Le document présente la loi binomiale, définissant comment une variable aléatoire suit cette loi et expliquant son application dans le calcul de probabilités. Il inclut des méthodes de calcul pour les probabilités exactes de succès, ainsi que des exemples pratiques illustrant ces concepts. Le document sert de guide pour comprendre les principes fondamentaux de la loi binomiale dans un contexte de probabilités.

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Premi`ere S-fiche m´ethode Chapitre 9: Loi binomiale
Table des mati`eres
1 Justifier qu’une variable al´eatoire suit une loi binomiale 1
1.1 M´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Calcul de probabilit´es avec la loi binomiale 2
2.1 m´ethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.2 Calculatrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.3 Exemple avec le calcul de p(X = k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2.4 Calcul de p(X ≤ k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.5 Calcul de p(X ≥ k) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1 Justifier qu’une variable al´eatoire suit une loi binomiale
1.1 M´ethode
- Identifier l’´epreuve de Bernouilli r´ep´et´ee - Pr´eciser les deux issues possibles S et E et les
probabilit´es correspondantes - V´erifier l’ind´ependance des ´epreuves de Bernouilli r´ep´et´ees - Pr´eciser
la variable al´eatoire si ce n’est pas donn´e dans l’´enonc´e - Conclure : La variable al´eatoire donnant le
nombre de succ`es parmi les n ´epreuves de Bernouilli r´ep´et´ees suit la loi binomiale de param`etres n
et p = p(S) not´ee B(n; p)
Remarques
- Le choix des issues S et E d´epend de la variable al´eatoire choisie
- Ne pas confondre l’´epreuve r´ep´et´ee et ses issues possibles.
Par exemple, si on lance une pi`ece de monnaie, l’´epreuve de Bernouilli correspond au lancer de
la pi`ece et les issues possibles sont pile et face.
- Si le nombre d’´el´ements est tr`es grand et que l’on pr´el`eve successivement et sans remise quelques
´el´ements de ce groupe, on peut assimiler ceci `a des tirages successifs avec remise donc ind´ependants
les uns des autres.
1.2 Exemple
Ì Exemple 1 : jeu successifs ind´ependants
20 personnes participent `a un jeu de hasard et la probabilit´e de gagner `a ce jeu est de 0,4.
Chaque jeu est ind´ependant des pr´ec´edents.
La variable al´eatoire X donne le nombre de personnes ayant gagn´e au jeu.
Justifier que X suit une loi binomiale en pr´ecisant ses param`etres.
Solution:
On consid`ere l’´epreuve de Bernouilli consistant faire jouer une personne avec les issues S :” la
personne va gagner” et E = S :” la personne va perdre”.
On a alors p(S) = 0, 4
Ces ´epreuves de Bernouilli sont ind´ependantes. (Chaque jeu est ind´ependant des pr´ec´edents)
On consid`ere la variable al´eatoire donnant le nombre de gagnants parmi ces 20 personnes.
X suit donc la loi binomiale de param`etres n = 20 et p = 0, 4 not´ee B(20; 0, 4)
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2 Calcul de probabilit´es avec la loi binomiale
2.1 m´ethode
La variable al´eatoire X suit la loi binomiale de param`etres n et p.
-Calcul de p(X = k) :
La probabilit´e d’avoir k succ`es et n − k ´echecs (0 ≤ k ≤ n) parmi les n ´epreuves r´ep´et´ees est :
p(X = k) =
n
k
× pk
× (1 − p)n−k
-Calcul de p(X ≤ k) :
p(X ≤ k) = p(X = 0) + p(X = 1) + .......p(X = k − 1) + p(X = k)
-Calcul de p(X ≥ k) :
p(X ≥ k) = 1 − p(X k) = 1 − p(X ≤ k − 1)
La calculatrice permet de calculer les coefficients binomiaux mais aussi directement p(X = k) ou
p(X ≤ k)
Voir fiche m´ethode Calculatrice et loi binomiale.
2.2 Calculatrice
Voir aussi fiche m´ethode Calculatrice et loi binomiale.
-Calcul des coefficients binomiaux
Optn
puis
Prob
On peut alors saisir nCk pour
n
k
-Calcul de p(X = k) ou p(X ≤ k)
MENU
puis
STAT
DIST
puis
BINM
s´electionner Bpd pour calculer p(X = k) et Bcd pour calculer p(X ≤ k)
2.3 Exemple avec le calcul de p(X = k)
Ì Exemple 2 : jeu successifs ind´ependants
20 personnes participent `a un jeu de hasard et la probabilit´e de gagner `a ce jeu est de 0,4.
Quelle est la probabilit´e d’avoir 5 gagnants ?
On a justifi´e au pr´ealable que X suit la loi binomiale B(20; 0, 4) (voir exemple 1)
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Solution:
On veut 5 gagnants soit X = 5
p(X = 5) =
20
5
× 0, 45
× (1 − 0, 4)15
= 15504 × 0, 45
× 0, 615
≈ 0, 075
La probabilit´e d’avoir 5 gagnants est 0,075 environ
2.4 Calcul de p(X ≤ k)
Ì Exemple 3 : jeu successifs ind´ependants
20 personnes participent `a un jeu de hasard et la probabilit´e de gagner `a ce jeu est de 0,4.
Quelle est la probabilit´e d’avoir 3 gagnants ou moins ?
On a justifi´e au pr´ealable que X suit la loi binomiale B(20; 0, 4) (voir exemple 1)
Solution:
On veut 3 gagnants ou moins soit X ≤ 3.
p(X ≤ 3) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3)
= 0, 620
+
20
1
0, 41
× 0, 619
+
20
2
0, 42
× 0, 618
+
20
3
0, 43
× 0, 617
≈ 0, 016
La probabilit´e d’avoir 3 gagnants ou moins est de 0,0176 environ
Remarques
En utilisant les listes et donc les valeurs de X possibles dans la LIST1 `a savoir, 0, 1, 2 et 3 on
peut utiliser Bpd pour obtenir les probabilit´es p(X = 0), p(X = 1), p(X = 2) et p(X = 3) dans la
liste 2 par exemple.
Avec le menu STAT puis DIST puis Bcd, on a :
(Voir fiche m´ethode calculatrice et loi binomiale)
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2.5 Calcul de p(X ≥ k)
Ì Exemple 4 : jeu successifs ind´ependants
20 personnes participent `a un jeu de hasard et la probabilit´e de gagner `a ce jeu est de 0,4.
Quelle est la probabilit´e d’avoir au moins deux gagnants ?
On a justifi´e au pr´ealable que X suit la loi binomiale B(20; 0, 4) (voir exemple 1)
Solution:
On veut au moins 2 gagnants soit X ≥ 2.
p(X ≥ 2) = 1 − p(X 2) = 1 − p(X ≤ 1) = p(X = 0) + p(X = 1)
or p(X ≤ 1) ≈ 0, 0005
donc p(X ≥ 2) ≈ 0, 9995
La probabilit´e d’avoir au moins 2 gagnants est de 0,9995 environ
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