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AMOUSSOUGA B. Ella S. Page 1
THEME : Calculs des incertitudes relatives aux mesures des grandeurs
électriques
OBJECTIF : Calculer les incertitudes expérimentales afin d’évaluer les mesures
effectuées au laboratoire.
Toute mesure expérimentale, qu’elle soit électrique, mécanique, chimique, ne
correspond jamais à une valeur exacte, mais à une valeur qui s’en approche. On dit alors
que la mesure est entachée d’erreur.
La différence entre la valeur mesurée et la valeur exacte correspond à l’erreur
expérimentale. Cependant la valeur exacte n’étant pas connue, l’erreur « commise » est
difficilement quantifiable. Cette erreur provient principalement des incertitudes de
mesure.
Les trois causes d’incertitudes sont :
 L’imperfection de l’appareil de mesure
 Le défaut de la méthode de mesure
 0Les limites de l’homme (lecture des appareils analogiques)
I-Erreur et incertitude
Une erreur est toujours en relation avec quelque chose de juste ou de vrai, ou qui est
considéré comme tel. Il en est de même en physique. Dans le cas de l’incertitude on ne
possède pas de valeur de référence, comme celle dont nous venons de parler. Lorsqu’on
mesure la distance de deux points, ou l’intervalle de temps qui sépare deux événements,
ou la masse d’un objet, on ne sait pas quelle est la valeur exacte de la grandeur mesurée.
On ne dispose que de la valeur expérimentale. Néanmoins, par une critique objective des
moyens utilisés pour faire la mesure, on peut se faire une idée de l’≪ erreur ≫ maximale
qu’on peut avoir commise, ≪ erreur ≫ que l’on appelle de façon plus appropriée
incertitude.
Quand nous effectuons une mesure, deux types d'erreurs entrent en jeu :
--‐Les erreurs systématiques :
Elles sont dues le plus souvent à une imperfection de l'appareillage ou de la technique de
mesure. Elles agissent toujours dans le même sens et leur amplitude est constante.
--‐ Les erreurs aléatoires :
Généralement, elles proviennent des caractéristiques de l'appareillage, de la technique
utilisée, et de l'intervention du manipulateur. Elles sont estimées soit en comparant
statistiquement les résultats d'expériences soigneusement répétées, soit en effectuant
un calcul d'incertitude. Deux méthodes sont donc utilisées pour évaluer les erreurs
aléatoires :
--‐ Méthode par calcul d’incertitude :
Une manière simple d'estimer l'incertitude sur la valeur d'une grandeur physique est
d'utiliser ce qu'on appelle un calcul d'incertitude. Ce calcul n'est possible que si cette
grandeur est liée par une loi connue à d'autres grandeurs dont nous avons déjà une
estimation sur leurs incertitudes.
--‐ Méthode statistique :
Elle est la méthode la plus rigoureuse d'évaluation des erreurs aléatoires, mais elle exige
de répéter un grand nombre de fois la manipulation.
Document élève
AMOUSSOUGA B. Ella S. Page 2
I-1 Incertitude absolue
L’incertitude absolue correspond à l’estimation de l’erreur que fait l’expérimentateur
lorsqu’il effectue une mesure. Cela signifie que le résultat expérimental de la mesure est
Xexp mais que l’étude des causes d’incertitudes (appareils, méthode, lecture…) nous
conduit à penser que la valeur exacte (X) ne peut pas s’écarter de plus de ∆x. ∆x
représente l’incertitude absolue de la mesure.
La valeur exacte est comprise entre Xexp-∆x et Xexp+∆x On peut écrire :
Xexp-∆x ‹ X ‹ Xexp+∆x ou X=Xexp±∆x Ce qui peut se traduire
schématiquement par :
Xexp-∆x Xexp X Xexp+∆x
I-2 Incertitude relative
L’incertitude relative (IR) est le rapport entre l’incertitude absolue (∆x) et la valeur
exacte X. or, cette valeur(X) n’étant pas connue, elle est approchée par la valeur
expérimental (Xexp). L’incertitude relative nous donne une idée de la précision de la
mesure et peut être exprimée en pourcent
Ir =
∆x
X
×100≈
∆x
Xexp
× 100
Présentation simple d'un résultat Xm entaché d'incertitude ∆Xm.
Si après une mesure d'une grandeur X à mesurer on a trouvé le résultat Xm avec une
incertitude ∆Xm, on présentera le résultat de façon simplifiée sous la forme:
X = Xm ∆Xm
I-3 Erreur absolue
L’erreur absolue d’une grandeur mesurée est l’écart qui sépare la valeur
expérimentale de la valeur que l’on considère comme vraie. Soit Xe la valeur exacte (en
supposant qu’elle existe!!!) d’une grandeur physique X quelconque à mesurer. Soit Xm la
valeur mesurée avec l'appareillage dont on dispose.
On appelle erreur absolue de la mesure la différence entre la valeur mesurée et la
valeur exacte de la grandeur mesurée soit:
εa = Xm - Xe
Si a est positive, on commet une erreur par excès, si a est négative, on commet une erreur par défaut
I-4 Erreur relative
L’erreur relative est le quotient de l’erreur absolue à la valeur vraie.
Document élève
AMOUSSOUGA B. Ella S. Page 3
On appelle erreur relative la grandeur : 𝜺𝒓 =
𝐗𝐦 − 𝐗𝐞
𝐗𝐞
On exprime souvent cette grandeur en % : 𝜺𝒓( 𝐞𝐧 %) =
𝐗𝐦 − 𝐗𝐞
𝐗𝐞
∗ 𝟏𝟎𝟎
L’erreur relative n’a pas d’unité ; elle nous indique la qualité (l’exactitude) du résultat obtenu. On
voit clairement qu’il n’est possible de parler d’erreur que si l’on a disposition une valeur de
référence que l’on peut considérer comme vraie.
II- Calculs d’incertitudes ou d’erreurs
En physique expérimentale, les grandeurs que l’on mesure sont généralement
utilisées
Pour déduire des résultats par des calculs.
II-1 Addition et soustraction
Supposons que la grandeur cherchée R soit la somme de 2 mesures A et B : R = A+B
Dans ce cas l’incertitude absolue est :
Il en est de même pour : R = A – B
L’incertitude absolue sur une somme ou une différence est la somme des
incertitudes absolues de chaque terme.
L’incertitude relative est :
II-2 Produit et quotient
La grandeur cherchée est W= U.I.t et R =
𝐔
𝐈
L’incertitude relative est : et
L’incertitude relative sur un produit ou un quotient est la somme des incertitudes relatives
de chaque terme
ΔR = ΔA + ΔB
𝑰𝒓 =
∆R
R
=
ΔA + ΔB
A + B
𝑰𝒓 =
∆𝑾
𝑾
=
∆𝑼
𝑼
+
∆𝑰
𝑰
+
∆𝒕
𝒕
𝑰𝒓 =
∆𝑹
𝑹
=
∆𝑼
𝑼
+
∆𝑰
𝑰
Document élève
AMOUSSOUGA B. Ella S. Page 4
II-3 Comment arrondir le résultat d'un calcul
L'incertitude absolue d'un résultat doit être arrondie à un seul chiffre
significatif. Après quoi la mesure elle-même doit être arrondie en fonction de la
position décimale de l'incertitude.
Exemples : 125,66 ± 0,878 deviendra 125,7 ± 0,9
Tandis que 0,05295 ± 0,002369 deviendra 0,053 ± 0,002
III-Qualités des appareils de mesure
 Fidélité :
Un appareil est fidele lorsqu’il donne toujours le même résultat pour
une même mesure. C’est une qualité primordiale. Un appareil qui
n’est pas fidele n’a aucun intérêt
 Sensibilité- résolution
La sensibilité d’un appareil est la plus petite variation de mesure qu’il
peut déceler.
 Justesse
Un appareil est juste si la différence entre la mesure qu’il indique et la
valeur exacte (inconnue) ne dépasse pas l’incertitude prévue
 Précision
Une mesure est précise lorsque la dispersion des mesures
expérimentales successives est faible
Document élève
AMOUSSOUGA B. Ella S. Page 5
Activité1 : Définitions : incertitude et erreur
Les mesures effectuées au laboratoire ne correspondent jamais à une valeur
exacte, mais à une valeur qui s’en approche. On dit alors que la mesure est
entachée d’erreur.
Consigne : lisez attentivement le texte et répondez aux tâches qui suivent.
Tâches :
1. Expliquez en quelques mots quel est le but du calcul d’erreur.
2. Dites dans quels cas parle--‐t--‐on d’erreur ? d’incertitude ?
3. Citez les différents types d’erreurs et d’incertitudes
4. Définissez l’incertitude absolue et l’incertitude relative.
Activité 2 : Calculs d’incertitudes.
Application 1 :
On effectue la mesure d’une tension U à l’aide d’un voltmètre analogique de
classe 0.4 sur le calibre 2.5 L’échelle comporte 100 divisions et la lecture est sur
80
Tâches :
1. Déterminez le coefficient de lecture K et en déduire la valeur mesurée
2. Déterminez l’incertitude absolue
3. Déterminez l’incertitude relative
Application 2 :
Les mesures effectuées l’hors d’un essais au laboratoire sur trois résistances
montées en série (R1, R2 et R3 ) et traversées par l’intensité du courant I ont
donné les résultats suivants :
R1= 5.2Ω ± 0,5; R2= 99Ω ± 0,01 ; R3= 48Ω ± 1,5; I=0.6A ± 0,02
Tâches :
1. Déterminez le résultat de la mesure de la résistance équivalente Req avec
son incertitude absolue puis sa précision (incertitude relative)
2. Calculez la tension aux bonnes de la résistance équivalente
3. Donnez le résultat de la tension avec son incertitude relative

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  • 1. Document élève AMOUSSOUGA B. Ella S. Page 1 THEME : Calculs des incertitudes relatives aux mesures des grandeurs électriques OBJECTIF : Calculer les incertitudes expérimentales afin d’évaluer les mesures effectuées au laboratoire. Toute mesure expérimentale, qu’elle soit électrique, mécanique, chimique, ne correspond jamais à une valeur exacte, mais à une valeur qui s’en approche. On dit alors que la mesure est entachée d’erreur. La différence entre la valeur mesurée et la valeur exacte correspond à l’erreur expérimentale. Cependant la valeur exacte n’étant pas connue, l’erreur « commise » est difficilement quantifiable. Cette erreur provient principalement des incertitudes de mesure. Les trois causes d’incertitudes sont :  L’imperfection de l’appareil de mesure  Le défaut de la méthode de mesure  0Les limites de l’homme (lecture des appareils analogiques) I-Erreur et incertitude Une erreur est toujours en relation avec quelque chose de juste ou de vrai, ou qui est considéré comme tel. Il en est de même en physique. Dans le cas de l’incertitude on ne possède pas de valeur de référence, comme celle dont nous venons de parler. Lorsqu’on mesure la distance de deux points, ou l’intervalle de temps qui sépare deux événements, ou la masse d’un objet, on ne sait pas quelle est la valeur exacte de la grandeur mesurée. On ne dispose que de la valeur expérimentale. Néanmoins, par une critique objective des moyens utilisés pour faire la mesure, on peut se faire une idée de l’≪ erreur ≫ maximale qu’on peut avoir commise, ≪ erreur ≫ que l’on appelle de façon plus appropriée incertitude. Quand nous effectuons une mesure, deux types d'erreurs entrent en jeu : --‐Les erreurs systématiques : Elles sont dues le plus souvent à une imperfection de l'appareillage ou de la technique de mesure. Elles agissent toujours dans le même sens et leur amplitude est constante. --‐ Les erreurs aléatoires : Généralement, elles proviennent des caractéristiques de l'appareillage, de la technique utilisée, et de l'intervention du manipulateur. Elles sont estimées soit en comparant statistiquement les résultats d'expériences soigneusement répétées, soit en effectuant un calcul d'incertitude. Deux méthodes sont donc utilisées pour évaluer les erreurs aléatoires : --‐ Méthode par calcul d’incertitude : Une manière simple d'estimer l'incertitude sur la valeur d'une grandeur physique est d'utiliser ce qu'on appelle un calcul d'incertitude. Ce calcul n'est possible que si cette grandeur est liée par une loi connue à d'autres grandeurs dont nous avons déjà une estimation sur leurs incertitudes. --‐ Méthode statistique : Elle est la méthode la plus rigoureuse d'évaluation des erreurs aléatoires, mais elle exige de répéter un grand nombre de fois la manipulation.
  • 2. Document élève AMOUSSOUGA B. Ella S. Page 2 I-1 Incertitude absolue L’incertitude absolue correspond à l’estimation de l’erreur que fait l’expérimentateur lorsqu’il effectue une mesure. Cela signifie que le résultat expérimental de la mesure est Xexp mais que l’étude des causes d’incertitudes (appareils, méthode, lecture…) nous conduit à penser que la valeur exacte (X) ne peut pas s’écarter de plus de ∆x. ∆x représente l’incertitude absolue de la mesure. La valeur exacte est comprise entre Xexp-∆x et Xexp+∆x On peut écrire : Xexp-∆x ‹ X ‹ Xexp+∆x ou X=Xexp±∆x Ce qui peut se traduire schématiquement par : Xexp-∆x Xexp X Xexp+∆x I-2 Incertitude relative L’incertitude relative (IR) est le rapport entre l’incertitude absolue (∆x) et la valeur exacte X. or, cette valeur(X) n’étant pas connue, elle est approchée par la valeur expérimental (Xexp). L’incertitude relative nous donne une idée de la précision de la mesure et peut être exprimée en pourcent Ir = ∆x X ×100≈ ∆x Xexp × 100 Présentation simple d'un résultat Xm entaché d'incertitude ∆Xm. Si après une mesure d'une grandeur X à mesurer on a trouvé le résultat Xm avec une incertitude ∆Xm, on présentera le résultat de façon simplifiée sous la forme: X = Xm ∆Xm I-3 Erreur absolue L’erreur absolue d’une grandeur mesurée est l’écart qui sépare la valeur expérimentale de la valeur que l’on considère comme vraie. Soit Xe la valeur exacte (en supposant qu’elle existe!!!) d’une grandeur physique X quelconque à mesurer. Soit Xm la valeur mesurée avec l'appareillage dont on dispose. On appelle erreur absolue de la mesure la différence entre la valeur mesurée et la valeur exacte de la grandeur mesurée soit: εa = Xm - Xe Si a est positive, on commet une erreur par excès, si a est négative, on commet une erreur par défaut I-4 Erreur relative L’erreur relative est le quotient de l’erreur absolue à la valeur vraie.
  • 3. Document élève AMOUSSOUGA B. Ella S. Page 3 On appelle erreur relative la grandeur : 𝜺𝒓 = 𝐗𝐦 − 𝐗𝐞 𝐗𝐞 On exprime souvent cette grandeur en % : 𝜺𝒓( 𝐞𝐧 %) = 𝐗𝐦 − 𝐗𝐞 𝐗𝐞 ∗ 𝟏𝟎𝟎 L’erreur relative n’a pas d’unité ; elle nous indique la qualité (l’exactitude) du résultat obtenu. On voit clairement qu’il n’est possible de parler d’erreur que si l’on a disposition une valeur de référence que l’on peut considérer comme vraie. II- Calculs d’incertitudes ou d’erreurs En physique expérimentale, les grandeurs que l’on mesure sont généralement utilisées Pour déduire des résultats par des calculs. II-1 Addition et soustraction Supposons que la grandeur cherchée R soit la somme de 2 mesures A et B : R = A+B Dans ce cas l’incertitude absolue est : Il en est de même pour : R = A – B L’incertitude absolue sur une somme ou une différence est la somme des incertitudes absolues de chaque terme. L’incertitude relative est : II-2 Produit et quotient La grandeur cherchée est W= U.I.t et R = 𝐔 𝐈 L’incertitude relative est : et L’incertitude relative sur un produit ou un quotient est la somme des incertitudes relatives de chaque terme ΔR = ΔA + ΔB 𝑰𝒓 = ∆R R = ΔA + ΔB A + B 𝑰𝒓 = ∆𝑾 𝑾 = ∆𝑼 𝑼 + ∆𝑰 𝑰 + ∆𝒕 𝒕 𝑰𝒓 = ∆𝑹 𝑹 = ∆𝑼 𝑼 + ∆𝑰 𝑰
  • 4. Document élève AMOUSSOUGA B. Ella S. Page 4 II-3 Comment arrondir le résultat d'un calcul L'incertitude absolue d'un résultat doit être arrondie à un seul chiffre significatif. Après quoi la mesure elle-même doit être arrondie en fonction de la position décimale de l'incertitude. Exemples : 125,66 ± 0,878 deviendra 125,7 ± 0,9 Tandis que 0,05295 ± 0,002369 deviendra 0,053 ± 0,002 III-Qualités des appareils de mesure  Fidélité : Un appareil est fidele lorsqu’il donne toujours le même résultat pour une même mesure. C’est une qualité primordiale. Un appareil qui n’est pas fidele n’a aucun intérêt  Sensibilité- résolution La sensibilité d’un appareil est la plus petite variation de mesure qu’il peut déceler.  Justesse Un appareil est juste si la différence entre la mesure qu’il indique et la valeur exacte (inconnue) ne dépasse pas l’incertitude prévue  Précision Une mesure est précise lorsque la dispersion des mesures expérimentales successives est faible
  • 5. Document élève AMOUSSOUGA B. Ella S. Page 5 Activité1 : Définitions : incertitude et erreur Les mesures effectuées au laboratoire ne correspondent jamais à une valeur exacte, mais à une valeur qui s’en approche. On dit alors que la mesure est entachée d’erreur. Consigne : lisez attentivement le texte et répondez aux tâches qui suivent. Tâches : 1. Expliquez en quelques mots quel est le but du calcul d’erreur. 2. Dites dans quels cas parle--‐t--‐on d’erreur ? d’incertitude ? 3. Citez les différents types d’erreurs et d’incertitudes 4. Définissez l’incertitude absolue et l’incertitude relative. Activité 2 : Calculs d’incertitudes. Application 1 : On effectue la mesure d’une tension U à l’aide d’un voltmètre analogique de classe 0.4 sur le calibre 2.5 L’échelle comporte 100 divisions et la lecture est sur 80 Tâches : 1. Déterminez le coefficient de lecture K et en déduire la valeur mesurée 2. Déterminez l’incertitude absolue 3. Déterminez l’incertitude relative Application 2 : Les mesures effectuées l’hors d’un essais au laboratoire sur trois résistances montées en série (R1, R2 et R3 ) et traversées par l’intensité du courant I ont donné les résultats suivants : R1= 5.2Ω ± 0,5; R2= 99Ω ± 0,01 ; R3= 48Ω ± 1,5; I=0.6A ± 0,02 Tâches : 1. Déterminez le résultat de la mesure de la résistance équivalente Req avec son incertitude absolue puis sa précision (incertitude relative) 2. Calculez la tension aux bonnes de la résistance équivalente 3. Donnez le résultat de la tension avec son incertitude relative