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BACcAIAURÉAT cÉruÉnnr
SESSION 2OT4
MArHÉuerteuES
Série S
Candidats n-'ayant pas suivi I'enseignement de
spécialité
Durée de lépreuve :4 heures
Coefficieil: 7
Ce sujet comporte 5 pages numérotées de I / 5 à 5 / 5.
Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la réglementation
en vigueur.
Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices.
Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte
pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie.
Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète
ou non fructueuse, qu'il aura développée.
Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront
prises en compte dans l'appréciation de la copie.
14 MASCOPOI Pagel/5
ExERcrcE I (5 points)
Dans un repère orthonormé de I'espace, on considère les points A(5;-5;2), B(-I;1;0)'
C(0 ; r ;D et D(6;6; -l).
l. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire'
-(
-2
2. a) Montrerquelevecteur n I S lestunvecteurnormalauplan (BCD).,----'-----
 r )
b) Déterminer une équation cafiésienne du plan (BCD).
3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite I orthogonale au plan (BCD)
et passant par le point A.
4. Déterminer les coordonnées du point .F/, intersection de la droite I etdu plan (BCD).
5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD.
Onrappellequeleuolumed'untétraèdreestdonnépartaformuleT =)*xh,où9â est
"3
I'aire d'une base du tétraèdre et h ln hauteur correspondante.
6. On admet que,4B = 1/-zo et AC = /6I.
Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de I'angle F7ô.
14 MASCOPOI Page2 I 5
ExERcrcE 2 (5 points)
Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité
Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et
numéro du mois de naissance, le rang du mois dans I'année.
Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et Ie
numéro du mois de naissance est 5.
Partie A
Lors d'une représentation, un magicien demande aux spectateurs d'effectuer le programme
de calcul (A) suivant:
< Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de
votre mois de naissance et multipliez-lepar 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai
alors vous donner la date de votre anniversaire >.
Un spectateur annonce 308 et en quelques secondes, le magicien déclare : < Votre anniver-
saire tombe le ler août ! >
1. Vérifier que pour une personne née Ie ler août, le programme de calcul (A) donne ef-
fectivement le nombre 308.
2. a) Pour un spectateur donné, on note j le numéro de son jour de naissance, m celui
de son mois de naissance et zle résultat obtenu en appliquant le programme de
calcul (ô.
Exprimer z en fonction de j etde m et démontrer que z et m sont congrus modulo
12.
b) Retrouver alors la date de I'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre
474 en appliquant le programme de calcul (A).
Partie B
Lors d'une autre représentation, Ie magicien décide de changer son programme cie calcul.
Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est j et le numéro du mois de nais-
sance est m,le magicien demande de calculer le nombre z défini pàr z = 12 j + 3lm.
Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date
d'anniversaire du spectateur.
l. Première méthode :
On considère l'algorithme suivant :
Variables : j et ru sont des entiers naturels
Traitement : Pour m allant de I à 12 faire :
Pour j allant de I à 3l faire :
a prend lavaleur 12 j +3Im
Afficher z
Fin Pour
Fin Pour
Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de j et de m telles que
I2j+3Im = 503.
14 MASCSPOT Page3/6
-
Deuxième méthode:
a) Démontrer que 7m et z onLle même reste dans la division euclidienne par 12.
b) Pour m variant de I à 12, donner le reste de la division euclidien ne de T m par 12.
c) En déduire la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 503
avec Ie programme de calcul (B).
Troisième méthode:
a) Démontrer que le couple (-2 ; 17) est solution de l'équatio n rzx +31y = 5g3.
b) En déduire que si un couple d'entiers relatifs (x;y) est solution de l'équation
L2x+3Ly = 503, alors 12(x+ 2) =3I(L7 - y).
c) Déterminer I'ensemble de tous les couples d'entiers relatifs (x;y), solutions de
l'équation l2x+3Iy = 503.
d) Démontrer qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs (x; y) tel que I < y < rz.
En déduire la date d'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 503
avec le programme de calcul (B).
14 MASCSPOT Page4l6
7
Exrncrcr 2 (5 points)
Candidats u-ayant pas suivi I'enseignement de spécialité
On considère la suite (zn) définie par uo = 0 et, pour tout entier naturel rt, ttn+t = un+2n+2.
Calculer u1 Et u2.
On considère les detx algorithmes suivants :
De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie lavaleur de un,lavaleur de
I'entier naturel n étant entrée par I'utilisateur?
B. À I'aide de I'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n
figure en abscisse et un eî ordonnée.
t.
t
160
14s
120
100
80
60
40
20
a)
b)
Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (zn) ?
Démontrer cette conjecture.
La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer I'existence de trois
réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel /x, un = anz + bn + c.
Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à I'aide des in-
formations fournies.
Algôrithme I i Algorithme2
Variables : n est un entier naturel I Variabtes : n est un entier naturel
u est un réel I u est un réel
Entrée : Saisir la valeur de n I Entrée : Saisir la valeur de n
Traitement : u prend la valeur 0 I Traitement : u prend la valeur 0
Pouriallantdelàn: I Pouriallantde0àn-I:ruLll ,dorrfuçror&. I
I aprendlavaleur u+zi+2 | | uprendlavaleur u+zi+2
Fin Pour I Fin Pour
Sortie: Afficher u I Sortie: Afficher u
n un
0 0
I 2
2 6
3 l2
4 20
5 30
6 42
7 56
B 72
9 90
t0 ll0
11 t32
L2 156
T4MASCOPOT Page3i5
7
4. On déflnit, pour tout entier naturel n, la suite (u") par 1 un = unql - un.
a) Exprime r u n en fonction de I'entier naturel n. Quelle est la nature de la suite ( r.,n) ?
b) On définit, pour tout entier naturel tt, Sn = f, ,o = us * u1+ ... + un.
k=0
Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn= @+I)(n+2).
c) Démontrer que, pour tout entier naturel tt, Sn = ttn+t - u6, puis exprimer un er:,
fonction de n.
Exrncrcn 3 (5 points)
Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est waie ou fausse et justifier
la réponse.
Une réponse non justifiée n est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pé-
nalisée.
l. Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur
quatre.
Lorsqu'il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans B0 7o des cas.
Lorsqu'il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6.
Affrmationn" l:
< Zoé utilise la voiture un jour sur deux. o
2. Dans I'ensemble E des issues d'une expérience aléatoire, on considère detx événe-
ments Aet B.
Affirmation no 2 :
< Si A et B sont indépendants, alors A etE sont aussi indépendants. >
3. On modélise le temps d'attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable
aléatoire I qui suit Ia loi exponentielle de paramètre 0,7.
Affirmation no3:
< La probabilité qu'un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est 0,7 envi-
ron. >
Affirmation no4:
< Le temps d'attente moyen à ce guichet est de sept minutes. >
4. On sait que 39 Vo de la population française est du groupe sanguin A+.
On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang.
On interroge IB3 donneurs de sang et parmi eux, 34 % sont du groupe sanguinA+.
Affirmation no 5 :
n On ne peut pas rejeteS au seuil de 5 To,l'hypothèse selon laquelle la proportion de
personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39 % comme dans
I'ensemble de la population. >
14 MASCOPOT Page4 I 5
Exrnctcn 4 (5 points)
Soient T et gles fonctions défrnies sur R par f (x) = er et g(r) =2ett2 -l'
On note €y et€gles courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal.
l. Démontrer que les courbes 6y et€g ont un point commun d'abscisse 0 et qu'en ce
point, elles ont la même tangente A dont on déterminera une équation'
Z. Étude de la position relative de la courbe€, etde la droite A
Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 2e'tz - x - 2.
a) Déterminer la limite de la fonction h en -oo.
| .xtz 2
b) Justifier que, pour tout réel x, h(x) = xl
-
,= -l - :l'--
xlz x)
En déduire la limite de Ia fonction h en +oo-
c) On note htla fonction dérivée de la fonction h sur R.
pourtout réelx,calculer ht(x)etétudierlesigne deh'(x) suivantlesvaleursdex.
d) Dresser le tableau de variations de la fonction h sur R'
e) En déduire que, pour tout réel x,2e't2 -I> x+I.
O Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courb e6r et de la droite
^?
3. Étude de la position relative des courbes€7 et€s
a) Pour tout réel x, développer I'express ion(ettz - t)2 '
b) Déterminer la position relative des courbes€7 et€g-
4. Calculer, en unité d'aire, I'aire du domaine compris entre les courbes €7 et€t etles
droites d'équations respectives x = 0 et x = 1.
T4MASCOPOI Page5/5

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  • 1. 7 BACcAIAURÉAT cÉruÉnnr SESSION 2OT4 MArHÉuerteuES Série S Candidats n-'ayant pas suivi I'enseignement de spécialité Durée de lépreuve :4 heures Coefficieil: 7 Ce sujet comporte 5 pages numérotées de I / 5 à 5 / 5. Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la réglementation en vigueur. Le sujet est composé de 4 exercices indépendants. Le candidat doit traiter tous les exercices. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l'indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu'il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. 14 MASCOPOI Pagel/5
  • 2. ExERcrcE I (5 points) Dans un repère orthonormé de I'espace, on considère les points A(5;-5;2), B(-I;1;0)' C(0 ; r ;D et D(6;6; -l). l. Déterminer la nature du triangle BCD et calculer son aire' -( -2 2. a) Montrerquelevecteur n I S lestunvecteurnormalauplan (BCD).,----'----- r ) b) Déterminer une équation cafiésienne du plan (BCD). 3. Déterminer une représentation paramétrique de la droite I orthogonale au plan (BCD) et passant par le point A. 4. Déterminer les coordonnées du point .F/, intersection de la droite I etdu plan (BCD). 5. Déterminer le volume du tétraèdre ABCD. Onrappellequeleuolumed'untétraèdreestdonnépartaformuleT =)*xh,où9â est "3 I'aire d'une base du tétraèdre et h ln hauteur correspondante. 6. On admet que,4B = 1/-zo et AC = /6I. Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de I'angle F7ô. 14 MASCOPOI Page2 I 5
  • 3. ExERcrcE 2 (5 points) Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité Dans cet exercice, on appelle numéro du jour de naissance le rang de ce jour dans le mois et numéro du mois de naissance, le rang du mois dans I'année. Par exemple, pour une personne née le 14 mai, le numéro du jour de naissance est 14 et Ie numéro du mois de naissance est 5. Partie A Lors d'une représentation, un magicien demande aux spectateurs d'effectuer le programme de calcul (A) suivant: < Prenez le numéro de votre jour de naissance et multipliez-le par 12. Prenez le numéro de votre mois de naissance et multipliez-lepar 37. Ajoutez les deux nombres obtenus. Je pourrai alors vous donner la date de votre anniversaire >. Un spectateur annonce 308 et en quelques secondes, le magicien déclare : < Votre anniver- saire tombe le ler août ! > 1. Vérifier que pour une personne née Ie ler août, le programme de calcul (A) donne ef- fectivement le nombre 308. 2. a) Pour un spectateur donné, on note j le numéro de son jour de naissance, m celui de son mois de naissance et zle résultat obtenu en appliquant le programme de calcul (ô. Exprimer z en fonction de j etde m et démontrer que z et m sont congrus modulo 12. b) Retrouver alors la date de I'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 474 en appliquant le programme de calcul (A). Partie B Lors d'une autre représentation, Ie magicien décide de changer son programme cie calcul. Pour un spectateur dont le numéro du jour de naissance est j et le numéro du mois de nais- sance est m,le magicien demande de calculer le nombre z défini pàr z = 12 j + 3lm. Dans les questions suivantes, on étudie différentes méthodes permettant de retrouver la date d'anniversaire du spectateur. l. Première méthode : On considère l'algorithme suivant : Variables : j et ru sont des entiers naturels Traitement : Pour m allant de I à 12 faire : Pour j allant de I à 3l faire : a prend lavaleur 12 j +3Im Afficher z Fin Pour Fin Pour Modifier cet algorithme afin qu'il affiche toutes les valeurs de j et de m telles que I2j+3Im = 503. 14 MASCSPOT Page3/6
  • 4. - Deuxième méthode: a) Démontrer que 7m et z onLle même reste dans la division euclidienne par 12. b) Pour m variant de I à 12, donner le reste de la division euclidien ne de T m par 12. c) En déduire la date de l'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec Ie programme de calcul (B). Troisième méthode: a) Démontrer que le couple (-2 ; 17) est solution de l'équatio n rzx +31y = 5g3. b) En déduire que si un couple d'entiers relatifs (x;y) est solution de l'équation L2x+3Ly = 503, alors 12(x+ 2) =3I(L7 - y). c) Déterminer I'ensemble de tous les couples d'entiers relatifs (x;y), solutions de l'équation l2x+3Iy = 503. d) Démontrer qu'il existe un unique couple d'entiers relatifs (x; y) tel que I < y < rz. En déduire la date d'anniversaire d'un spectateur ayant obtenu le nombre 503 avec le programme de calcul (B). 14 MASCSPOT Page4l6
  • 5. 7 Exrncrcr 2 (5 points) Candidats u-ayant pas suivi I'enseignement de spécialité On considère la suite (zn) définie par uo = 0 et, pour tout entier naturel rt, ttn+t = un+2n+2. Calculer u1 Et u2. On considère les detx algorithmes suivants : De ces deux algorithmes, lequel permet d'afficher en sortie lavaleur de un,lavaleur de I'entier naturel n étant entrée par I'utilisateur? B. À I'aide de I'algorithme, on a obtenu le tableau et le nuage de points ci-dessous où n figure en abscisse et un eî ordonnée. t. t 160 14s 120 100 80 60 40 20 a) b) Quelle conjecture peut-on faire quant au sens de variation de la suite (zn) ? Démontrer cette conjecture. La forme parabolique du nuage de points amène à conjecturer I'existence de trois réels a, b et c tels que, pour tout entier naturel /x, un = anz + bn + c. Dans le cadre de cette conjecture, trouver les valeurs de a, b et c à I'aide des in- formations fournies. Algôrithme I i Algorithme2 Variables : n est un entier naturel I Variabtes : n est un entier naturel u est un réel I u est un réel Entrée : Saisir la valeur de n I Entrée : Saisir la valeur de n Traitement : u prend la valeur 0 I Traitement : u prend la valeur 0 Pouriallantdelàn: I Pouriallantde0àn-I:ruLll ,dorrfuçror&. I I aprendlavaleur u+zi+2 | | uprendlavaleur u+zi+2 Fin Pour I Fin Pour Sortie: Afficher u I Sortie: Afficher u n un 0 0 I 2 2 6 3 l2 4 20 5 30 6 42 7 56 B 72 9 90 t0 ll0 11 t32 L2 156 T4MASCOPOT Page3i5
  • 6. 7 4. On déflnit, pour tout entier naturel n, la suite (u") par 1 un = unql - un. a) Exprime r u n en fonction de I'entier naturel n. Quelle est la nature de la suite ( r.,n) ? b) On définit, pour tout entier naturel tt, Sn = f, ,o = us * u1+ ... + un. k=0 Démontrer que, pour tout entier naturel n, Sn= @+I)(n+2). c) Démontrer que, pour tout entier naturel tt, Sn = ttn+t - u6, puis exprimer un er:, fonction de n. Exrncrcn 3 (5 points) Pour chacune des cinq affirmations suivantes, indiquer si elle est waie ou fausse et justifier la réponse. Une réponse non justifiée n est pas prise en compte. Une absence de réponse n'est pas pé- nalisée. l. Zoé se rend à son travail à pied ou en voiture. Là où elle habite, il pleut un jour sur quatre. Lorsqu'il pleut, Zoé se rend en voiture à son travail dans B0 7o des cas. Lorsqu'il ne pleut pas, elle se rend à pied à son travail avec une probabilité égale à 0,6. Affrmationn" l: < Zoé utilise la voiture un jour sur deux. o 2. Dans I'ensemble E des issues d'une expérience aléatoire, on considère detx événe- ments Aet B. Affirmation no 2 : < Si A et B sont indépendants, alors A etE sont aussi indépendants. > 3. On modélise le temps d'attente, exprimé en minutes, à un guichet, par une variable aléatoire I qui suit Ia loi exponentielle de paramètre 0,7. Affirmation no3: < La probabilité qu'un client attende au moins cinq minutes à ce guichet est 0,7 envi- ron. > Affirmation no4: < Le temps d'attente moyen à ce guichet est de sept minutes. > 4. On sait que 39 Vo de la population française est du groupe sanguin A+. On cherche à savoir si cette proportion est la même parmi les donneurs de sang. On interroge IB3 donneurs de sang et parmi eux, 34 % sont du groupe sanguinA+. Affirmation no 5 : n On ne peut pas rejeteS au seuil de 5 To,l'hypothèse selon laquelle la proportion de personnes du groupe sanguin A+ parmi les donneurs de sang est de 39 % comme dans I'ensemble de la population. > 14 MASCOPOT Page4 I 5
  • 7. Exrnctcn 4 (5 points) Soient T et gles fonctions défrnies sur R par f (x) = er et g(r) =2ett2 -l' On note €y et€gles courbes représentatives des fonctions f et g dans un repère orthogonal. l. Démontrer que les courbes 6y et€g ont un point commun d'abscisse 0 et qu'en ce point, elles ont la même tangente A dont on déterminera une équation' Z. Étude de la position relative de la courbe€, etde la droite A Soit h la fonction définie sur R par h(x) = 2e'tz - x - 2. a) Déterminer la limite de la fonction h en -oo. | .xtz 2 b) Justifier que, pour tout réel x, h(x) = xl - ,= -l - :l'-- xlz x) En déduire la limite de Ia fonction h en +oo- c) On note htla fonction dérivée de la fonction h sur R. pourtout réelx,calculer ht(x)etétudierlesigne deh'(x) suivantlesvaleursdex. d) Dresser le tableau de variations de la fonction h sur R' e) En déduire que, pour tout réel x,2e't2 -I> x+I. O Que peut-on en déduire quant à la position relative de la courb e6r et de la droite ^? 3. Étude de la position relative des courbes€7 et€s a) Pour tout réel x, développer I'express ion(ettz - t)2 ' b) Déterminer la position relative des courbes€7 et€g- 4. Calculer, en unité d'aire, I'aire du domaine compris entre les courbes €7 et€t etles droites d'équations respectives x = 0 et x = 1. T4MASCOPOI Page5/5