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ANALYSE EN COMPOSANTES
      PRINCIPALES
                  Mehdi AMAN



                    Décembre 2012
ANALYSE EN COMPOSANTES
PRINCIPALES

PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE
L’Analyse en Composantes Principales
(ACP)


 L’analyse en composantes principales est une méthode
 d’analyse multidimensionnelle des données.
 Les variables sujettes à cette analyse sont des variables
 quantitatives.
 L’analyse en composantes principales repose sur l’analyse des
 relations entre un nombre important de variables
Utilité de l’ACP
Cette méthode est utilisée pour identifier:


1.   Les dimensions ou les facteurs fondamentaux qui expliquent
     les corrélations entre plusieurs variables;
2.   Un nouvel et plus petit ensemble de variables non corrélées;
3.   Un ensemble plus petit des variables les plus déterminantes;
Avec la condition de…



      G  ARDER LE MAXIMUM
     D’INFORMATION POSSIBLE
L’ ACP appliquée en Marketing
Cette méthode trouve de nombreuses applications dans le
domaine des études marketing:
1.   Segmentation du marché;
2.   Etudes de positionnement;
3.   En recherche produit;
4.   Etudes publicitaires;
5.   Etudes prix…
Le Modèle d’ACP
                                  Le modèle d’ACP : Le score Factoriel

                                        𝐹𝑖𝑗 = 𝑋 𝑖1 𝐴1 + 𝑋 𝑖2 𝐴2 + ⋯ + 𝑋 𝑖𝑗 𝐴 𝑗

                                  Où:

                                   𝑭 𝒊𝒋 : est le score de l’individu i sur le
                                  facteur j

                                   𝑿 𝒊𝒋 : est la valeur centrée réduite de
                                  l’individu i sur la variable j

                                  𝑨 𝒋 : Coefficients Factoriels*

                                  Nous avons autant de facteurs que de
                                  variables


* Extraits des vecteurs propres
Analyse des facteurs en commun ou ACP?
                              𝑋1
                                         𝑋1 𝑋2 𝑋3
                                    𝑋1   <1

                                    𝑋2        <1
       AF
            Communautés        𝑋2   𝑋3             <1




ACP
                              𝑋3
                                          𝑋1 𝑋2 𝑋3
                                    𝑋1   1

                                    𝑋2        1

                                    𝑋3             1

               Unités
Glossaire ACP
 Tableau de données: Tableau croisant les individus i et les variables j;


 Matrice des corrélations: Corrélations entre l’ensemble des couples de variables;


 Matrice des corrélations reconstituée: A partir des composantes sélectionnées;


 Résidus: L’écart entre la matrice des corrélations et celle des corrélations reconstituée;


 Valeur propre: Représente la variance totale expliquée par chaque facteur, axe, composante;


 Vecteur propre: Représente les coefficients factoriels;


 Matrice des loadings: Corrélations entre les variables et les facteurs;


 Rotation: Technique qui consiste à pivoter les facteurs avec un angle θ;
Glossaire ACP
 Contribution: Contribution de chaque variable/individu dans la formation de les axes;


 Représentation: A quel degré les variables/individus sont bien représentés sur les axes;


 Score factoriel: Pour chaque i, ce sont les nouvelles coordonnées sur les facteurs principaux;

 Test de coude ou Scree Test: Graphique des valeurs propres, pris dans leur ordre
   d’importance;

 Test de Sphéricité de Bartlett: Compare la matrice des corrélation à une matrice identité.


 Test Kaiser Mayer Olkin (KMO): Utilisé pour mesurer l’adéquation de l’ACP ou l’AF, il doit


   être compris en 0,5 et 1;


 Pourcentage de variance (inertie): Part de la variance totale attribuée à chaque facteur;
ANALYSE EN COMPOSANTES
PRINCIPALES
PRE-REQUIS
Notions sur les vecteurs
       Supposons les deux vecteur V1 et V2 :


                         2
                    V1 = 2                        V2 =   2
                         1                               2


       Graphiquement les deux vecteurs se présentent comme suit:
                                               Y


V1                                         V2




                                                                   X
Notions sur les vecteurs
 Y
                                       Trois informations:
                  vα


                           vβ          1- La direction
                                       2- Le sens
                           X           3- La norme (longueur)

                         𝑥1
                         𝑥
     Soit le vecteur V = 2                                𝒗 𝜶 .𝒗 𝜷
                         .
                         𝑥𝑛             ProjVα Vβ =   (            )𝒗 𝒂
                                                          𝒗𝜶. 𝒗𝜶
       𝑽 =   𝑥1 2 + 𝑥2 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 2
Rappel sur les statistiques descriptives


                                              𝒏                            𝒏
                                             𝒊=𝟏(𝒙 𝒊      − 𝒙)²
      𝒏
     𝒊=𝟏   𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯+ 𝒙 𝒏                                                   𝒙𝒊 − 𝒙   𝟐
𝒙=
                  𝒏             𝝈 𝒙² =                             𝝈𝒙 =
                                                      𝒏                   𝒊=𝟏
                                                                                    𝒏




                                          𝒏
                                         𝒊=𝟏(𝒙 𝒊   − 𝒙)(𝒚 𝒊 − 𝒚)
                                𝒓 𝒙𝒚 =
                                                   𝝈𝒙 𝝈𝒚
ANALYSE EN COMPOSANTES
PRINCIPALES
PRINCIPE
Principe de base dans l’estimation des
facteurs
       Nuage d’individus




      ACP Normée: menée sur des données centrées et réduites
Principe de base dans l’estimation des
 facteurs
               Nuage de variables




Le cosinus de l’angle formé par les deux vecteurs est égal au coefficient de corrélation
                               entre ces deux vecteurs
Principe de base dans l’estimation des
facteurs
       Ajustement du nuage d’individus: Projection des i
Principe de base dans l’estimation des
facteurs
       Ajustement du nuage des individus: Projection des d²(i , l)
Principe de base dans l’estimation des
facteurs
       Ajustement du nuage des variables
Cours acp mehdi_aman
ANALYSE EN COMPOSANTES
PRINCIPALES
Mener une ACP sur SPSS
Mener une ACP sur SPSS




              Calculer la                                  Calculer les      Estimer
Formuler le                  Extraire les   Interpréter
              matrice des                                     scores      l’adéquation
 problème                     facteurs      les facteurs
              corrélations                                  factoriels      du modèle
I- Formuler le problème



 Objectif(s) de l’étude;
 Variables d’études;
 Echelle;
 Taille de l’échantillon;
Etude de cas
Les avantages fondamentaux recherchés
 par les consommateurs lors de l’achat
             d’un dentifrice
I- Formuler le problème

• Le sondage est réalisé sur un échantillon de 30 personnes
 dans un centre commercial, ces dernières ont donné leur
 avis sur les affirmations suivantes, sur une échelle de 1 à 7
 (1: En total désaccord; 7: entièrement d’accord):

   V1: Il est important d’utiliser un dentifrice qui prévient la formation des caries;
   V2: Un dentifrice doit rendre les dents brillante;
   V3: Un dentifrice doit renforcer les gencives;
   V4: Un dentifrice doit rafraîchir l’haleine;
   V5: La prévention ces caries n’est pas un avantages important du dentifrice
   V6: Un dentifrice doit, avant tout, donner de belles dents;
I- Formuler le problème

Saisie des données sur SPSS

Répondant       V1            V2   V3   V4   V5   V6
    1            7            3    6    4    4    2
    2            1            3    2    4    5    4
    3            6            2    7    4    1    3
    4            4            5    4    6    2    5
    …
    30           2            3    2    4    7    2
I- Formuler le problème

Saisie des données sur SPSS
Lancer l’ACP sur SPSS
Lancer l’ACP sur SPSS

Bouton Descriptives
Lancer l’ACP sur SPSS

Bouton Extraction
Lancer l’ACP sur SPSS

Bouton Rotation
Lancer l’ACP sur SPSS

Bouton Facteurs
II- Calculer la matrice des corrélation
II- Calculer la matrice des corrélation
III- Extraire les facteurs et déterminer leur
nombre
III- Extraire les facteurs et déterminer leur
    nombre




   Détermination a priori ou considérations théoriques;
   Détermination fondée sur les valeurs propres;
   Scree-Test;
   Pourcentage de la variance;
   Test de fiabilité de deux sous-échantillons;
   Signification statistiques des valeurs propres;
IV- Interpréter les facteurs
IV- Interpréter les facteurs
IV- Interpréter les facteurs
Contribution des variables en %                                Représentation des variables
Après rotation

                   Facteur 1      Facteur 2                                     Facteur 1     Facteur 2
       V1            34,407         0,019                            V1           0,926         0,000
       V2            0,146         31,815                            V2           0,004         0,719
       V3            32,490         0,868                            V3           0,874         0,020
       V4            0,400         32,238                            V4           0,011         0,728

       V5            32,332         0,358                            V5           0,870         0,008

       V6            0,225         34,702                            V6           0,006         0,784


                 V1: Il est important d’utiliser un dentifrice qui prévient la formation des caries;
                 V2: Un dentifrice doit rendre les dents brillante;
                 V3: Un dentifrice doit renforcer les gencives;
                 V4: Un dentifrice doit rafraîchir l’haleine;
                 V5: La prévention ces caries n’est pas un avantages important du dentifrice
                 V6: Un dentifrice doit, avant tout, donner de belles dents;
IV- Interpréter les facteurs


                                                      V1: Prévention de la formation des caries;
Bienfaits sociaux




                                                      V2: Dents brillantes;
                                                      V3: Renforce les gencives;
                                                      V4: Rafraîchit l’haleine;
                                                      V5: La prévention des caries (NI)
                                                      V6: De belles dents;




                          Hygiène & santé des dents
V- Calcul des scores factoriels
V- Calcul des scores factoriels
VI- Déterminer l’ajustement du modèle


  Une comparaison entre la matrice des
  corrélations initiale et la matrice des
  corrélations reconstituée à partir des
                 facteurs

    Evaluation de la significativité des
                 résidus
VI- Déterminer l’ajustement du modèle
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  • 1. Royaume Du Maroc Université Ibn Zohr Ecole Nationale de Commerce et de Gestion d’Agadir ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES Mehdi AMAN Décembre 2012
  • 3. L’Analyse en Composantes Principales (ACP)  L’analyse en composantes principales est une méthode d’analyse multidimensionnelle des données.  Les variables sujettes à cette analyse sont des variables quantitatives.  L’analyse en composantes principales repose sur l’analyse des relations entre un nombre important de variables
  • 4. Utilité de l’ACP Cette méthode est utilisée pour identifier: 1. Les dimensions ou les facteurs fondamentaux qui expliquent les corrélations entre plusieurs variables; 2. Un nouvel et plus petit ensemble de variables non corrélées; 3. Un ensemble plus petit des variables les plus déterminantes;
  • 5. Avec la condition de… G ARDER LE MAXIMUM D’INFORMATION POSSIBLE
  • 6. L’ ACP appliquée en Marketing Cette méthode trouve de nombreuses applications dans le domaine des études marketing: 1. Segmentation du marché; 2. Etudes de positionnement; 3. En recherche produit; 4. Etudes publicitaires; 5. Etudes prix…
  • 7. Le Modèle d’ACP Le modèle d’ACP : Le score Factoriel 𝐹𝑖𝑗 = 𝑋 𝑖1 𝐴1 + 𝑋 𝑖2 𝐴2 + ⋯ + 𝑋 𝑖𝑗 𝐴 𝑗 Où: 𝑭 𝒊𝒋 : est le score de l’individu i sur le facteur j 𝑿 𝒊𝒋 : est la valeur centrée réduite de l’individu i sur la variable j 𝑨 𝒋 : Coefficients Factoriels* Nous avons autant de facteurs que de variables * Extraits des vecteurs propres
  • 8. Analyse des facteurs en commun ou ACP? 𝑋1 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋1 <1 𝑋2 <1 AF Communautés 𝑋2 𝑋3 <1 ACP 𝑋3 𝑋1 𝑋2 𝑋3 𝑋1 1 𝑋2 1 𝑋3 1 Unités
  • 9. Glossaire ACP  Tableau de données: Tableau croisant les individus i et les variables j;  Matrice des corrélations: Corrélations entre l’ensemble des couples de variables;  Matrice des corrélations reconstituée: A partir des composantes sélectionnées;  Résidus: L’écart entre la matrice des corrélations et celle des corrélations reconstituée;  Valeur propre: Représente la variance totale expliquée par chaque facteur, axe, composante;  Vecteur propre: Représente les coefficients factoriels;  Matrice des loadings: Corrélations entre les variables et les facteurs;  Rotation: Technique qui consiste à pivoter les facteurs avec un angle θ;
  • 10. Glossaire ACP  Contribution: Contribution de chaque variable/individu dans la formation de les axes;  Représentation: A quel degré les variables/individus sont bien représentés sur les axes;  Score factoriel: Pour chaque i, ce sont les nouvelles coordonnées sur les facteurs principaux;  Test de coude ou Scree Test: Graphique des valeurs propres, pris dans leur ordre d’importance;  Test de Sphéricité de Bartlett: Compare la matrice des corrélation à une matrice identité.  Test Kaiser Mayer Olkin (KMO): Utilisé pour mesurer l’adéquation de l’ACP ou l’AF, il doit être compris en 0,5 et 1;  Pourcentage de variance (inertie): Part de la variance totale attribuée à chaque facteur;
  • 12. Notions sur les vecteurs Supposons les deux vecteur V1 et V2 : 2 V1 = 2 V2 = 2 1 2 Graphiquement les deux vecteurs se présentent comme suit: Y V1 V2 X
  • 13. Notions sur les vecteurs Y Trois informations: vα vβ 1- La direction 2- Le sens X 3- La norme (longueur) 𝑥1 𝑥 Soit le vecteur V = 2 𝒗 𝜶 .𝒗 𝜷 . 𝑥𝑛 ProjVα Vβ = ( )𝒗 𝒂 𝒗𝜶. 𝒗𝜶 𝑽 = 𝑥1 2 + 𝑥2 2 + ⋯ + 𝑥 𝑛 2
  • 14. Rappel sur les statistiques descriptives 𝒏 𝒏 𝒊=𝟏(𝒙 𝒊 − 𝒙)² 𝒏 𝒊=𝟏 𝒙 𝟏 + 𝒙 𝟐 + ⋯+ 𝒙 𝒏 𝒙𝒊 − 𝒙 𝟐 𝒙= 𝒏 𝝈 𝒙² = 𝝈𝒙 = 𝒏 𝒊=𝟏 𝒏 𝒏 𝒊=𝟏(𝒙 𝒊 − 𝒙)(𝒚 𝒊 − 𝒚) 𝒓 𝒙𝒚 = 𝝈𝒙 𝝈𝒚
  • 16. Principe de base dans l’estimation des facteurs  Nuage d’individus ACP Normée: menée sur des données centrées et réduites
  • 17. Principe de base dans l’estimation des facteurs  Nuage de variables Le cosinus de l’angle formé par les deux vecteurs est égal au coefficient de corrélation entre ces deux vecteurs
  • 18. Principe de base dans l’estimation des facteurs  Ajustement du nuage d’individus: Projection des i
  • 19. Principe de base dans l’estimation des facteurs  Ajustement du nuage des individus: Projection des d²(i , l)
  • 20. Principe de base dans l’estimation des facteurs  Ajustement du nuage des variables
  • 23. Mener une ACP sur SPSS Calculer la Calculer les Estimer Formuler le Extraire les Interpréter matrice des scores l’adéquation problème facteurs les facteurs corrélations factoriels du modèle
  • 24. I- Formuler le problème  Objectif(s) de l’étude;  Variables d’études;  Echelle;  Taille de l’échantillon;
  • 25. Etude de cas Les avantages fondamentaux recherchés par les consommateurs lors de l’achat d’un dentifrice
  • 26. I- Formuler le problème • Le sondage est réalisé sur un échantillon de 30 personnes dans un centre commercial, ces dernières ont donné leur avis sur les affirmations suivantes, sur une échelle de 1 à 7 (1: En total désaccord; 7: entièrement d’accord):  V1: Il est important d’utiliser un dentifrice qui prévient la formation des caries;  V2: Un dentifrice doit rendre les dents brillante;  V3: Un dentifrice doit renforcer les gencives;  V4: Un dentifrice doit rafraîchir l’haleine;  V5: La prévention ces caries n’est pas un avantages important du dentifrice  V6: Un dentifrice doit, avant tout, donner de belles dents;
  • 27. I- Formuler le problème Saisie des données sur SPSS Répondant V1 V2 V3 V4 V5 V6 1 7 3 6 4 4 2 2 1 3 2 4 5 4 3 6 2 7 4 1 3 4 4 5 4 6 2 5 … 30 2 3 2 4 7 2
  • 28. I- Formuler le problème Saisie des données sur SPSS
  • 30. Lancer l’ACP sur SPSS Bouton Descriptives
  • 31. Lancer l’ACP sur SPSS Bouton Extraction
  • 32. Lancer l’ACP sur SPSS Bouton Rotation
  • 33. Lancer l’ACP sur SPSS Bouton Facteurs
  • 34. II- Calculer la matrice des corrélation
  • 35. II- Calculer la matrice des corrélation
  • 36. III- Extraire les facteurs et déterminer leur nombre
  • 37. III- Extraire les facteurs et déterminer leur nombre  Détermination a priori ou considérations théoriques;  Détermination fondée sur les valeurs propres;  Scree-Test;  Pourcentage de la variance;  Test de fiabilité de deux sous-échantillons;  Signification statistiques des valeurs propres;
  • 40. IV- Interpréter les facteurs Contribution des variables en % Représentation des variables Après rotation Facteur 1 Facteur 2 Facteur 1 Facteur 2 V1 34,407 0,019 V1 0,926 0,000 V2 0,146 31,815 V2 0,004 0,719 V3 32,490 0,868 V3 0,874 0,020 V4 0,400 32,238 V4 0,011 0,728 V5 32,332 0,358 V5 0,870 0,008 V6 0,225 34,702 V6 0,006 0,784 V1: Il est important d’utiliser un dentifrice qui prévient la formation des caries; V2: Un dentifrice doit rendre les dents brillante; V3: Un dentifrice doit renforcer les gencives; V4: Un dentifrice doit rafraîchir l’haleine; V5: La prévention ces caries n’est pas un avantages important du dentifrice V6: Un dentifrice doit, avant tout, donner de belles dents;
  • 41. IV- Interpréter les facteurs V1: Prévention de la formation des caries; Bienfaits sociaux V2: Dents brillantes; V3: Renforce les gencives; V4: Rafraîchit l’haleine; V5: La prévention des caries (NI) V6: De belles dents; Hygiène & santé des dents
  • 42. V- Calcul des scores factoriels
  • 43. V- Calcul des scores factoriels
  • 44. VI- Déterminer l’ajustement du modèle Une comparaison entre la matrice des corrélations initiale et la matrice des corrélations reconstituée à partir des facteurs Evaluation de la significativité des résidus