python du modèle BSM est le suivant:
7. 0.2. LE MODÈLE BINOMIAL 6
0.2 Le modèle binomial
C’est un modèle dérivé de Black-Scholes et proposé par Cox, Ross et Rubinstein en 1979. Elle
fournit une méthode numérique pour l’évaluation des options. Le modèle est un modèle discret
pour la dynamique du sous-jacent qui rend possible l’exercice prématuré avant la maturité donc
applicable aux options américaines.
0.2.1 Évaluation du payoff
Considérons une option dont la maturité a été divisée en petites périodes de durée ∆t. Notons
(i, j) le j-ème noeud de la date i∆t, avec 1 ≤ i ≤ N + 1, i ≤ j ≤ N + 1, et fi,j la valeur de l’option
au noeud (i, j). À ce même noeud, le prix du sous-jacent est
Si,j = S0uj−i
di−1
La valeur de l’option call à la date de d’échéance T, si c’est une option américaine est donnée par
:
fi,N+1 = max(Si,N+1 − K; 0), i = 1, ..., N + 1 et j = i, ..., N + 1.
De la date i∆t à la date (i + 1)∆t, l’action passe du noeud (i, j), au noeud (i, j + 1) avec une
probabilité p et au noeud (i + 1, j + 1) avec une probabilité 1 − p.
Pour 1 ≤ i ≤ N + 1 et i ≤ j ≤ N + 1, si on suppose que l’option n’est pas exercée prématurément,
alors:
fi,j = e−r∆t
[pfi,j+1 + (1 − p)fi+1,j+1]
Donc dans le cas d’une option américaine, la valeur est :
fi,j = max({Si,j − K; e−r∆t
[pfi+1,j+1 + (1 − p)fi+1,j]})
0.2.2 Caractéristiques
Voici ses caractéristiques:
• Elle prends en compte les variables de l’actif sous-jacent contrairement au black Scholes.
• Le temps est discret.
• L’évaluation des options américaines.
• Il est algorithmiquement plus simple à modéliser dans un programme informatique.
• Il est plus précise.
• Il est très lent.
• Son mauvais fonctionnement lorsqu’il y a plus de 2 actifs.
8. 0.3. CONVERGENCE 7
0.2.3 Implémentations
Le code python du modèle binomial est le suivant:
0.3 Convergence
Dans les sections précédentes, nous venons de voire deux modèles d’évaluations des produits
dérivés, l’un mathématiquement plus solide qui permet d’évaluer l’option en tout point de la
maturité et l’autre plus simple à programmer à temps discret qui permet d’évaluer une option à
chaque intervalle de la maturité. Comment se comportent cette dernière lorsque l’intervalle de
temps devient infiniment petit ?
0.3.1 Problème
Dans cette partie, nous allons appliquer ces deux modèles précédemment vu , ( à une situation
concrète.
Soit une option d’achat européenne définie par les paramètres suivants :
S = 50
K = 50
r = 10
T = 1 ans
σ = 30
En appliquant nos deux implémentations nous avons:
9. 0.3. CONVERGENCE 8
A notre grande surprise, nous avons dans les mêmes conditions et pour la même option deux
modèles qui donnent deux résultats très différents. Un cultivateur qui cherche à se protéger contre
une faible niveau de prix du coton aura du mal à se fier à ces calculs, sachant que le temps soit
continue, discret ou autre lui importe peu. Qu’allons nous croire ? Est- ce prendre la plus petite
valeur ? (pour l’acheteur) ou la plus grande (le vendeur) C’est ainsi le vrai problématique de cette
étude.
0.3.2 Intérêt
Tout l’intérêt de la convergence de l’un des modèle vers l’autre modèle, c’est assurer la solidité
(crédibilité) de ces deux modèles mathématiques. En effet En effet sans convergence, l’un sera
sûrement est erroné.
0.3.3 Solution
La solution que nous allons présenter pour la convergence est de tendre la période vers un point.
10. 9
Étude théorique
0.4 Question préliminaire
Notre objectif dans cette partie est de montrer que u = eσ
√
∆T
et d = e−σ
√
∆T
.
L’intérêt d’une telle démonstration c’est créer un lien entre les deux modèles. En effet le modèle
binomial dépend de deux paramètres importants u et d. Et le modèle de Black-Scholes dépend de
la volatilité.
0.4.1 Démonstration de u
Soit une maturité T donnée et discrétisée en ∆T,
u = eσ
√
∆T
.
Pour déterminer le prix de notre option, nous allons utiliser une probabilité risque neutre.
Rappelons que selon l’hypothèse risque neutre, on a:
• L’espérance de rendement associée à tous les placements est de r, où r est le taux sans risque.
• On peut utiliser ce taux sans risque r pour actualiser tous les flux associés à notre placement.
D’après l’hypothèse risque neutre, la valeur présente de notre placement est
E[ST+∆T ] = ST er∆T
. (0.4.1)
Or d’après notre arbre binomial,
E[ST+∆T ] = ST pu + ST (1 − p)d. (0.4.2)
Les équations (0.4.1) et (0.4.2) donnent l’égalité suivante:
er∆T
= pu + (1 − p)d. (0.4.3)
Évaluons la variance de notre produit:
Rappel 0.4.1. Soit X une variable aléatoire réelle,
V ar(X) = E[X2
] − (E[X])2
.
11. 0.4. QUESTION PRÉLIMINAIRE 10
Donc en appliquant cette formule de la variance à ST+∆T , on a :
V ar(ST+∆T ) = E[ST+∆T
2
] − (E[ST+∆T ])2
.
D’après les équations (0.4.1) et (0.4.2) respectivement,
(E[ST+∆T ])2
= (ST er∆T
)2
et E[ST+∆T
2
] = pS2
T u2
+ (1 − p)S2
T d2
.
D’où
V ar(ST+∆T ) = pS2
T u2
+ (1 − p)S2
T d2
− S2
T e2r∆T
. (0.4.4)
En se plaçant sous les hypothèses de Black-Scholes:
ln ST+∆T ∼ N(ln ST + (µ −
σ2
2
)∆T, σ2
∆T)
Rappel 0.4.2. (propriété de la loi log-normale) :
Si X est une distribution de log-normale, c’est-à-dire ln X est une distribution normale d’espérance
E(ln X) et de variance V ar(ln X), alors
E(X) = e
E[ln X]+
1
2
V ar(ln X)
et V ar(X) = e2.E[ln X]+V ar(ln X)
.(eV ar(ln X)
− 1).
En utilisant cette propriété de log-normale, on a :
E[ST+∆T ] = ST eµ∆T
et
V ar(ST+∆T ) = S2
T e2µ∆T
(eσ2∆T
− 1).
or ex
1 + x lorsque x −→ 0, donc
V ar(ST+∆T ) S2
T (1 + 2µ∆T)(1 + σ2
∆T − 1)
S2
T σ2
∆T + S2
T (2µ∆T)(σ2
∆T).
Puisque le terme ∆T2
est relativement très petit, alors on peut annuler le terme S2
T (2µ∆T)(σ2
∆T).
Donc
V ar(ST+∆T ) = S2
T σ2
∆T. (0.4.5)
Les équations (0.4.4) et (0.4.5) donnent l’égalité suivante:
σ2
∆T = pu2
+ (1 − p)d2
− e2r∆T
. (0.4.6)
En utilisant le résultat de l’équation (0.4.3), on obtient:
σ2
∆T = pu2
+ (1 − p)d2
− (pu + (1 − p)d)2
= pu2
+ (1 − p)d2
− p2
u2
− 2p(1 − p)ud − (1 − p)2
d2
= u2
[p − p2
] + [(1 − p) − (1 − p)2
0]d2
− 2p(1 − p)ud
= u2
p(1 − p) + (1 − p)[1 − (1 − p)]d2
− 2p(1 − p)ud
= p(1 − p)[u2
− 2ud + d2
]
= p(1 − p)(u − d)2
.
12. 0.4. QUESTION PRÉLIMINAIRE 11
Or
p =
er∆T
− d
u − d
(d’après l’équation (0.4.3))
Donc
p(1 − p) = p − p2
=
er∆T
− d
u − d
−
e2r∆T
− 2der∆T
+ d2
(u − d)2
=
er∆T
u − ud − er∆T
d + d2
− e2r∆T
+ 2der∆T
− d2
(u − d)2
=
er∆T
(u − d + 2d) − ud − e2r∆T
(u − d)2
=
er∆T
(u + d) − ud − e2r∆T
(u − d)2
Ce qui implique que
σ2
∆T = er∆T
(u + d) − ud − e2r∆T
(0.4.7)
D’après Cox-Ross-Rubinstein, on a:
d =
1
u
Donc l’équation (0.4.7) devient:
σ2
∆T = er∆T
(u +
1
u
) − u
1
u
− e2r∆T
(0.4.8)
Par conséquent
u +
1
u
= e−r∆T
σ2
∆T + e−r∆T
+ er∆T
(0.4.9)
Puisque e−r∆T
(1 − r∆T), er∆T
(1 + r∆), et rσ2
∆T2
−→ 0, alors
u +
1
u
σ2
∆ + 2
Donc on obtient une équation du second degré:
u2
− (σ2
∆ + 2)u + 1 = 0 (0.4.10)
ce qui implique que
u =
σ2∆T+2±
√
(σ2∆T+2)2−4
2
= σ2∆T+2±
√
σ4∆T2+4σ2∆T+4−4
2
(σ4
∆T2
→ 0)
= σ2∆T
2
+ 1 ± σ
√
∆T
Puisque
√
∆T est beaucoup plus grand que ∆T pour un petit ∆T, et σ2
est relativement plus
petit que σ, alors nous pouvons ignorer le premier terme σ2∆T
2
.
⇒ u 1 ± σ
√
∆T
eσ
√
∆T
(parce que u > 1 ⇒ u = e−σ
√
∆T
)
13. 0.4. QUESTION PRÉLIMINAIRE 12
0.4.2 Démonstration de d
D’après le cours nous avons:
d =
1
u
.
et d’après ce qui précède
u = eσ
√
∆T
.
on peut en déduire que:
d = e−σ
√
∆T
Nous venons de voire l’existence d’une relation entre le modèle binomial et le modèle de Black-
Scholes.
14. 13
Simulation numérique
Dans cette partie du rapport, nous allons nous intéresser à la simulation graphique pour démontrer
la convergence du modèle binomial vers le modèle de Black Scholes lorsque la période devient très
petite.
0.4.3 Environnement
Nous avons opté pour Python pour sa proximité du monde de la finance pour réaliser un API.
Pour réaliser notre site, il nous a fallu s’organiser, dans un premier temps il fallait pouvoir gérer
de manière générale notre projet. Pour cela nous avons eu recours à Google Drive afin de partager
l’aspect général du site, avoir l’énoncé facile d’accès pour nous recarder, partager le rapport, les
slides et un mémo servant de brouillon pour communiquer et récapituler ce qui avait était fait.
Ensuite il fallait pouvoir partager les codes, les algorithmes, pour ce faire nous avons utilisé Git
par bitbucket ce qui nous a permis d’avoir un suivi continu sur les modifications effectués sur la
partie algorithmique et d’échanger à ce propos. Pour ce qui est des langages de programmations
nous avons convenu de l’utilisation de Python pour la partie calculatoire qui s’associait au langage
Html (servant à l’affichage du site) grâce au framework Django. De plus la partie graphique est
négociée grâce à Google Charts. Enfin pour ce qui est de l’hébergement du site nous nous somme
appuyé sur les serveur libres Apache.
0.4.4 Démonstration
Dans cette partie, nous allons fixer les paramètres d’une option européenne, nous allons par la
suite faire varier la période pour le cas de l’option binomial et analyser son comportement.
15. 14
Soit une option d’achat européenne définie par les paramètres suivants :
S = 50
K = 50
r = 10
T = 1 ans
σ = 30
Nous allons voire comment se comporte selon la période.
Période = 1 mois
Pour la période = 1 mois, nous voyons que le modèle oscille fortement et converge difficilement
avec un écart important de 0.03. Ce qui peut-être énorme lorsque les montants sont en centaine
de milliers d’unité de monnaie.
Période = 1 jour
Pour la période = 1 jour, nous voyons que le modèle oscille fortement et converge lentement avec
un écart négligeable de 0.004.
16. 15
0.4.5 Vitesse de convergence
Nous venons de voire que pour une période suffisamment petite, le modèle binomial tend vers celui
de Black Scholes. La question que l’on peut se poser maintenant c’est la forme de cette convergence
? Est-elle monotone, ou non, et surtout est-elle rapide ? Dans la figure précédente, on constate
quelques oscillations au départ, et après un certain temps, d’autres oscillations se reproduisent. Ce
que l’ont peut déduire que la convergence n’est pas uniforme et régulière. Il ne semble pas aussi
particulièrement rapide.
0.4.6 Correction de la convergence
Nous avons constaté une convergence lente et quelques oscillations au départ. Nous pourrons
améliorer cela par un certain choix judicieux de u et d 2
.
0.4.7 Ressource disponible
• Site web de démonstration: http://bopm2bsm.deylook.com
• Code source :https://github.com/abskalana/imfl_bopm2sbm
• API :http://bopm2bsm.deylook.com/api/compute?op_nat=0&op_type=0&stock=50.0&strike=50.0&v
17. 16
Conclusion
Nous concluons que le modèle binomial converge vers le modèle de Black-Scholes. Et cette conver-
gence est d’une importance capitale: Toute la crédibilité de ces deux modèles en dépend. Toutefois,
il reste à noter que cette convergence possède des oscillations importantes et n’est pas aussi rapide
que prévu. La perspective de cet étude c’est explorer d’autre méthode pour que la convergence
soit rapide et uniforme (ou monotone).
18. BIBLIOGRAPHY 17
Bibliography
[1] J. C. Cox, S. A. Ross and M. Rubinstein, Option Pricing : A simplified Approach,
Journal of Financial Economics, 2005
[2] John Hull, Options, Futures and Other Derivatives, 8th Edition, Prentice Hall, 2005
[3] Yuh-Dauh Lyuu, Financial engineering and computation, Cambridge University,2004
[4] Abdelkader SBIHI, Mathématiques Financières, Université du Havre, 2018
