• Les statistiques peuvent être vues en fonction de l'objectif fixé ;

Analyse de données
Pr Dr. Hasna CHAIBI
2021-2022
1

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Plan
❑Introduction
❑Analyse en Composantes Principales
❑Analyses Factorielles
❑Analyse Factorielle des Correspondances
❑Analyse des Correspondances Multiples
❑Analyse Factorielle Discriminante
❑Classification
2

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
• Les statistiques peuvent être vues en fonction de l'objectif fixé ;
• Les méthodes statistiques sont employées soit pour:
➢Explorer les données (nommée statistique exploratoire)
➢Prédire un comportement (nommée statistique prédictive ou décisionnelle)
• La statistique exploratoire s'appuie sur des techniques descriptives et
graphiques. Elle est généralement décrite par la statistique
descriptive qui regroupe des méthodes exploratoires simples, uni- ou
bidimensionnelle (moyenne, variance, corrélation, ...) et la statistique
exploratoire multidimensionnelle.
3

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
• Statistiques Descriptives permettent de résumer des données grâce à des calculs ou des
graphique simple ( en calculant la moyenne, la variance, l’écart types…)
• Statistiques exploratoire permettent de tirer les informations de jeu de données qui
sont un peu plus volumineux, Autrement dit c’est d’extraire des informations à partir
d’un jeu de données sans nécessairement avoir une question précise derrière la tête ou
sans avoir des attentes particulières sur une information précise, donc vous laissez plus
ou moins guider par l’analyse.
• Statistiques prédictive permettent de prédire un comportement c-à-d d'extraction de
connaissances à partir de données qui analysent des faits présents et passés pour faire
des hypothèses prédictives sur des événements futurs. Une des applications les plus
connues est l'évaluation du risque-client, qui est utilisée dans l'ensemble des services
financiers. Les modèles d'évaluation traitent les antécédents de crédit d'un client, les
demandes de prêt, les données client, etc. , afin de classer les individus selon la
probabilité de rembourser leurs crédits en temps voulu.
4

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
5

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
6
Statistiques exploratoire

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
7
Statistiques exploratoire

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
• La statistique exploratoire décrite par:
➢La statistique descriptive qui regroupe des méthodes exploratoires
simples, uni- ou bidimensionnelle (moyenne, variance, corrélation, ...)
➢ La statistique exploratoire multidimensionnelle.
L'analyse de données s'inscrit dans ce cadre de la statistique
exploratoire multidimensionnelle.
8

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
• Les méthodes d’analyse factorielle sont incontestablement des outils
fondamentaux de l’analyse des tableaux de données qui ne
présentent pas de structure particulière.
• Elles visent essentiellement un but descriptif, en condensant
l’information contenue dans un tableau, constitué souvent d’un
nombre élevé de lignes et de colonnes, en quelques représentations
graphiques à deux dimensions, accompagnées de tableaux reprenant
les valeurs numériques de caractéristiques destinées à aider
l’utilisateur lors de l’interprétation.
9

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
10
Maths
Elève1 17
Elève2 18
Elève3 15
Elève4 6
Elève5 5
Elève6 3
➢ Si on a une seule variable nous pouvons tracer les données sur une
droite numérique (représentation axiale)
Interprétation: Les élèves 1, 2et 3 ont valeurs relativement élevées et les
élèves 4,5 et 6 ont des faibles valeurs

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
11
Maths Histoire
Elève1 17 16
Elève2 18 12
Elève3 15 14
Elève4 8 10
Elève5 4 9
Elève6 7 6
➢ Si on a deux variables on trace les données en deux dimension
Les élèves 1,2 et 3
forment une classe
dans le côté droit
Et les élèves 4,5 et 6
forment une classe
dans le côté gauche

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
12
Maths Histoire Philos.
Elève1 18 4 17.5
Elève2 17 7 16.5
Elève3 16 8 15.75
Elève4 14 10 8
Elève5 13 12 6
Elève6 10 14 4.25
➢ Si on a trois variables, nous devons ajouter un autre axe ( graphe
de 3 dimensions)
Les petits points ont
des valeurs plus
élevées pour la
philosophie et sont
plus éloignés
Les points les plus
grands ont des
valeurs plus petites
pour la philosophie
et sont plus proches

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
13
Comment représenter les données
dans un seul graphique?
Maths Histoire Philos. Arabe Franc physiq
Elève1 18 4 17.5 … … …
Elève2 17 7 16.5 … … …
Elève3 16 8 15.75 … … …
Elève4 14 10 14 … … …
Elève5 13 12 13.5 … … …
Elève6 10 14 11.25 … … …
Elève7 8 16 8.75 … … …
Elève8 6 17 5.75 … … …
Elève9 3 18 3.25 … … …

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
14
Elève1 18 4 17.5 … … …
Elève2 17 7 16.5 … … …
Elève3 16 8 15.75 … … …
Elève4 14 10 14 … … …
Elève5 13 12 13.5 … … …
Elève6 10 14 11.25 … … …
Elève7 8 16 8.75 … … …
Elève8 6 17 5.75 … … …
Elève9 3 18 3.25 … … …
Tirer des conclusion à partir d’un tableau de 6 lignes (individus) et deux ou trois colonnes (variables) est
un exercice simple
Mais lorsque le tableau a plus de 3 colonnes (variables) les choses deviennent plus complexes.

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
15
Elève1 18 4 17.5 … … …
Elève2 17 7 16.5 … … …
Elève3 16 8 15.75 … … …
Elève4 14 10 14 … … …
Elève5 13 12 13.5 … … …
Elève6 10 14 11.25 … … …
Elève7 8 16 8.75 … … …
Elève8 6 17 5.75 … … …
Elève9 3 18 3.25 … … …
L’analyse des données permet de traiter un nombre très important de données et de dégager les aspects les
plus intéressants de la structure de celles-ci. Le succès de cette discipline dans les dernières années est dû,
dans une large mesure, aux représentations graphiques fournies.

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Analyse de Données
L’Objectif est de:
• Résumer, synthétiser ou condenser le comportement de P variables
(observer n fois)
• Réduire les dimensions qui permettent de retirer la redondance ou la
duplicité dans un ensemble de variables corrélées
16

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Les Méthodes d’Analyse de Données
❑Analyse par réduction des dimensions
• Analyse en composantes principales
• Analyse factorielle des correspondances
• Analyse des correspondances multiples
• Analyse canonique
• Positionnement multidimensionnel
• Analyse Factorielle Multiple
❑Analyse par classification
• Classification automatique
• Analyse factorielle discriminante
❑Analyse des données et régressions
17

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Les Méthodes d’Analyse de Données
18
Méthode statistique
exploratoire multidimensionnelle
Méthode factorielle
Facteurs
qui remplacent les variables initiales
Nombre données en
déformant le moins
possible la réalité
est
recherche
Réduit

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Logiciels
• L'analyse des données moderne ne peut être dissociée de
l'utilisation des ordinateurs ; de nombreux logiciels permettant
d'utiliser les méthodes d'analyse des données
19
SPSS XLSTAT Statistica Logiciel R

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Analyse en Composantes Principales (ACP)
• Le principe de l’ACP consiste à
représenter le nuage des n points dans
un espace 𝑶, 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒑
qui permettra, en des projections dans
l’espace engendré par les premiers
vecteurs, de montrer les grands
allongements de ce nuage.
𝑶, 𝒖𝟏, 𝒖𝟐, … , 𝒖𝒒 𝒂𝒗𝒆𝒄 𝒒 ≪ 𝒑
20

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• ACP est une méthode de la famille de l'analyse des données et plus
généralement de la statistique multivariée, qui consiste à transformer
des variables liées entre elles (dites « corrélées » en statistique) en
nouvelles variables décorrélées les unes des autres.
• Ces nouvelles variables sont nommées « composantes principales »,
ou axes principaux. Elle permet au praticien de réduire le nombre de
variables et de rendre l'information moins redondante.
• ACP est un outil de réduction de dimension qui permet de retirer la
redondance ou la duplicité dans un ensemble de variables corrélées
21

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
22
• Une technique exploratoire pour résumer les relations entre les
variables à l’aide d’un jeu des facteurs aussi réduit que possible.
• En plus de l’aspect réduction des données, ces facteurs sont sensées
discriminer les données de manière à être facilement interprétable.
• Une technique statistique dont le but est de représenter les relations
qui lient les variables à travers des valeurs prises par les individus.
• Permet de résumer l’ensemble des variables en un petit nombre de
variables synthétiques appelées facteurs.

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
23
Traitement univarié
Traitement bivarié
Traitement multivarié
Les variables sont traitées
une par une
Rechercher l’interaction
entre 2 variables
Rechercher la liaison
simultanée entre plus de
deux variables et fournir une
information synthétisée
Signifie
Traitement des données
Signifie
Signifie

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• ACP s’intéresse à des tableaux de données rectangulaires avec des individus en
lignes et des variables quantitatives en colonnes
24
✓ 9 individus (lignes)
✓ 6 variables (colonnes)
Individus
Variables quantitatives
Elève1 18 4 17.5 … … …
Elève2 17 7 16.5 … … …
Elève3 16 8 15.75 … … …
Elève4 14 10 14 … … …
Elève5 13 12 13.5 … … …
Elève6 10 14 11.25 … … …
Elève7 8 16 8.75 … … …
Elève8 6 17 5.75 … … …
Elève9 3 18 3.25 … … …

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Matrice de données, notations
• L’ACP traite des tableaux rectangulaires (matrice) donnant les valeurs d’un ensemble de variables
quantitatives( au nombre de p) relevés sur un ensemble d’individus (au nombre de n)
25
p Variables quantitatives
n Individus
X : le tableau (la matrice ) individu- variables
quantitatives
n : le nombre d’individus
p : le nombre des variables
i : L’indice désignant les individus
j : L’indice désignant les variables
ത
𝑋𝑗 : la moyenne de la jème variable ( ത
𝑋𝑗 =
𝟏
𝒏
σ𝒊=𝟏
𝒏
𝒙𝒊𝒋 )
𝑽 𝑿𝒋 : la variance de la jème variable (𝑽 𝑿𝒋 =
𝟏
𝒏
σ𝒊=𝟏
𝒏
(𝒙𝒊𝒋 − ത
𝑋𝑗)𝟐
)
𝝈(𝑿𝒋) : l’écart-type de la jème variable ( 𝝈 𝑿𝒋 = 𝑽 𝑿𝒋 )

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Variables
• Variable: élément qui peut prendre différentes valeurs
26

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Variables
• Variable Qualitative: variable dont
les modalités sont des mots.
✓Qualitative nominale dont les
modalités ne peuvent pas être
ordonnées selon leur sens, exp (
célibataire, conjoint, divorcé, marié,
veuf), groupe sanguin(O, O+, A, AB …)
✓Qualitative ordinales dont les
modalités s’ordonnent selon leur sens
exp( très satisfait, satisfait, insatisfait,
très insatisfait)
27
• Variable Quantitative: variable dont
les modalités sont des nombres, des
valeurs.
✓Variables quantitatives discrètes dont
les valeurs sont des nombres précis
isolés ( nombre d’années de scolarité
complétées 12, 13, 14, 16 ..)
✓Variables quantitatives continues les
modalités sont des nombres issus
d’un intervalle de nombres réels( 4
semaines, 10 mois, 2 ans, 14 ans et
demi…)

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Espace des individus (Notion de ressemblance )
• ACP permet de représenter les individus en fonction de leurs
« proximités » en explorant les liaisons entre variables et les
ressemblances entre individus.
Résultat 1:
➢Visualisation des individus (Notion de distance entre individus)
✓Quels sont ceux qui se ressemblent?
✓Quels sont ceux qui sont dissemblance?
28
On mesure la ressemblance entre deux individus par la distance euclidienne

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Espace des individus (Notion de ressemblance )
• Distance au carré entre individus i et j:
𝒅𝟐
𝒌, 𝒎 = ෍
𝒋=𝟏
𝒑
(𝒙𝒌𝒋 − 𝒙𝒎𝒋)𝟐
Etude des individus ↔ Etude de la forme du nuage N
29

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Espace des variable
• Résultat 2:
➢Visualisation des variables (en fonction de leurs corrélation)
✓Quelles sont celles qui sont associées?
✓Quelles sont celles qui ne le sont pas?
✓Quelles sont celles qui vont dans le même sens?
✓Quelles sont celles qui s’opposent?
• On mesure la ressemblance ou bien la liaison entre deux variables par le coefficient de corrélation
30

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Espace des variable (Notion de liaison)
• Si 𝑥𝑗 représente une variable j
• 𝑥𝑖 représentera la valeur de cette variable prise par le 𝑖è𝑚𝑒 individu
➢Moyenne: ത
𝑋𝑗 =
1
𝑛
σ𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖𝑗
➢Variance: 𝑉(𝑋𝑗) =
1
𝑛
σ𝑖=1
𝑛
(𝑥𝑖𝑗 − ത
𝑋)2
➢Ecart-Type: σ(𝑋𝑗) = 𝑉(𝑋𝑗)
31

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Espace des variable ( Notion de la liaison)
• Covariance: 𝜎𝑥,𝑦 =
1
𝑛
σ𝑖=1
𝑛
(𝑥𝑖 − ҧ
𝑥)( 𝑦𝑖 − ത
𝑦)
• Coefficient de Corrélation: 𝑟 𝑥, 𝑦 =
𝜎𝑥,𝑦
𝜎𝑥𝜎𝑦
− 1 ≤ 𝑟 𝑥, 𝑦 ≤ 1
32

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Espace des variable ( Notion de la liaison)
33
Coefficient de Corrélation
rx,y

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Centrage – Réduction de données
• Pour étudier la forme du nuage, deux prétraitements sont possible:
centrage et réduction de données
• Centrer les données: translater le nuage ce qui ne modifie pas la
forme du nuage
𝑌𝑖𝑘 = 𝑋𝑖𝑘 − ത
𝑋𝑘
• Réduire les données:
𝑍𝑖𝑘 =
𝑋𝑖𝑘 − ത
𝑋𝑘
𝜎𝑘
34
𝒀𝒊𝒌 sont les données
centrées
𝒁𝒊𝒌 sont les données
centrées-réduit

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Centrage – Réduction de données
35
Dans l’analyse en composantes principales,
les variables sont souvent normalisées
(réduites). Ceci est particulièrement
recommandé lorsque les variables sont
mesurées dans différentes unités (par
exemple: kilogrammes, kilomètres,
centimètres, …); sinon, le résultat de l’ACP
obtenue sera fortement affecté.
L’objectif est de rendre les variables
comparables.
La matrice des données centrées - Réduites

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Exemple de centrage de données
36
Maths Histoire
Elève1 18 4
Elève2 17 7
Elève3 16 8
Elève4 14 10
Elève5 13 12
Elève6 10 14
Nous calculerons la
moyenne des données
(notes) pour la variable
1 (Maths)
Et la moyenne des
données (notes) pour
la variable 2 (Histoire)
Calculer le centre de gravité: 𝐺 = ( ത
𝑋1, ത
𝑋2)

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
37
Avec les valeurs moyennes, nous
pouvons calculer le centre des
données (centre de gravité)
Nous allons maintenant déplacer les données de sorte que le centre soit au-dessus de l'origine dans le graphique
Note: le déplacement des données ne change pas la façon dont les
points de données sont positionnés les uns par rapport aux autres
Ce point est toujours
le plus élevé
Et ce point est toujours
le point le plus à droite
Le centre de gravité de
données centrées est G(0,0)

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
38

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Comment définir les nouveaux axes
• L’ACP vise à fournir une image simplifiée de nuage de point qui soit la plus fidèle
possible – trouver le sous-espace qui résume au mieux les données.
• Une image est bonne si on visualise bien la diversité, la variabilité dans les
données
• Une image est bonne s’elle ne déforme pas trop les distance entre individus
Comment quantifier la qualité d’une image ?
A l’aide de la notion de dispersion ou variabilité appelée Inertie.
𝐈𝐧𝐞𝐫𝐭𝐢𝐞 ≡ 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒄𝒆 𝒈é𝒏é𝒓𝒂𝒍𝒊𝒔é𝒆 à 𝒑𝒍𝒖𝒔𝒊𝒆𝒖𝒓𝒔 𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔𝒊𝒐𝒏
39

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
40
• Prenons une ligne aléatoire qui
passe par l’origine
• Pour quantifier l'adéquation de
cette ligne aux données , ACP
projette les données sur la ligne
• Puis mesure les distances et essaye
de trouver:
➢ La ligne qui maximise la
distance entre les points
projetés et l'origine (centre de
gravité)

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• Maintenant on cherche le meilleur plan qui permet de
visualiser au mieux le nuage de points ce plan contient les
meilleurs axes (axes principaux) ou ( composantes
principales)
• On commence par trouver le 1er axe principal
• Le premier axe (ou première composante principale) sera
tel que la variance des individus (sur cet axe) soit
maximale.
➢ Cet axe explique donc une certaine proportion de la
variance totale des individus → l’inertie
• Après nous faisons tourner la ligne, nous projetons les
points sur la ligne et nous calculons l’inertie.
• Nous répétons jusqu'à ce que nous finissions avec la ligne
avec la plus grande inertie.
41

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
42
• Pour une première proposition de la ligne, ACP
projette les point sur cette ligne et mesure les
distances entre ces points et l’origine
• Soit d1 est la distance entre le premier point et
l’origine.
• d2 est la distance entre le deuxième point et
l’origine.
• Etc …..
Inertie=
(𝒅𝟏
𝟐
+𝒅𝟐
𝟐
+𝒅𝟑
𝟐
+𝒅𝟒
𝟐
+ 𝒅𝟓
𝟐
+ 𝒅𝟔
𝟐
)
𝟔
=
𝟏
𝒏
σ𝒊=𝟏
𝒏
𝒅𝟐(𝑰𝒊, 𝑮)

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• La dispersion du nuage de points est mesurée par son inertie par rapport
au centre de gravité
• L’inertie I est égale à la somme des variances des variables étudiées
𝐼 = ෍
𝑗=1
𝑝
𝜎𝑗
2
=
1
𝑛
෍
𝒊=𝟏
𝒏
𝒅𝟐
(𝑰𝒊, 𝑮)
➢Remarque:
Dans le cas où les variables sont centrées réduites, la variance de chaque
variable veut 1
L’ inertie totale est alors égale à p (nombre de variables)
43

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
44
• Après la 1ère composante principale, on en
recherche une 2ème qui doit avoir les
propriétés suivantes:
➢Avoir une corrélation nulle avec la
première.
➢Avoir, à son tour, la plus grande
variance.
• Le processus se répète jusqu’à obtenir les p
composantes (où p représente le nombre de
variables initiales)

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Ajustement du nuage des individus
45
2ème Composante principale
1ère Composante principale 17%
83%

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
46

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
47
Tableau de données
Matrice de corrélation ( ∑ )
Ou
Matrice de variance-covariance (Ω )
Diagonalisation
Matrice des vecteurs
propres
Matrice diagonale des valeurs
propres
Les composantes
principales
Histogramme de valeurs
propres
Extraire les facteurs et déterminer
leur nombre
Les vecteurs
propres sont
les facteurs
Si les données sont hétérogènes
Si les données sont homogènes

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Choix de la matrice de variance covariance Ω ou de corrélation ∑ ?
➢Si les variables sont hétérogènes (exemple: prix et poids) alors on
doit choisir la matrice de corrélation notée ∑
➢Si les données sont homogènes (exemple: les notes (comparable) )
alors on choisit la matrice de variance covariance notée Ω
48

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• On compte faire l’analyse en composantes principales (ACP ) de la matrice X composée
de 6 individus { I1,I2, I3, I4, I5, I6 } et 3 variables {X1, X2, X3}
• A partir de la matrice X
1. Calculer le centre de gravité de X noté Gx.
2. Déduire la matrice Y la matrice des données centrées
3. Calculer le centre de gravité de Y, noté Gy.
4. Calculer la matrice variance covariance Ω de X
5. Calculer l’inertie totale I
6. Calculer Z la matrice des données centrées réduites.
7. Calculer la matrice de corrélation ∑
49
𝑋 =
2 0 1
1
0
2
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Centre de gravité
• Calculer le centre de gravité de X noté Gx
• 𝐺𝑥( ത
𝑋1, ത
𝑋2, ത
𝑋3) avec
• ത
𝑋1 =
1
6
σ𝑖=1
6
𝑥𝑖1 =
2+1+2+1
6
= 1
• ത
𝑋2 =
1
6
σ𝑖=1
6
𝑥𝑖2 =
1+1+1
6
=
1
2
• ത
𝑋3 =
1
6
σ𝑖=1
6
𝑥𝑖3 =
1+1+1
6
=
1
2
50
𝑋 =
2 0 1
1
0
2
0
0
1
1
1
0
1
0
1
1
0
0
Donc 𝐺𝑥( ത
𝑋1, ത
𝑋2, ത
𝑋3) = (1,
1
2
,
1
2
)

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Déduire la matrice Y la matrice des données centrées
• 𝒀𝒊𝒋 = 𝒙𝒊𝒋 − ഥ
𝑿𝒋 on a : ത
𝑋1 = 1 , ത
𝑋2 =
1
2
et ത
𝑋3 =
1
2
51

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Calculer le centre de gravité de Y, noté Gy.
• 𝐺𝑌(ത
𝑌1, ത
𝑌2, ത
𝑌3)
52
ത
𝑌1 =
1
6
෍
𝑖=1
6
𝑦𝑖1 =
1
2
∗
2 + 0 − 2 + 2 − 2
6
= 0
ത
𝑌2 =
1
6
෍
𝑖=1
6
𝑦𝑖2 =
1
2
∗
−1 − 1 − 1 + 1 + 1 + 1
6
= 0
ത
𝑌3 =
1
6
෍
𝑖=1
6
𝑦𝑖3 =
1 + 1 + 1 − 1 − 1 − 1
6
= 0
𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐺𝑌(ത
𝑌1, 𝑌2, ത
𝑌3) = (0,0,0)

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Calculer la matrice de variance covariance Ω de X
• Ω =
1
𝑛
𝑌𝑡𝑌
53
Ω =
1
24
16 0 0
0 6 −6
0 −6 6
=
1
12
8 0 0
0 3 −3
0 −3 3
• 𝑉 𝑋1 =
8
12
,
• 𝑉 𝑋2 =
3
12
=
1
4
,
• 𝑉 𝑋3 =
1
4
• 𝜎 𝑋1 =
8
12
,
• 𝜎 𝑋2 =
1
4
=
1
2
,
• 𝜎 𝑋3 =
8
12
Donc

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Calculer l’inertie totale I (Méthode 1)
• 𝐼 =
1
𝑛
σ𝒊=𝟏
𝒏
𝒅𝟐(𝑰𝒊, 𝑮𝒀) =
1
𝑛
σ𝑖=1
𝑛
𝐼𝑖
2
• 𝑰𝟏
𝟐 =
1
4
∗ 22 + −1 2 + 12 =
3
2
• 𝑰𝟐
𝟐
=
1
2
• 𝑰𝟑
𝟐 =
3
2
, 𝑰𝟒
𝟐 =
3
2
, 𝑰𝟓
𝟐 =
1
2
, 𝑰𝟔
𝟐 =
3
2
• Donc 𝐼 =
1
6
∗ (
3
2
+
1
2
+
3
2
+
3
2
+
1
2
+
3
2
) =
7
6
54

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Calculer l’inertie totale I (Méthode 2)
𝐼 = 𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒(Ω)= Ω11 + Ω22 + Ω33
𝐼 = 𝑇𝑟𝑎𝑐𝑒(Ω)=
8
12
+
3
12
+
3
12
=
7
6
= 1.166
55
Ω =
1
24
16 0 0
0 6 −6
0 −6 6
=
1
12
8 0 0
0 3 −3
0 −3 3

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Calculer Z la matrice des données centrées réduites.
• 𝑍𝑖𝑘 =
𝑋𝑖𝑘− ത
𝑋𝑘
𝜎𝑘
=
𝑌𝑖𝑗
𝜎𝑘
56
• 𝑉 𝑋1 =
8
12
• 𝑉 𝑋2 =
3
12
=
1
4
,
• 𝑉 𝑋3 =
1
4
• 𝜎 𝑋1 =
8
12
= 0.816
• 𝜎 𝑋2 =
1
4
=
1
2
= 0.5
• 𝜎 𝑋3 =
1
4
=0.5
On a:

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Calculer Z la matrice des données centrées réduites.
57
On a: Donc

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Calculer la matrice de corrélation ∑
• On a : ∑ =
𝟏
𝒏
𝒁𝒕𝒁
• =
1
6
6 0 0
0 6 −6
0 −6 6
=
1 0 0
0 1 −1
0 −1 1
• Interprétation:
➢ 𝑟 𝑋1, 𝑋2 = 𝑟 𝑋1, 𝑋3 = 0 ⇒ 𝑋1 𝑒𝑠𝑡 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑋2 𝑒𝑡 𝑋3
➢ 𝑟 𝑋2, 𝑋3 = −1 ⇒ 𝑋2 𝑒𝑡 𝑋3 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑓𝑜𝑟𝑡𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑐𝑜𝑟𝑟é𝑙é𝑠 𝑛é𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
Remarque: On peut calculer l’Inertie totale à partir de la matrice ∑
𝐼 = 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 (∑)= 1+1+1= 3= P 58

60
Question: Examinez la matrice des corrélations entre les variables. Et tirez des
conclusions concernant leurs corrélations.

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Démarche Mathématiques
❑Choix entre ACP Normée et ACP Non Normée
• On distingue deux type d’ACP :
➢ l’ACP non normée (sur matrice des variance covariances) qui analyse Y
➢ l’ACP normée (sur matrice des corrélations) qui analyse Z
• Matrice de variance covariance entre les variables (si les données homogènes):
Ω =
1
𝑛
𝑌𝑡𝑌
• Matrice de corrélation entre les variables (si les données hétérogènes):
∑ =
1
𝑛
𝑍𝑡𝑍 61
Y est la matrice des données centrées
Z est la matrice des données centrées-
réduites

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
62
Degré d’homogénéité
𝑺 =
𝒎𝒂𝒙(𝝈(𝑿𝒋))
𝒎𝒊𝒏(𝝈 𝑿𝒋 )
Forme quadratique
d’inertie
Inertie Totale
ACP normée S> 5 → données
hétérogènes
On utilise la matrice de
corrélation noté ∑ comme
forme quadratique d’inertie
I=Trace(∑) =p (nombre des
variables)
ACP non normée S< 5 → données homogènes On utilise la matrice de
variance covariance noté Ω
comme forme quadratique
d’inertie
I=Trace(Ω)= somme des
variances
Choix entre une ACP normée et ACP non normée

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
❑Choix entre ACP Normée et ACP Non Normée (Exemple)
Ω =
1
12
8 0 0
0 3 −3
1 −3 3
63
• 𝜎 𝑋1 =
8
12
= 0.816 𝜎 𝑋2 =
1
4
=
1
2
= 0.5 𝜎 𝑋3 =
8
12
=0.5
On a: 𝑺 =
𝒎𝒂𝒙(𝝈(𝑿𝒋))
𝒎𝒊𝒏(𝝈 𝑿𝒋 )
=
8
12
3
12
=
𝟖
𝟏𝟐
𝟑
𝟏𝟐
=
𝟖
𝟑
= 𝟏. 𝟔𝟑 < 𝟓 ⟹ 𝑨𝑪𝑷 𝑵𝒐𝒏 𝑵𝒐𝒓𝒎é𝒆
S< 𝟓 𝒅𝒐𝒏𝒄 𝒍𝒆𝒔 𝒅𝒐𝒏𝒏é𝒆𝒔 𝒔𝒐𝒏𝒕 𝒉𝒐𝒎𝒐𝒈è𝒏𝒆𝒔, 𝒐𝒏 𝒄𝒉𝒐𝒊𝒔𝒊 𝒖𝒏𝒆 𝑨𝑪𝑷 𝒏𝒐𝒏 𝒏𝒐𝒓𝒎é𝒆 𝒆𝒕 𝒍𝒂 𝒎𝒂𝒕𝒓𝒊𝒄𝒆 𝒅𝒆 𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒄𝒆
𝒄𝒐𝒗𝒂𝒓𝒊𝒂𝒏𝒄𝒆 Ω 𝒔𝒆𝒓𝒂 𝒄𝒐𝒎𝒎𝒆 𝒇𝒐𝒓𝒎𝒆 𝒒𝒖𝒂𝒅𝒓𝒂𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆𝒔 𝒅′
𝒊𝒏𝒆𝒓𝒕𝒊𝒆

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
❑Diagonalisation de Ω
➢Polynôme caractéristique de Ω
➢Valeurs propres de Ω
❑Calcul de l’Inertie à partir de valeurs propres
❑Fiabilité d’une ACP
❑Choix du nombre des axes à retenir pour une ACP
64

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Diagonalisation de la matrice de varaince-covariance Ω
• Les étapes de diagonalisation de Ω
1. Calculer le polynôme caractéristique 𝑃Ω (λ)
2. Déduire les valeurs propres λ𝑖
3. Déterminer les vecteurs propres 𝑢𝑖
4. Déterminer les matrices D et P telles que: Ω =P-1DP
65
• D est l matrice des valeurs propres
• P est la matrice des vecteurs propres

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
1. Calculer le polynôme caractéristique 𝑃Ω (λ)
66
Ω =
1
12
8 0 0
0 3 −3
𝑂 −3 3
=
2
3
0 0
0
1
4
−
1
4
0 −
1
4
1
4
𝑃Ω (λ)= det(Ω − λ𝐼𝑛) =
2
3
− λ 0 0
0
0
1
4
− λ −
1
4
−
1
4
1
4
− λ
𝑃Ω (λ)=
2
3
− λ
1
4
− λ −
1
4
−
1
4
1
4
− λ
=
2
3
− λ ∗ [ (
1
4
− λ)∗(
1
4
− λ)-((−
1
4
) *(−
1
4
))] = (−λ)(
2
3
− λ)(
1
2
− λ)

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
2. Déduire les valeurs propres λ𝑖
• On dit que λ est une valeur propre de la matrice Ω ↔ 𝑃Ω (λ) = 0
• 𝑃Ω (λ) = −λ
2
3
− λ
1
2
− λ = 0 ⇒ (−λ)=0 𝑜𝑢
2
3
− λ = 0 𝑜𝑢
1
2
− λ = 0
• Les valeurs propres doivent être ordonnées dans l’ordre décroissant
λ1 =
2
3
, λ2 =
1
2
, λ3=0 ,
67
➢ Ces valeurs propres doivent être rangées dans l’ordre décroissant

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• Soit Ω la matrice de variance covariance: Ω =
2
3
0 0
0
1
4
−
1
4
0 −
1
4
1
4
• 𝐸(λ=λ𝑖) = 𝑢
𝑥
𝑦
𝑧
∈ ℜ3 Ω ∗ 𝑢 = λ𝑖 ∗ 𝑢
•
2
3
0 0
0
1
4
−
1
4
0 −
1
4
1
4
*
𝑥
𝑦
𝑧
=
2
3
∗
𝑥
𝑦
𝑧
68

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
•
2
3
𝑥 =
2
3
𝑥
1
4
𝑦 −
1
4
𝑧 =
2
3
𝑦
−
1
4
𝑦 +
1
4
𝑧 =
2
3
𝑧
⇒ 𝑥 = 𝑥, 𝑧 = 0 , 𝑦 = 0 ⇒
𝑢1 ∗
𝑥
𝑦
𝑧
∈ 𝐸 λ=
2
3
⇔
𝑥
𝑦
𝑧
=
𝑥
0
0
= 𝑥 ∗
1
0
0
69

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
•
2
3
𝑥 =
1
2
𝑥
1
4
𝑦 −
1
4
𝑧 =
1
2
𝑦
−
1
4
𝑦 +
1
4
𝑧 =
1
1
𝑧
⇒ 𝑥 = 0, 𝑦 = −𝑧 , 𝑦 = −𝑧 ⇒
𝑢2 ∗
𝑥
𝑦
𝑧
∈ 𝐸 λ=
1
2
⇔
𝑥
𝑦
𝑧
=
0
−𝑧
𝑧
= 𝑧 ∗
0
−1
1
•
70

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
•
2
3
𝑥 = 0
1
4
𝑦 −
1
4
𝑧 = 0
−
1
4
𝑦 +
1
4
𝑧 = 0
⇒ 𝑥 = 0, 𝑧 = 𝑦 , ⇒
𝑢3 ∗
𝑥
𝑦
𝑧
∈ 𝐸 λ=0 ⇔
𝑥
𝑦
𝑧
=
0
𝑦
𝑦
= 𝑦 ∗
0
1
1
•
71

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Déterminer les matrices D et P telles que: Ω =P-1DP
72
D=
2
3
0 0
0
1
2
0
0 0 0
P =
1 0 0
0 −1 1
0 1 1

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• 𝑢1 𝑒𝑡 𝑢2 sont ils orthogonaux?
𝑢1 =
1
0
0
et 𝑢2 =
0
−1
1
𝑢1 et 𝑢2 sont orthogonaux ⇔ Le produit scalaire de 𝑢1 et 𝑢2 égale à
zéro
𝑢1 ⊥ 𝑢2 ⇔ < 𝑢1, 𝑢2 > = 𝑢1
′
∗ 𝑢2 = 0
73

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• 𝑢1 𝑒𝑡 𝑢2 sont ils normés?
𝑢1 =
1
0
0
et 𝑢2 =
0
−1
1
𝑢𝑗 est normé ⇔ la norme de de 𝑢𝑗 est égale à 1 𝑢𝑗 = 1
➢ 𝑢1 = 12 + 02 + 02 = 1 ⇒ 𝑢1 est un vecteur normé
➢ 𝑢2 = 02 + (−1)2+12 = 2 ≠ 1 ⇒ 𝑢2 n’est pas un vecteur normé
74

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• Déduire (𝑢1)𝑁 et (𝑢2)𝑁 les deux vecteurs normées de 𝑢1 et 𝑢2
• 𝑢1 =
1
0
0
et 𝑢2 =
0
−1
1
𝑢1 = 1 et 𝑢2 = 2
➢(𝑢1)𝑁=
𝑢1
𝑢1
➢(𝑢1)𝑁=
1
0
0
➢(𝑢2)𝑁=
𝑢2
𝑢2
➢(𝑢2)𝑁=
1
2
0
−1
1
=
0
−
1
2
1
2
75

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• Calcul de l’inertie à partir des valeurs propres (Méthode 3)
𝑰 = ෍
𝒋=𝟎
𝒑
λ𝑗
Or λ1=
2
3
, λ2 =
1
2
, λ3=0
• 𝑰 = λ1+ λ2+ λ3 =
2
3
+
1
2
+ 0 =
𝟕
𝟔
76
Remarque: L’inertie est la quantité de l’information totale qu’on cherche à conserver

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Combien de composantes principales retenir
• Plusieurs critères peuvent permettre de sélectionner le nombre de
facteurs à conserver :
➢Le critère du coude : si on observe un décrochement (ou coude) dans
la décroissance, c'est-à-dire une accélération de cette dernière, suivi
d’une décroissance plus régulière, alors on sélectionne les axes avant
le décrochement ;
• Le critère de Kaiser : on ne retient que les axes dont l’inertie est
supérieure à l’inertie moyenne.
77

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• Le critère du coude: Cattell (1966,
1977) propose d’étudier la courbe
de décroissance des valeurs
propres (λk). L’idée est de détecter
les « coudes » (les « cassures »)
signalant un changement de
structure
78

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• Le critère de Kaiser on ne retient que les
axes dont l’inertie est supérieure à
l’inertie moyenne I/p (pour une ACP non
normée).
• Dans une ACP normée, la somme des
valeurs propres étant égale au nombre de
variables, leur moyenne vaut 1. Nous
considérons par conséquent qu’un axe est
intéressant si sa valeur propre est
supérieure 1.
79

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Exemple: On a ത
λ =
1
3
σ𝑘=1
𝑝
λ𝑘 =
1
3
2
3
+
1
2
+ 0 =
7
18
= 0.388
✓La valeur propre de l’axe 1: λ1 =
2
3
> 0.388 → 𝐴𝑥𝑒 1 𝑒𝑠𝑡 𝑟𝑒𝑡𝑒𝑛𝑢
✓La valeur propre de l’axe 2: λ2 =
1
2
> 0.388 → 𝐴𝑥𝑒 2 𝑒𝑠𝑡 𝑟𝑒𝑡𝑒𝑛𝑢
✓La valeur propre de l’axe 3: λ3 = 0 < 0.388 → 𝐴𝑥𝑒 3 𝑒𝑠𝑡 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑡é
➢Donc on retient q composante principale avec q=2
80

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• Le critère de variance expliquée: On commence par l’axe ayant la part d’inertie la plus élevée et on
commence à augmenter le nombre des axes, on s’arrête si la part d’inertie de l’espace formé par ces axes dépasse
le 75% de la variance expliquée.
Exemple:
• Pour l’axe 1:
𝑮𝒂𝒊𝒏 𝑨𝒙𝒆𝟏 =
λ1
𝐼
∗ 100 =
2
3
7
6
∗ 100 = 𝟓𝟔, 𝟓% < 𝟕𝟓% ⟶ 𝑜𝑛 𝑎𝑗𝑜𝑢𝑡𝑒 𝑙′
𝑎𝑥𝑒2
• Pour l’axe 1 et 2:
𝑮𝒂𝒊𝒏 𝑨𝒙𝒆𝟏, 𝑨𝒙𝒆𝟐 =
(λ1 + λ2)
𝐼
∗ 100 =
2
3
+
1
2
7
6
∗ 100 = 𝟏𝟎𝟎% > 𝟕𝟓% ⟶ 𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑡𝑖𝑒𝑛𝑡 𝑙′
𝑎𝑥𝑒1 𝑒𝑡 𝑙′
𝑎𝑥𝑒2
81

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Taux d’information récupérée par l’espace retenu
❑Fiabilité de l’ACP : une ACP est dite fiable si son gain d’information récupéré est
supérieur à 70%
𝑔𝑎𝑖𝑛 𝑑′
𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 =
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢é𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑒 𝑝𝑙𝑎𝑛 𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒
=
𝐼𝑒
𝐼
∗ 100
• Chaque valeur propre λ𝑗 représente la part d’inertie retenue par la
composante 𝐶𝑗
✓ (
λ1
𝐼
∗ 100) représente la part d’inertie récupérée par la composante N°1 noté 𝐶1
✓ (
λ2
𝐼
∗ 100) représente la part d’inertie récupérée par la composante N° 2 noté 𝐶2
✓ Gain d’inertie= (
λ1+λ2
𝐼
∗ 100) représente la part d’inertie récupérée par le plan principal
engendré par𝐶1 𝑒𝑡 𝐶2
82

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
❑Fiabilité de l’ACP
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢é𝑒 𝐼𝑘: la variance expliquée par kème axe principal est
𝐼𝑘 = λ𝑘
• 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑒𝑥𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢é𝑒 𝐼𝑒: la variance expliquée par le plan principal (𝑂, 𝑢𝑘, 𝑢𝑗) est
𝐼𝑒 = λ𝑘 + λ𝑗
83
𝑇𝑎𝑢𝑥 𝑑𝑒 𝑟é𝑐𝑢𝑝é𝑟𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑑′𝑖𝑛𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 =
σ𝑖=1
𝑘
λ𝑖
σ𝑖=1
𝑝
λ𝑖
∗ 100

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
❑Fiabilité de l’ACP
Exemple:
• On calcule le gain d’information pour λ1 =
2
3
, λ2 =
1
2
, λ3=0
84
Gain d’information= (
λ1+λ2
𝐼
∗ 100) = (
2
3
+
1
2
) ∗ 100 = 100% > 70%,
⇒ donc notre 𝐀𝐂𝐏 𝐞𝐬𝐭 𝐟𝐢𝐚𝐛𝐥𝐞

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Les données (variables) sont-elles factorisables?
• Tester l’intérêt de l’ACP en vérifiant s’il est possible de compresser
efficacement l’information disponible → Mesurer le degré de
redondance des données
87

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Les données sont-elles factorisables?
1. Test basé sur l’analyse de la matrice de corrélation
• Plusieurs variables sont corrélées (ou anti-corrélées)?
88
r(VIT, TAI)
r(DET, VIT)
r(DET, TAI) r(LEG, TAI)
r(LEG, VIT)
r(LEG, DET)

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
2. Test basé sur l’analyse sur l’indice de KMO
• Il faut observer l’indice de KMO (Kaiser-Meyer-Olkin) qui doit tendre
vers 1. si ce n’est pas le cas, la factorisation n’est pas conseillée.
• C’est le rapport:
𝑆𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟é𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛𝑠 𝑎𝑢 𝑐𝑎𝑟𝑟é𝑒
𝑆𝑜𝑚𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟é𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑙𝑙𝑒𝑠 𝑎𝑢 𝑐𝑎𝑟𝑟é𝑒
• Pour juger de l’indice de KMO, on peut utiliser l’échelle suivante:
❖0,50 et moins est misérable
❖Entre 0,6 et 0,7 c’est médiocre
❖Entre 0,7 et 0,8 c’est moyen
❖Entre 0,8 et 0,9 c’est méritoire
❖Et plus 0,9 c’est Excellent.
89

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
3. Test de sphéricité de Bartlett
❑Le test de sphéricité de Bartlett permet de comparer la matrice de
corrélation à la matrice identité.
On choisie entre les deux hypothèses suivantes
1. 𝐻0: σ = 𝐼𝑝 → 𝑇𝑜𝑢𝑡𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
2. 𝐻1: σ ≠ 𝐼𝑝 → 𝐼𝑙 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑢𝑛𝑒 𝑑𝑒𝑔𝑟é 𝑑é𝑝𝑒𝑛𝑑𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠
Remarque: la signification (noté sig.) permet de choisir entre les deux hypothèses.
✓Si sig<5% : on rejette 𝐻0 et on accepte 𝐻1 pour dire qu’il existe une certaine
dépendance entre les variables pour dire que l’ACP est applicable.
✓Si sig>5%: on accepte 𝐻0. Il n’existe pas de corrélation entre les variables pour dire
que l’ACP n’est pas applicable.
90
→ Si l’ACP satisfait à au moins deux de ces trois conditions, on peut continuer

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
❑Résumé:
Les données (les variables ) sont factorisables si et seulement si :
➢L’indice de KMO>0.5
➢Et la signification du test de Bartlett<0.05
Ou
➢L’indice de KMO>0.5
➢Plusieurs variables sont corrélées (ou anti-corrélées)
91

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Exemple:
92

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Les coordonnées des individus sur le plan factoriel
engendré par les vecteurs directeurs
• Les coordonnées 𝑪𝒊𝒌des individus: ils sont utilisés pour savoir l’emplacement du point
individu i par rapport à l’axe k. Autrement dit, savoir si l’individu est placé du côté positif ou du
côté négatif de l’axe k.
• On a λ1 =
2
3
, λ2 =
1
2
, λ3=0 , les valeurs propres de Ω
• (𝑢1)𝑁=
1
0
0
et (𝑢2)𝑁=
0
−
1
2
1
2
les deux premiers vecteurs propres normées de Ω
Dans le plan factoriel déterminer :
➢Les coordonnées des individus
➢Les coordonnées des variables
➢Représenter les 6 individus et les 3 variables sur le plan factoriel
93

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• Soit 𝐶1 les coordonnées des individus sur la composante 1 (l’axe1)
• 𝐶1 = 𝑌 ∗ (𝑢1)𝑁 ∗
1
0
0
=
1
2
∗
2
0
−2
2
0
−2
=
1
0
−1
1
0
−1
94

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• Soit 𝐶2 les coordonnées des individus sur la composante 2 (l’axe2)
• 𝐶2 = 𝑌 ∗ (𝑢2)𝑁 ∗
0
−
1
2
1
2
=
1
2
∗
2
2
2
2
2
2
−
2
2
−
2
2
−
2
2
=
0.707
0.707
0.707
−0.707
−0.707
−0.707
95

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• Soit C les coordonnées des individus sur le plan factoriel
• 𝐶 =
1 0.707
0
−1
1
0.707
0.707
−0.707
0
−1
−0.707
−0.707
96

97
I1
I3 I2
I5 I4
I6
𝐶 =
1 0.707
0
−1
1
0.707
0.707
−0.707
0
−1
−0.707
−0.707
𝒖𝟏
𝒖𝟐

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Nomination des axes principaux
• Avant de procéder à l’étape de nomination, on doit vérifier que après
extraction des facteurs, les variables doivent avoir une bonne qualité
de représentation (QR). La valeur d’extraction ne doit pas être
inférieure à 40%. Une variable ayant une valeur d’extraction < 40%
sera éliminée automatiquement de notre analyse
98

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Qualité de représentation
99
•La distance entre les variables et l’origine mesure la qualité de représentation des variables. Les
variables qui sont loin de l’origine sont bien représentées par l’ACP.
•Un cos2 élevé indique une
bonne représentation de la
variable sur les axes principaux
en considération. Dans ce cas, la
variable est positionnée à
proximité de la circonférence du
cercle de corrélation.
•Un faible cos2 indique que la
variable n’est pas parfaitement
représentée par les axes
principaux. Dans ce cas, la
variable est proche du centre du
cercle.

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
100

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
❑Donner un sens à chacun des axes principaux
➢On donne un sens à un axe en étudiant les variables initiales Xj
fortement corrélées (positivement ou négativement) avec l’axe
principale.
➢L’examen des corrélations permet d’interpréter et nommer les axes
principaux.
➢Ces quantités sont représentées dans un cercle appelé cercle de
corrélation.
101

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
❑Le cercle de corrélation:
• Le cercle de corrélation nous donne les corrélations entre
les variables (X1,…,Xp) et les composantes (C1, C2).
• Pour positionner une variable Xj dans un cercle de
corrélation, on utilise r(Xj, C1) comme abscisse et r(Xj, C2)
comme ordonné de cette variable.
• Une variable initiale ayant une forte corrélation avec une
composante( C1 ou C2 ) signifie que cette variable initiale a
une forte contribution (CRT) à l’information récupérée par
l’axe principal de cette composante principale.
• Le nom de cette variable sera inclus dans la direction
correspondante.
102

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
❑Remarques:
➢Les points variables qui sont proches de la circonférence de cercle des corrélations ont
une bonne qualité de représentation et doivent être utilisés dans l’interprétation.
➢Si un point variable est fortement corrélé avec une composante, il est faiblement corrélé
avec l’autre. Ce point variable ne peut donner son nom qu’à une seule composante
principale.
➢Les composantes principales sont parfois vues comme des variables cachées » non-
observables, que l’ACP permet donc de mettre en évidence derrière les variables
initiales, seules observable.
➢Donner un sens à un axe revient à la recherche lexicale ( ou recherche de mots) qui peut
résumer un groupe de variables.
➢L’origine de deux axes principaux représente un point moyen (centre de gravité
barycentre), autrement dit dès qu’un individu se rapproche de l’origine ça signifie que les
caractéristiques de cet individu se rapprochent des moyennes des différentes variable
initiales.
103

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Coordonnées des variables sur le plan factoriel et cercle de corrélation
• 𝑟 𝑋𝑗, 𝐶𝑘 =
𝐶𝑜𝑣(𝑋𝑗,𝐶𝑘)
𝜎(𝑋𝑗)𝜎(𝐶𝑘)
• 𝐶𝑜𝑣 𝑋𝑗, 𝐶𝑘 =
1
𝑛
σ𝑖=1
𝑛
(𝑥𝑖𝑗 − ത
𝑋𝑗)(𝐶𝑖𝑘 − ҧ
𝐶𝑘)
104
𝑪𝟏 𝑪𝟐
𝑿𝟏 1 0
𝑿𝟐 0 -1
𝑿𝟑 0 1
𝑿𝟑(0,1)
𝑿𝟏(1,0)
𝑿𝟐(0,-1)
Cercle de corrélation
Matrice de composante

105
I1
I3 I2
I5 I4
I6
𝐶 =
1 0.7
0
−1
1
0.7
0.7
−0.7
0
−1
−0.7
−0.7
𝒖𝟐
𝑿𝟑(0,1)
𝑿𝟏(1,0)
𝑿𝟐(0,-1)

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
106
Coordonnées des variables sur le plan factoriel et cercle de corrélation
Exemple:
•Les variables positivement corrélées sont
regroupées.
•Les variables négativement corrélées sont
positionnées sur les côtés opposés de
l’origine du graphique (quadrants opposés).
•La distance entre les variables et l’origine
mesure la qualité de représentation des
variables. Les variables qui sont loin de
l’origine sont bien représentées par l’ACP.

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Interpréter la position des individus par rapport aux sens des axes
Contribution de l’individu i à l’inertie de l’axe k
• L’analyse de la projection des individus permet de déduire
l’importance des individus dans chaque sens des axes
𝑪𝑻𝑹𝒌 𝑰𝒊 =
𝒑𝒊(𝑪𝒊𝒌)𝟐
λ𝒌
Avec :
𝒑𝒊: 𝐿𝑒 𝑝𝑜𝑖𝑑𝑠 𝑑𝑒 𝑙′𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢 𝑖
𝑪𝒊𝒌: 𝐿𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑛𝑛é𝑒 𝑑𝑒 𝑙′
𝑖𝑛𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑢 𝑖 𝑠𝑢𝑟 𝑙′
𝑎𝑥𝑒 𝑘
λ𝒌: La valeur propre associée à l’axe k qui représente la qualité de
l’information récupérée par cet axe.
107
La contribution de
l’individu 𝒊 sur la
composante 𝒌

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
• On retient pour l’interprétation les individus dont la contribution est > à
la contribution moyenne (> 1/n), le sens de la contribution dépend du
signe de 𝑪𝒊𝒌.
• Si pi=1/n (poids égaux):
𝑪𝑻𝑹𝒌 𝑰𝒊 >
𝟏
𝒏
❑Remarques:
• La contribution mesure la part prise par l’individu i dans la détermination
de l’axe principale Ck
• La somme des contributions des individus= 1
108

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
C1 C2 CTR1 sur C1 CTR2 sur C2 CTR moyenne Poids p=
𝟏
𝟔
I1 1 0.707 0.1666 0.166
I2 0 0.707 0.1666 0.166
I3 -1 0.707 0.1666 0.166
I4 1 -0.707 0.1666 0.166
I5 0 -0.707 0.1666 0.166
I6 -1 -0.707 0.1666 0.166
λ𝒌 λ𝟏=0.66 λ𝟐=0.5
109
E𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍 ∶ 𝑪𝑻𝑹𝟏 𝑰𝟏 =
𝒑𝒊(𝑪𝟏𝟏)𝟐
λ𝟏
=
𝑪𝑻𝑹𝟐 𝑰𝟏 =
𝒑𝒊(𝑪𝟏𝟐)𝟐
λ𝟐
=

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
C1 C2 CTR1 sur C1 CTR2 sur C2 CTR moyenne Poids p=
𝟏
𝟔
I1 1 0.707 0,2525 0.1666 0.1666 0.166
I2 0 0.707 0 0.1666 0.1666 0.166
I3 -1 0.707 0,2525 0.1666 0.1666 0.166
I4 1 -0.707 0,2525 0.1666 0.1666 0.166
I5 0 -0.707 0 0.1666 0.1666 0.166
I6 -1 -0.707 0,2525 0.1666 0.1666 0.166
λ𝒌 λ𝟏=0.66 λ𝟐=0.5
110
E𝒙𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍 ∶ 𝑪𝑻𝑹𝟏 𝑰𝟏 =
𝒑𝒊(𝑪𝟏𝟏)𝟐
λ𝟏
=
𝟏
𝟔
∗(𝟏)𝟐
𝟎.𝟔𝟔
= 0.2525
𝑪𝑻𝑹𝟐 𝑰𝟏 =
𝒑𝒊(𝑪𝟏𝟐)𝟐
λ𝟐
=
𝟏
𝟔
∗ (𝟎. 𝟕𝟎𝟕)𝟐
𝟎. 𝟓
= 0.1666

111
I1
I3 I2
I5 I4
I6
𝐶 =
1 0.7
0
−1
1
0.7
0.7
−0.7
0
−1
−0.7
−0.7
𝒖𝟐
𝑿𝟑(0,1)
𝑿𝟏(1,0)
𝑿𝟐(0,-1)

112
Liaison ente deux variables qualitatives

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
• L’analyse factorielle est une méthode descriptive qui permet de
décrire la correspondance (ou liaison) entre des variables qualitatives
ou quantitatives.
➢Variables numériques Corrélation
➢Variables nominales Correspondance
L’analyse des correspondances repose sur l’étude des Tableaux de
contingence.

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
• Test d’indépendance du khi-deux ( 𝝌𝟐
)
❑Permet de déterminer s’il existe un lien entre deux variables
qualitatives.
❑Plus la valeur du khi-deux est grande, plus le degré d’association
entre les deux variables est grand.
❑S’il n’existe aucun lien entre deux variables, khi-deux 𝝌𝟐 = 𝟎
114

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Introduction
1- Formuler les hypothèses
• H0: il n’existe pas de lien entre les deux variables
• H1: il existe un lien entre les deux variables
2- Indiquer le seuil de signification du test 𝜶
• Le seuil de signification représente la probabilité que le teste nous met en
lumière qu’il existe un lien entre les deux variables.
• Le seuil de signification constitue la limite à partir de laquelle un élément
cesse considéré comme fiable.
• Le seuil de signification le plus courant est 𝜶 = 𝟓%
115

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
Tableau de données, Notations
3. Tableaux de contingence
• Les données sont résumées dans un tableau de dimensions 𝒏 × 𝒑 appelé tableau de contingence (ou tableau
croisé). Ci-dessus est un exemple de tableau de contingence, il s'agit d'un tableau statistique qui permet de
présenter simultanément et de manière croisée 2 séries statistiques I et J ( I est le sexe et J le résultats
scolaires).
• Soit P une population de K individus, examinée suivant deux caractères ( variables qualitatives) : I et J.
• La variable I possède n modalités i=1,..,n (exemple pour I=4: Faible, Passable, Bien, Très Bien)
• La variable J possède p modalités j=1,..,p (exemple pour J==2 : Féminin, masculin )
J sexe
I Féminin Masculin Total
Résultats
Scolaires
Faible 8 20 28
Passable 14 45 59
Bien 32 31 63
Très Bien 30 20 50
Total 84 116 200

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
4. Calcul des effectifs
• 𝒌𝒊𝒋: l’effectif de la classe (I=i, J=j): le nombre d’individus présentant simultanément la modalité i
et la modalité j.(𝑘11 = 8, 𝑘31 = 32 … )
• 𝒌𝒊. = σ𝒋=𝟏
𝒑
𝒌𝒊𝒋 l’effectif marginal des lignes
• 𝒌.𝒋 = σ𝒊=𝟏
𝒏
𝒌𝒊𝒋 les effectif marginal des colonnes
• 𝒌 : est l’effectif total 𝒌 = σ𝒋=𝟏
𝒑
𝒌𝒊𝒋 = σ𝒊=𝟏
𝒏
𝒌𝒊𝒋
J sexe
I Féminin Masculin Total
Résultats
Scolaires
Faible 8 20 28
Passable 14 45 59
Bien 32 31 63
Très Bien 30 20 50
Total 84 116 200
Exemple:
𝑘1. = ෍
𝑗=1
2
𝑘1𝑗 = 𝑘11 + 𝑘12 = 8 + 20 = 28
𝑘.2 = ෍
𝑖=1
4
𝑘𝑖2 = 𝑘12 + 𝑘22 + 𝑘32 + 𝑘42
= 20 + 45 + 31 + 20 = 116

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
4. Calcul des fréquences
• 𝒇𝒊𝒋 =
𝒌𝒊𝒋
𝒌
la fréquence de la classe (I=i, J=j)
• 𝒇𝒊. et 𝒇.𝒋 les fréquences marginales respectivement des lignes et des colonnes.
𝒇𝒊. =
𝒌𝒊.
𝒌
= σ𝒋=𝟏
𝒑
𝒇𝒊𝒋 et 𝒇.𝒋 =
𝒌.𝒋
𝒌
= σ𝒊=𝟏
𝒏
𝒇𝒊𝒋
Exemple:
𝒇𝟏𝟏 =
𝒌𝟏𝟏
𝒌
=
𝟖
𝟐𝟎𝟎
= 𝟎. 𝟎𝟒
𝒇𝟑𝟐 =
𝒌𝟑𝟐
𝒌
=
𝟑𝟏
𝟐𝟎𝟎
= 𝟎. 𝟏𝟓𝟓
𝒇𝟏. =
𝒌𝟏.
𝒌
= σ𝒋=𝟏
𝒑
𝒇𝟏𝒋 =
𝟐𝟖
𝟐𝟎𝟎
= 𝟎. 𝟏𝟒
J sexe
I Féminin Masculin 𝒌𝒊.
Résultats
Scolaires
Faible 8 20 28
Passable 14 45 59
Bien 32 31 63
Très Bien 30 20 50
𝒌.𝒋 84 116 200

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
5. Calcul des fréquences
• Les données sont résumées dans le tableau contingence de
dimensions 𝒏 × 𝒑 auquel correspond un tableau de fréquence

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
5. Calcul des fréquences marginales
• 𝒇𝒊𝒋 =
𝒌𝒊𝒋
𝒌
la fréquence de la classe (I=i, J=j)
• 𝒇𝒊. et 𝒇.𝒋 les fréquences marginales respectivement des lignes et des colonnes.
𝒇𝒊. =
𝒌𝒊.
𝒌
= σ𝒋=𝟏
𝒑
𝒇𝒊𝒋 et 𝒇.𝒋 =
𝒌.𝒋
𝒌
= σ𝒊=𝟏
𝒏
𝒇𝒊𝒋
I sexe
J Féminin Masculin 𝒇𝒊.
Résultats
Scolaires Faible 0.04
Passable
Bien 0.155
Très Bien
𝒇.𝒋
Exemple:
𝒇𝟏𝟏 =
𝒌𝟏𝟏
𝒌
=
𝟖
𝟐𝟎𝟎
= 𝟎. 𝟎𝟒
𝒇𝟑𝟐 =
𝒌𝟑𝟐
𝒌
=
𝟑𝟏
𝟐𝟎𝟎
= 𝟎. 𝟏𝟓𝟓
𝒇𝟏. =
𝒌𝟏.
𝒌
= σ𝒋=𝟏
𝒑
𝒇𝟏𝒋 =
𝟐𝟖
𝟐𝟎𝟎
= 𝟎. 𝟏𝟒
sexe
Féminin Masculin 𝒇𝒊.
Résultats
Scolaires Faible 0.04 0.1 0.14
Passable 0.07 0.225 0.295
Bien 0.16 0.155 0.315
Très Bien 0.15 0.1 0.25
𝒇.𝒋 0.42 0.58

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
6. Calcul des effectifs théoriques et vérification
des conditions d’application du test
• 𝒆𝒇𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒇 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗é = 𝒌𝒊𝒋 = 𝒌 ∗ 𝒇𝒊𝒋
• 𝒆𝒇𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒇 𝒕𝒉é𝒐𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆 =
𝒌𝒊.∗𝒌.𝒋
𝒌
= 𝒌 ∗ 𝒇𝒊. ∗ 𝒇.𝒋
Tableau des effectifs observés Tableau des effectifs théoriques
J sexe
Résultats
Scolaires
Faible 8 20 28
Passable 14 45 59
Bien 32 31 63
Très Bien 30 20 50
𝒌.𝒋 84 116 200
J sexe
Résultats
Scolaires
Faible 11,76 28
Passable 59
Bien 63
Très Bien 50
𝒌.𝒋 84 116 200
J sexe
Résultats
Scolaires
Faible 11,76 16,24 28
Passable 24,78 34,22 59
Bien 26,46 36,54 63
Très Bien 21,00 29,00 50
𝒌.𝒋 84 116 200

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
6. Calcul des effectifs théoriques et vérification
des conditions d’application du test
La loi du khi deux s’applique sous certaines conditions:
➢1ère condition d’application
• L’échantillon doit avoir une taille minimale égale à 30 (𝒌 ≥ 𝟑𝟎)
➢2ème condition d’application
• Il faut que toutes les fréquences théoriques soient supérieures ou égales à 5
❑Si l’une des deux conditions n’est pas respectée il aurait fallu modifier le tableau
de contingence en regroupant ensemble soit deux lignes soit deux colonnes
122

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
7. Test de khi-deux
• Si les variables sexe et résultats scolaires sont indépendantes alors
l’effectif observé = effectif théorique
autrement dit fréquence observée=fréquence théorique
• D’après les tableaux (Tableau des effectifs observés et Tableau des
effectifs théoriques) on a l’effectif observé ≠ effectif théorique ↔ il
est existe un lien entre les deux variables
• Pour mesure ce lien on calcule le carré de contingence 𝝌𝟐( khi
deux).

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
7. Test de khi-deux
• Ecart entre les données observées (𝒇𝒊𝒋) et le modèle d’indépendance
(𝒇𝒊. ∗ 𝒇.𝒋 )
𝝌𝟐 = ෍
𝒊,𝒋
(𝒆𝒇𝒇. 𝒐𝒃𝒔𝒆𝒗é − 𝒆𝒇𝒇. 𝒕𝒉é𝒐𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆)𝟐
𝒆𝒇𝒇𝒆𝒄𝒕𝒊𝒇 𝒕𝒉é𝒐𝒓𝒊𝒒𝒖𝒆
𝝌𝟐
= ෍
𝒊,𝒋
(𝒌 ∗ 𝒇𝒊𝒋 − 𝒌 ∗ 𝒇𝒊.∗ 𝒇.𝒋 )𝟐
𝒌 ∗ 𝒇𝒊. ∗ 𝒇.𝒋

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
7. Test de khi-deux
I sexe
J Féminin Masculin 𝒌𝒊.
𝒆𝒇𝒇. 𝒐𝒃𝒔 𝒆𝒇𝒇. 𝒕𝒉é𝒐 𝒆𝒇𝒇. 𝒐𝒃𝒔 𝒆𝒇𝒇. 𝒕𝒉é𝒐
Résultats
Scolaires
Faible 8 20 28
Passable 14 45 59
Bien 32 31 63
Très Bien 30 20 50
𝒌.𝒋 84 116 200
𝝌𝟐
= ෍
𝒊,𝒋
sexe
Féminin Masculin 𝒌𝒊.
𝒆𝒇𝒇. 𝒐𝒃𝒔 𝒆𝒇𝒇. 𝒕𝒉é𝒐 𝒆𝒇𝒇. 𝒐𝒃𝒔 𝒆𝒇𝒇. 𝒕𝒉é𝒐
Résultats
Scolaires
Faible 8 11,76 20 16,24 28
Passable 14 24,78 45 34,22 59
Bien 32 26,46 31 36,54 63
Très Bien 30 21,00 20 29,00 50
𝒌.𝒋 84 84 116 116 200

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
7. Test de khi-deux
𝒆𝒇𝒇. 𝒐𝒃𝒔 𝒆𝒇𝒇. 𝒕𝒉é𝒐
𝝌𝟐
= ෍
𝒊,𝒋
8 11,76
14 24,78
32 26,46
30 21,00
20 16,24
45 34,22
31 36,54
20 29,00

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
7. Test de khi-deux
𝒆𝒇𝒇. 𝒐𝒃𝒔 𝒆𝒇𝒇. 𝒕𝒉é𝒐
𝝌𝟐
= ෍
𝒊,𝒋
8 11,76 (8-11,76)2/11,76=1,202
14 24,78 (14-24,78)2/24.78=4,690
32 26,46 (32-26,46)2/26,46=1,160
30 21,00 (30-21,00)2/21,00=3,857
20 16,24 (20-16,24)2/16,24=0,871
45 34,22 (45-34,22)2/34,22=3,396
31 36,54 (31-36,54)2/36,54=0,840
20 29,00 (20-29,00)2/29,00=2,793

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
8. Déterminer le nombre de degré de
liberté et la valeur de khi-deux critique
• La valeur critique de khi deux 𝝌𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆
𝟐
dépend de signification
𝜶 et du nombre de degrés de liberté 𝒗
128
Nombre de degrés de liberté
𝒗 = 𝒏 − 𝟏 𝒑 − 𝟏
𝒏: le nombre des lignes
𝒑 : nombre des colonnes

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
129

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
9. Décision et Interprétation
• 𝒗 = 𝒏 − 𝟏 𝒑 − 𝟏 = 𝟒 − 𝟏 𝟐 − 𝟏 = 𝟑
• 𝝌𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆
𝟐
= 𝟕, 𝟖𝟐 et 𝝌𝟐 = 𝟏𝟖, 𝟖𝟎𝟗
130

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
9. Décision et Interprétation
• On rejettera ou on acceptera l’hypothèse nulle selon la positon du khi
deux par rapport à la valeur critique
➢Règle de décision
• Si 𝝌𝟐 < 𝝌𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆
𝟐
on accepte H0 Sinon, on rejette H0 et on accepte H1
•
131
On a 𝝌𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆
𝟐
= 𝟕, 𝟖𝟐 et 𝝌𝟐
= 𝟏𝟖, 𝟖𝟎𝟗
𝝌𝟐
> 𝝌𝒄𝒓𝒊𝒕𝒊𝒒𝒖𝒆
𝟐
donc :
Décision: on rejette H0
Et on peut affirmer avec un seuil de 5% qu’il
existe un lien entre le sexe et le résultat
scolaire

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
L’intensité d’un lien entre deux variable
• Coefficient de contingence
Nombre sert à déterminer l’intensité d’un lien statistque existant entre deux
variables
𝑪 =
𝝌𝟐
𝒌 + 𝝌𝟐
La valeur de ce coefficient est toujours comprise entre 0 et 1.
La valeur de ce coefficient est près de 1, plus le lien statistique entre les deux
variables est fort. Et plus ce coefficient a une valeur près de 0, plus le lien est
faible.
132

Analyse
de
donnée
par
Dr.
Hasna
CHAIBI
2021-2022
L’intensité d’un lien entre deux variable
• Coefficient de contingence
• Parfaite si la valeur de C = 1
• Très forte si C > 0,8.
• Forte si C se situe entre 0,5 et 0,8.
• d'intensité Moyenne si C se situe entre 0,2 et 0,5.
• Faible si C se situe entre 0 et 0.2.
• Nulle si C = 0.
133

• Les statistiques peuvent être vues en fonction de l'objectif fixé ;

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Similaire à • Les statistiques peuvent être vues en fonction de l'objectif fixé ;

Similaire à • Les statistiques peuvent être vues en fonction de l'objectif fixé ; (15)

• Les statistiques peuvent être vues en fonction de l'objectif fixé ;