Analyse Factorielle des Correspondances

Analyse Factorielle des
Correspondances (AFC)
Inertie du nuage de points
J. DABOUNOU - FST DE SETTAT
UNIVERSITE HASSAN Ier
Mai 2020
YOUTUBE
https://youtube.com/playlist?list=PLzjg2z2kYUrg6XvYVYMxdZQnouBEwavfQ

Introduction
L’analyse factorielle des correspondance se propose de déterminer des liaisons
possible entre des variables qualitatives.
Partants des modalités obtenues pour deux variables qualitatives par rapport à n
individus, l’AFC, utilisera des principes communs à toutes les méthode d’analyse
factorielle pour rendre compte des liaisons entre variables, et permettre une
réduction de la dimensionnalité des données de façon à les ramener dans un espace
qui préserve (ou explique) le maximum d’inertie.
Nous allons présenter des démarches pour réaliser une AFC à travers un exemple
simple.
AFC001 - 1J. DABOUNOU - FST DE SETTAT

Données à manipuler
On considère n individus et deux variables qualitatives V1 et V2. On désigne par xpq
pour p=1,n et q=1,2 la modalité de la variable Vq pour l’individu p. Ces données sont
représentées sous forme matricielle par :
On cherche à savoir s’il y a des liaisons entre les deux variables V1 et V2.
L’analyse Factorielle des Correspondances (AFC) va nous apporter une réponse
« géométrique » à cette question. Elle va nous permettre en même temps de réduire
la dimensionnalité des données.
V1 V2
1 x11 x12
2 x21 x22
3 x31 x32
⁞
p xp1 xp2
⁞
n xn1 xn2
J. DABOUNOU - FST DE SETTAT AFC001 - 2
nindividus
Deux variables
Les modalités d'une variable qualitative sont
les différentes valeurs que cette variable peut
prendre.
Nous allons noter les I modalités de la
première variable : m11,…, m1i , … , m1I , et les
J modalités de la deuxième variable : m21,…,
m2j , … , m2J.

Tableau de contingence
On construit alors un tableau de contingence (ou tableau croisé) :
nij désigne le nombre d’individus possédant à la fois la modalité m1i de V1 et la
modalité m2j de V2. On voit facilement que l’on a :
n =
i=1,I et j=1,J
nij
m21 m22 m2j m2J
m11 n11 n12  n1j  n1J
m12
n21 n22  n2j n2J
⁞ ⁞ ⁞
m1i ni1 ni2  nij niJ
⁞ ⁞ ⁞
m1I nI1 nI2  nIj  nIJ
Modalités de V2
ModalitésdeV1

Exemple simple
Pour cet exemple, nous avons 30 individus (mobilier de
bureau) et deux variables, la variable Type (type de
mobilier) et la variable Couleur (couleur du mobilier).
On construit alors un tableau de contingence :
gris marron noir
armoire 1 3 5
bureau 2 6 3
chaise 5 4 1
Modalités de Couleur
ModalitésdeType
Type Couleur
1 bureau noir
2 chaise marron
3 bureau noir
4 bureau gris
5 armoire marron
6 bureau noir
7 chaise gris
8 bureau marron
9 bureau marron
10 chaise gris
11 armoire noir
12 armoire marron
13 chaise gris
14 chaise noir
15 bureau marron
16 bureau gris
17 chaise gris
18 bureau marron
19 chaise marron
20 bureau marron
21 chaise gris
22 armoire gris
23 armoire noir
24 bureau marron
25 armoire noir
26 chaise marron
27 armoire marron
28 armoire noir
29 chaise marron
30 armoire noir
nindividus
Deux variables
C’est sur la base de ce tableau que nous allons procéder
dans toute la suite.
Nous allons continuer à parler de population et
d’individus même s’il s’agit de mobilier de bureau.

Données à manipuler (Exemple)
On ajoute au tableau de contingence :
• une marge colonne : colonne à droite contenant la somme des meubles quelque soit
leur couleur pour chaque type de meuble.
• une marge ligne : ligne en bas contenant la somme des meubles quelque soit leur
type pour chaque couleur.
On ajoute ensuite :
• une colonne dont les termes sont la proportion de population pour chacune des
modalités de la variable « Type »
• une ligne dont les termes sont la proportion de population pour chacune des
modalités de la variable « Couleur »
gris marron noir TOTAL
armoire 1 3 5 9
bureau 2 6 3 11
chaise 5 4 1 10
TOTAL 8 13 9 30
gris marron noir TOTAL %
armoire 1 3 5 9 0.300
bureau 2 6 3 11 0.367
chaise 5 4 1 10 0.333
TOTAL 8 13 9 30 1
% 0,267 0,433 0,300 1

Notation en termes de probabilités
On note : fij =
nij
n qui spécifie la probabilité conjointe de posséder à la fois la modalité
m1i de la variable V1 et la modalité m2j de la variable V2. On voit alors que la marge
colonne (respectivement la marge ligne) est égale au profil colonne (resp. profil ligne) :
m21 m22 m2j m2J Cm
m11 f11 f12  f1j  f1J f1.
m12 f21 f22  f2j f2J f2.
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
m1i fi1 fi2  fij fiJ fi.
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
m1I fI1 fI2  fIj  fIJ fI.
Lm f.1 f.2  f.j f.J 1
Modalités de V2
ModalitésdeV1
probabilités
contingence

gris marron noir TOTAL Cm
armoire 1 3 5 9 0.300
bureau 2 6 3 11 0.367
chaise 5 4 1 10 0.333
TOTAL 8 13 9 30 1
Lm
0,267 0,433 0,300 1
Matrice des probabilités (Exemple)
probabilités
contingence
gris marron noir Cm
armoire 0,033 0,100 0,167 0.300
bureau 0,067 0,200 0,100 0.367
chaise 0,167 0,133 0,033 0.333
Lm
0,267 0,433 0,300 1
Le tableau de probabilités construit, à partir de notre tableau de contingence permet
de donner plus de signification aux données.
Pour l’exemple en cours, on obtient :

On peut exprimer le fait que les variables soient indépendantes par : Pour tout i=1,I et
tout j=1,J on doit avoir P(m1i, m2j) = P(m1i) P(m2j), autrement dit fij = fi..f.j.
Ce qui revient à dire que la probabilité conjointe est égale au produit des probabilités
marginales.
Situation d’indépendance
m21 m22 m2j m2J Cm
m11 f11 f12  f1j  f1J f1.
m12 f21 f22  f2j f2J f2.
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
Lm f.1 f.2  f.j f.J 1
Modalités de V2
ModalitésdeV1
Ou alors, si on se donne j{1,…,J}, avoir
fij
fi.
= f.j.
Il s’agit ici d’une égalité entre la probabilité
conditionnelle (posséder la modalité m2j
sachant qu’on a déjà la modalité m1i) est égale
à la probabilité marginale (posséder la
modalité m2j sans aucune condition sur la
variable V1).
On a :
P m2j m1i =
P(m1i, m2j)
P(m1i).
=
fij
fi.
et
P(m2j) = f.j

Les variables V1 et V2 sont indépendantes, si pour tout i=1,I et tout j=1,J on a fij = fi..f.j.
Ce qui revient à dire que le tableau des probabilités conjointes est égal au tableau des
produits des probabilités marginales.
Ainsi, on aura :
Tableaux en situation d’indépendance
m21 m22 m2j m2J Cm
m11 f11 f12  f1j  f1J f1.
m12 f21 f22  f2j f2J f2.
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
Lm f.1 f.2  f.j f.J 1
m21 m22 m2j m2J Cm
m11 f1..f.1 f1..f.2  f1..f.j  f1..f.J f1.
m12 f2..f.1 f2..f.2  f2..f.j  f2..f.J f2.
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
m1i fi..f.1 fi..f.2  fi..f.j  fi..f.J fi.
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
m1I fI..f.1 fI..f.2  fI..f.j  fI..f.J fI.
Lm f.1 f.2  f.j f.J 1
=
Tableau des probabilités conjointes Tableau des produits des probabilités
marginales

On en déduit que les variables V1 et V2 sont indépendantes, si pour tout i=1,I et tout
j=1,J on a nij = n.fi.. f.j. Autrement dit, le tableau de contingence est égal au tableau des
effectifs théoriques (ou en situation d’indépendance) :
Tableaux en situation d’indépendance
m21 m22 m2j m2J Cm
m11 n11 n12  n1j  n1J n1.
m12 n21 n22  n2j n2J n2.
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
m1i ni1 ni2  nij niJ ni.
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
m1I nI1 nI2  nIj  nIJ nI.
Lm n.1 n.2  n.j n.J 1
=
Tableau des effectifs théoriquesTableau de contingence
A noter que : n.fij = nij et n.fi.. f.j = ni..n.j
n
m21 m22 m2j m2J Total
m11 n.f1..f.1 n.f1..f.2  n.f1..f.j  n.f1..f.J n1.
m12 n.f2..f.1 n.f2..f.2  n.f2..f.j  n.f2..f.J n2.
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
m1i n.fi..f.1 n.fi..f.2  n.fi..f.j  n.fi..f.J ni.
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
m1I n.fI..f.1 n.fI..f.2  n.fI..f.j  n.fI..f.J nI.
Total n.1 n.2  n.j n.J n

Test d’indépendance du Khi2
Le test d’indépendance du Khi2 étudie la liaison entre deux variables qualitatives V1 et
V2. Soient :
- Hypothèse H0: les variables V1 et V2 sont indépendantes. H0 est dite hypothèse nulle.
- Hypothèse alternative H1: les variables V1 et V2 sont liées.
Le test d’indépendance du Khi2 permet de valider H0 ou de la réfuter au profit de H1.
Ce test analyse l’écart à l’indépendance en comparant le tableau des probabilités
conjointes et le tableau des produits des probabilités marginales, ou le tableau de
contingence et le tableau des effectifs théoriques.
Sous l’hypothèse H0, les variables V1 et V2 sont indépendantes, et pour tout i=1,I et
tout j=1,J on doit avoir fij = fi..f.j.
En toute rigueur, l’égalité parfaite fij = fi..f.j n’est pas exigée. On se donne un seuil de
signification α au-delà duquel l’hypothèse H0 serait rejetée.
• On choisit souvent α=0.05 (ou 5%). Mais selon le problème posé, d’autres valeurs
de α peuvent être utilisées.

Distance du Khi2
La distance du Khi2 calcule l’écart entre effectifs observés et effectifs théoriques.
2 =
i=1,I j=1,J
nij − nfi.f.j
nfi.f.j
2
On note parfois  𝑜𝑏𝑠
2
au lieu de 2
pour préciser qu’il s’agit d’un calcul sur des
données observées.
On peut aussi écrire :
2
= n
i=1,I j=1,J
1
fi.f.j
fij − fi.f.j
2
Soit I tel que ∶ 2
= n I, donc : I =
i=1,I j=1,J
1
fi.f.j
fij − fi.f.j
2
.
2 représente la significativité de la liaison entre les variables. Il mesure l’écart entre
les effectifs observés et les effectifs théoriques .
I représente l’intensité de la liaison entre les variables. Il mesure l’écart entre les
probabilités observées et les probabilités théoriques. Elle permettra par la suite de
caractériser l’inertie des données.

armoire 1 3 5 9 0.300
bureau 2 6 3 11 0.367
chaise 5 4 1 10 0.333
TOTAL 8 13 9 30 1
Lm
0,267 0,433 0,300 1
Distance du Khi2 (Exemple)
probabilités
contingence
gris marron noir Cm
armoire 0,033 0,100 0,167 0.300
bureau 0,067 0,200 0,100 0.367
chaise 0,167 0,133 0,033 0.333
Lm
0,267 0,433 0,300 1
armoire 2,40 3,90 2,70 9 0.300
bureau 2,93 4,77 3,30 11 0.367
chaise 2,67 4,33 3,00 10 0.333
TOTAL 8 13 9 30 1
Lm
0,267 0,433 0,300 1
probabilités
contingence
gris marron noir Cm
armoire 0,08 0,13 0,09 0.300
bureau 0,10 0,16 0,11 0.367
chaise 0,09 0,14 0,10 0.333
Lm
0,267 0,433 0,300 1
Données observées :
Données théoriques :
Les calculs donnent alors :
2
= n
i=1,I j=1,J
1
fi.f.j
fij − fi.f.j
2
= 75,35
Soit I =
i=1,I j=1,J
1
fi.f.j
fij − fi.f.j
2 = 2,51

Distance du Khi2
Sous l’hypothèse H0 (les deux variables sont indépendantes), pour un effectif aléatoire
de n individus, la somme
2
=
i=1,I j=1,J
nij − nfi.f.j
ni.n.j
2
Suit une loi du Khi2 à  = (I-1)(J-1) degrés de liberté. Il s’agit d’une somme des carrés
des écarts relativisés qui constitue une approximation asymptotique d’une somme des
carrés de  distributions normales centrées réduites indépendantes.
On remarque que  = (I-1)(J-1) = IJ-I-J+1.
Dans la somme 2 ci-dessus nous avons IJ termes. Pour ne garder qu’une somme de
terme indépendants :
1. On retranche I (une colonne) car la somme des effectifs dans chaque ligne est fixe,
2. On retranche J-1 (une ligne) parce que la somme des effectifs dans chaque
colonne est fixe. Noter qu’il reste J-1 colonnes après l’opération précédente.
Ce qui permet d’obtenir  termes indépendants.

Conditions d’application du test du Khi2
Conditions d’application du test statistique du Khi2 :
1. Les observations qui permettent de construire le tableau de contingence doivent
être aléatoires
2. Echantillon aléatoire doit avoir une taille n30.
3. Tous les effectifs théoriques tij doivent vérifier tij5.
Si un effectif théorique est inférieur à 5, on peut être amené à regrouper des lignes
(ou des colonnes) et à réinterpréter les modalités correspondantes en conséquence.

Densité de probabilité du Khi
La densité de probabilité du KHI2 pour
un degré de liberté donné  est
représentée par une courbe qui a la
forme ci-dessous :
La densité de probabilité varie selon le
degré de liberté  comme le montre la
figure suivante :
Densité de probabilité pour différents ddls
La courbe change de forme en fonction
de . La valeur pour laquelle le maximum
est atteint croit avec le degré de liberté,
donc s’éloigne de l’origine.
Densité de probabilité du Khi2
L’expression de cette densité de probabilité
utilise la fonction gamma:
𝑓(x) =
1
2

2 (

2
)
x(

2
− 1)
e
−
x
2

Test statistique du Khi2
2
mesure l’écart entre les effectifs observés et les effectifs théoriques, donc si les deux
variables sont indépendantes, alors :
il est plus probable que le 2
ait une petite
valeur, ce que illustre la figure suivante.
il est peu probable que le 2
ait une très grande valeur.
La courbe passe par l’origine parce que la probabilité que les effectifs observés
coïncident avec les effectifs théoriques pour une observation aléatoire est nulle.

Valeur critique pour le test du Khi2
On détermine une valeur critique  𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒
2
à
l’aide de la table du Khi2 en utilisant le seuil
de signification α et le degré de liberté .
Table du Khi2

Règles de décision pour le test du Khi2
On détermine ainsi une valeur critique  𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒
2
qui dépend de la loi de probabilité
utilisée, donc du seuil de signification α et du degré de liberté , pour laquelle :
• Si l’écart observé 2
<  𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒
2
alors on rejette l’hypothèse H0
• Si l’écart observé 2   𝑐𝑟𝑖𝑡𝑖𝑞𝑢𝑒
2
alors on rejette l’hypothèse H0
Rejeter H0
Accepter H0

Construction de profils colonne
Si les deux variables étaient parfaitement indépendantes alors, si l’on considère les individus qui
possèdent la modalité « gris » de la variable « couleur », alors la répartition des termes par type
doit être égale à celle de la population totale.
Ce qui exprime que le fait d’être gris n’as aucune relation avec la couleur des individus. Vérifions
si cela est vrai. Pour cela, on calcule la proportion pour chacune des modalités de la variable
« Type » par rapport à la population de modalité « gris » pour la variable « Couleur » :
gris % TOTAL %
armoire 1 0.125 9 0.300
bureau 2 0.250 11 0.367
chaise 5 0.625 10 0.333
TOTAL 8 1 30 1
% 0,267

Relation entre profils colonne
Cela doit être répété pour toutes les modalités de la variable « type d'activité ».
Les colonnes obtenues pour chaque modalité de la variable « Couleur » sont appelées profils
colonne et seront notées respectivement C1, C2 et C3. La colonne qui correspond à la population
totale s’appelle profil colonne moyen et sera notée Cm.
Pour chaque ligne i, on note ni. = ni1+ni2+ni3, et pour chaque colonne j, on note n.j = n1j+n2j+n3j.
Le ième terme de Cm, noté fi. est donc donné par :
fi. =
ni.
n
=
ni1+ni2+ni3
n
=
ni1
n
+
ni2
n
+
ni3
n
Donc, fi. =
ni1
n.1
n.1
n
+
ni2
n.2
n.2
n
+
ni3
n.3
n.3
n
et ainsi, on peut écrire Cm =
n.1
n
C1 +
n.2
n
C2 +
n.3
n
C3
Cette dernière relation permet de considérer Cm comme une moyenne de C1, C2 et C3, pondérée
par
n.1
n
,
n.2
n
et
n.3
n
, que nous allons noter respectivement par la suite f.1, f.2 et f.3.
gris C1 marron C2 noir C3 TOTAL Cm
armoire 1 0,125 3 0,231 5 0,556 9 0,300
bureau 2 0,250 6 0,462 3 0,333 11 0,367
chaise 5 0,625 4 0,308 1 0,111 10 0,333
TOTAL 8 1 13 1 9 1 30 1
Lm
0,267 0,433 0,300 1

Relation entre profils ligne
Cela doit être répété pour toutes les modalités de la variable « type ».
On construit aussi des profils ligne notés respectivement L1, L2 et L3 et un profil ligne moyen noté
Lm. On adoptant les notations introduites dans les diapositives précédentes, on montre que :
Lm =
n1.
n
L1 +
n2.
n
L2 +
n3.
n
L3
On peut écrire alors Cm et Lm sous la forme :
Cm = f.1 C1 +f.2 C2 +f.3 C3
et
Lm = f1. L1 + f2. L2 + f3. L3
armoire 1 3 5 9 0.300
L1 0,111 0,333 0,556 1
bureau 2 6 3 11 0.367
L2 0,182 0,545 0,273 1
chaise 5 4 1 10 0.333
L3 0,500 0,400 0,100 1
TOTAL 5 10 9 30 1
Lm 0,167 0,333 0,300 1

Les trois séries L1, L2 et L3 n’ont pas la même « forme »:
0,267
0,500
0,182
0,111
0,433
0,400
0,545
0,333
0,300
0,100
0,273
0,556
gris marron noir
L1
L2
L3
Lm
L’attraction entre deux réalités sociales est
révélée par la différence au pourcentage
moyen. Ici il y a attraction entre le fait d’aller à
la chasse et d’être de sexe masculin.

0,00
0,10
0,20
0,30
0,40
0,50
0,60
gris marron noir
Titre du graphique
L1 L2 L3 Lm
Les trois séries L1, L2 et L3 n’ont pas la même « forme »:

Notation en termes de probabilités
Pour donner plus de signification aux notations précédentes, on construit, à partir de notre
tableau de contingence, le tableau de probabilités correspondant. On note : fij =
nij
n
qui spécifie la
probabilité conjointe de posséder à la fois la modalité m1i de la variable V1 et la modalité m2j de
la variable V2. On voit alors que la marge colonne (respectivement la marge ligne) est égale au
profil colonne (resp. profil ligne). On obtient ainsi :
m21 m22 m2j m2J Cm
m11 f11 f12  f1j  f1J f1.
m12 f21 f22  f2j f2J f2.
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
Lm f.1 f.2  f.j f.J 1
Modalités de V2
ModalitésdeV1
probabilités
contingence
On peut maintenant exprimer le fait que les
variables soient indépendantes.
Pour tout i=1,I et tout j=1,J on doit avoir fij = fi..f.j.
Ce qui revient à dire que la probabilité conjointe
est égale au produit des probabilités marginales.
Ou alors, si on se donne j{1,…,J}, avoir
fij
fi.
= f.j. Il s’agit ici d’une égalité entre la probabilité
conditionnelle (posséder la modalité m2j sachant qu’on a déjà la modalité m1i) est égale à la
probabilité marginale (posséder la modalité m2j sans aucune condition sur la variable V1)

armoire 1 3 5 9 0.300
bureau 2 6 3 11 0.367
chaise 5 4 1 10 0.333
TOTAL 8 13 9 30 1
Lm
0,267 0,433 0,300 1
Données réelles et données théoriques
probabilités
contingence
gris marron noir Cm
armoire 0,033 0,100 0,167 0.300
bureau 0,067 0,200 0,100 0.367
chaise 0,167 0,133 0,033 0.333
Lm
0,267 0,433 0,300 1
armoire 2,40 3,90 2,70 9 0.300
bureau 2,93 4,77 3,30 11 0.367
chaise 2,67 4,33 3,00 10 0.333
TOTAL 8 13 9 30 1
Lm
0,267 0,433 0,300 1
probabilités
contingence
gris marron noir Cm
armoire 0,08 0,13 0,09 0.300
bureau 0,10 0,16 0,11 0.367
chaise 0,09 0,14 0,10 0.333
Lm
0,267 0,433 0,300 1

armoire 1 3 5 9 0.300
bureau 2 6 3 11 0.367
chaise 5 4 1 10 0.333
TOTAL 8 13 9 30 1
Lm
0,267 0,433 0,300 1
Profils ligne observés
probabilités
contingence
gris marron noir Cm
armoire 0,033 0,100 0,167 0.300
bureau 0,067 0,200 0,100 0.367
chaise 0,167 0,133 0,033 0.333
Lm
0,267 0,433 0,300 1
armoire 1 3 5 9 0,300
L1 0,111 0,333 0,556 1
bureau 2 6 3 11 0,367
L2 0,182 0,545 0,273 1
chaise 5 4 1 10 0,333
L3 0,500 0,400 0,100 1
TOTAL 8 13 9 30 1,000
Lm 0,267 0,433 0,300 1
Armoire (9) Bureau (11) Chaise (10)
Tous type de meuble (30)

armoire 2,40 3,90 2,70 9 0.300
bureau 2,93 4,77 3,30 11 0.367
chaise 2,67 4,33 3,00 10 0.333
TOTAL 8 13 9 30 1
Lm
0,267 0,433 0,300 1
probabilités
contingence
gris marron noir Cm
armoire 0,08 0,13 0,09 0.300
bureau 0,10 0,16 0,11 0.367
chaise 0,09 0,14 0,10 0.333
Lm 0,267 0,433 0,300 1
Profils ligne en cas d’indépendance
armoire 2 4 3 9 0,300
L1 0,267 0,433 0,300 1
bureau 3 5 3 11 0,367
L2 0,267 0,433 0,300 1
chaise 3 4 3 10 0,333
L3 0,267 0,433 0,300 1
TOTAL 8 13 9 30 1,000
Lm 0,267 0,433 0,300 1

Représentation synthétique des notations
Le tableau suivant, se basant sur la structure de l’exemple traité, synthétise les notations
utilisées pour analyser les liaisons entre les variables qualitatives.
Pour l’AFC, on représente les points que constituent les lignes du tableau dans l’espace RJ
, où J
désigne le nombre de modalités pour la variable V2. On cherche ensuite à projeter ces points dans
un espace de dimension inférieure, comme cela se fait dans l’ACP.
On passe ensuite aux colonnes, et on refait le même processus.
m21 C1 % m22 C2 % m23 C3 % TOTAL Cm %
m11 f11 f11/f.1 f12 f12/f.2 f13 f13/f.3 n1. f1.
L1 % f11/f1. f1..f.1 f12/f1. f1..f.2 f13/f1. f1..f.3 1
m12 f21 f21/f.1 f22 f22/f.2 f23 f23/f.3 n2. f2.
L2 % f21/f2. f2..f.1 f22/f2. f2..f.2 f23/f2. f2..f.3 1
m13 f31 f31/f.1 f32 f32/f.2 f33 f33/f.3 n3. f3.
L3 % f31/f3. f3..f.1 f32/f3. f3..f.2 f33/f3. f3..f.3 1
TOTAL n.1 1 n.2 1 n.3 1 n 1
Lm % f.1 f.2 f.3 1

Nous allons donc commencer par représenter les profils lignes, L1, L2 et L3 dans le contexte de
notre exemple, dans l’espace RJ
, où J désigne le nombre de modalités pour la variable V2, J=3
dans notre exemple. On appelle alors cet espace: espace des profils.
A chaque point Li est associé un poids égal à fi.. Ce poids correspond à la proportion de population
représentée par la ligne Li, or cette proportion est justement fi..
Comme nous l’avons déjà montré, Lm constitue le centre de gravité des points Li auxquels on a
affecté les poids associés.
Lm = f1. L1 + f2. L2 + f3. L3
La somme des termes de chaque profil ligne Li est égale à 1. Ceci est vrai aussi pour le profil ligne
moyen. On en déduit que les profils ligne et le profil ligne moyen appartiennent à l’hyperplan
HPL = { x = (x1, x2,x3)  R3
| x1 + x2 + x3 = 1}.
Donc tous les profils ligne se trouvent dans un hyperplan de dimension J-1. Plus précisément
encore, tous les profiles appartiennent au simplexe de sommets e1=(1,0,…,0), e2=(0,1,…0),…,
eJ=(0,…,1). Ici nous avons J=3 ce qui simplifie beaucoup les choses.

Comme cela a déjà été expliqué dans le cours sur l’ACP, la quantité d’information contenue dans
le nuage de point peut être caractérisée par le degré de dispersion du nuage des points Li dans
l’espace RJ
, sans oublier que les points ne se valent pas, chacun a un poids comme on l’a
mentionné plus haut.
Cette dispersion est évaluée en calculant l’inertie par rapport à Lm du nuage de points Li, dont la
formule est :
I =
i
fi. d Li , Lm
2
On doit donc définir une distance sur l’ensemble des points de l’espace RJ
, en tenant compte de
la nature des points Li.

Expression de l’inertie
En nous réfrénant à la figure ci-dessous, l’expression suivante donne la distance entre L3 et L5 :
L3 − L1
2
= f.1
f31
f3.f.1
−
f11
f1.f.1
2
+ f.2
f32
f3.f.2
−
f12
f1.f.2
2
+ f.1
f31
f3.f.1
−
f31
f3.f.1
2
Dans chaque terme, on normalise les éléments des deux lignes en divisant par f.j, qui est le poids
correspondant à la dimension j (ou colonne j). Ensuite, on élève au carré (norme euclidienne) et
on multiplie le résultat par f.j, puisque dans une norme, la contribution de chaque élément doit
être pondérée par le poids de la dimension considérée.
Géométriquement, la projection d’un point, ou ligne, Li = (ai1 , ai2 , ai3) sur l’axe j possède la
coordonnée
aij
f.j
.
m21 m22 m23 Cm
L1 f11/f1. f12/f1. f13/f1. f1.
L2 f21/f2. f22/f2. f23/f2. f2.
L3 f31/f3. f32/f3. f33/f3. f3.
Lm f.1 f.2 f.3 1

Pour deux lignes r et s, on aura: n nous réfrénant à la figure ci-dessous, l’expression suivante
donne la distance entre :
Lr − Ls
2
= f.1
fr1
fr.f.1
−
fs1
fs.f.1
2
+ f.2
fr2
fr.f.2
−
fs2
fs.f.2
2
+ f.3
fr3
fr.f.3
−
fs3
fs.f.3
2
=
j=1,J
f.j
frj
fr.f.j
−
fsj
fs.f.j
2
=
j=1,J
1
f.j
frj
fr.
−
fsj
fs.
2
Cette dernière écriture est très convenable, puisqu’elle rappelle la distance euclidienne entre Lr et
Ls avec une pondération par
1
f.j
.
On définit ainsi une distance appelée de distance de2.
On a :
d2 Lr , Ls
2
=
j=1,J
1
f.j
frj
fr.
−
fsj
fs.
2

En particulier la distance entre un profil ligne Li et le profil ligne moyen Lm devient :
d2 Li , Lm
2
=
j=1,J
f.j
fij
fi.f.j
−
f.j
f.j
2
=
j=1,J
f.j
fij
fi.f.j
− 1
2
=
j=1,J
1
fi.
2
f.j
fij − fi.f.j
2
On voit en particulier que, si les deux variables sont indépendantes, donc fij − fi.f.j, pour tout i=1,I
et j=1,J, et ainsi :
d2 Li , Lm
2
= 0
Ce qui veut dire que tous les points du nuage seront confondus avec le profil ligne moyen Lm.
La distance des profils ligne par rapport au profil ligne moyen exprime ainsi la dispersion du
nuage de points, et la formule qui donne l’inertie de ce nuage devient :
I =
i
fi. d Li , Lm
2
=
i=1,I j=1,J
1
fi.f.j
fij − fi.f.j
2
Il est à noter que l’inertie ne tient pas
compte du nombre d’individus n.

On utilise l’expression de l’inertie à notre exemple, et on obtient :
I =
i=1,I j=1,J
1
fi.f.j
fij − fi.f.j
2
= 𝟎. 𝟏𝟑𝟒
Actifs C1 % Chômeurs C2 % Inactifs C3 % TOTAL Cm %
15 - 24 ans 0,051 0,123 0,015 0,367 0,172 0,319 6 077 913 0,239
L1 % 0,215 0,100 0,064 0,010 0,721 0,129 1
25 - 34 ans 0,123 0,294 0,018 0,439 0,092 0,170 5 936 505 0,233
L2 % 0,527 0,098 0,078 0,010 0,395 0,126 1
35 - 44 ans 0,106 0,254 0,005 0,119 0,074 0,136 4 703 813 0,185
L3 % 0,575 0,077 0,027 0,008 0,398 0,100 1
45 - 59 ans 0,108 0,257 0,003 0,063 0,088 0,163 5 043 847 0,198
L4 % 0,543 0,083 0,013 0,008 0,444 0,107 1
60 ans et plus 0,031 0,073 0,000 0,011 0,114 0,212 3 702 709 0,145
L5 % 0,210 0,061 0,003 0,006 0,787 0,079 1
TOTAL 10 663 271 1 1 051 830 1 13 749 686 1 25 464 787 1,000
Lm % 0,419 0,041 0,540 1
On remarque que dans l’expression de l’inertie du nuage de points représentant les profils ligne, i
et j jouent un rôle symétrique. On en déduit, ce qui peut d’ailleurs être démontré directement,
que l’inertie est la même que l’on considère le nuage de points représentant les profils ligne dans
l’espace RJ
ou le nuage de points représentant les profils colonne dans l’espace RI
.

Construire le tableau des profils colonne
La figure suivante illustre comment sont représentés les profils ligne dans l’espace des profils. Tous
les profils ligne ainsi que le profil ligne moyen se trouvent dans le triangle d’extrémités (1,0,0),
(0,1,0) et (0,0,1).
0.25
0.50
0.75
1
60ans et plus
25-34ans
35-44ans
45-59ans
15-24ans
Inactifs
Profil ligne
moyen

Notation matricielle
On va utiliser des notations matricielles dans les calculs qui seront développés par la suite. Soient
P = (fij) : la matrice des probabilités,
𝕝I : le vecteur unitaire de RI : 𝕝I =
1
1
⋮
1
, et 𝕝J: le vecteur unitaire de RJ : 𝕝J =
1
1
⋮
1
On a, le profil ligne moyen Lm = 𝐏t
𝕝I et le profil colonne moyen Cm = 𝐏 𝕝J. On rappelle que
Lm =
f.1
f.2
⋮
f.J
et Cm =
f1.
f2.
⋮
fI.
DI = diag(fi.) et DJ = diag(f.j) : les matrices diagonales dont les éléments diagonaux sont constitués
respectivement des composantes (fi.) de Cm et (f.j) de Lm.

Notation matricielle
Soit L = (
fij
fi.
) la matrice des profils ligne. Pour notre exemple, nous avons :
L =
De même, C = (
fij
f.j
)t
, la matrice des profils colonne pour notre exemple:
C =
On vérifie facilement que l’on a :
L = DI
-1
P et C = DJ
-1
Pt
m21 m22 m23
L1 % f11/f1. f12/f1. f13/f1.
L2 % f21/f2. f22/f2. f23/f2.
L3 % f31/f3. f32/f3. f33/f3.
L3 % f41/f4. f42/f4. f43/f4.
L5 % f51/f5. f52/f5. f53/f5.
Lm % f.1 f.2 f.3
f11/f1. f12/f1. f13/f1.
f21/f2. f22/f2. f23/f2.
f31/f3. f32/f3. f33/f3.
f41/f4. f42/f4. f43/f4.
f51/f5. f52/f5. f53/f5.
f11/f.1 f21/f.1 f31/f.1 f41/f.1 f51/f.1
f12/f.2 f22/f.2 f32/f.2 f42/f.2 f52/f.2
f13/f.3 f23/f.3 f33/f.3 f43/f.3 f53/f.3
C1 C2 C3
m11 % f11/f.1 f21/f.1 f31/f.1 f41/f.1 f51/f.1
m12 % f12/f.2 f22/f.2 f32/f.2 f42/f.2 f52/f.2
m13 % f13/f.3 f23/f.3 f33/f.3 f43/f.3 f53/f.3
Cm % f1. f2. f3. f4. f5.

Nous avions introduit l’expression de l’inertie du nuage des points formés par les profils ligne :
I =
i=1,I
fi. d Li , Lm
2
=
i
fi.
j=1,J
f.j
fij
fi.f.j
−
f.j
f.j
2
=
i
fi.
j=1,J
f.j
fij
fi.f.j
− 1
2
Ce qui peut s’écrire aussi :
I =
i=1,I
fi.
j=1,J
fij
fi.
− f.j
f.j
2
La dernière expression correspond à l’inertie du nuage de points formé par les profils ligne,
centré par rapport au profil ligne moyen et « réduit » ou normalisé en divisant par la racine
carrée du poids associé à chaque colonne, la somme des termes de l’inertie étant pondérée par
le poids de la ligne considérée. Ce qui rappelle l’expression de l’inertie dans le contexte de l’ACP.
Cependant l’expression :
I =
i=1,I
fi.
j=1,J
1
f.j
fij − fi.f.j
2
amène à considérer sur l’espace des profils ligne une métrique Euclidienne pondérée par l’inverse
des poids (f.j). Ainsi, le produit scalaire de deux vecteurs u,v de RJ s’écrit :
<u , v>2 =
j=1,J
uj
1
f.j
vj

On a vu que :
I =
i
fi. d Li , Lm
2
=
i
fi.
j=1,J
f.j
fij
fi.f.j
−
f.j
f.j
2
Ce qui peut s’écrire aussi :
I =
i=1,I j=1,J
1
fi.f.j
fij − fi.f.j
2
En utilisant les notations matricielles on obtient :
I = tr(DI
−1
(P − Cm Lm
t
) DJ
−1
(P − Cm Lm
t
)t
)
I représente l’inertie totale du nuage de points formé par les profils ligne.

Projeter les profils ligne sur un axe
Comme pour l’ACP, on cherche un vecteur unitaire u1 pour projeter le nuage de points sur l’axe
qui récupère un maximum d’inertie.
On prend G=Lm comme centre du repère. Nous avions déjà vu que
Lm est le barycentre du nuage des profil ligne Li pondérés par les
poids (fi.). Nous avions aussi déjà montré que la liaison entre les
deux variables est caractérisée par la dispersion du nuage de points
par rapport à Lm.
On cherche un vecteur unitaire u1 pour projeter le nuage de points
sur l’axe qui récupère un maximum d’inertie :
I1 =
i=1,I
fi. GO1i
2
Or on a :
GO1i = <GLi, u1>2 =
j=1,J
(
fij
fi.
− f.j)
1
f.j
u1,j
Soit F1 le vecteur dont les composantes sont les projections des Li sur la droite D1. c’est-à-dire les
GO1i, on a :
F1 = (DI
−1
P − 𝕝I Lm
t
) DJ
−1
u1
G
RJ
u1
Li
O1i
D1

Projeter les profils ligne sur un axe
Le vecteur unitaire u1 qui explique le maximum de l’inertie du nuage de points vérifie :
u1 = arg max
u
Ft
(u) DI F(u)
où
F(u) = (DI
−1
P − 𝕝I Lm
t
) DJ
−1
𝐮
Sous la contrainte:
u 2 =
j=1,J
1
f.j
uj
2
= ut
DJ
−1
u = 1
On peut finalement écrire :
u1 = arg max
u
ut
DJ
−1
(DI
−1
P − 𝕝I Lm
t
)t
DI(DI
−1
P − 𝕝I Lm
t
) DJ
−1
𝐮
ut
DJ
−1
u = 1
Or on a : DI 𝕝I = Cm
u1 = arg max
u
ut
DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
) DJ
−1
𝐮
G
RJ
u1
Li
O1i
D1

Caractérisation de l’axe principal
Comme pour l’ACP, on utilise la méthode de Lagrange. Soit  le multiplicateur de
Lagrange. On va alors maximiser le Lagrangien:
L (u) = ut
DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
) DJ
−1
𝐮 − (ut
DJ
−1
u − 1)
Le maximum est atteint lorsque la dérivée suivante s’annule :
𝜕L
𝜕𝐮
= 2 DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
) DJ
−1
𝐮 − 2  DJ
−1
𝐮 = 0
Ou
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
) DJ
−1
𝐮 =  𝐮
Ainsi :
• u1 est vecteur propre de 𝐒 = (P − CmLm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
) DJ
−1
associé à une valeur propre 1
• 1 doit être la plus grande des valeurs propres de S
• u1
t
DJ
−1
u1= 1

Nous avons :
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
) DJ
−1
u1 = 1u1
On multipliant chaque terme de cette égalité par DJ
−1
2
à gauche, on obtient :
DJ
−1
2
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
)DJ
−1
2
DJ
−1
2
u1 = 1DJ
−1
2
u1
On pose :
u1 = DJ
−1
2
u1
On peut écrire :
DJ
−1
2
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
)DJ
−1
2
u1 = 1u1
u1 est vecteur propre de 𝐒 = DJ
−1
2
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
)DJ
−1
2
associé à la valeur propre 1.
On vérifie facilement que 𝐒 est symétrique définie-positive de rang r égal à celui de P − CmLm
t
,
donc diagonalisable avec les valeurs propres positives ou nulles, on note 1 2  …  r > 0 et u1,
u2, … ur les vecteurs propres unitaires (pour la métrique euclidienne) associés.
On en déduit que S admet les mêmes valeurs propres et les vecteurs propres us = DJ
1
2
us.
On a par ailleurs pour s=1,r: us
t
DJ
−1
us = us
t
us = 1.
Ce qu’on recherchait dans le problème d’optimisation.

Inertie totale et inertie expliquée
Nous avions montré que l’inertie totale du nuage de points formé par les profils ligne est donnée
par l’expression :
I = tr(DI
−1
(P − Cm Lm
t
)DJ
−1
(P − Cm Lm
t
)t
)
= tr((P − Cm Lm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
) DJ
−1
)
Pour une matrice diagonalisable, la trace est égale à la somme des valeurs propres. Donc
I = 1+ 2 + … + r
Les composantes principales portées par le s-ième axe principal (vecteur us) sont données par :
Fs = DI
−1
(P − Cm Lm
t
) DJ
−1
us
Nous rappelons que les composantes principales sont constituées à partir des projections du
nuage de points sur l’axe principal. L’inertie expliquée par l’axe s est alors :
s = Fs
t
DI Fs

Inertie du nuage des profils colonne
On considère maintenant le nuage des profils colonne dans l’espace RI. On note Ic l’inertie de ce
nuage de points en prenant comme centre le profil colonne moyen Cm. On a alors :
I 𝐜 =
j=1,J
f.j d Cj , Cm
2
=
j=1,J
f.j
i=1,I
fi.
fij
fi.f.j
−
fi.
fi.
2
=
j=1,J
f.j
i=1,I
1
fi.
fij
f.j
− fi.
2
Ce qui peut s’écrire:
I 𝐜= tr(DJ
−1
(Pt
− Lm Cm
t
)DI
−1
(Pt
− Lm Cm
t
)t
)
= tr(DJ
−1
(P − Cm Lm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
)t
)
On peut montrer facilement que :
I 𝐜= tr(DJ
−1
(P − Cm Lm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
)t
)=tr(DI
−1
(P − Cm Lm
t
) DJ
−1
(P − Cm Lm
t
)t
)=I
On voit que les inerties des deux nuages de points (profils ligne et profils colonne) sont égales.
Comme pour l’analyse directe (des profils ligne), on est amené à considérer sur l’espace des
profils colonne une métrique Euclidienne pondérée par l’inverse des poids (fi.). Ainsi, le produit
scalaire de deux vecteurs v,w de RI s’écrit :
<v , w>2 =
i=1,I
vi
1
fi.
wi

Projeter les profils colonne sur un axe
Cm est le barycentre du nuage des profil colonne Cj pondérés par les
poids (fi.). D’un autre côté, la liaison entre les deux variables est
caractérisée par la dispersion du nuage de points par rapport à Cm.
On cherche un vecteur unitaire v1 pour projeter le nuage de points
sur l’axe qui récupère un maximum d’inertie :
I1 =
j=1,J
f.j CmN1j
2
Or on a :
CmO1j = <CmCj, v1>2 =
i=1,I
(
fij
f.j
− fi.)
1
fi.
v1,i
Soit G1 le vecteur dont les composantes sont les projections des Cj sur la droite D1. c’est-à-dire les
CmN1i, on a :
G1 = (DJ
−1
Pt
−𝕝J Cm
t
)DI
−1
v1
Or
DJ 𝕝J = Lm
Donc :
G1 = DJ
−1
(Pt
− Lm Cm
t
)DI
−1
v1
Cm
RI
v1
Cj
N1j
D1

Projeter les profils colonne sur un axe
Le vecteur unitaire v1 qui explique le maximum de l’inertie du nuage de points vérifie :
v1 = arg max
v
Gt
(v) DJ G(v)
où
G(v) = DJ
−1
(Pt
− Lm Cm
t
)DI
−1
v
Sous la contrainte:
v 2 =
i=1,I
1
fi.
vi
2
= vt
DI
−1
v = 1
On peut donc écrire :
v1 = arg max
v
vt
DI
−1
(Pt
− Lm Cm
t
)t
DJ
−1
(Pt
− Lm Cm
t
) DI
−1
𝐯
Ou encore
v1 = arg max
v
vt
DI
−1
(P − CmLm
t
) DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
𝐯
vt
DI
−1
v = 1
G
RJ
u1
Li
N1i
D1

On va alors maximiser le Lagrangien:
L (u) = vt
DI
−1
(P − CmLm
t
) DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
𝐯 − (vt
DI
−1
v − 1)
 étant le multiplicateur de Lagrange. Le maximum est atteint lorsque la dérivée suivante
s’annule :
𝜕L
𝜕𝐮
= 2DI
−1
(P − CmLm
t
) DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
𝐯 − 2 DI
−1
𝐮 = 0
ou
(P − CmLm
t
) DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
𝐯 =  𝐯
Ainsi :
• v1 est vecteur propre de T = (P − CmLm
t
) DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
associé à une valeur propre 1
• 1 doit être la plus grande des valeurs propres.
• v1
t
DI
−1
v1= 1
On rappelle que
𝐒 = (P − CmLm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
) DJ
−1
Donc S et T (produits de mêmes termes) possèdent les mêmes valeurs propres non nulles. Donc
s = s pour s=1,r.

Nous avons :
(P − CmLm
t
) DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
𝐯1 = 1v1
On multipliant chaque terme de cette égalité par DI
−1
2
à droite, on obtient :
DI
−1
2
(P − CmLm
t
) DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
2
DI
−1
2
u1 = 1DI
−1
2
u1
On pose :
v1 = DI
−1
2
v1
On peut écrire :
DI
−1
2
(P − CmLm
t
) DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
2
v1 = 1v1
v1 est vecteur propre de 𝐓 = DI
−1
2
(P − CmLm
t
) DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
2
associé à la valeur propre 1.
𝐓 est symétrique définie-positive de rang r égal à celui de P − CmLm
t
, donc diagonalisable avec les
valeurs propres positives ou nulles 1 2  …  r > 0 et v1, v2, … vr les vecteurs propres unitaires
(pour la métrique euclidienne) associés.
On en déduit que T admet les mêmes valeurs propres et les vecteurs propres vs = DI
−1
2
vs.
On a par ailleurs pour s=1,r: vs
t
DI
−1
vs = vs
t
vs = 1.
Ce qu’on recherchait dans le problème d’optimisation.

Inertie totale et inertie expliquée
L’inertie totale du nuage de points formé par les profils colonne est donnée par l’expression :
I = tr((P − CmLm
t
) DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
)
= 1+ 2 + … + r
Les composantes principales portées par le s-ième axe principal (vecteur vs) sont données par :
Gs = DJ
−1
(Pt
− Lm Cm
t
)DI
−1
vs
Gs = DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
vs
L’inertie expliquée par l’axe s est alors :
s = Gs
t
DJ Gs

Synthèse des relations matricielles
On a : us = DJ
1
2
us et 𝐒 us = sus
où 𝐒 = DJ
−1
2
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
(P − Cm Lm
t
)DJ
−1
2
On pose : X =DI
−1
2
(P − Cm Lm
t
)DJ
−1
2
. On a:
𝐒 = X
t
X = U DU
t
Avec U = u1 | u2 | … | ur et D = diag(s)
Fs = DI
−1
(P − Cm Lm
t
) DJ
−1
us et on pose : Fs = DI
1
2
Fs
On voit facilement que: X us = Fs et s = Fs
t
DI Fs = Fs
t
F
F = X U avec F = F1 | F2 | … | Fr
Les composantes principales s’obtiennent alors par :
F = DI
−1
2
F
On a : vs = DI
1
2
vs et T vs = svs
où T = DI
−1
2
(P − CmLm
t
) DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
2
On pose : X =DI
−1
2
(P − Cm Lm
t
)DJ
−1
2
. On a:
T = X X
t
= V DV
t
Avec V = v1 | v2 | … | vr et D = diag(s)
Gs = DJ
−1
(P − CmLm
t
)t
DI
−1
vs et on pose : Gs = DJ
1
2
Gs
On voit facilement que: X
t
vs = Gs et s = Gs
t
DJ Gs = Gs
t
G
G = X
t
V avec G = G1 | G2 | … | Gr
Les composantes principales s’obtiennent alors par :
G = DJ
−1
2
G

Synthèse des relations matricielles
Les relations matricielles de la diapositive précédente, en s’inspirant du cours sur l’ACP, permettent
d’écrire: X = V Σ U
t
où Σ = D
1
2
est la matrice diagonale dont les termes diagonaux, appelés valeurs
singulières de X, sont 1, 2, … , r.
Cette décomposition aurait d’ailleurs pu être obtenue directement par la décomposition en valeurs
singulières de X (ou SVD: Singular Value Decomposition). Mais nous avons préféré une construction
directe des matrices pour en saisir la signification.

Nous avons à la fois X us = Fs et X
t
vs = Gs, qui sont liées aux coordonnées des projections des
profils sur les axes principaux.
On a : = us
t
X
t
X us = vs
t
X X
t
vs = s. On en déduit : Fs = Gs = s
On a aussi : Fs = X us et vs sont des vecteurs propres de X X
t
associés à s donc on peut écrire
pour s=1,r :
Fs =X us = s vs et Gs =X
t
vs= s us.
Par ailleurs, à partir deX us = s vs, s=1,r on obtient la relation :
X .
s=1
r
usus
t
=
s=1
r
s vs us
t
Comme les vecteurs propres us, s=1,r sont orthogonaux et de norme 1, on peut écrire :
X =
s=1
r
s vs us
t
Factorisation et reconstruction des données

u1,1 u1,2  u1,J u2,1 u2,2  u2,J
1 + 2X =
ur,1 ur,2  ur,J
+ r
Comme pour l’ACP, les développements de l’AFC nous permettent de factoriser la matrice X. Cela
permet de réduire la dimensionnalité des données de IxJ à r(I+J) où r est le rang de la matrice X
t
X.
v1,1
v1,2
⸽
v1,I
v2,1
v2,2
⸽
v2,I
u1,1 u1,2 … u1,J
u2,1 u2,2 … u2,J
X =
…
…
⸽
…
⋮ … ⋮
vr,1
vr,2
⸽
vr,I
ur,1 ur,2 … ur,J
1
0 … 0
0 2
… 0
⋮ ⋱ ⋮
0 0 … r
v1,1
v1,2
⸽
v1,I
v2,1
v2,2
⸽
v2,I
vr,1
vr,2
⸽
vr,I
On voit facilement que cette factorisation de X permet de s’écrire sous une forme plus compacte :
+ …
X = V ΣUt

X
I x J
AFC001 - 56
On peut négliger des valeurs propres et se limiter à (s) pour s=1,k avec k << r, si l’inertie cumulée
est importante. Cela permet de réduire considérablement la dimensionnalité des données.
V
I x k
=
ΣI x k Ut
k x J
X
I x J
V
I x k
=
ΣI x k
Ut
k x J
On peut aussi se limiter aux deux premiers axes principaux pour visualiser les liaisons entre les
variables sur un plan.

Matrice des probabilités: Exemple
AFC001 - 57
On utilise le code python pour
obtenir la matrice des probabilités P :
On calcule ensuite le profil ligne moyen Lm et le profil
colonne moyen Cm. Ces deux vecteurs sont utilisés pour
calculer CmLm
t
.

Caractériser l’écart à l’indépendance
AFC001 - 58
On calcule les matrices diagonales DI et DJ
et on les utilise pour calculer X.
On aurait pu calculer X de façon moins
élégante :
La matrice X nous permet de caractériser l’écart à l’indépendance.

Déterminer les axes principaux
AFC001 - 59
On calcule 𝐒 = X
t
X et T = X X
t
. Ensuite on
calcule les valeurs et vecteurs propres de 𝐒.
Trier les couples (valeur et vecteur propres) de 𝐒 dans
l’ordre décroissant des valeurs propres et calculer D.
On procède de même pour T = X X
t
.

Calculer les composantes principales
AFC001 - 60
On calcule U = u1 | u2 | … | ur et
V = v1 | v2 | … | vr .
On obtient aussi F = X U et G = X
t
V.
On peut ainsi vérifier que 𝐒 = X
t
X = U DU
t
et
T = X X
t
= V DV
t
.
On calcule alors les composantes principales :
F = DI
−1
2
F et G = DJ
−1
2
G.

Projection sur le plan factoriel
On écrit le code python qui permet de projeter les deux nuages de points sur le plan factoriel.

Projection sur le plan factoriel
Comme pour l’ACP, le plan factoriel va permettre d’analyser les liaisons entre les variables selon les
deux premières composantes principales.

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