Gestion de portefeuille d'action

GESTION(DE(PORTEFEUILLE( ! 1
LA GESTION DE PORTEFEUILLES D’ACTIONS
CCA : 2014-15

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CHAPITRE I : Gestion de portefeuille d’action
Un investisseur peut porter pour gérer son portefeuille d’actions soit par une gestion
active ou passive. La gestion passive convient surtout à l’investisseur qui ne possède
pas d’aptitudes ou de renseignements particuliers lui permettant de prévoir, mieux
que les autres, les cycles d’investissement et détecter les titres incorrectement évalués.
Par contre, un investisseur qui croit posséder des aptitudes supérieures à la moyenne
pour prévoir les mouvements du marché boursier et pour repérer les titres
incorrectement évalués en procédera à une gestion active.
La gestion passive :
Dans un contexte où le model d’équilibre des actifs financiers (MEDAF) constituât une
description exacte de la réalité et où les marchés sont relativement efficients, la
composition d’un portefeuille d’actions est réalisée sans difficulté majeure. En effet,
dans une pareille situation, un investisseur place une somme d’argent dans des fonds
indiciels. Dans ce cas, l’investisseur possède un portefeuille dont le risque est non
systémique et pratiquement nul puisqu’il détient un portefeuille d’actions diversifié. De
plus, ce genre de situation ne vise pas à abattre le marché mais plutôt de réaliser un
taux de rendement équivalent à celui des principaux indices.
La gestion passive est fortement adaptée par les investisseurs. Cette popularité accrue
de ce type de gestion peut s’expliquer par le faible coût de transaction qu’elle
entraine, le peu de temps qu’elle nécessite, et, également par les résultats de
nombreuses études empiriques qui sont arrivées à la conclusion que les gestionnaires
professionnels n’ont pas réussi sur de longues périodes et à risques égaux à obtenir des
rendements supérieurs à ceux des indices boursiers.
La gestion active
Par opposition à l’investisseur qui adopte une gestion passive, celui qui préconise une
gestion passive pense qu’il existe sur le marché des titres sous-évalués et surévalués,

ou qu’il possède des aptitudes supérieures à la moyenne pour prévoir les cycles du
marché boursier.
L’investisseur qui opte pour une stratégie active vise à obtenir, pour un même niveau
de risque un rendement supérieur à celui qui préconise une stratégie passive.
Il convient de noter qu’une stratégie active comporte, en générale, un niveau de
risque plus élever qu’une simple stratégie passive et entraîne en outre, les frais de
transaction plus élevés puisque l’investisseur doit constamment remanier son
portefeuille.
Une gestion active d’un portefeuille d’actions peut être basée sur la prévision des
mouvements des marchés boursiers, la sélection des titres individuels ou la notation
sectorielle. Le plus souvent en pratique, les investisseurs tentent avantage de leur
capacité de détecter les titres individuels incorrectement évalués, à prévoir la
tendance du marché et à desceller les secteurs les plus susceptibles de connaître des
performances dans le futur proche. Cette stratégie implique que l’investisseur réajuste
régulièrement le niveau de risque (coefficient de corrélation) de son portefeuille
d’action en fonction de ses besoins concernant le marché boursier. Ainsi, lorsqu’il
anticipe une hausse du marché, il détiendra un portefeuille dont le coefficient B est
élevé si ses perspectives se concrétisent, il réalisera alors un rendement élevé et
supérieur à celui du marché. Inversement, s’il anticipe une baisse du marché, il
placera ses fonds dans un portefeuille ayant un coefficient beta « ß» assez faible et
dans des titres sûrs.
1.!La mesure de la performance d’un portefeuille
Elle passe par l’appréciation du risque qu’il peut comporter et du rendement qu’il est
susceptible de générer. C’est la raison pour laquelle sera question de mesurer le
rendement et le risque d’abord de titres individuels, et ensuite, ceux des titres et
valeurs mobilières. Par la suite, nous allons voir par le biais de la diversification, q’un
investissement peut réduire de façon substantielle le risque associé aux titres
individuels. En fin, c’est l’objectif de ce chapitre, il sera traiter de la démarche pour
sélectionner un portefeuille optimal en insistant particulièrement sur ce qu’il est
convenu d’appeler dans la littérature financière le model « moyen-variance » ou le
model de « Markowitz ».

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I.! Mesure du rendement
a.!Mesure de rendement d’un titre
Le rendement d’un titre pour une période donnée (quotidienne, hebdomadaire,
mensuelle,) noté RTT peut se calculer ainsi : !" =
$%&$%'(
$%'(
+ *"
Exemple :
À la fermeture du marché boursier, le prix de l’action MANAGEM été de 500 dhs le
31/Mars, et de 600 dhs le 30/Juin. De plus, cette action a rapportée un dividende de
10 dhs en juin.
!" =22%
1)! Mesure du rendement moyen d’un titre sur N période :
La moyenne arithmétique et la moyenne géométrique sont deux mesures pour
apprécier la performance d’un titre sur un certain nombre de périodes.
2)! Calcul de la moyenne arithmétique observée :
R =
+
,
- ./
,
01+
3)! Calcul de la moyenne géométrique des rendements observés :
La moyenne géométrique mesure le rythme moyen d’accroissement de la richesse
d’un investisseur. Par exemple, si le rendement moyen géométrique réalisé par un
investisseur, au cours des cinq dernières années, a été de 10%, cela signifie que la
richesse de ce dernier s’est accrue en moyenne de 10% par année pendant la
période concernée. Pour calculer la moyenne géométrique, on utilise l’expression
suivante : Rg= [(1+R1) (1+R2)…(1+Rn)] 1/n _ 1 D’où : [,
01+ + + ./ 1/n -1
Exemple d’illustration :
On dispose des renseignements suivants concernant le prix successif du titre A :
Prix au 31/12/12 : 1000 dhs
Prix au 31/12/13 : 2000 dhs
Prix au 31/12/14 : 1000 dhs
En suppose qu’aucun dividende n’a été reçu pour la période de 2012-1014
Question : Calculer la moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des
rendements de l’investissement ?
Solution :
R13 =
3444&5444
5444
= 1-; R14 =
5444&3444
3444
= −0, 5-
•! Rt =
&4,;<-5
3
= 0,25-(25%)-

•! Rg= 1 + 1 −
5
3
+ 1 1/2 -1 = o
Ce dernier résultat signifie que la richesse de l’investisseur s’est accrue de 25% à la
cours des deux dernières années. Nous constatons donc que la performance a été
nulle alors que la moyenne arithmétique présente un rendement moyen 25 %. Cette
moyenne est trompeuse.
En revanche, la moyenne géométrique est plus fiable. Toutefois, en dépit de cela, la
moyenne arithmétique est très utilisée en finance notamment pour le calcul de la
variance ou de l’écart- type et la moyenne des observations d’un titre.
Plus la Rt>Rg, plus la volatilité est grande, et plus Rt>Rg est prononcée.
b.!Le rendement espéré d’un titre :
Le rendement que réalisera un investisseur sur un placement donné est incertain. Par
exemple, on ne peut estimer le rendement que réalisera de la prochaine année celui
qui achète un lot d’actions de LAFARGE.
Les taux de rendement possibles sont fort nombreux qu’on peut vouloir résumer
l’ventaille des rendements par une mesure de tendance centrale (espérance
mathématique), mesure de dispersion (écart type).
Pour évaluer le rendement espéré d’un titre A(!), il existe deux façons de procéder :
une première approche consiste à, attribuer pour chacun des rendements possibles :
E(R) = P1R1 + P2R2+…+Pn Rn , D’OÙ : E(R)= BC!C
D
E15
Le rendement espéré d’un titre est la moyenne pondérée des différentes moyennes
possibles. Les facteurs pondérant sont donc des probabilités.
N.B :
•! Comme il s’agit d’une distribution des probabilités, on doit s’assurer que la
somme des probabilités est égale à 1. Si on s’attend à ce que la distribution des
taux de rentabilité passés soit maintenue dans le futur, le rendement espéré
peut être estimé par la moyenne arithmétique des rendements espérés des
périodes précédentes.
E(R) =
C(<CF<⋯CH
D
d’où : E(R) =
CI
D
D
E15
•! Pour estimer l’espérance à l’aide des données historiques, il est de pratique
d’utiliser des suites de soixante rendements mensuelles (cinq années
d’espérance boursière).

6
II. Le rendement espéré d’un portefeuille :
Un portefeuille est un ensemble de titres détenu par un investisseur. Le rendement
espéré d’un portefeuille correspond à la moyenne pondérée des rendements espérés
des titres d’un portefeuille. A(!)$ = J5. A(!)5 + J3. A(!)3 + ⋯ + J3. A(!)5
D’où :L(.)M = N0
,
01+ L(.)0
N0-: Les proportions de fonds investis dans le titre i
N : Le nombre de titres inclus dans le portefeuille
N.B :
•! La somme des pondérations N0
,
01+ = +
•! la valeur de N0 peut être négative ou positive.
•! Lorsqu’un investisseur achète un titre, la valeur est positive, et lorsqu’il vend un
titre à découvert, la valeur de N0-est négative.
•! Dans le cas d’un achat, N0-se calcul ainsi :
N0- = -
OPQRSQR-TU-VSWXRSY-TZ-Y[
XQZ]RX]]ZOZQRVPQVZ^Qé-S-Y[
SVℎSRTU-RXR^Z-
YZ-VSWXRSY-TZ-Y[XQZ]RX]]ZU^-XQZ]RXR-TSQ]-YZ-WP^RZaZUXYYZ
•! Dans le cas d’une vente à découvert, le N0-se calcul ainsi :
N0- = -
(−)OPQRSQR-TU-VSWXRSY-TZ-Y[
XQZ]RX]]ZOZQRVPQVZ^Qé-S-Y[
SVℎSRTU-RXR^Z-
YZ-VSWXRSY-TZ-Y[XQZ]RX]]ZU^-XQZ]RXR-TSQ]-YZ-WP^RZaZUXYYZ
•! Si l’investisseur n’achète qu’un titre et que celui-ci est acheté sur marge, la
valeur de N0-serait >1, positive, puisque le montant investit dans le titre i
excédera la mise de fonds personnelle de l’investisseur.
Un investisseur disposant d’un capital de 1.000.000 dhs, désire se constituer un
portefeuille des titres A et B pour la période à venir. Les estimations suivantes sont
disponibles :
A(!)b =10% ; A(!)c = 25% ;
Le taux auquel l’investisseur peut emprunter de son courtier en donnant les titres en
garantie est de 12%.
Question :
•! Déterminer dans chacun des cas suivants l’espérance du rendement du
portefeuille :
"! L’investisseur place 400.000dhs dans le titre A et 600.000 dons le titre B.
"! L’investisseur emprunte 500.000dhs à son courtier et place 1.500.000dhs dans
le titre B.

Solution :
H1 :
(dee.eee.+e%)<(fee.eee.gh%)-
+.eee.eee
= +i%
H2 :
+.hee.eee.gh% &(hee.eee.+g%)
+.eee.eee
= j+, h%

8
III. Mesure du risque :
3.1.! Mesure du risque d’un titre
Le taux de rendement exigé ne suffit pas, lui seul, à caractériser une opportunité
d’investissement. Il faut également considérer la dispersion possible au cours de
rendements possibles autour du rendement exigé de l’espérance de la rentabilité.
L’écart type ou son carrer, la variance, constituent la mesure de dispersion la plus
utilisée pour estimer une base subjective attribuée à chacun des rendements
possibles, une probabilité ou utiliser une suite de rendements historiques si l’on possède
à partir des probabilités subjectives. La formule à utiliser est alors la suivante :
VAR(R)= B5-[!5 −E(R)] 2 + …+ BD-[!D −E(R)] 2 ; D’où :VAR(R) = Bk[!k − A !k ]D
E15
2
Une faible valeur de la variance indique que la plupart des rendements sont
concentrés à proximité de l’espérance mathématique (risque faible). À l’inverse, une
variance élevée indique que, la plupart des rendements sont éloignés de l’espérance
mathématique (risque élevé). Notons maintenant que la variance + 0 signifie que le
placement en cause ne comporte aucun risque.
Supposant la distribution de la probabilité suivante associée aux rendements possibles
pour l’an prochain :
T.A.F :
a)! Calculer l’espérance de rendement ?
b)! Calculer la variance et l’écart type ?
c)! Interpréter ?
Solution :
a)! Calcul de l’espérance de rendement :
E(R)= (-0,1 x 0,2) + (0 x 0,3) + (0,1 x 0,25) + (0,2 x 0,15) + (0,25 x 0,1) = 6%
b)! Var(R) = 0,2[-0, 1-0,06] +0,3[00-0,06] +0,25[0,1-0,06] +0,15[0,2-0,06] +0,1[0,25-
0,06]
= 0,1315
σ(R) = √0, 1315 = 0,1146
c)! L’écart type est plus facile à interpréter que la VAN étant donné qu’il est estimé
dans les unités que E(R). Ainsi, en supposant une distribution normale, on peut
Rendement Probabilité
-0,10
00
0,1
0,2
0,25
0,2
0,3
0,25
0,15
0,1

notamment conclure qu’il y a environ tant de chance sur cent que l’intervalle
suivant englobe le rendement du titre pour la période à venir. Cette probabilité
s’obtient en utilisant la table de la loi normale centré réduit :
[E(R) - σ(R) ; E(R) + σ(R) ] = [0,06 – 0,1147 ; 0,06 + 0,1147]
Si l on dispose d une suite de rendements historiques pour un titre donné, on peut alors
estimer la variance comme suit : VAR(R) =
(C('C)F<⋯<.CH&C)F
D&5
D où VAR(R) =
(Cm&C)FH
no(
D&5
Remarque :
Étant donné que le rendement moyen est déterminé pour les mêmes rendements historiques que celle
pour estimer la variation de rendements, il y a sur le plan statistique perte d un degré de liberté pour
obtenir une estimation non biaisée de variance de (!k − !)3D
E15 par n-1.
Exemple :
Pour 2008-2014 le cours d’une action s’est comporté de la façon suivante :
Aucun dividende n’a été versé durant la période.
Cependant, l’action a été fractionnée en trois pour un en
2014.
a)!Estimer le rendement espéré de l’action pour 2015 en
utilisant les données historiques ;
b)!Déterminer la variance et l’écart type de l’action à partir
des données historiques
Solution :
a)! Nous allons déterminer en premier instant, la variation annuelle du cours de
l’action :
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 TOTAL
- 10,71 16,13 -8,33 6,06 0 201 44,57
Le rendement espéré pour l’année de 2015 est alors : 44,57 / 6 = 7,43 %
B) VAR(R) =
(54,p5&p,qr)F<(5s,5r&p,qr)F<(&t,rr&p,qr)F<(s,4s&p,qr)F<(4&p,qr)F<(34&p,qr)F
s&5
= 0,01079
w= 0,01079 = 0,1039
3.2.! Mesure du risque d’un portefeuille
La mesure du risque d’un portefeuille est beaucoup plus complexe que le rendement
espéré d’un titre. En effet, dans le calcul du risque, on doit tenir compte en plus de la
1 [-5q44-y-r-]-–-r;44-
r;44
31/12/2008 2800
31/12/2009 3100
31/12/2010 3600
31/12/2011 3300
31/12/2012 3500
31/12/2013 3500
31/12/2014 1400

10
variabilité de chacun des titres du degré de dépendance existant entre les
rendements de titres inclus dans le portefeuille. D’un point de vu statistique, le degré
d’indépendance existant entre les titres se mesure par la variance ou le coefficient
de corrélation.
3.2.1.! Notion de covariance :
La covariance entre les taux de rendement de deux titres peut être négative, positive
ou nulle. Dans le cas où la covariance est positive, cela veut dire que les taux de
rendement des deux titres ont tendance à varier dans le même sens. Lorsque la
covariance est nulle, cela implique que les taux de rendement varient
indépendamment.
Finalement, si les taux de rendement de deux titres ont tendance à varier en sens
opposé, la covariance prend une valeur négative.
La covariance entre deux titres (i et j) est la suivante :{|}(!E, !~)=
P1[!EA(!)]. [!~A(!~)]+…+ n
D’où : {|}(!E, !~) = - Bk !ED − A !E [!~Ä − A !~ ]D
E15
Avec :
!ED-: Rendement du titre i étant donné la conjoncture n
!~Ä-: Rendement du titre j étant donné la conjoncture k
Bk-: La probabilité de réalisation de la conjoncture
Exemple :
P1 = 0,1, Ri1=8%, Rj1=12%
Cela signifie qu’il y a 10 de chance sur 100 que le rendement de i soit de 10% et qu’en
même temps le rendement du titre j soit de 10%. Aussi, cette formule nous montre que
si !EÄet !~Äont tendance à être simultanément, soit supérieur, soit inférieur à leur
espérance mathématique respectivement alors : !ED − A !E Et !ED − A !E
COV(Ri-, Rj)>0
Inversement s’ils ont tendance à être de signe opposé, alors : COV-(Ri-, Rj)<0
Nous disposons des renseignements suivants des titres i et j :
K Pk P ik P jk
1
2
3
0,1
0,2
0,3
0,008
0,00
0,2
0,12
0,04
0,4

GESTION(DE(PORTEFEUILLE( !11
4 0,4 -0,12 -0,24
E (i) = 0,02 ; E (j)= 0,044
Var (!E, !~)=0,1.[0,08-0,02].[0,12-0,044]+0,2.[0,00-0,02].[0,04-0,044]+0,3.[0,2-0,02].[0,4-
0,044]+0,4.[-0,12-0,02].[-0,24-0,044] = 0,0356
Le résultat obtenu nous indique que le taux de rendement des titres i et j ont tendance
à varier dans le même sens puisque la variance est supérieure à 0 (VAR>0).
Maintenant, si l’on dispose d’une suite de ‘n’ rendements historiques pour les titres i et
j, on peut alors estimer la covariance entre ces titres de l’expression suivante :
COV (!E, !~)=
5
D
. !E − !á .D
Ä15 !~ − !à
Exemple :
Supposant que les rendements observés des titres i et j des six dernières années ont
été les suivants :
Année !E" !~"
2009 0,1 0,08
2010 0,32 0,17
1011 -0,08 0,02
2012 0,18 0,10
2013 0,09 0,40
2014 0,17 0,13
•! !á" = 0,12-; !à" = 0,15
•! COV (!E;-!~) =
5
;
x [0,1-0,12]. [0,08-0,15] +… =0,00458
N.A.B :
•! Pour effectuer ces estimations, dans la pratique, on utilise généralement un
nombre plus élevé (ex : 60 rendements mensuels) ;
•! La covariance ne nous permet pas de conclure quant à l’ampleur de la
dépendance entre les rendements des titres, c’est la raison pour laquelle il est
fait recours au coefficient de corrélation.
3.2.2.!Coefficient de corrélation linéaire
C’est une seconde mesure du degré de dépendance existant entre le rendement de
deux titres. Pour le calculer, il s’agit simplement de diviser la variance sur le produit des
écarts types. On obtient donc l’expression suivante : B !E; !~ =
äãå(Cn;Cç)
- - é Cn .é ~

12
Le coefficient de corrélation est toujours de même signe que la covariance puisqu’il
varie nécessairement entre 1 et -1.
Ainsi, s’il existe une liaison parfaite entre les deux taux de rendement, le coefficient de
corrélation sera de 1. On constate que dans un tel cas tout les rendements des titres
sont une droite à pointe positive.
D’autre part, s’il existe une liaison non parfaite entre les deux taux de rendement, le
coefficient de corrélation sera de -1. En fin, les nuances des deux taux de rendement
sont indépendantes. Cela implique un coefficient de corrélation nul.
3.3.! Risque d’un portefeuille composé de deux titres :
La variance d’un portefeuille composé de deux titres i et j est exprimée comme suit :
}è! !$ = JE
3
. }è! !E + Jê
3
. }è! !ê + 2JEJ~. {|}(X, ë)
Cette dernière formule montre que le risque total (VAR) du taux de rendement d’un
portefeuille de deux titres est déterminé par trois facteurs :
•! La variation du taux de rendement de chaque titre ;
•! Le degré de dépendance (la covariance des deux titres) ;
•! La proportion de chaque titre dans le portefeuille ;
Puisque la covariance correspond au coefficient de corrélation multiplié par le produit
des écarts types : {|} !E, !~ = [w !E . w !ê + B(!E, !~) (Coefficient de corrélation)
L’équation de la variance peut également s’écrire ainsi :
}è! !í = JE
3
. }è! !E + JE
3
. }è! !~ + 2JEJ~. B(!E, !~)
Avec : 2JEJ~. B(!E, !~) = {|} !E, !~ = [w !E . w !~ ]
L’équation indique que, plus le coefficient de corrélation entre les rendements de i et
j est petit, plus la variabilité du taux de rendement du portefeuille est faible. Et dans
ce cas où le coefficient de corrélation est nul.
EXPEMPLE D’ILLUSTRATION :
Pour l’an prochain, un analyste fait les prévisions suivantes concernant les titres i et j :
w !E = 20%-;-w !~ = 30%
A !E = 15%-; A !~ = 18%
{|} !, !~ = −0,04
Vous disposez d’une somme de 1 000.000,00 dhs à investir dans les titres i et j comme
suit :
a)! Vous composez votre portefeuille selon la pondération suivante, à savoir :
JE = 400.000Tℎ], J~ = 600.000Tℎ]. Calculez E(R) de votre portefeuille ainsi que le
w !

b)! En plus que votre capital, vous emprunter auprès de la banque une somme de
1.500.000,00 au taux de 10% et vous investissez l’intégralité de vos avoirs dans
le titre i. Calculez alors le rendement et son écart type.
Solution :
a.! A ! = -
4,5;-∗-q44444
5.444.444
+
4,5t∗s44444
5444444
= 16,8%-
}S^ !í = 0,43
∗ 0,23
+ 0,63
∗ 0,33
+ 2 ∗ 0,4 ∗ 0,6 ∗ −4 = -0,0196-
w !í = - 0,0196 = 0,14
b.! A !$ = -
3.;44
5.444
0,15 +
5.;44
5444
0,1 = 22,5%
}S^(!í)= (
3;44
5444
)3
∗ (0,2)3
+ (
&5;44
5444
)3
∗ 0 + 2 ∗
3;44
5444
∗
&5;44
5444
∗ 0 = 0,25
w !í = - 0,25 = 0,5-
On observe que l’emprunt permet à l’investisseur d’accroitre le rendement espéré de
son portefeuille mais, à également comme effet d’augmenter de façon importante
la variabilité du rendement et, par occasion, le niveau de risque.
Exemple :
Soit deux titres A et B dont les rendements espérés sont les suivants :
2010 2011 2012 2013 2014
A 0,05 -0,1 0,1 0,18 0,02
B 0,1 -0,14 -0,03 0,07 0,01
a)! Quel est le rendement du titre A et B pour la prochaine année ?
b)! Calculer la variance entre le rendement de A et B ?
c)! Calculez le coefficient de corrélation entre le rendement de, A et B ?
d)! Supposant que vous investissez 1.000.000Dhs dans A et B à raison de 60% et 40%
successivement.
"! Déterminez l’espérance du rendement du portefeuille ?
"! Variance du rendement du portefeuille ?
Solution
a.! A !b =
4,4;&4,5<4,5<4,5t<4,43
;
= 0,05-
A !c =
0,1 − 0,14 − 0,03 + 0,07 + 0,01
5
= 0,002
o! }S^ !b =
(4,4;&4,4;)F<(&4,5&4,4;)F<(4,5t&4,4;)F<4,43&4,4;)F
q
= 0,017
w !b = 0,1034
o! }S^ !c = 0,035
w !b = 0,1870

14
b.! {P !b; !c =
4,4;&4,4; ∗ 4,5&4,443 <⋯
q
= 0,007075
c.! {òôöõõ =
4,44p4p;
4,54rq∗4,5tp4
= 0,365
d.! A !í = 0,6 ∗ 0,05 + 0,4 ∗ 0,002 = 0,0308-~3,08%
}S^ !í = 0,63
∗ 0,17 + 0,43
∗ 0,035 + 2 ∗ 0,4 ∗ 0,6 ∗ 0,007075 = 0,0128
w !í = 0,0128 = 0,1131
3.4.! Risque d’un portefeuille composé de n titre :
Dans le cas d’un portefeuille composé de n titres, la variabilité du taux de rendement
est donnée par la formule suivante :
}è! !$ = -
D
E15
JE
3
. }è! !E + JEJ~{|}(!E, !ê)
D
~15
D
E15
Avec i différent de j pour JEJ~{|}-(!E, !ê)D
~15
D
E15
N (n-1) en terme de covariance pour -D
E15 JE
3
. }è! !E
Cette formule indique que la variance d’un portefeuille constitué de n titre
correspond à la somme de n variance pondéré et des n (n-1), termes de covariance
pondérés.
Etant donné que, la variance d’une variable aléatoire correspond à sa covariance
avec elle-même, C’est-à-dire : }è! !E = {|}-(!E, !~) cette formule peut également
s’écrire : }è! !í = JEJ~{|}-(!E, !ê)D
~15
D
E15 en développant cette formule, on
obtiendra un terme de variance chaque foi que i =j et un terme de covariance
chaque foi que i # j.
EXEMPLE D’ILLUSTRATION :
On dispose des renseignements suivants concernant les titres 1,2 et 3
}è! !5 = 0,002 {|} !5, !3 = -−0,0008
}è! !3 = 0,001 {|} !3, !r = 0,0006
}è! !r = 0,004 {|} !5, !r = 0,0004
•! Calculez la variance de taux de rendement d’un portefeuille constitué de la
façon suivante :
J5 = 0,20
J3 = 0,30
Jr = 0,50

Solution :
}è! !í = -[0,23
x0,002 + 0,33
x0,001 + 0,53
x0,004] +
-------------------------(0,2x0,3x −0,008 -0,3x0,5x0,006 + 0,2x0,5x0,0004 + (0,2x0,3x −0,008 +
-------------------------0,3x0,5x0,006 + 0,2x0,5x0,0004
Nous pouvons écrire :
}è! !í = -[0,23
x0,002 + 0,33
x0,001 + 0,53
x0,004] + [2(0,2x0,3x −0,008 +
---------------------------2 0,3x0,5x0,006 + 2(0,2x0,5x0,0004)]
Exercice :
Vous avez obtenu les informations suivantes concernant les actions des firmes A, B, C
et D :
ACTION RENDEMENT ESPÉRÉ ÉCART TYPE
COEFFICIENT DE
CORRÉLATION
A 0,05 0,20 (A, B)=0,2
B 0,1 0,10 (A, C)=0,3
C 0,2 0,15 (A, D)=0,5
D 0,15 0,30 (B, C)=0,2
(B, D)=-0,5
(C, D)=0
Vous désirez former le portefeuille suivant :
•! Vendre à découvert 200.000,00 DH de la firme A
•! Acheter pour 300.000,00 DH de B, 400.000,00 de C, et 500.000,00 DH de D
Vous disposez d’un capital de 1.000.000 DH et vous pouvez emprunter au taux de 5%
les fonds additionnels requis pour financer l’achat des titres. Supposer qu’il n’y a
aucune restriction concernant l’utilisation des fonds provenant de la vente à
découvert des titres.
a)! Déterminez le rendement espéré de votre portefeuille ;
b)! Déterminer l’écart type du taux de rendement de votre portefeuille ;
Solution :
a)! A !í =
(r44444.4,5<q44444.4,3<;44444.4,5;
5.344.444
= 0,1541- ∼ 15,42-%
b)! }S^ = -
äôü(Cn,Cç)
é(Cn)é(Cç)
{P(!c, !ä) [(0,1)*(0,15)]*0,2 0,003
{P(!c, !†) [(0,1)*(0,3)]*0,5 -0,015

16
{P(!ä, !†) [(0,15)*(0,3)]*0 0
a)! }S^ !í = 0,253
. 0,13
+ 0,333
. 0,153
+ 0,43
. 0,33
+ 2 ∗ 0,25 ∗ 0,33 ∗ 0,002 + 2 ∗ 0,25 ∗
0,42 ∗ (−0,015)+2*0,33*0,42*0 = 0,01629
w !í = 0,01629 = 0,1276
3.5.! Risque de portefeuille très diversifié :
Le tableau suivant indique le nombre de variance et de covariance à considérer pour
calculer le risque d’un portefeuille en fonction du nombre de titres qui y sont inclus.
Nombre de titres inclus
dans le portefeuille
Nombre de termes de
variance
Nombre de termes de
covariance n (n-1)
1
2
3
5
10
20
30
50
100
1000
1
2
3
5
10
20
30
50
100
1000
0
2
6
20
90
380
870
2450
9900
999000
On constate à la lecture du tableau que, pour un portefeuille composé d’une dizaine
de titres ou plus, le nombre de terme de covariance à considérer dans le calcul du
risque du portefeuille est largement supérieur ou nombre de termes de variance que
l’on doit additionner. Ceci suggère l’importante conclusion suivante :
Le risque d’un portefeuille bien diversifié est dans une très forte proportion déterminée
par les termes de covariance (c’est-à-dire le degré de dépendance qui existent entre
les rendements des titres qui y sont inclus) et non par les termes de variance (c’est à
dire, le risque de chacun des titres pris individuellement)

IV. L’ensemble de portefeuilles accessibles, la frontière
efficiente, l’effet de diversification :
A partir de deux titres, il est possible de constituer une infinité de portefeuilles en faisant
varier la proportion des fonds investis dans chacun des titres. La forme précise que
prendra l’ensemble des combinaisons possibles (l’espace : risque/rendement)
dépendra du coefficient de corrélation entre les rendements des titres. A titre indicatif,
nous discuterons ci-après des combinaisons possibles de risque et de rendement
lorsque le coefficient de corrélation vaut :
1, 0, et -1. Ces trois situations particulières permettent notamment d’illustrer le fait que
plus le coefficient de corrélation entre les rendements des titres est petit, plus les
bénéfices inhérents à la diversification sont substantiels.
Lorsqu’il y a un lien positif parfait entre les rendements de deux titres, la formule
donnant l’écart type du taux de rendement d’un portefeuille se simplifie ainsi :
w3
!í = -JE
3
w3
!E + J~
3
w3
!~ + 2JEJ~ ∗ 1 ∗ w(!E)w(!~)
Il s’agit donc d’une identité remarquable, d’où :
w !í = [JE ∗ w !E + J~ ∗ w(!~)]3
L’expression précédente indique que dans le cas où le coefficient de corrélation entre
les rendements des titres sont égaux à l’unité (1), le risque du portefeuille équivaut à
la moyenne pondérée des risques des titres qui le composent. Ainsi, l’écart type d’un
portefeuille équipondérant est exactement égal à la moyenne arithmétique des
écarts types des titres qui y sont inclus.
Il est toutefois, important de noter que cette dernière formule n’est applicable que si
le coefficient de corrélation vaut exactement 1. Si le coefficient de corrélation vaut
par exemple 0,95 il faut plutôt utiliser la formule générale.
Lorsque le coefficient de corrélation vaut 1, l’ensemble des portefeuilles accessibles à
l’investisseur en combinant dans des proportions variables deux titres est représenté
par une droite dans l’espace risque/rendement.
Pour illustrer cette notion supposant que l’on dispose des renseignements suivants
concernant le titre ‘i’ et ‘j’:
A !E = 5% ; A !~ = 8%
w !E = 4% ; w !~ = 10%
On peut notamment constituer les portefeuilles suivant avec l’hypothèse d’une
corrélation parfaite et positive entre les rendements des deux titres :

18
Proportions des fonds
investis dans le titre i
Proportions de fonds
investis dans le titre j
L(.°) ¢(.°)
100 0 0,05 0,04
75 25 0,0575 0,0475
50 50 0,0650 0,070
25 75 0,0725 0,085
0 100 0,08 0,10
Représentation de différents portefeuilles accessibles dans l’espace
risque/rendement :
Lorsque le coefficient de corrélation est égal à 1 (unité), les portefeuilles localisés sur
la courbe ‘AC’ sont, dits efficient. C’est-à-dire, pour un niveau de risque donné, il
donne le rendement maximal ou à l’inverse, pour un niveau de rendement donné il
donne le risque minimal. Par conséquent, un investisseur rationnel ne devrait
considérer que les portefeuilles situés sur la courbe ‘AC’. Le choix d’un portefeuille
particulier parmi, ceux, localisés sur la courbe ‘AC’ dépend des préférences
individuelles de l’investisseur.
Cas où le coefficient de corrélation est nul (0) :
Lorsque le Coefficient de corrélation est nul, la formule donnant l’écart type du
rendement du portefeuille devient la suivante : w !$ = JE
3
w £E
3
+ §E
3
w £~
3
+ 2JEJ~ 0 wCEwC~
w !$ = JE
3
wC(E)
3
+ J~
3
wC(~)
3
Dans le cas, où le coefficient de corrélation est nul, l’ensemble de portefeuilles accessibles
est une courbe. Pour l’illustrer, prenons les données précédentes concernant les titres ‘i' et
‘j. si le coefficient de corrélation est égal à 0, on peut également constituer les portefeuilles
suivants à partir de ces deux titres

Proportion de fonds
investis dans le titre ‘i’
Proportion de fonds
investis dans le titre ‘j’
L(.M) ¢(.°)
100 0 0,050 0,040
75 25 0,0575 0,039
50 50 0,0650 0,054
25 75 0,0725 0,076
0 100 0,080 0,100
Parmi les portefeuilles localisés sur la courbe ABC (AB), ceux figurant sur BC, sont dits
efficients. C’est-à-dire que pour un niveau de risque donné il procure le rendement
maximal et inversement.
Le point ‘B’ représente le portefeuille de risque minimal. Pour obtenir les coordonnées
de ce point, on doit premièrement déterminer la proportion des fonds à investir dans
le titre i de façon à ce que la variance du portefeuille soit à sont minimum :
}S^ !í = JE
3
}S^ !E + J~
3
}S^ !~ + 2JEJ~{P(!E, !~)
Si on remplace J~ Par 1 − JE, on aura alors :
}S^ !í = JE
3
}S^ !E + (1 − JE)}S^ !~ + 2JE(1 − JE){P(!E, !~)
En dérivant }S^ !í -WS^-JE
-
, on aura alors :
T(}S^ !í )
TJE
= 2JE}S^ JE − 2}S^ !~ + 2JE}S^ !~ + 2{|} !E, !~ − 4JEVP(!E, !~)
Après quelques manipulations algébriques, on obtient :
N0 =
•¶ß .® − ©™´(.0, .®)
•¶ß .0 + •¶ß .® − g©™´(.0, .®)
A partir des données précédentes, on peut calculer la {P-(!E, !~) puisque
{P !E, !~ = B !E, !~ -. [w !E . w !~ ]
{P !E, !~ = 0. 0,4 . 0,1 = 0

20
D’où : JE =
(4,5)F&4
(4,4q)F<(4,5)F&4
= 86,2%
En utilisant ces proportions, on peut aisément déterminer le rendement espéré et le
risque de portefeuilles localisés au point ‘B’.
Le rendement espéré vaut : A !í = 0,862 0,05 + 0,138 0,08 = 5,41%
w !í = JE
3
w¨E
3
+ J~
3
wC~
3
D’où : w(Cí)
3
= 0,8623. 0,043 + 0,13830,13 = 3,71%
Cas où le coefficient de corrélation est égal à -1 (P=-1) :
w3
!W = -JE
3
w3
!E + J~
3
w3
!~ + 2JEJ~ −1 [w-
!E + w-
!~ ]
N.B : on doit considérer dans cette hypothèse les 2 racines :
En simplifiant la formule précédente, on aura :
w !í = [JEw !X − J~w(!ë)]3
w !í = +/− [JEw !X − J~w(!ë)]-
Dans le cas où : JE ≥ -
é(C~)
é(CE)<é(C~)
On retient la racine positive, en revanche, lorsque JE <
-
é(C~)
é(CE)<é(C~)
on retient la racine négative.
L’ensemble des portefeuilles accessibles est formé de deux segments de droites.
Illustrons cette notion en utilisant les données concernant les titres ‘i’ et ‘j’. À partir de
ces deux titres on peut, entre autres, construire les portefeuilles suivants :
Proportions des fonds
investis dans le titre
‘A’
Proportions de fonds
investis dans le titre
‘B’
L(.°) ¢(.°)
100 0 0,05 0,04
75 25 0,0575 0,005
71,4 28,60 0,0586 0,0
50 50 0,0650 0,03
25 75 0,0725 0,0650
00 100 0,08 0,1
(Graphique)
Parmi les différents portefeuilles que l’on peut constituer, seuls les portefeuilles situés
sur la courbe ‘BC’ sont efficient. On notera également qu’il est possible de construire

un portefeuille dont le risque est nul. Il suffit pour cela d’investir dans le titre i une
proportion équivalente à
é(C~)
é(CE)<é(C~)

22
Exercice :
Un analyste financier a fait les prévisions suivantes relatives pour les titres x et y pour la
période à venir :
a.! Calculer la variance du rendement du titre x
b.! Calculer la variance du rendement du titre y
c.! Calculer la covariance entre les rendements des titre x et y
Exercice :
Au cours des 12 derniers jours, le cours de l’action IAM ainsi que
la valeur de l’indice MASI sont repris dans le tableau ci-après :
T.A.F :
1. Calculer la rentabilité quotidienne de cette action ?
2. Calculer l’espérance de rendement de l’action ?
3. Calculer le risque de l’action et déterminer la
sensibilité aux mouvements du marché ?
Solution :
1.! Calcul de la rentabilité quotidienne de l’action IAM :
JOURS COURS MASI VAR.Cours ^@ VAR.Masi COV(C/M)
1 196,18 102,30
2 195,80 102,20 -0,0019 0,000011 -0,00098 0,0000179122
3 194,55 101,60 -0,0064 0,000431 -0,00587 0,0000801052
4 194,14 101,40 -0,0021 0,000271 -0,00197 0,0000222362
k M∞ .N± .≤±
1 0,20 0,14 0,08
2 0,10 0,04 0,11
3 0,25 0,21 0,16
4 0,30 0,14 0,11
5 0,15 0,04 0,16
Jours Cours IAM MASI
1 196,18 102,30
2 195,80 102,20
3 194,55 101,60
4 194,14 101,40
5 193,75 100,60
6 195,11 101,40
7 196,35 102,10
8 197,00 103,60
9 197,30 104,70
10 198,00 105,80
11 198,20 106,00
12 199,00 107,50

5 193,75 100,60 -0,0020 0,000268 -0,00789 0,0000412209
6 195,11 101,40 0,0070 0,000054 0,00795 0,0000194616
6 196,35 102,10 0,0064 0,000064 0,00690 0,0000119034
7 197,00 103,60 0,0033 0,000122 0,01469 0,0000203367
8 197,30 104,70 0,0015 0,000165 0,01062 0,0000013172
9 198,00 105,80 0,0035 0,000117 0,01051 0,0000133627
10 198,20 106,00 0,0010 0,000178 0,00189 0,0000007856
11 199,00 107,50 0,0040 0,000107 0,01415 0,0000262255
Somme 196,28 103,27 0,0144 0,001788 0,05001 0,0002548673
/11 - - 0,0013 0,000162524 0,00455 0,0000231698
Var = 0,001788
Cov (C, M)= 0,0000255 (le risque)
EXERCICE :
Un analyste financier a établi les prévisions suivantes concernant les distributions des
rentabilités de l’action alpha et de l’indice du marché :
Le taux d’intérêt sans risque est de 4%
T.A.F :
1. calculer le taux de rendement du marché et du
titre ;
2. calculer la variance de la rentabilité espérée du
marché et du titre ;
3. calculer la covariance entre la rentabilité du
marché et celle du titre ;
4. calculer le bêta du titre et le taux de rentabilité minimum à attendre de ce titre
compte tenu de son risque systémique ;
5. comparer l’espérance de rentabilité de ce titre à son taux de rendement exigé ;
SOLUTION :
1.! Le taux de rendement du marché et du titre ?
R_AJ R_MJ
-0,00025 0,0003750%
0,036 1,20%
Probabilité
M®
.≥¥ .µ®
0,1 -0,25% -15%
0,3 12% 10%
0,5 20% 15%
0,1 30% 25%

24
0,1 3,00%
0,03 7,50%
0,16575 0,11700375
2.! Calcul de la variance de la rentabilité espérée du marché et du titre ?
}S^ !bê = 0,1 −0,25% − 0,166 3
+ 0,3 0,12 − 0,166 3
] + 0,5 0,2 − 0,166 3
+ 0,1 0,3 −
0,166 3
= 0,049 = (0,005683)
}S^ !∂ê = 0,1 −15% − 0,117 3
+ 0,3 0,10 − 0,117 3
] + 0,5 0,15 − 0,117 3
+
0,1 0,25 − 0,117 3
= 0,039-(0,0095)
3.! La covariance entre la rentabilité du marché et celle du titre :
{P !bê, !∂ê = 0,1 −0,25% − 0,166 −15% − 0,117 -
+ 0,3 0,12 − 0,166 0,10 −
0,117 + 0,5[ 0,2 − 0,166 0,15 − 0,117 -
] + 0,1 0,3 − 0,166 0,25 − 0,117 - -
=
0,00477(=0,002)
4.! Le béta ?
β=
äãå(C∑∏,Cπ∏)
åbC(Cπ∏)
=
4,44qpp
4,4r∫
= 0,1223
5.! Comparaison entre le taux de rendement exigé du titre avec son rendement :
5.1.! Calcul du taux de rendement exigé :
ªA*èº∂ê--
Exercice :
Soit un titre composé de deux titres A et B. les rentabilités prévues pour ces deux titres
sont reprises dans le tableau suivant :
Probabilités Rentabilités du titre
A
Rentabilité du titre
B
25 % 15 % 10 %
25 % -5 % 30 %
25 % 10 % 15 %
25 % 20 % 5 %
T.A.F :
1. calculer l’espérance et la variance des rentabilités des titres A et B ;
A= 0,1 ; B= 0,15
}S^-(è)-= -0,00875, S^(Ω) = 0,00875
2.! Calculer la covariance entre les rentabilités des deux titres ;
{P(è, Ω) = -−0,00875

3.! Calculer la composition du portefeuille de la variance minimum, calculer son
espérance et sa variance ;
"! N0 =
•¶ß .® &©™´(.0,.®)
•¶ß .0 <•¶ß .® &g©™´(.0,.®)
=
e,eeæøh<e,eeæøh
e,eeæøh<e,eeæøh<g¿e,eeæøh
= e,5
A(!W) = -0,5.0,1- + -0,5.0,15- = -0,125
-S^ !í = -0,53
. 0,00875 + 0,53
. (0,00875) + 2.0,5.0,5 − 0,00875 = 0
4. Montrer que lorsque le coefficient de corrélation entre la rentabilité de deux titres
est égal à -1, il est possible de constituer un portefeuille de risque nul.
VAR(!í)= Jb
3
}S^ !b + J¡
3
}S^ !c + 2JbJc. B !b, !c w !b . w !c
(1)}è! !$ = ¬b
3
}è! !b + ¬c
3
}è! !c − 2JbJcw !b w !c
(1)est une identité remarquable de type S − √ 3
(1)-> }è! !$ = Jbw !b − Jcw !c
3
-;
↔ w !$ = Jbw !b − Jcw !c
3
= 0 D’où : Jbw !b = Jcw(!c)

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