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Métrologie en terminale S
Mesures et incertitudes
2013
En physique et en chimie, il n'existe pas de mesures exactes. Les mesures ne peuvent qu'être entachées
d'erreurs plus ou moins importantes selon le protocole choisi, la qualité des instruments de mesure ou le
rôle de l'opérateur. Évaluer l'incertitude sur une mesure est un domaine complexe qui fait l'objet d'une
branche complète des sciences expérimentales : la métrologie. Quelques rudiments de métrologie sont
au programme de physique-chimie en terminale S : nous donnons ici ces éléments, qui doivent être
maîtrisés pour les épreuves du baccalauréat 1.
Sommaire
1 Vocabulaire et notations 1
2 Estimation de l'incertitude 3
2.1 Calcul de l'incertitude de type A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 Calcul de l'incertitude de type B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.3 Calcul de ∆X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.4 Cas d'une grandeur calculée : incertitudes composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3 Présentation des résultats et pratique expérimentale 4
3.1 Présenter correctement un résultat expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Comparer un résultats à une valeur de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3.3 Remarques a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 Quelques exemples 5
4.1 Période d'un pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4.2 Un dosage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1 Vocabulaire et notations
Une grandeur est utilisée en sciences pour caractériser un objet ou un événement. Les grandeurs
sont obtenues soit par la mesure, avec des instruments adaptés, soit par le calcul à partir d'autre
grandeurs. Par exemple, on peut mesurer la masse m d'un véhicule (à l'aide d'une bascule) et
sa vitesse v (sur le compteur de vitesse) ; on calcule son énergie cinétique à l'aide de la relation :
Ec = 1
2mv2.
La grandeur que l'on veut mesurer est appelée mesurande.
Le fait de mesurer une grandeur est appelée mesurage ; à ne pas confondre avec la mesure,
qui est la valeur x obtenue lors du mesurage.
Si le mesurage était parfait, on obtiendrait la valeur vraie Xvrai du mesurande. Cette valeur est
inconnue, puisque toute mesure est entachée d'une erreur de mesure ER = Xvrai − x.
1. L'élève doit maîtriser ces éléments mais ne doit pas forcément les connaître : la plupart des formules seront données
le jour de l'examen.
1
Figure 1  En haut à gauche, la mesure est juste et dèle; en haut à droite, elle est juste mais
peu dèle; en bas à gauche, elle est peu juste mais dèle ; en bas à droite elle n'est ni juste ni dèle.
Il existe deux types d'erreurs de mesure.
L' erreur systématique ERS ne varie pas d'une mesure à l'autre, elle est souvent due à l'appareil
de mesure et peut disparaître par réglage2. Par exemple, une balance qui n'acherait pas zéro en
l'absence de masse à peser donnerait une erreur systématique. En la tarant, l'erreur disparaîtrait.
L' erreur aléatoire ERA change à chaque mesure. Elle est due aux uctuations de la gran-
deur mesurée, qui n'est pas forcément stable dans le temps (comme la distance TerreLune)
ou n'est pas la même dans tout l'échantillon (par exemple, la température de la mer), ou bien
aux uctuations de la méthode de mesure, c'est à dire la manière de mesurer de l'expéri-
mentateur. Ces uctuations se traduisent par un écart entre les valeurs obtenues lors de diérents
mesurages.
Une mesure est juste si l'erreur systématique est faible et dèle si l'erreur aléatoire est faible
(cf. gure 1).
L' incertitude de mesure est un paramètre associé à une valeur mesurée qui mesure l'erreur
aléatoire, c'est à dire la dispersion des valeurs possibles de la grandeur.
La valeur X d'une grandeur mesurée, peut être présentée comme une valeur estimée x associée à
son incertitude absolue ∆X. Le résultat est alors : X = x ± ∆X .
Remarque : l'incertitude sur la mesure de X est parfois notée U(X).
La relation précédente revient à écrire : X ∈ [x − ∆X ; x + ∆X] . Cet intervalle est appelé inter-
valle de conance de X.
Par exemple, le résultat d'une mesure de tension à l'aide d'un voltmètre peut être donné sous la
forme U = 4, 35 ± 0, 03V. Cela signie que la tension U est comprise entre 4, 32V et 4, 38V.
Graphiquement, cet intervalle est représenté par une barre d'erreur (cf. gure 2).
On dénit aussi l' incertitude relative sur la mesure notée
∆X
X
et calculée par
∆X
|x|
. Cette
incertitude relative est parfois appelée  précision .
2. Toutefois, l'erreur systématique est inconnue car elle est un  décalage  par rapport à la valeur vraie, elle-même
inconnue.
2
Figure 2  Représentation d'une incertitude sous la forme d'une barre d'erreur
On dit que l'incertitude est de type A lorsque le mesurage est eectué plusieurs fois dans des
conditions identiques ; l'incertitude est alors déterminée par des méthodes statistiques.
Lorsqu'on ne dispose que d'une seule mesure, l'incertitude est de type B et son calcul se fait à
partir des conditions de l'expérience.
2 Estimation de l'incertitude
2.1 Calcul de l'incertitude de type A
On considère une série de n mesures xi eectuées dans les mêmes conditions (soit par un même
opérateur successivement, soit en même temps par diérents opérateurs).
On note x la moyenne de la série, soit x =
1
n
n
i=1
xi. Cette valeur x est la meilleure estimation
possible de la valeur vraie Xvrai.
On calcule tout d'abord l' écart-type expérimental sexp (noté σn−1 par les calculatrices) :
sexp =
n
i=1(xi − x)2
n − 1
L' incertitude-type s 3 sur la moyenne est alors : s =
sexp
√
n
.
2.2 Calcul de l'incertitude de type B
L'incertitude de type B est calculée à partir de l'indication du fabricant sur le matériel utilisé. Si le
fabricant a indiqué une abilité de ±a, l'incertitude-type est s =
a
√
3
.
En l'absence d'indication, on prendra : s =
1 graduation
√
12
=
1
2 graduation
√
3
.
Si plusieurs instruments ont été utilisés, l'incertitude-type s se calcule par : s2 = (s1)2 + (s2)2 + . . .
3. s est aussi notée u(X), à ne pas confondre avec U(X).
3
n − 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 25 30 40 60
k à 95 % 12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,41 2,26 2,23 2,09 2,06 2,04 2,02 2,00
k à 99 % 63,66 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,35 3,25 3,17 2,85 2,79 2,75 2,70 2,66
Table 1  Table de Student (une table plus détaillée est disponible en annexe)
2.3 Calcul de ∆X
Maintenant que l'on connaît l'incertitude-type, on calcule l'incertitude de mesure (appelée ici  in-
certitude-type élargie ) par : ∆X = k · s .
k est un facteur d'élargissement qui dépend du nombre de mesures eectuées (dans le cas d'une
incertitude de type a) et de la abilité de l'intervalle que l'on souhaite obtenir (avec 95 % de abilité,
l'intervalle sera plus petit qu'avec 95 % de abilité).
Pour une incertitude de type A, on utilise la table de Student (cf. table 1).
Pour une incertitude de type B (ou pour une incertitude de type A, sur un grand nombre de mesures)
on utilisera :
k = 1 pour une abilité de 68 %;
k = 2 pour une abilité de 95 %(cette valeur étant la plus souvent utilisée).
2.4 Cas d'une grandeur calculée : incertitudes composées
Si la grandeur X est calculée à partir d'autres grandeurs, son incertitude ∆X vérie :
(∆X)2 = (∆A)2 + (∆B)2 si X = A + B ;
∆X
X
2
=
∆A
A
2
+
∆B
B
2
si X = A × B.
Et plus généralement, si X est une somme de n grandeurs Ai :
∆X =
n
i=1
(∆Ai)2 ,
et si X est un produit de n grandeurs Ai :
∆X
X
=
n
i=1
∆Ai
Ai
2
Remarque : Qui dit somme dit aussi diérence, et de même un quotient est aussi un produit.
3 Présentation des résultats et pratique
expérimentale
3.1 Présenter correctement un résultat expérimental
Le résultats d'un mesurage s'exprime toujours sous la forme : X = x ± ∆X
Remarque : Dans le cas d'une expérience qui a été répétée plusieurs fois (incertitude de type A), la
moyenne x des diérents résultats xi est la meilleure approximation de la valeur vraie. On écrit donc :
X = x ± ∆X .
La valeur de ∆X est souvent donnée avec un seul chire signicatif 4 en terminale.
L'écriture de x respecte les règles suivantes :
4. Cette notion a été dénie en classe de seconde. On trouvera quelques rappels ici : http://goo.gl/Vob2n.
4
Si X est une grandeur calculée et provient de la multiplication et/ou division de facteurs, le
résultat s'exprime avec le même nombre de chires signicatifs que le facteur qui en possède le
moins. Si x provient d'une somme ou d'une diérence de termes, il faut les exprimer dans la même
unité pour procéder au calcul : le dernier chire exprimé dans le résultat est déterminé par le
dernier chire exprimé dans la donnée la moins précise.
Les décimales de x plus petites que l'incertitude ne sont pas prises en compte. Par exemple, si l'on
obtient = 2, 674 ± 0, 2 cm on écrira : = 2, 7 ± 0, 2 cm.
Autre exemple : si V = 3, 6912 · 10−2 L et ∆V = 1, 0 · 10−4 L on notera :
V = (3, 69 ± 0, 01) · 10−2
L.
On ajoutera à l'écriture du résultat le seuil de abilité choisi dans le calcul de l'incertitude (le plus
souvent, 95 %).
3.2 Comparer un résultats à une valeur de référence
Lorsque l'énoncé propose une valeur de référence Xréf, il faut vérier que la valeur mesurée x cor-
responde à celle-ci.
Si le résultat de la mesure ou du calcul est fourni avec son incertitude, alors la mesure est satisfai-
sante si son intervalle de conance englobe la valeur de référence. Sinon, soit la mesure n'est pas
satisfaisante, soit l'estimation de l'erreur n'a pas pris en compte les bons paramètres.
Si le résultat de la mesure ou du calcul est fourni sans son incertitude, il est possible de calculer
simplement l' écart relatif entre la valeur obtenue x et la valeur de référence Xréf :
x − Xréf
Xréf
(Xréf = 0).
La mesure est d'autant plus satisfaisante que cet écart relatif est petit.
3.3 Remarques a posteriori
Données anormales Certaines données doivent être éliminées quand elles sont manifestement inco-
hérentes avec les autres valeurs. Cette élimination doit donner lieu à une réexion sur la méthode de
mesure. En toute rigueur, une mesure anormale pour laquelle aucune cause n'est imaginée doit être
eectuée à nouveau avant d'être éliminée.
Améliorer la méthode de mesure Il peut être demandé de proposer des améliorations du protocole
une fois la mesure eectuée. Ces améliorations passent par la réduction des deux types d'erreurs : l'erreur
aléatoire est diminuée en augmentant le nombre de mesures, an que la moyenne soit la plus juste
possible ; l'erreur systématique est réduite en vériant chaque étape du protocole pour éliminer les biais.
4 Quelques exemples
4.1 Période d'un pendule
Lors d'un T.P., les douze binômes d'une classe ont mesuré la durée 10T correspondant à dix oscillations
d'un même pendule. Les chronomètres utilisées sont identiques. Estimer la valeur de T à partir des douze
valeurs suivantes et donner l'incertitude sur T.
Binôme 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Ti (en s) 13,3 12,8 13,1 13,0 13,3 12,9 13,0 13,1 13,3 13,4 12,8 13,2
La meilleure estimation de la valeur de T est la moyenne T des Ti :
T =
1
12
12
i=1
Ti = 13, 1 s
5
On calcule alors l'écart-type expérimental sexp de la série :
sexp =
1
12 − 1
12
i=1
(Ti − T)2 =
0, 46
11
0, 2045 s
L'incertitude-type s sur T est alors
s =
sexp
√
12
=
0, 2045
√
12
= 5, 90 · 10−2
s
Et l'on obtient : ∆T = k × s = 2, 18 × 5, 90 · 10−2 = 0, 13 s (pour une abilité de 95 %)
Le résultat est donc : T = 13, 1 ± 0, 1 s au seuil de abilité 95 %
4.2 Un dosage
Lors d'un dosage colorimétrique, l'expérimentateur verse à l'équivalence VE = 15,6 mL de la solution
titrante. La détermination de l'équivalence s'eectue à la goutte près (±0,04 mL) et la burette utilisée est
de classe A (±0,02 mL). Donner VE avec son incertitude.
Puis, sachant que la solution titrante a une concentration C = 0,10000± 0,00012 mol/L et que l'on a
réalisé l'expérience pour un volume V' =10,00± 0,02 mL de solution titrée de concentration inconnue C',
déterminer C' et son incertitude sachant que C' = C ×VE
V'
.
L'incertitude-type est :
s = (sgoutte)2 + (sburette)2 =
0, 04
√
3
2
+
0, 02
√
3
2
= 0, 026 mL.
D'où : ∆VE = k × s = 2 × 0, 026 = 0, 052 ml, et le résultat est donc :
VE = 15, 60 ± 0, 05 mL au seuil de abilité 95 %
On calcule :
C =
C × VE
V
=
0, 10000 × 15, 60
10, 00
= 1, 560 · 10−1
mol/L.
Par ailleurs :
∆C
C
=
∆C
C
2
+
∆VE
VE
2
+
∆V
V
2
D'où :
∆C = 0, 1560
0, 00012
0, 100000
2
+
0, 05
15, 60
2
+
0, 02
10, 00
2
≈ 6 · 10−4
mol/L
On conclut donc : C = (1, 560 ± 0, 006) · 10−1 mol/L au seuil de abilité 95 %
Références
[1] Stanislas Antczak, Jean-François Le Maréchal et al. : Nouveau Microméga Physique-Chimie Terminale S. Hatier, 2012.
[2] F.-X. Bally et J.-M. Berroir : Incertitudes expérimentales. 2008. http://goo.gl/7YJaj.
[3] Sylvain Boucquemont : Mesures et incertitudes (diaporama), 2013. http://goo.gl/Leu19.
[4] Groupe des sciences physiques et chimiques de l'IGEN : Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques.
2010. http://goo.gl/f8m11.
[5] Bruno Herrbach : Estimation des incertitudes sur les erreurs de mesure. 2005. http://goo.gl/5BYz8.
[6] Françoise Marcadet et Site des sciences physiques et chimiques de l'académie d'OrléansTours : Estimer une incertitude. 2012.
http://goo.gl/5sEDd.
[7] Valéry Prévost, Bernard Richoux et al. : Sirius  Physique Chimie terminale S. Nathan, 2012.
[8] Université de Paris 7 Diderot : Mesures et incertitudes en physique . 2011. http://goo.gl/9ArBn.
6
Voici une table de Student plus détaillée que celle donnée à la table 1 :
50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 95 % 98 % 99 % 99,5 % 99,9 %
1 1 1.3764 1.9626 3.0777 6.3137 12.706 31.821 63.656 127.32 636.58
2 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.92 4.3027 6.9645 9.925 14.089 31.6
3 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8408 7.4532 12.924
4 0.7407 0.941 1.1896 1.5332 2.1318 2.7765 3.7469 4.6041 5.5975 8.6101
5 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.015 2.5706 3.3649 4.0321 4.7733 6.8685
6 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 4.3168 5.9587
7 0.7111 0.896 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9979 3.4995 4.0294 5.4081
8 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.306 2.8965 3.3554 3.8325 5.0414
9 0.7027 0.8834 1.0997 1.383 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 3.6896 4.7809
10 0.6998 0.8791 1.0931 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 3.5814 4.5868
11 0.6974 0.8755 1.0877 1.3634 1.7959 2.201 2.7181 3.1058 3.4966 4.4369
12 0.6955 0.8726 1.0832 1.3562 1.7823 2.1788 2.681 3.0545 3.4284 4.3178
13 0.6938 0.8702 1.0795 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 3.3725 4.2209
14 0.6924 0.8681 1.0763 1.345 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 3.3257 4.1403
15 0.6912 0.8662 1.0735 1.3406 1.7531 2.1315 2.6025 2.9467 3.286 4.0728
16 0.6901 0.8647 1.0711 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 3.252 4.0149
17 0.6892 0.8633 1.069 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 3.2224 3.9651
18 0.6884 0.862 1.0672 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 3.1966 3.9217
19 0.6876 0.861 1.0655 1.3277 1.7291 2.093 2.5395 2.8609 3.1737 3.8833
20 0.687 0.86 1.064 1.3253 1.7247 2.086 2.528 2.8453 3.1534 3.8496
21 0.6864 0.8591 1.0627 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 3.1352 3.8193
22 0.6858 0.8583 1.0614 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 3.1188 3.7922
23 0.6853 0.8575 1.0603 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 3.104 3.7676
24 0.6848 0.8569 1.0593 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.797 3.0905 3.7454
25 0.6844 0.8562 1.0584 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.0782 3.7251
26 0.684 0.8557 1.0575 1.315 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 3.0669 3.7067
27 0.6837 0.8551 1.0567 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 3.0565 3.6895
28 0.6834 0.8546 1.056 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 3.047 3.6739
29 0.683 0.8542 1.0553 1.3114 1.6991 2.0452 2.462 2.7564 3.038 3.6595
30 0.6828 0.8538 1.0547 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.75 3.0298 3.646
31 0.6825 0.8534 1.0541 1.3095 1.6955 2.0395 2.4528 2.744 3.0221 3.6335
32 0.6822 0.853 1.0535 1.3086 1.6939 2.0369 2.4487 2.7385 3.0149 3.6218
33 0.682 0.8526 1.053 1.3077 1.6924 2.0345 2.4448 2.7333 3.0082 3.6109
34 0.6818 0.8523 1.0525 1.307 1.6909 2.0322 2.4411 2.7284 3.002 3.6007
35 0.6816 0.852 1.052 1.3062 1.6896 2.0301 2.4377 2.7238 2.9961 3.5911
36 0.6814 0.8517 1.0516 1.3055 1.6883 2.0281 2.4345 2.7195 2.9905 3.5821
37 0.6812 0.8514 1.0512 1.3049 1.6871 2.0262 2.4314 2.7154 2.9853 3.5737
38 0.681 0.8512 1.0508 1.3042 1.686 2.0244 2.4286 2.7116 2.9803 3.5657
39 0.6808 0.8509 1.0504 1.3036 1.6849 2.0227 2.4258 2.7079 2.9756 3.5581
40 0.6807 0.8507 1.05 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 2.9712 3.551
50 0.6794 0.8489 1.0473 1.2987 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 2.937 3.496
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Metrologie termilnal

  • 1. Métrologie en terminale S Mesures et incertitudes 2013 En physique et en chimie, il n'existe pas de mesures exactes. Les mesures ne peuvent qu'être entachées d'erreurs plus ou moins importantes selon le protocole choisi, la qualité des instruments de mesure ou le rôle de l'opérateur. Évaluer l'incertitude sur une mesure est un domaine complexe qui fait l'objet d'une branche complète des sciences expérimentales : la métrologie. Quelques rudiments de métrologie sont au programme de physique-chimie en terminale S : nous donnons ici ces éléments, qui doivent être maîtrisés pour les épreuves du baccalauréat 1. Sommaire 1 Vocabulaire et notations 1 2 Estimation de l'incertitude 3 2.1 Calcul de l'incertitude de type A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.2 Calcul de l'incertitude de type B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2.3 Calcul de ∆X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.4 Cas d'une grandeur calculée : incertitudes composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3 Présentation des résultats et pratique expérimentale 4 3.1 Présenter correctement un résultat expérimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3.2 Comparer un résultats à une valeur de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3.3 Remarques a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4 Quelques exemples 5 4.1 Période d'un pendule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4.2 Un dosage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1 Vocabulaire et notations Une grandeur est utilisée en sciences pour caractériser un objet ou un événement. Les grandeurs sont obtenues soit par la mesure, avec des instruments adaptés, soit par le calcul à partir d'autre grandeurs. Par exemple, on peut mesurer la masse m d'un véhicule (à l'aide d'une bascule) et sa vitesse v (sur le compteur de vitesse) ; on calcule son énergie cinétique à l'aide de la relation : Ec = 1 2mv2. La grandeur que l'on veut mesurer est appelée mesurande. Le fait de mesurer une grandeur est appelée mesurage ; à ne pas confondre avec la mesure, qui est la valeur x obtenue lors du mesurage. Si le mesurage était parfait, on obtiendrait la valeur vraie Xvrai du mesurande. Cette valeur est inconnue, puisque toute mesure est entachée d'une erreur de mesure ER = Xvrai − x. 1. L'élève doit maîtriser ces éléments mais ne doit pas forcément les connaître : la plupart des formules seront données le jour de l'examen. 1
  • 2. Figure 1 En haut à gauche, la mesure est juste et dèle; en haut à droite, elle est juste mais peu dèle; en bas à gauche, elle est peu juste mais dèle ; en bas à droite elle n'est ni juste ni dèle. Il existe deux types d'erreurs de mesure. L' erreur systématique ERS ne varie pas d'une mesure à l'autre, elle est souvent due à l'appareil de mesure et peut disparaître par réglage2. Par exemple, une balance qui n'acherait pas zéro en l'absence de masse à peser donnerait une erreur systématique. En la tarant, l'erreur disparaîtrait. L' erreur aléatoire ERA change à chaque mesure. Elle est due aux uctuations de la gran- deur mesurée, qui n'est pas forcément stable dans le temps (comme la distance TerreLune) ou n'est pas la même dans tout l'échantillon (par exemple, la température de la mer), ou bien aux uctuations de la méthode de mesure, c'est à dire la manière de mesurer de l'expéri- mentateur. Ces uctuations se traduisent par un écart entre les valeurs obtenues lors de diérents mesurages. Une mesure est juste si l'erreur systématique est faible et dèle si l'erreur aléatoire est faible (cf. gure 1). L' incertitude de mesure est un paramètre associé à une valeur mesurée qui mesure l'erreur aléatoire, c'est à dire la dispersion des valeurs possibles de la grandeur. La valeur X d'une grandeur mesurée, peut être présentée comme une valeur estimée x associée à son incertitude absolue ∆X. Le résultat est alors : X = x ± ∆X . Remarque : l'incertitude sur la mesure de X est parfois notée U(X). La relation précédente revient à écrire : X ∈ [x − ∆X ; x + ∆X] . Cet intervalle est appelé inter- valle de conance de X. Par exemple, le résultat d'une mesure de tension à l'aide d'un voltmètre peut être donné sous la forme U = 4, 35 ± 0, 03V. Cela signie que la tension U est comprise entre 4, 32V et 4, 38V. Graphiquement, cet intervalle est représenté par une barre d'erreur (cf. gure 2). On dénit aussi l' incertitude relative sur la mesure notée ∆X X et calculée par ∆X |x| . Cette incertitude relative est parfois appelée précision . 2. Toutefois, l'erreur systématique est inconnue car elle est un décalage par rapport à la valeur vraie, elle-même inconnue. 2
  • 3. Figure 2 Représentation d'une incertitude sous la forme d'une barre d'erreur On dit que l'incertitude est de type A lorsque le mesurage est eectué plusieurs fois dans des conditions identiques ; l'incertitude est alors déterminée par des méthodes statistiques. Lorsqu'on ne dispose que d'une seule mesure, l'incertitude est de type B et son calcul se fait à partir des conditions de l'expérience. 2 Estimation de l'incertitude 2.1 Calcul de l'incertitude de type A On considère une série de n mesures xi eectuées dans les mêmes conditions (soit par un même opérateur successivement, soit en même temps par diérents opérateurs). On note x la moyenne de la série, soit x = 1 n n i=1 xi. Cette valeur x est la meilleure estimation possible de la valeur vraie Xvrai. On calcule tout d'abord l' écart-type expérimental sexp (noté σn−1 par les calculatrices) : sexp = n i=1(xi − x)2 n − 1 L' incertitude-type s 3 sur la moyenne est alors : s = sexp √ n . 2.2 Calcul de l'incertitude de type B L'incertitude de type B est calculée à partir de l'indication du fabricant sur le matériel utilisé. Si le fabricant a indiqué une abilité de ±a, l'incertitude-type est s = a √ 3 . En l'absence d'indication, on prendra : s = 1 graduation √ 12 = 1 2 graduation √ 3 . Si plusieurs instruments ont été utilisés, l'incertitude-type s se calcule par : s2 = (s1)2 + (s2)2 + . . . 3. s est aussi notée u(X), à ne pas confondre avec U(X). 3
  • 4. n − 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20 25 30 40 60 k à 95 % 12,71 4,30 3,18 2,78 2,57 2,45 2,36 2,41 2,26 2,23 2,09 2,06 2,04 2,02 2,00 k à 99 % 63,66 9,93 5,84 4,60 4,03 3,71 3,50 3,35 3,25 3,17 2,85 2,79 2,75 2,70 2,66 Table 1 Table de Student (une table plus détaillée est disponible en annexe) 2.3 Calcul de ∆X Maintenant que l'on connaît l'incertitude-type, on calcule l'incertitude de mesure (appelée ici in- certitude-type élargie ) par : ∆X = k · s . k est un facteur d'élargissement qui dépend du nombre de mesures eectuées (dans le cas d'une incertitude de type a) et de la abilité de l'intervalle que l'on souhaite obtenir (avec 95 % de abilité, l'intervalle sera plus petit qu'avec 95 % de abilité). Pour une incertitude de type A, on utilise la table de Student (cf. table 1). Pour une incertitude de type B (ou pour une incertitude de type A, sur un grand nombre de mesures) on utilisera : k = 1 pour une abilité de 68 %; k = 2 pour une abilité de 95 %(cette valeur étant la plus souvent utilisée). 2.4 Cas d'une grandeur calculée : incertitudes composées Si la grandeur X est calculée à partir d'autres grandeurs, son incertitude ∆X vérie : (∆X)2 = (∆A)2 + (∆B)2 si X = A + B ; ∆X X 2 = ∆A A 2 + ∆B B 2 si X = A × B. Et plus généralement, si X est une somme de n grandeurs Ai : ∆X = n i=1 (∆Ai)2 , et si X est un produit de n grandeurs Ai : ∆X X = n i=1 ∆Ai Ai 2 Remarque : Qui dit somme dit aussi diérence, et de même un quotient est aussi un produit. 3 Présentation des résultats et pratique expérimentale 3.1 Présenter correctement un résultat expérimental Le résultats d'un mesurage s'exprime toujours sous la forme : X = x ± ∆X Remarque : Dans le cas d'une expérience qui a été répétée plusieurs fois (incertitude de type A), la moyenne x des diérents résultats xi est la meilleure approximation de la valeur vraie. On écrit donc : X = x ± ∆X . La valeur de ∆X est souvent donnée avec un seul chire signicatif 4 en terminale. L'écriture de x respecte les règles suivantes : 4. Cette notion a été dénie en classe de seconde. On trouvera quelques rappels ici : http://goo.gl/Vob2n. 4
  • 5. Si X est une grandeur calculée et provient de la multiplication et/ou division de facteurs, le résultat s'exprime avec le même nombre de chires signicatifs que le facteur qui en possède le moins. Si x provient d'une somme ou d'une diérence de termes, il faut les exprimer dans la même unité pour procéder au calcul : le dernier chire exprimé dans le résultat est déterminé par le dernier chire exprimé dans la donnée la moins précise. Les décimales de x plus petites que l'incertitude ne sont pas prises en compte. Par exemple, si l'on obtient = 2, 674 ± 0, 2 cm on écrira : = 2, 7 ± 0, 2 cm. Autre exemple : si V = 3, 6912 · 10−2 L et ∆V = 1, 0 · 10−4 L on notera : V = (3, 69 ± 0, 01) · 10−2 L. On ajoutera à l'écriture du résultat le seuil de abilité choisi dans le calcul de l'incertitude (le plus souvent, 95 %). 3.2 Comparer un résultats à une valeur de référence Lorsque l'énoncé propose une valeur de référence Xréf, il faut vérier que la valeur mesurée x cor- responde à celle-ci. Si le résultat de la mesure ou du calcul est fourni avec son incertitude, alors la mesure est satisfai- sante si son intervalle de conance englobe la valeur de référence. Sinon, soit la mesure n'est pas satisfaisante, soit l'estimation de l'erreur n'a pas pris en compte les bons paramètres. Si le résultat de la mesure ou du calcul est fourni sans son incertitude, il est possible de calculer simplement l' écart relatif entre la valeur obtenue x et la valeur de référence Xréf : x − Xréf Xréf (Xréf = 0). La mesure est d'autant plus satisfaisante que cet écart relatif est petit. 3.3 Remarques a posteriori Données anormales Certaines données doivent être éliminées quand elles sont manifestement inco- hérentes avec les autres valeurs. Cette élimination doit donner lieu à une réexion sur la méthode de mesure. En toute rigueur, une mesure anormale pour laquelle aucune cause n'est imaginée doit être eectuée à nouveau avant d'être éliminée. Améliorer la méthode de mesure Il peut être demandé de proposer des améliorations du protocole une fois la mesure eectuée. Ces améliorations passent par la réduction des deux types d'erreurs : l'erreur aléatoire est diminuée en augmentant le nombre de mesures, an que la moyenne soit la plus juste possible ; l'erreur systématique est réduite en vériant chaque étape du protocole pour éliminer les biais. 4 Quelques exemples 4.1 Période d'un pendule Lors d'un T.P., les douze binômes d'une classe ont mesuré la durée 10T correspondant à dix oscillations d'un même pendule. Les chronomètres utilisées sont identiques. Estimer la valeur de T à partir des douze valeurs suivantes et donner l'incertitude sur T. Binôme 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Ti (en s) 13,3 12,8 13,1 13,0 13,3 12,9 13,0 13,1 13,3 13,4 12,8 13,2 La meilleure estimation de la valeur de T est la moyenne T des Ti : T = 1 12 12 i=1 Ti = 13, 1 s 5
  • 6. On calcule alors l'écart-type expérimental sexp de la série : sexp = 1 12 − 1 12 i=1 (Ti − T)2 = 0, 46 11 0, 2045 s L'incertitude-type s sur T est alors s = sexp √ 12 = 0, 2045 √ 12 = 5, 90 · 10−2 s Et l'on obtient : ∆T = k × s = 2, 18 × 5, 90 · 10−2 = 0, 13 s (pour une abilité de 95 %) Le résultat est donc : T = 13, 1 ± 0, 1 s au seuil de abilité 95 % 4.2 Un dosage Lors d'un dosage colorimétrique, l'expérimentateur verse à l'équivalence VE = 15,6 mL de la solution titrante. La détermination de l'équivalence s'eectue à la goutte près (±0,04 mL) et la burette utilisée est de classe A (±0,02 mL). Donner VE avec son incertitude. Puis, sachant que la solution titrante a une concentration C = 0,10000± 0,00012 mol/L et que l'on a réalisé l'expérience pour un volume V' =10,00± 0,02 mL de solution titrée de concentration inconnue C', déterminer C' et son incertitude sachant que C' = C ×VE V' . L'incertitude-type est : s = (sgoutte)2 + (sburette)2 = 0, 04 √ 3 2 + 0, 02 √ 3 2 = 0, 026 mL. D'où : ∆VE = k × s = 2 × 0, 026 = 0, 052 ml, et le résultat est donc : VE = 15, 60 ± 0, 05 mL au seuil de abilité 95 % On calcule : C = C × VE V = 0, 10000 × 15, 60 10, 00 = 1, 560 · 10−1 mol/L. Par ailleurs : ∆C C = ∆C C 2 + ∆VE VE 2 + ∆V V 2 D'où : ∆C = 0, 1560 0, 00012 0, 100000 2 + 0, 05 15, 60 2 + 0, 02 10, 00 2 ≈ 6 · 10−4 mol/L On conclut donc : C = (1, 560 ± 0, 006) · 10−1 mol/L au seuil de abilité 95 % Références [1] Stanislas Antczak, Jean-François Le Maréchal et al. : Nouveau Microméga Physique-Chimie Terminale S. Hatier, 2012. [2] F.-X. Bally et J.-M. Berroir : Incertitudes expérimentales. 2008. http://goo.gl/7YJaj. [3] Sylvain Boucquemont : Mesures et incertitudes (diaporama), 2013. http://goo.gl/Leu19. [4] Groupe des sciences physiques et chimiques de l'IGEN : Nombres, mesures et incertitudes en sciences physiques et chimiques. 2010. http://goo.gl/f8m11. [5] Bruno Herrbach : Estimation des incertitudes sur les erreurs de mesure. 2005. http://goo.gl/5BYz8. [6] Françoise Marcadet et Site des sciences physiques et chimiques de l'académie d'OrléansTours : Estimer une incertitude. 2012. http://goo.gl/5sEDd. [7] Valéry Prévost, Bernard Richoux et al. : Sirius Physique Chimie terminale S. Nathan, 2012. [8] Université de Paris 7 Diderot : Mesures et incertitudes en physique . 2011. http://goo.gl/9ArBn. 6
  • 7. Voici une table de Student plus détaillée que celle donnée à la table 1 : 50 % 60 % 70 % 80 % 90 % 95 % 98 % 99 % 99,5 % 99,9 % 1 1 1.3764 1.9626 3.0777 6.3137 12.706 31.821 63.656 127.32 636.58 2 0.8165 1.0607 1.3862 1.8856 2.92 4.3027 6.9645 9.925 14.089 31.6 3 0.7649 0.9785 1.2498 1.6377 2.3534 3.1824 4.5407 5.8408 7.4532 12.924 4 0.7407 0.941 1.1896 1.5332 2.1318 2.7765 3.7469 4.6041 5.5975 8.6101 5 0.7267 0.9195 1.1558 1.4759 2.015 2.5706 3.3649 4.0321 4.7733 6.8685 6 0.7176 0.9057 1.1342 1.4398 1.9432 2.4469 3.1427 3.7074 4.3168 5.9587 7 0.7111 0.896 1.1192 1.4149 1.8946 2.3646 2.9979 3.4995 4.0294 5.4081 8 0.7064 0.8889 1.1081 1.3968 1.8595 2.306 2.8965 3.3554 3.8325 5.0414 9 0.7027 0.8834 1.0997 1.383 1.8331 2.2622 2.8214 3.2498 3.6896 4.7809 10 0.6998 0.8791 1.0931 1.3722 1.8125 2.2281 2.7638 3.1693 3.5814 4.5868 11 0.6974 0.8755 1.0877 1.3634 1.7959 2.201 2.7181 3.1058 3.4966 4.4369 12 0.6955 0.8726 1.0832 1.3562 1.7823 2.1788 2.681 3.0545 3.4284 4.3178 13 0.6938 0.8702 1.0795 1.3502 1.7709 2.1604 2.6503 3.0123 3.3725 4.2209 14 0.6924 0.8681 1.0763 1.345 1.7613 2.1448 2.6245 2.9768 3.3257 4.1403 15 0.6912 0.8662 1.0735 1.3406 1.7531 2.1315 2.6025 2.9467 3.286 4.0728 16 0.6901 0.8647 1.0711 1.3368 1.7459 2.1199 2.5835 2.9208 3.252 4.0149 17 0.6892 0.8633 1.069 1.3334 1.7396 2.1098 2.5669 2.8982 3.2224 3.9651 18 0.6884 0.862 1.0672 1.3304 1.7341 2.1009 2.5524 2.8784 3.1966 3.9217 19 0.6876 0.861 1.0655 1.3277 1.7291 2.093 2.5395 2.8609 3.1737 3.8833 20 0.687 0.86 1.064 1.3253 1.7247 2.086 2.528 2.8453 3.1534 3.8496 21 0.6864 0.8591 1.0627 1.3232 1.7207 2.0796 2.5176 2.8314 3.1352 3.8193 22 0.6858 0.8583 1.0614 1.3212 1.7171 2.0739 2.5083 2.8188 3.1188 3.7922 23 0.6853 0.8575 1.0603 1.3195 1.7139 2.0687 2.4999 2.8073 3.104 3.7676 24 0.6848 0.8569 1.0593 1.3178 1.7109 2.0639 2.4922 2.797 3.0905 3.7454 25 0.6844 0.8562 1.0584 1.3163 1.7081 2.0595 2.4851 2.7874 3.0782 3.7251 26 0.684 0.8557 1.0575 1.315 1.7056 2.0555 2.4786 2.7787 3.0669 3.7067 27 0.6837 0.8551 1.0567 1.3137 1.7033 2.0518 2.4727 2.7707 3.0565 3.6895 28 0.6834 0.8546 1.056 1.3125 1.7011 2.0484 2.4671 2.7633 3.047 3.6739 29 0.683 0.8542 1.0553 1.3114 1.6991 2.0452 2.462 2.7564 3.038 3.6595 30 0.6828 0.8538 1.0547 1.3104 1.6973 2.0423 2.4573 2.75 3.0298 3.646 31 0.6825 0.8534 1.0541 1.3095 1.6955 2.0395 2.4528 2.744 3.0221 3.6335 32 0.6822 0.853 1.0535 1.3086 1.6939 2.0369 2.4487 2.7385 3.0149 3.6218 33 0.682 0.8526 1.053 1.3077 1.6924 2.0345 2.4448 2.7333 3.0082 3.6109 34 0.6818 0.8523 1.0525 1.307 1.6909 2.0322 2.4411 2.7284 3.002 3.6007 35 0.6816 0.852 1.052 1.3062 1.6896 2.0301 2.4377 2.7238 2.9961 3.5911 36 0.6814 0.8517 1.0516 1.3055 1.6883 2.0281 2.4345 2.7195 2.9905 3.5821 37 0.6812 0.8514 1.0512 1.3049 1.6871 2.0262 2.4314 2.7154 2.9853 3.5737 38 0.681 0.8512 1.0508 1.3042 1.686 2.0244 2.4286 2.7116 2.9803 3.5657 39 0.6808 0.8509 1.0504 1.3036 1.6849 2.0227 2.4258 2.7079 2.9756 3.5581 40 0.6807 0.8507 1.05 1.3031 1.6839 2.0211 2.4233 2.7045 2.9712 3.551 50 0.6794 0.8489 1.0473 1.2987 1.6759 2.0086 2.4033 2.6778 2.937 3.496 60 0.6786 0.8477 1.0455 1.2958 1.6706 2.0003 2.3901 2.6603 2.9146 3.4602 70 0.678 0.8468 1.0442 1.2938 1.6669 1.9944 2.3808 2.6479 2.8987 3.435 80 0.6776 0.8461 1.0432 1.2922 1.6641 1.9901 2.3739 2.6387 2.887 3.4164 90 0.6772 0.8456 1.0424 1.291 1.662 1.9867 2.3685 2.6316 2.8779 3.4019 100 0.677 0.8452 1.0418 1.2901 1.6602 1.984 2.3642 2.6259 2.8707 3.3905 110 0.6767 0.8449 1.0413 1.2893 1.6588 1.9818 2.3607 2.6213 2.8648 3.3811 120 0.6765 0.8446 1.0409 1.2886 1.6576 1.9799 2.3578 2.6174 2.8599 3.3734 130 0.6764 0.8444 1.0406 1.2881 1.6567 1.9784 2.3554 2.6142 2.8557 3.367 140 0.6762 0.8442 1.0403 1.2876 1.6558 1.9771 2.3533 2.6114 2.8522 3.3613 +∞ 0.6744 0.8416 1.0364 1.2816 1.6449 1.96 2.3264 2.5759 2.8072 3.2908 7