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International Metrology Conference CAFMET 2008 April 2008
Comité Africain de Métrologie 1/4
Appliquer les 4 étapes :
- Modéliser
- Définir les sources
- Quantifier les composantes
- Calculer uc puis U
Intra-laboratoire
Interlaboratoires
Calcul des incertitudes de mesure : étude comparative
entre la méthode GUM et la méthode ISO 5725
Abdelouahhab SALIH
a.salih@yahoo.fr
PES Génie Mécanique CMD- E.N.S.E.T. B.P. 6207 Rabat – Maroc
Responsable technique du Centre Marocain de Métrologie ( www.c2mt.site.voila.fr/index.html)
Conseiller Technique du laboratoire OUSSAMA-sarl
Abstract
The object of this paper is to present the general methods of calculation of uncertainties of measurement; namely
GUM and R&R methods. These two methods will be compared and of the conclusions will be explicitly emitted.
Résumé
L’objet de cette étude est de présenter les méthodes générales de calcul des incertitudes de mesure; à savoir la
méthode GUM et la méthode R&R. Ces deux méthodes seront comparées et des conclusions seront ensuite
émises.
1. Introduction
Le concept d’incertitude apparaît aujourd’hui comme
la quantification de la qualité des résultats annoncés
ainsi que comme un outil essentiel pour la
déclaration de conformité à des spécifications, voire
celle de prononcer sur la capabilité du processus de
mesurage. On peut résumer, les méthodes de calcul
des incertitudes de mesure en deux ; figure 1 :
1. une méthode analytique développée dans le guide
de l’expression des incertitudes de mesure « GUM »
2. une méthode synthétique basée sur des mesures de
répétabilité et de reproductibilité « R&R ». Cette
méthode peut être appliquée au sein du même lieu ou
laboratoire « méthode intra-laboratoire » ou entre
des lieux différents « méthode inter-laboratoires »
Figure 1: Méthodes de calcul des incertitudes
2. Méthode GUM : Guide pour l'expression
de l'incertitude de mesure.
Développée selon la norme NF ENV 13005, cette
méthode se base sur des développements analytiques
des lois physiques liées par des relations
fonctionnelles:
Y=f(X1, X2,…,Xn) où : (X1, X2,…,Xn ) sont les
grandeurs d’entrée et Y la grandeur de sortie.
Les incertitudes sont calculées selon deux méthodes
du type A et du type B :
A. Les méthodes de type A
Ces méthodes se fondent sur l'application de
méthodes statistiques à une série de déterminations
répétées. Elles sont principalement utilisées pour
quantifier les incertitudes de répétabilité du
processus de mesure.
Trois cas peuvent se présenter :
1er
cas : si les observations obtenues dans notre série
de mesures sont indépendantes ; l’incertitude type du
type A, peut être obtenue à partir de la variance des
grandeurs d’entrée (X1, X2,…,Xn) par :
n
u A
2
2 σ
= (1)
Où la variance σ2
est donnée par :
∑=
−
−
=
n
i
ii XX
n 1
22
)(
1
1
σ
(2)
2ème cas : si les observations de notre série sont
totalement dépendantes, cette composante sera égale à :
22
σ=Au (3)
3ème cas : si la résolution de l’instrument de mesure est
insuffisante c’est à dire l’écart type σ=0, on pourra
l’estimer à partir de l’équation suivante :
12
2
2 σ
=Au (4)
B. Les méthodes de type B
Elles sont utilisées pour quantifier les incertitudes des
différentes composantes de corrections. Ces méthodes
se fondent sur l’expérience des opérateurs, sur des
essais, sur la connaissance des phénomènes physiques.
Deux cas peuvent se présenter :
Non
R&R
Oui
GUM
Le processus est-il
modélisable au sens
GUM ?
International Metrology Conference CAFMET 2008 April 2008
Comité Africain de Métrologie 2/4
1er
cas : le mesurande est défini par une le loi physique
connue. Dans ce cas, l’incertitude type du type B est
obtenue par la loi de propagation des incertitudes de la
fonction y, par :
),(.)().(..2)(.)(
1
1 11
2
2
2
ji
n
i
n
ij
ji
ji
n
i
i
i
c xxrxuxu
x
f
x
f
xu
x
f
yu ∑ ∑∑
−
= +== ∂
∂
∂
∂
+





∂
∂
=
(5)
Où
)(*)(
),(
),(
ji
ji
ji
xuxu
xxu
xxr = est compris entre –1 et +1. Si
xi et xj sont indépendants, alors r(xi, xj)=0.
2ème
cas : le mesurande est défini par une loi
empirique ; Dans ce cas l’incertitude type du type B est
obtenue par une sommation quadratique des
composantes liées à la référence, à la résolution et aux
facteurs d’influence. Les lois les plus utilisées sont :
Loi Demi-étendue coefficient composante
normale 1/2 ∆L/4
uniforme 1/√3 ∆L/2*√3
arcsinus
∆L/2
1/√2 ∆L/2*√2
Tableau 1 : lois usuelles
3. Méthode R&R :
Développée selon la norme ISO 5725, celle méthode a
l’avantage d’être simple. Elle trouve son application
pour les phénomènes physiques complexes et difficiles
à modéliser par une relation fonctionnelle. Le
laboratoire pilote peut appliquer cette méthode en 14
étapes comme suite :
Etape 1 : Définir le nombre de :
- laboratoires,
- niveaux,
- mesures par laboratoires.
Etape 2 : Collecter les valeurs.
Etape 3 : Calculer les moyennes yik
Etape 4 : Calculer la moyenne des moyennes y
Etape 5 : Calculer l’écart type de chaque laboratoire si
Etape 6 : Effectuer le test de validité des résultats de
mesures ; on peut par exemple effectuer le test de
Grubbs :
a. Déterminer les valeurs maximales des
laboratoires yimax
b. Calculer la moyenne des valeurs maximales
c. Calculer l’écart type des valeurs maximales : s
d. Calculer Gp
(6)
e. Faire le test suivant :
f. Reprendre de a- b- c- d et e pour les valeurs
minimales
Etape 7 : Effectuer le test de validité des laboratoires
exemple le test de Cochran
a. calculer smax
b. calculer le coefficient C de cochran
(7)
c. faire le test de cochran.
Etape 8 : Calculer la variance de répetabilité S2
r
(8)
Etape 9 : Calculer la variance S2
d
(9)
Etape 10 : Calculer la variance interlaboratoire SL
2
( 10)
Où n est la moyenne quadratique du nombre de mesures.
Etape 11 : Calculer la variance de reproductibilité SR
2
(11)
Etape12 : Calculer l’incertitude composée uc
(12)
Etape 13 : Calculer l’incertitude élargie U
avec K = 2 à 3 (13)
Etape 14 : Représenter le résultat final
(14)
4. Applications
Nous appliquerons ces deux approches aux calculs
des incertitudes d’étalonnage des manomètres. La
méthode d’étalonnage consiste à comparer la
pression lue dans le manomètre à étalonner à celle
générée par une balance manométrique de référence.
Selon l’approche GUM le mesurande se présente
sous la forme :
j
N
l
N C
g
g
PPc += * (14)
Où :
- Pc et PN sont les pressions resp. conventionnelle
et nominale.
- gl et gN sont les pesanteurs resp. locale et
nominale.
Les incertitudes ont été calculées en tenant compte
des différentes sources d'incertitudes (tab.1, annexe).
A partir de ces résultats, l’incertitude élargie
s
yy
Gp
maxmax −
=
∑=
= p
i
is
s
C
1
2
2
max
∑
=
−
∑
=
−
=
p
i
i
n
p
i
ii
n
r
s
s
1
)1(
1
2*)1(
2
1
)(*
1
2
2
−
−
=
∑=
p
yyn
s
p
i
ii
d
n
ss
s rd
L
22
2 −
=
222
rLR sss +=
222
réf
ussu rLc ++=
cukU *=
UyY ±=
valeur acceptée
valeur isolée (*)
oui
oui
non
non
Gp ≤ à G
de 5%
Gp ≤ à G
de 1%
valeur aberrante (**)
International Metrology Conference CAFMET 2008 April 2008
Comité Africain de Métrologie 3/4
s’obtient, en utilisant la méthode de la corde, sous la
forme : U = ±( U0 Pa + α P).
Où : ∑= 2
0 *2 ibU = 2262 Pa
et :
( )
P
bPapbab iiiii 



 −++
=
∑∑ ∑∑ 222
****2
*2α (15)
α=13,5 10-4
U = ±(2262 Pa + 13,5 10-4
P ) (16)
Pour une pression de 70 bar on aura U=±0,118 bar.
Selon l’approche R&R les résultats obtenus par les
trois laboratoires sont définis dans le tab.2 de
l’annexe. Cette étude a été menée par le laboratoire
pilote en se basant sur les normes ISO 5725.
a. Validation des mesures et des laboratoires ;
Les tests de Grubbs et de Cochran permettent de
déduire que les mesures et les laboratoires sont
acceptés.
b. Répétabilité et Reproductibilité ;
- l’écart type de répétabilité sr=0,023 bar
- l’écart type de réproductibilité sR=0,024 bar
c. Incertitude de la référence ;
L’incertitude de la référence est prise égale à celle de
la pression générée par la balance manométrique et
sa dérive dans le temps ; Uréf=18*10-4
+8*10-4
*P,
pour P=70 bar Uréf=0,058 bar.
d. Incertitude élargie ;
(17)
U=0,125 bar
5. Conclusion
Cette étude nous a permit de déduire que la méthode
R&R inter-laboratoires est légèrement supérieure à
celle de GUM à 6% près. Cette variation est
principalement due à ce que la méthode R&R tient
compte de tous les facteurs d’influence que
l’approche GUM néglige accidentellement.
Par ailleurs, au sein du même laboratoire, des
mesures de répétabilité et de reproductibilité entre
opérateurs ont été effectuées. Les résultats montrent
que la méthode R&R intra-laboratoire s’approche à
celle de R&R intre-laboratoires à 3% près. Ce
résultat montre le bon accord entre les différentes
méthodes.
Dans d’autres applications d’essais chimiques, les
deux méthodes GUM et R&R peuvent se compléter
et donner des résultats pragmatiques à l’estimation
des incertitudes de mesure.
Références
[1] NF ENV 13005, Guide pour l'expression de
l'incertitude de mesure, Afnor, 1999.
[2] ISO 5725, Application de la statistique-
Exactitude des résultats et méthode de mesure,
Afnor, 1994.
[3] EN ISO/IEC 17025, Prescriptions générales
concernant la compétence des laboratoires
d’étalonnage et d’essais, Afnor, 2005.
[4] Cristophe Perruchet et Marc Priel, Estimer
l’incertitude, Afnor, 2000.
22
*2 réf
usU R +=
ANNEXE :
Composante 1/2 Etendue Loi Coef. bi ai
Répétabilité de l'étalon écart type 30 E-05
Etalon 10*10-4
+ 4*10-4
normale 0,5 0,0005 7,5E-05
Dérive de l’étalon 10*10-4
+ 4*10-4
normale 0,5 0,0005 7,5E-05
colonne fluide (hauteur) 8,47E-05 normale 0,5 4,23E-05
Température 3,3E-05 uniforme 0,577 1,90E-05
Stabilité de la pression (fuite) négligeable uniforme 0,577
Interpolation des corrections
Répétabilité
* racine(2)
28,28E-05
g-locale 4,91E-04 uniforme 0,577 28,30E-05
Poussée d'air 1,62E-05 uniforme 0,577 93,23E-07
Position de l'EPC (ensemble
piston cylindre)
1E-04 normale 0,5 5E-05
Répétabilité du manomètre écart type 86,61E-04
Résolution du manomètre 0,0125 uniforme 0,577 72,17E-04
Tab. 1 : Résultats de l’approche GUM
labo/mesure Labo. 1 Labo. 2 Labo. 3
mesure 1 70,0250 70,0000 70,0250
mesure 2 70,0250 70,0000 70,0000
mesure 3 70,0250 70,0500 70,0000
mesure 4 70,0250 70,0000 70,0000
mesure 5 69,9750 70,0000 69,9750
Tab. 2 : Résultats de l’approche R&R inter-entreprises
International Metrology Conference CAFMET 2008 April 2008
Comité Africain de Métrologie 4/4

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Incertitude mesure cafmet_2008

  • 1. International Metrology Conference CAFMET 2008 April 2008 Comité Africain de Métrologie 1/4 Appliquer les 4 étapes : - Modéliser - Définir les sources - Quantifier les composantes - Calculer uc puis U Intra-laboratoire Interlaboratoires Calcul des incertitudes de mesure : étude comparative entre la méthode GUM et la méthode ISO 5725 Abdelouahhab SALIH a.salih@yahoo.fr PES Génie Mécanique CMD- E.N.S.E.T. B.P. 6207 Rabat – Maroc Responsable technique du Centre Marocain de Métrologie ( www.c2mt.site.voila.fr/index.html) Conseiller Technique du laboratoire OUSSAMA-sarl Abstract The object of this paper is to present the general methods of calculation of uncertainties of measurement; namely GUM and R&R methods. These two methods will be compared and of the conclusions will be explicitly emitted. Résumé L’objet de cette étude est de présenter les méthodes générales de calcul des incertitudes de mesure; à savoir la méthode GUM et la méthode R&R. Ces deux méthodes seront comparées et des conclusions seront ensuite émises. 1. Introduction Le concept d’incertitude apparaît aujourd’hui comme la quantification de la qualité des résultats annoncés ainsi que comme un outil essentiel pour la déclaration de conformité à des spécifications, voire celle de prononcer sur la capabilité du processus de mesurage. On peut résumer, les méthodes de calcul des incertitudes de mesure en deux ; figure 1 : 1. une méthode analytique développée dans le guide de l’expression des incertitudes de mesure « GUM » 2. une méthode synthétique basée sur des mesures de répétabilité et de reproductibilité « R&R ». Cette méthode peut être appliquée au sein du même lieu ou laboratoire « méthode intra-laboratoire » ou entre des lieux différents « méthode inter-laboratoires » Figure 1: Méthodes de calcul des incertitudes 2. Méthode GUM : Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure. Développée selon la norme NF ENV 13005, cette méthode se base sur des développements analytiques des lois physiques liées par des relations fonctionnelles: Y=f(X1, X2,…,Xn) où : (X1, X2,…,Xn ) sont les grandeurs d’entrée et Y la grandeur de sortie. Les incertitudes sont calculées selon deux méthodes du type A et du type B : A. Les méthodes de type A Ces méthodes se fondent sur l'application de méthodes statistiques à une série de déterminations répétées. Elles sont principalement utilisées pour quantifier les incertitudes de répétabilité du processus de mesure. Trois cas peuvent se présenter : 1er cas : si les observations obtenues dans notre série de mesures sont indépendantes ; l’incertitude type du type A, peut être obtenue à partir de la variance des grandeurs d’entrée (X1, X2,…,Xn) par : n u A 2 2 σ = (1) Où la variance σ2 est donnée par : ∑= − − = n i ii XX n 1 22 )( 1 1 σ (2) 2ème cas : si les observations de notre série sont totalement dépendantes, cette composante sera égale à : 22 σ=Au (3) 3ème cas : si la résolution de l’instrument de mesure est insuffisante c’est à dire l’écart type σ=0, on pourra l’estimer à partir de l’équation suivante : 12 2 2 σ =Au (4) B. Les méthodes de type B Elles sont utilisées pour quantifier les incertitudes des différentes composantes de corrections. Ces méthodes se fondent sur l’expérience des opérateurs, sur des essais, sur la connaissance des phénomènes physiques. Deux cas peuvent se présenter : Non R&R Oui GUM Le processus est-il modélisable au sens GUM ?
  • 2. International Metrology Conference CAFMET 2008 April 2008 Comité Africain de Métrologie 2/4 1er cas : le mesurande est défini par une le loi physique connue. Dans ce cas, l’incertitude type du type B est obtenue par la loi de propagation des incertitudes de la fonction y, par : ),(.)().(..2)(.)( 1 1 11 2 2 2 ji n i n ij ji ji n i i i c xxrxuxu x f x f xu x f yu ∑ ∑∑ − = +== ∂ ∂ ∂ ∂ +      ∂ ∂ = (5) Où )(*)( ),( ),( ji ji ji xuxu xxu xxr = est compris entre –1 et +1. Si xi et xj sont indépendants, alors r(xi, xj)=0. 2ème cas : le mesurande est défini par une loi empirique ; Dans ce cas l’incertitude type du type B est obtenue par une sommation quadratique des composantes liées à la référence, à la résolution et aux facteurs d’influence. Les lois les plus utilisées sont : Loi Demi-étendue coefficient composante normale 1/2 ∆L/4 uniforme 1/√3 ∆L/2*√3 arcsinus ∆L/2 1/√2 ∆L/2*√2 Tableau 1 : lois usuelles 3. Méthode R&R : Développée selon la norme ISO 5725, celle méthode a l’avantage d’être simple. Elle trouve son application pour les phénomènes physiques complexes et difficiles à modéliser par une relation fonctionnelle. Le laboratoire pilote peut appliquer cette méthode en 14 étapes comme suite : Etape 1 : Définir le nombre de : - laboratoires, - niveaux, - mesures par laboratoires. Etape 2 : Collecter les valeurs. Etape 3 : Calculer les moyennes yik Etape 4 : Calculer la moyenne des moyennes y Etape 5 : Calculer l’écart type de chaque laboratoire si Etape 6 : Effectuer le test de validité des résultats de mesures ; on peut par exemple effectuer le test de Grubbs : a. Déterminer les valeurs maximales des laboratoires yimax b. Calculer la moyenne des valeurs maximales c. Calculer l’écart type des valeurs maximales : s d. Calculer Gp (6) e. Faire le test suivant : f. Reprendre de a- b- c- d et e pour les valeurs minimales Etape 7 : Effectuer le test de validité des laboratoires exemple le test de Cochran a. calculer smax b. calculer le coefficient C de cochran (7) c. faire le test de cochran. Etape 8 : Calculer la variance de répetabilité S2 r (8) Etape 9 : Calculer la variance S2 d (9) Etape 10 : Calculer la variance interlaboratoire SL 2 ( 10) Où n est la moyenne quadratique du nombre de mesures. Etape 11 : Calculer la variance de reproductibilité SR 2 (11) Etape12 : Calculer l’incertitude composée uc (12) Etape 13 : Calculer l’incertitude élargie U avec K = 2 à 3 (13) Etape 14 : Représenter le résultat final (14) 4. Applications Nous appliquerons ces deux approches aux calculs des incertitudes d’étalonnage des manomètres. La méthode d’étalonnage consiste à comparer la pression lue dans le manomètre à étalonner à celle générée par une balance manométrique de référence. Selon l’approche GUM le mesurande se présente sous la forme : j N l N C g g PPc += * (14) Où : - Pc et PN sont les pressions resp. conventionnelle et nominale. - gl et gN sont les pesanteurs resp. locale et nominale. Les incertitudes ont été calculées en tenant compte des différentes sources d'incertitudes (tab.1, annexe). A partir de ces résultats, l’incertitude élargie s yy Gp maxmax − = ∑= = p i is s C 1 2 2 max ∑ = − ∑ = − = p i i n p i ii n r s s 1 )1( 1 2*)1( 2 1 )(* 1 2 2 − − = ∑= p yyn s p i ii d n ss s rd L 22 2 − = 222 rLR sss += 222 réf ussu rLc ++= cukU *= UyY ±= valeur acceptée valeur isolée (*) oui oui non non Gp ≤ à G de 5% Gp ≤ à G de 1% valeur aberrante (**)
  • 3. International Metrology Conference CAFMET 2008 April 2008 Comité Africain de Métrologie 3/4 s’obtient, en utilisant la méthode de la corde, sous la forme : U = ±( U0 Pa + α P). Où : ∑= 2 0 *2 ibU = 2262 Pa et : ( ) P bPapbab iiiii      −++ = ∑∑ ∑∑ 222 ****2 *2α (15) α=13,5 10-4 U = ±(2262 Pa + 13,5 10-4 P ) (16) Pour une pression de 70 bar on aura U=±0,118 bar. Selon l’approche R&R les résultats obtenus par les trois laboratoires sont définis dans le tab.2 de l’annexe. Cette étude a été menée par le laboratoire pilote en se basant sur les normes ISO 5725. a. Validation des mesures et des laboratoires ; Les tests de Grubbs et de Cochran permettent de déduire que les mesures et les laboratoires sont acceptés. b. Répétabilité et Reproductibilité ; - l’écart type de répétabilité sr=0,023 bar - l’écart type de réproductibilité sR=0,024 bar c. Incertitude de la référence ; L’incertitude de la référence est prise égale à celle de la pression générée par la balance manométrique et sa dérive dans le temps ; Uréf=18*10-4 +8*10-4 *P, pour P=70 bar Uréf=0,058 bar. d. Incertitude élargie ; (17) U=0,125 bar 5. Conclusion Cette étude nous a permit de déduire que la méthode R&R inter-laboratoires est légèrement supérieure à celle de GUM à 6% près. Cette variation est principalement due à ce que la méthode R&R tient compte de tous les facteurs d’influence que l’approche GUM néglige accidentellement. Par ailleurs, au sein du même laboratoire, des mesures de répétabilité et de reproductibilité entre opérateurs ont été effectuées. Les résultats montrent que la méthode R&R intra-laboratoire s’approche à celle de R&R intre-laboratoires à 3% près. Ce résultat montre le bon accord entre les différentes méthodes. Dans d’autres applications d’essais chimiques, les deux méthodes GUM et R&R peuvent se compléter et donner des résultats pragmatiques à l’estimation des incertitudes de mesure. Références [1] NF ENV 13005, Guide pour l'expression de l'incertitude de mesure, Afnor, 1999. [2] ISO 5725, Application de la statistique- Exactitude des résultats et méthode de mesure, Afnor, 1994. [3] EN ISO/IEC 17025, Prescriptions générales concernant la compétence des laboratoires d’étalonnage et d’essais, Afnor, 2005. [4] Cristophe Perruchet et Marc Priel, Estimer l’incertitude, Afnor, 2000. 22 *2 réf usU R += ANNEXE : Composante 1/2 Etendue Loi Coef. bi ai Répétabilité de l'étalon écart type 30 E-05 Etalon 10*10-4 + 4*10-4 normale 0,5 0,0005 7,5E-05 Dérive de l’étalon 10*10-4 + 4*10-4 normale 0,5 0,0005 7,5E-05 colonne fluide (hauteur) 8,47E-05 normale 0,5 4,23E-05 Température 3,3E-05 uniforme 0,577 1,90E-05 Stabilité de la pression (fuite) négligeable uniforme 0,577 Interpolation des corrections Répétabilité * racine(2) 28,28E-05 g-locale 4,91E-04 uniforme 0,577 28,30E-05 Poussée d'air 1,62E-05 uniforme 0,577 93,23E-07 Position de l'EPC (ensemble piston cylindre) 1E-04 normale 0,5 5E-05 Répétabilité du manomètre écart type 86,61E-04 Résolution du manomètre 0,0125 uniforme 0,577 72,17E-04 Tab. 1 : Résultats de l’approche GUM labo/mesure Labo. 1 Labo. 2 Labo. 3 mesure 1 70,0250 70,0000 70,0250 mesure 2 70,0250 70,0000 70,0000 mesure 3 70,0250 70,0500 70,0000 mesure 4 70,0250 70,0000 70,0000 mesure 5 69,9750 70,0000 69,9750 Tab. 2 : Résultats de l’approche R&R inter-entreprises
  • 4. International Metrology Conference CAFMET 2008 April 2008 Comité Africain de Métrologie 4/4