cours de probabilite loi usuelle discrete

1. LOI DE
BERNOULLI
Présente par:
Mansour Anas
Hammam Salaheddine
LOIS DE PROBABILITÉ - VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE

2. • La loi de Bernoulli intervient dans le cas d’une seule expérience aléatoire à laquelle
on associe un événement aléatoire quelconque.
• La réalisation de l’événement au cours de cette expérience est appelée succès et la
probabilité de réalisation est dite probabilité de succès, désignée par p. Par contre la
non réalisation de l’événement est appelée échec et la probabilité de non réalisation
est dite probabilité d’échec, désignée par q. avec q=1-p.
• La variable aléatoire X qui caractérise le nombre de succès au cours d’une seule
expérience aléatoire est appelée variable de Bernoulli, elle prend les valeurs entières
0 et 1 avec les probabilités respectives q et p.
INTRODUCTION

3. Espérance de la loi de Bernoulli
L’espérance de la loi de Bernoulli vaut p. Elle est très facile à démontrer.
Soit X une variable aléatoire
E(X) = P(X=0) x 0 + P(X=1) x 1
​ = (1 – p) x 0 + 1 x p
= p
Variance de la loi de Bernoulli
La variance de la loi de Bernoulli vaut p(1-p). Elle est très plutôt facile à
démontrer. Soit X une variable aléatoire, on a :
E(𝑋2) = P(X=0) x 02 + P(X=1) x 12
​ = (1 – p) x 0 + 1 x p
= p
On a ensuite :
​V(X) = E( 𝑋2) – E 𝑋 2
= p−𝑝2
= p(1-p)
Fonction de distribution :
P 𝑋 = 𝑘 = 𝑝𝑘 ⋅ 1 − 𝑝 1−𝑘

4. EXERCICE 01:
Pour chacune des épreuves suivantes, indiquer s’il s’agit d’une
épreuve de Bernoulli et préciser le succès et sa probabilité le cas
échéant.
• On tire une dame de coeur
• On regarde la couleur de la carte
• On vérifie si la valeur est comprise entre 5 et 10 (inclus)
• On vérifie que la couleur de la carte est rouge

5. SOLUTION
1) Bernoulli ? Non, car il y a plusieurs dames de cœur dans un jeu de cartes, ce n'est pas une
épreuve binaire.
2) Bernoulli ? Oui, car la couleur de la carte peut être rouge ou noire.
1. Succès ? La couleur est rouge.
2. Probabilité de succès ? Cela dépend du jeu de cartes, si le jeu est équitable, la probabilité
serait 0.50.5.
3) Bernoulli ? Oui, car la valeur peut être soit dans l'intervalle, soit à l'extérieur .
1. Succès ? La valeur est comprise entre 5 et 10.
2. Probabilité de succès ? Cela dépend du jeu de cartes, si le jeu est équitable, la probabilité
serait proportionnelle au nombre de cartes dans cet intervalle par rapport au nombre total de
cartes.
4) Bernoulli ? Oui, car la couleur de la carte peut être rouge ou non rouge .
1. Succès ? La couleur est rouge.
2. Probabilité de succès ? Cela dépend du jeu de cartes, si le jeu est équitable, la probabilité

6. EXERCICE 02:
• A un concours, un candidat doit répondre à un Q.C.M. de questions
comportant chacune trois propositions de réponse dont une seule
est exacte. On suppose qu'il répond à chaque question au hasard.
• La réponse au hasard à une question suit une distribution
de Bernoulli.
– Déterminez la probabilité qu'elle soit correcte.
– Déterminez la probabilité qu'elle soit incorrecte.

7. SOLUTION
1) La probabilité qu'une réponse au hasard à une question à
choix multiple (QCM) soit correcte dépend du nombre de
propositions de réponse.
Dans ce cas, chaque question comporte trois propositions
de réponse, dont une seule est correcte.
la probabilité qu'une réponse soit incorrecte est : p = 1/3
2) Si un candidat répond au hasard à une question avec
trois choix, la probabilité qu'il donne la bonne réponse est
de 1 sur 3
la probabilité qu'une réponse soit incorrecte est :
q = 1 - p =1 - 1/3 = 2/3​

8. EXERCICE 03:
Une pièce de monnaie est lancée. La probabilité d'obtenir
des faces est 0.6.
Déterminez la probabilité d'obtenir une face (k=1) et la
probabilité d'obtenir pile (k=0).

9. SOLUTION
Probabilité d'obtenir une face (k=1):
P 𝑋 = 1 = 𝑝1
⋅ 1 − 𝑝 1−1
= 0.61
⋅ 1 − 0.6 0
= 0.6
Probabilité d'obtenir pile (k=0):
P 𝑋 = 0 = 𝑝0
⋅ 1 − 𝑝 1−0
= 0.60
⋅ 1 − 0.6 1
= 0.4

10. EXERCICE 04:
• Pour la recherche d’un emploi, une personne envoie sa candidature à une
entreprise. La probabilité de l’entreprise lui réponde est de 0,3.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire Y ?
2. Calculer E(Y) et V(Y) ?
1. Y suit la loi de Bernoulli de paramètre p=0.3
2. E(Y) = 0.3 et V(Y)= 0.3×(1-0.3) = 0.21
SOLUTION :

11. EXERCICE 05:
Dans un jeu de tir à la cible, un tireur a une probabilité de 0.2 de
toucher la cible avec chaque tir. Modélisez cette situation
comme une distribution de Bernoulli.
1.Quelle est la probabilité que le tireur touche la cible (k=1)
avec un seul tir?
2.Quelle est la probabilité que le tireur rate la cible (k=0) avec
un seul tir?
3.Si le tireur effectue trois tirs indépendants, quelle est la
probabilité qu'il touche la cible exactement deux fois?

12. SOLUTION
1. Probabilité de toucher la cible (k=1):
P 𝑋 = 1 = 𝑝1
⋅ 1 − 𝑝 1−1
= 0.21
⋅ 1 − 0.2 0
= 0.2
2. Probabilité de rater la cible (�=0k=0):
P 𝑋 = 0 = 𝑝0
⋅ 1 − 𝑝 1−0
= 0.20
⋅ 1 − 0.2 1
= 0.8
3. Probabilité de toucher la cible deux fois sur trois tirs:
Utilisons la formule du coefficient binomial 𝐶𝑛
𝑘
où n est le nombre de tirs et
k est le nombre de succès souhaité.
P 𝑋 = 2 = 𝐶3
2
⋅ 𝑝2
⋅ 1 − 𝑝 3−2
=
3!
2! 3−2 !
⋅ (0.2)2
⋅ 0.8 1
= 0.096

13. EXERCICE 06:
AGENCE DE VOYAGE
• Une agence de voyage propose des itinéraires touristiques pour lesquels
chaque client effectue un aller et un retour en utilisant soit un bateau, soit
un train touristique. Le choix du mode de transport peut changer entre
l’aller et le retour.
• À l’aller, le bateau est choisi dans 65% des cas.
• Lorsque le bateau est choisi à l’aller, il l’est également pour le retour 9 fois
sur 10.
• Lorsque le train a été choisi à l’aller, le bateau est préféré pour le retour
dans 70% des cas.

14. On interroge au hasard un client. On considère les événements suivants :
 A : “le client choisit de faire l’aller en bateau” ;
 R : “le client choisit de faire le retour en bateau” .
On rappelle que si E est un événement, p(E) désigne la probabilité de l’événement E et
on note ത
𝐄 l’événement contraire de E.
QUESTIONS:
soit X la variable aléatoire pour que le client utilise les deux moyens de transport
1. Traduire cette situation par un arbre pondéré.
2. On choisit au hasard un client de l’agence.
a. Calculer la probabilité que le client fasse l’aller-retour en bateau ?
b. Montrer que la probabilité P(X) = 0,31.
c. Quelle est le loi de probabilité suivie par X ?

15. SOLUTION
1) arbre pondéré
2) a. la probabilité que le client fasse l’aller-retour en bateau est
P(A∩R)=0,65×0,9=0,585
b. la probabilité que le client utilise les deux moyens de transport est
P( ҧ
𝐴∩R)+P(A∩ ത
𝑅)=0,65×0,1+0,35×0,7=0,065+0,245=0,31
c. Donc x suit la loi de Bernoulli de paramètre p=0.31

16. EXERCICE 07:
Supposons que dans un laboratoire, un chercheur effectue une
série d'expériences où la probabilité de réussite d'une expérience
est 0.3.
1.Quelle est la probabilité que la première expérience réussisse
(k=1)?
2.Quelle est la probabilité que la deuxième expérience soit un échec
(k=0)?
3.Si le chercheur effectue cinq expériences indépendantes, quelle est
la probabilité qu'exactement trois d'entre elles réussissent (k=3)?

17. SOLUTION
1.Probabilité de réussite de la première expérience (k=1):
P 𝑋 = 1 = 𝑝1
⋅ 1 − 𝑝 1−1
= 0.31
⋅ 1 − 0.3 0
= 0.3
Probabilité d'échec de la deuxième expérience (k=0):
P 𝑋 = 0 = 𝑝0
⋅ 1 − 𝑝 1−0
= 0.30
⋅ 1 − 0.3 1
= 0.7
Probabilité que trois expériences sur cinq réussissent
(�=3k=3): Utilisons la formule du coefficient binomial 𝐶𝑛
𝑘
où n est
le nombre d'expériences et k est le nombre de succès souhaité.
P 𝑋 = 3 = 𝐶5
3
⋅ 𝑝3
⋅ 1 − 𝑝 5−3
=
𝟓!
𝟑! 𝟓−𝟑 !
⋅ (0.3)3
⋅ 0.7 2
≈ 0.3087

18. EXERCICE 08:
VALIDER UN MODULE
• Le semestre 1 de master IAAD contient 6 modules
• Chaque module a un examen.
• La probabilité de valider l’EXAMEN est 25 %
• La probabilité d’un module soit non validé, si l’EXAMEN est non validé est 70 %
• La probabilité d’un module soit validé, si l’EXAMEN est validé est 80 %
• Soit Y la variable aléatoire pour qu’ un module est validé.
1. Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire Y ?
2. Calculer E(Y) et V(Y) ?

19. SOLUTION
1) On a la variable aléatoire Y peut prendre deux possibilité
 Soit un module est validé (cas de succès)
 Soit un module n’est pas validé (cas d’ échec)
 La probabilité pour soit un module est validé
P(Y) = P(𝑀∩E)+P(M∩ ത
𝐸) = 0.25×0.8 + 0.75×0.3 = 0.43
 M : “le module est validé” .
 E : “l’examen est validé” .
 Donc Y suit la loi de Bernoulli de paramètre p=0.43
 E(Y) = 0.43 et V(Y)= 0.43×(1-0.43) = 0.24

20. Merci pour votre
attention