04-STATISTIQUES-Theorie_des_probabilites.pptx

Chapitre 4
Théorie des probabilités
Éléments de statistiques
Certains exemples de ce syllabus sont réalisés avec Google Sheet et se
trouvent en http://bit.ly/EScorrigés, en particulier "chap 4 - complément".
Éléments de statistiques - chap 4
Théorie des Probablités - slide 1

Acquis d'apprentissage
•Expliciter, pour le problème posé, les concepts et les
techniques à appliquer en utilisant le vocabulaire d’une
manière adéquate
•Justifier l’apport du traitement statistique dans la prise de
décision pour une situation largement rencontrée

Introduction
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Introduction
• Soit deux sacs contenant chacun une boule rouge et une boule blanche.
• Le jeu consiste à tirer successivement une boule dans chacun des sacs.
• Chaque tirage sera noté R pour la boule rouge et B pour la blanche.
• Un gain est attribué suivant le combinaison de boules tirées.
• Ceci est la définition d’une application de l’ensemble des résultats
aléatoires d’une expérience vers un nombre.
(R,R) 100€
(R,B) -60€
(B,R) -60€
(B,B) 40€

Variable aléatoire
• On appelle variable aléatoire une application de l’ensemble
des événements élémentaires sur R (ensemble des réels).
On désigne les variables aléatoires par une majuscule,
souvent X, et les valeurs prises par ces variables par des
minuscules.
• Par exemple :
• Tirage d’un dé
• Nombre de « face » dans 5 lancers de pièce de monnaie
• Nombre de coups de téléphone reçus en une heure
• Nombre de pièces défectueuses dans un lot de 100

Loi de probabilité de la variable X
• Dans l’exemple, il y a 3 résultats
possibles :
• Gain de 100€
• Gain de 40€
• Perte de 60€
• On associe à chacun de ces gains,
une probabilité :
• 100€  (R,R)  ¼
• 40€  (B,B)  ¼
• -60€  (R,B) + (B,R)
 ¼ + ¼ = ½
Loi de probabilité
Xi pi = Pr(X=xi)
-60 ½
40 ¼
100 ¼

Diagramme en bâtons
100
40
-60
0,25
Pr
0,50
xi

Types de variable aléatoire

Types de variable aléatoire
•Différents types de variable aléatoire :
• variable aléatoire discrète finie
• variable aléatoire discrète infinie
• variable aléatoire continue

variable aléatoire discrète

Variable aléatoire discrète finie
•Nombre des valeurs fini
•Exemple précédent
• Valeurs variable aléatoire =
• -60
• 40
• 100
• Nombre = 3
•Loi de probabilité parfaitement définie par l’ensemble
des couples ( xi, pi ).

Variable aléatoire discrète infinie
•nombre de valeurs : dénombrable mais infini
•loi de probabilité : une relation mathématique entre les
deux éléments du couple ( xi, pi ).
•Exemple
• (loi binomiale) si nous jetons une pièce m fois, la probabilité
pour que « face » sorte j fois est égale à

variable aléatoire continue
variable aléatoire continue : Hors de la matière

Variable aléatoire continue
• Si les valeurs de la variable aléatoire sont indénombrables,
alors cette variable aléatoire est de type continu.
• Exemple
• Soit un segment de droite [m,n].
• Soit un autre segment [r,s] tel que [r,s] est compris dans [m,n].
• On choisit au hasard un point x de [m,n].
• La probabilité d’obtenir un point appartenant à [r,s] =
m n
r s
x

Variable aléatoire continue : exemple
• On choisit un point au hasard dans le segment [m,n] = [ 2,
5 ].
• On repère ce point par son abscisse (variable aléatoire).
• Probabilité d’obtenir une valeur X appartenant
à l’intervalle [ 3, 4 ] =
s
r
m n
5
4
3
2

Variable aléatoire continue :
exemple
• Probabilité d’obtenir une
valeur réelle précise, par
exemple 3
= probabilité d’obtenir
exactement le point
d’abscisse 3
= 0

Variable aléatoire continue
•Soit X pouvant prendre toutes les valeurs dans I = [u,v]
•La loi de probabilité est déterminée si on se donne
•Comment calculer ces probabilités ?

Variable aléatoire continue : densité de
probabilité
∫
𝑢
𝑣
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥=1
Pr (𝑘≤ 𝑋≤𝑙)=∫
𝑘
𝑙
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
• Considérons une fonction f(x), appelée "densité de
probabilité"
• continue sur l’intervalle [u,v]
• satisfaisant à
• f(x) ≥ 0 pour u ≤ x ≤ v
• f(x) = 0 pour x < u et x > v
• telle que l’aire limitée par la courbe d’équation y = f(x)
au dessus de l'axe horizontal égale 1
• telle que la probabilité d’obtenir, pour X, une valeur x
comprise entre k et l est égale à l’aire limitée par la courbe
d’équation y = f(x) et l'axe horizontal.

Variable aléatoire continue : exemple
• Calculons la densité de probabilité dans l’exemple précédent.
• Supposons que cette fonction soit du type ax (droite de pente a). Cette
fonction doit répondre à la condition suivante :
∫
2
5
𝑎𝑥𝑑𝑥=1
∫
2
5
𝑎𝑥𝑑𝑥=𝑎
𝑥2
2 |2
5
=𝑎
52
2
−𝑎
22
2
=𝑎
25
2
−𝑎
4
2
=𝑎
21
2
 
Avec cette fonction, quelle est
la probabilité suivante ?
=

Fonction de répartition
Fonction de répartition d'une variable continue : Hors de la matière

Fonction de répartition : variable continue
•Dans le cas d’une variable aléatoire continue, il est donc
impossible de définir la loi de probabilité pour
l’ensemble des couples (xi,pi), car les probabilités seraient
égales à 0.
•On introduit alors la notion de fonction de répartition de
la variable aléatoire X :
•Càd la probabilité pour que les valeurs prises par la
variable aléatoire soient inférieures à une valeur donnée.

Fonction de répartition : variable continue
•Supposons une variable aléatoire continue dont les
valeurs varient de -∞ à +∞. Alors, la fonction de
répartition est définie par
𝐹 (𝑥0)=∫
−∞
𝑥0
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥
∀ 𝑥 ∈ ¿ − ∞ ,𝑢 ¿ 𝐹 ( 𝑋 )= 0
∀ 𝑥 ∈ [ 𝑢 , 𝑣 ] 𝐹 ( 𝑋 )=Pr ( 𝑋 < 𝑥 )=∫
𝑢
𝑥
𝑓 ( 𝑧) 𝑑𝑧
∀ 𝑥 ∈ ¿ 𝑣 ,+ ∞ ¿ 𝐹 ( 𝑋 )= 1
Pr (𝑎< 𝑋 <𝑏)=∫
𝑎
𝑏
𝑓 (𝑥)𝑑𝑥=𝐹 (𝑏)− 𝐹 (𝑎)

Fonction de répartition : variable discrète
• Probabilité d’obtenir
• Gain ≤ -60 = 0,50
• Gain ≤ 40 = 0,50 + 0,25 = 0,75
• Gain ≤ 100 = 0,50 + 0,25 + 0,25 = 1
x (R,R) (R,B) (B,R) (B,B)
V(x) 100 -60 -60 40
100
40
-60
0,25
Pr
0,50
xi

Fonction de répartition :
variable discrète
•Quelle est la probabilité d’obtenir
un gain inférieur à x ?
∀ 𝑥∈¿−∞,−60¿Pr (𝑋 ≤ 𝑥)=0
∀ 𝑥 ∈ ¿Pr (𝑋 ≤ 𝑥)=Pr( 𝑋 ≤−60)=0,50
∀ 𝑥 ∈ ¿ Pr (𝑋 ≤ 𝑥)=Pr( 𝑋 ≤40)=0,75
∀ 𝑥 ∈ ¿Pr (𝑋 ≤ 𝑥)=Pr( 𝑋 ≤100)=1
100
40
-60
0,25
Pr ( X = x )
0,50
xi
100
40
-60
0,25
Pr
0,50
xi
0,75
1,00

Lois de probabilité
Calcul combinatoire
Loi binomiale
Épreuve de Bernouilli
Loi hypergéométrique
Loi de Poisson
( Loi normale )

Loi binomiale
• Considérons une urne contenant 2 boules bleues et 3 boules brunes.
• Envisageons l’épreuve consistant à extraire une boule de l’urne.
• Extraire une boule bleue = cas favorable
• Extraire une boule brune = cas non favorable
• Si l'épreuve est réitérée, alors la boule tirée est d'abord remise dans le sac.
• Cette expérience aléatoire ne comprend que 2 éventualités :
• événement favorable de probabilité p = 2/5
• événement contraire de probabilité q = 1-p = 3/5
• Soit X, une variable aléatoire définie comme suit :
nombre de boules bleues sorties au cours d’un tirage.
• Loi de probabilité de X : X peut prendre ces 2 valeurs :
• 1 avec la probabilité 2/5
• 0 avec la probabilité 3/5

Loi binomiale
• Effectuons cette même opération 10 fois d’affilée.
• Nommons X le nombre de boules bleues extraites.
• X est donc une variable aléatoire qui peut prendre la valeur
0, 1, 2, ...., ou 10.
• Si on veut connaître la loi de probabilité de X, il faut connaître la
probabilité de chacune des valeurs de X.
• Cherchons la probabilité attachée à l’une de ces valeurs k
• On a extrait k boules bleues après 10 tirages
• Donc on a extrait 10 - k boules brunes.
b b b ... b n n n … n
10 boules
10-k boules
k boules

Loi binomiale
• La probabilité de cet événement est égale au produit des
probabilités relatives à chacun des 10 événements le
composant (ceux-ci étant indépendants)
• Mais cet événement peut se produire de différentes
façons, selon l’ordre dans lequel les boules sont extraites.
𝐶10
𝑘
=
10 !
𝑘 !(10 −𝑘)!

Loi binomiale

Loi binomiale et schéma de Bernoulli
• Une épreuve de Bernoulli est une expérience à deux issues : soit le
succès, soit l’échec.
• Un schéma de Bernoulli est la répétition de n épreuves de Bernoulli
consécutives, avec remise, indépendantes les unes des autres et pour
chacune desquelles la probabilité de succès est la même.
• La loi binomiale est la loi de probabilité liée à la variable aléatoire X
déterminant le succès d’un schéma de Bernoulli.
• Ainsi pour un schéma de Bernoulli reprenant n épreuves, la loi
binomiale est définie par

• Un chef d’entreprise désire connaître le pourcentage des pièces
défectueuses dans sa fabrique.
• Mais … le contrôle à effectuer sur un ensemble d’objets détruit lesdits
objets !
• Il nous sera donc impossible de nous placer dans les conditions de la loi
binomiale, càd avec remise.
• Soit N objets à contrôler, dont P sont bons et Q sont défectueux.
• C'est comme considérer une urne contenant N boules dont P bleues et Q
brunes.
• A une différence près : Après le tirage d'une boule de l’urne, celle-ci n'est plus
remise dans l'urne.

•On procède à un tirage de m objets.
•A chaque extraction correspond une épreuve différente,
puisque la probabilité de sortir une boule bleue n’est plus
la même.
•La loi hypergéométrique décrit les probabilités de la
variable aléatoire « obtention de k succès » lors d’un
tirage sans remise, dans des conditions équivalentes :

Loi hypergéométrique : exemple
• Prenons une urne qui contient 4 boules bleues et 3
boules brunes.
• On tire successivement 5 boules, sans remplacement.
Quelle est la probabilité de tirer 3 boules bleues et 3
boules brunes ?
• N=7, P=3, Q=4, m=5, k=3, m-k=2

Loi hypergéométrique : exemple

Loi de Poisson :
•Cas "limite" de la loi binomiale.
•La loi de Poisson peut être utilisée lorsque le produit de
n (nombre de tirages) par p (probabilité de l’événement
favorable) est de l’ordre de quelques unités.
•λ = n.p : la valeur moyenne que l'on devrait observer.

Loi de Poisson : exemple 1
•Supposons une urne contenant 1.000 boules dont 1 est
bleue et les 999 autres brunes. La probabilité d’extraire
cette boule bleue est de 0,001, càd très faible.
•n = nombre de tirages = 5000
•p = probabilité de tirer la boule bleue = 0,001
•λ = n.p = valeur moyenne = 5000 * 0,001 = 5
• Sur 5000 tirages, on tire en moyenne 5 fois la boule bleue.

•Distribution théorique de
ce tirage :

• Supposons qu’un centre de renseignements veuille évaluer le nombre de coups de
téléphone qu’il reçoit en une minute, de façon à être en mesure d’améliorer la capacité de
ses installations téléphoniques.
• Divisons le temps en fractions très petites, il y en a de deux sortes :
• Celles où il se produit un appel
• Celles où il ne s’en produit pas.
• Nous avons donc :
• Une population très grande de N temps élémentaires
• Pour P d’entre eux, il se produit un appel
• Pour Q, il ne s’en produit pas.
• P beaucoup plus petit que N
• Quelle est la valeur de N ? On s'en fout … ;-) "très grand", c'est assez.

• Comment trouver les différentes valeurs de X ?
• Nous allons faire une évaluation expérimentale en comptant le
nombre d’appels pendant une minute et en répétant cette
expérience 600 fois.
Nombre
d’appel 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Nombre
minutes 17 41 90 116 118 96 62 35 11 9 4 1
Proba
Observée
0.028 0.068 0.150 0.193 0.196 0.160 0.103 0.058 0.018 0.015 0.006 0.001

• Sachant que pour une loi de Poisson, la valeur moyenne est
égale à λ, il est utile de l’estimer
Nombre
d’appel 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Proba
théor. 0.0202 0.0789 0.1539 0.2001 0.1951 0.1522 0.0989 0.0551 0.0269 0.0116 0.0045 0.0016
Proba
observée 0.028 0.068 0.150 0.193 0.196 0.160 0.103 0.058 0.018 0.015 0.006 0.001

Nombre
d’appel 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Proba
théor. 0.0202 0.0789 0.1539 0.2001 0.1951 0.1522 0.0989 0.0551 0.0269 0.0116 0.0045 0.0016
Proba
observée 0.028 0.068 0.150 0.193 0.196 0.160 0.103 0.058 0.018 0.015 0.006 0.001

•Il est alors utile de calculer les probabilités cumulées afin
de tirer des renseignements utiles, tels que :
• En moyenne, cette agence reçoit 4 appels à la minute (en fait,
3,915 mais bon …)
• Il y a 95% de chances pour qu’il y ait au maximum 7 coups
de téléphone en une minute.
Nombre
d’appel 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
Proba
cumulée 0.0202 0.0991 0.2530 0.4531 0.6482 0.8004 0.8993 0.9544 0.9813 0.9929 0.9974 0.9990

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