Polycopie Analyse Numérique

Université Hassan Premier
Faculté des Sciences et Techniques
Settat
Parcours MIP
Analyse Numérique
Pr Jaouad Dabounou
Année universitaire 2014/2015

Introduction
Ce cours introduira les étudiants à l'analyse numérique. Il aborde les thèmes suivants :
 Introduction au calcul numérique,
 Résolution des équations numériques,
 Interpolation polynomiale,
 Dérivation et intégration numériques,
 Résolution des équations différentielles ordinaires
 Résolution de systèmes linéaires.
A chaque fois, les notions présentées sont illustrées par des exemples pratiques. Des exercices
et problèmes sont aussi proposés afin de confronter les étudiants aux multiples difficultés du
calcul numérique.
Nous n'avons pas ici l'ambition de l'exhaustivité. Le domaine du calcul numérique s'est
développé de manière très importante et il est devenu impossible de le couvrir dans un cours
qui se veut correspondre au niveau des deux premières années universitaires des filières
scientifiques. Même en ce qui concerne les problèmes traités, nous ne souhaitons pas lister
l'ensemble des méthodes et techniques utilisées pour trouver des solutions numériques. Nous
voulons surtout transmettre et faire émerger chez l'étudiant l'intelligence des approches de
résolution, la capacité d'adapter des concepts généraux à des situations particulières, l'habileté
d'articuler des logiques différentes et des raisonnements complémentaires pour mieux
appréhender les problèmes à traiter. Et nous souhaitons surtout partager avec nos étudiants et
lecteurs le plaisir de faire des mathématiques.
A chaque fois que c'est nécessaire, nous allons nous attarder sur des concepts et du
vocabulaire mathématiques. Cependant, nous essayerons de ne pas ennuyer le lecteur par des
notions qui n'apporteront pas grande chose à la compréhension des thèmes abordés ou que
nous ne jugeons pas indispensables pour l'atteinte des objectifs fixés pour ce cours. Nous
aurons gagné notre pari si nous arrivons à faire aimer les mathématiques aux étudiants et à
leur montrer à la fois son intérêt pour leur carrière scientifique et son accessibilité au moyen
d'un effort que tout un chacun peut fournir.
La pratique s'avère indispensable pour la compréhension des méthodes numériques et de la
logique sous-jacente et pour l'assimilation des techniques utilisées. Nous allons donc proposer
de manipuler les différentes méthodes présentées sur des exemples concrets. Dans cette
perspective, même si de nombreuses implémentations des différentes méthodes numériques
sont déjà existantes, mises au point par des professionnels, nous allons essayer de les réécrire
en les adaptant quelquefois à des choix que nous aurons fait au préalable.
Des fois nous aurons à reconsidérer les techniques de modélisation qui nous permettent
d'obtenir les formulations mathématiques à résoudre. Question de comprendre le contexte
dans lequel travaille un numéricien professionnel. Cet exercice nous permettra aussi de nous
entrainer à tenir compte de la complexité des problèmes concrets et de donner un sens à
certains paramétrages qui simplifieront nos équations de départ.
Le cours que nous allons présenter, nous le voulons vivant, dynamique et perfectible grâce à
la contribution et aux observations des collègues, à l'interaction avec les étudiants et aux
différents échanges qui peuvent, nous l'espérons, avoir lieu à son sujet. Il sera complété par
des vidéos qui permettront une meilleure illustration de certaines parties et faciliteront
l'assimilation de certaines démonstrations.

Table des matières
Chapitre 1. Généralités sur l'analyse numérique..........................................7
1. INTRODUCTION ............................................................................................................................5
2.1. Sources et mesures de l’erreur..............................................................................................................6
2.2. Evaluation de l'erreur............................................................................................................................7
2.3. Méthodes itératives ..............................................................................................................................8
2.4. Programme informatique......................................................................................................................8
Chapitre 2. Résolution des équations numériques.................................... 11
1. POSITION DU PROBLÈME..........................................................................................................9
2. METHODE DE DICHOTOMIE .................................................................................................. 10
2.1. Principe de la méthode : ..................................................................................................................... 10
2.2. Critère d’arrêt: .................................................................................................................................... 12
2.3. Programme informatique.................................................................................................................... 12
2.4. Application de la méthode de dichotomie........................................................................................... 13
Utilisation du tableur Excel........................................................................................................................... 14
3.3. Ordre et convergence de la méthode de la sécante............................................................................. 14
3. MÉTHODE DE LA SÉCANTE..................................................................................................... 14
3.1. Construction........................................................................................................................................ 14
3.2. Application de la méthode de la sécante............................................................................................. 15
3.4. Ordre et convergence de la méthode de la sécante............................................................................. 16
4. MÉTHODE DE NEWTON........................................................................................................... 16
4.1. Construction de la méthode................................................................................................................ 16
4.2. Application de la méthode de Newton................................................................................................ 17
4.4. Ordre et convergence de la méthode de Newton................................................................................ 18
4.5. Applications de la méthode de Newton .............................................................................................. 19
4.5.1. Recherche de l'inverse d'un nombre.................................................................................................. 19
5. MÉTHODE DE SUBSTITUTION............................................................................................... 20
5.1. Principe de la méthode ....................................................................................................................... 20
5.2. Conditions de convergence ................................................................................................................. 20
6. COMPARAISON DES DIFFÉRENTES MÉTHODES.............................................................. 21
7. MÉTHODES SPÉCIALES AUX ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES ............................................ 21
7.1. Application de la méthode de Newton................................................................................................ 21
7. 2. Méthode de Graeffe........................................................................................................................... 23
Chapitre 3. Interpolation polynomiale .......................................................... 27

1. INTRODUCTION ......................................................................................................................... 27
2. INTERPOLATION POLYNOMIALE......................................................................................... 27
2.1. Le polynôme de Lagrange.................................................................................................................... 27
2.2. Exemple d'application......................................................................................................................... 28
3. LE POLYNÔME DE NEWTON................................................................................................... 29
4. CALCUL DE L'ERREUR .............................................................................................................. 31
5. PHENOMENE DE RUNGE..................................................................................................... 33
6. ALGORITHME DE NEVILLE ..................................................................................................... 34
Chapitre 4. Dérivation et intégration numériques .................................... 35
1. INTRODUCTION ......................................................................................................................... 36
2. DÉRIVATION NUMÉRIQUE...................................................................................................... 36
2.1. Formule de différences progressives ................................................................................................... 36
2.2. Formule de différences centrales ........................................................................................................ 37
2.4. Approximation des dérivées d'ordre supérieur ................................................................................... 39
3. INTEGRATION NUMERIQUE................................................................................................... 40
3.1. Méthode des rectangles...................................................................................................................... 40
3.2. Méthode des trapèzes......................................................................................................................... 41
3.3. Méthode de Simpson .......................................................................................................................... 42
3.5. Subdivision de l'intervalle d'intégration .............................................................................................. 44
Chapitre 5. Résolution de systèmes linéaires.............................................. 45
1. INTRODUCTION ......................................................................................................................... 46
2. METHODES DIRECTES DE RESOLUTION DES SYSTEMES LINEAIRES....................... 47
2.1. Résolution des systèmes triangulaires................................................................................................. 47
2.2. Méthode d'élimination de Gauss et décomposition LU ....................................................................... 48
3. APPLICATION.............................................................................................................................. 50
3.1. Application.......................................................................................................................................... 50
3.2. Utilisation de MATLAB ........................................................................................................................ 51

Jaouad DABOUNOU Page 5
Chapitre 1
Généralités sur l'analyse numérique
1. Introduction
L'analyse numérique consiste à concevoir des approches, construire des algorithmes et
développer des programmes informatiques qui permettent de résoudre des problèmes issus de
cas concrets et formulés mathématiquement (on dit aussi modélisés) le plus souvent sous
forme d'équations.
En effet, la modélisation et le calcul numérique sont appliqués dans différents domaines
comme la conception et calcul de bâtiment, de chaussées et d'ouvrages d'art, la conception
d'avions de voitures,… l'ingénierie financière et modélisation, la météo, la modélisation
mathématique des systèmes biologiques, le calcul spatial,…
1. Modélisation: Arriver au problème mathématique traduisant le mieux le phénomène
considéré,
2. Représentation: Choisir une famille de fonctions susceptibles de bien approcher la
solution de 1 et la base qui servira à cette représentation,
3. Paramètres: Bien choisir les degrés, points de grille ou d'interpolation, qui assureront
une erreur suffisamment faible,
4. Algorithme: Décrire les étapes de calcul aboutissant à la solution numérique,
5. Programmation: Tenir compte des moyens de calcul disponibles,
6. Visualisation: La réponse peut se limiter à quelques nombres, mais peut nécessiter
une présentation sous forme de tables, graphes, etc.
L'analyse numérique est concernée par les points (2), (3), et (4) pour une certaine part
(l'algorithmique numérique pour une autre part).
Du fait de leur relation avec la résolution de problèmes concrets, les méthodes numériques ont
emprunté aux domaines d'application des qualifications traditionnellement non utilisées en
mathématiques. On parle ainsi de cout de la méthode, de sa fiabilité, sa vitesse, sa précision,
sa complexité, sa stabilité, son efficacité, son autoadaptabilité,…
Une méthode numérique est le plus souvent utilisée pour obtenir une estimation approchée
d'une solution à un problème. On se satisfait de solutions approchées parce que dans la
majorité des situations réelles, une solution suffisamment précise peut nous dispenser d'une
solution exacte trop couteuse ou impossible à obtenir.

Analyse numérique Généralités sur l'analyse numérique
Cependant, on doit pouvoir vérifier la précision des méthodes utilisées. Autrement dit, on doit
pouvoir maitriser les sources des erreurs pour contrôler la fiabilité des solutions approchées
obtenues.
2.1. Sources et mesures de l’erreur
Les méthodes numériques sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes concrets.
Lors de l'utilisation des méthodes numériques, on distingue plusieurs sources d'erreur :
 1 erreur due au modèle (qui est une approximation de la réalité)
 2 erreur sur les données
 3 erreur de calcul (numérique)
o de troncature liée au schéma numérique utilisé
o d’arrondi qui résulte de la représentation des nombres réels
Nous allons tout au long de ce cours aborder, en les illustrant, chacun de ces types d'erreur.
Mais nous commençons par ceux dus à la représentation des nombres réels.
2.1.1. Représentation décimale approchée des nombres réels
Si en mathématiques l'ensemble des nombres réels est infini, sa représentation dans la
mémoire d'un ordinateur utilise généralement un codage sur 32 ou 64 bits et donc ne peut
représenter de façon exacte qu'un nombre fini de nombres réel. Ainsi, les nombres réels sont
représentés dans la mémoire d'un ordinateur sous forme approchée. La notation la plus utilisée
est la représentation avec virgule flottante; soit x est un nombre réel, on pose
𝑥 ≈ ± 𝑚 . 2 𝑒
Dans la base 2 où m est la mantisse et e l'exposant. Les calculs sont généralement effectués en
base 2, les résultats affichés sont traduits en base 10.
En simple précision, sur 32 bits donc 4 octets, on a 23 bits pour m et 8 bits pour e en plus d'un
bit pour le signe. Cela permet de représenter des nombres compris, en valeur absolue, entre
2-128
 10-38
et 2128
 1038
. On en déduit que nous disposons de 7 chiffres décimaux
significatifs car 223
 107
.
On montre de la même manière qu'en double précision, sur 64 bits donc 8 octets, avec 52 bits
pour m et 11 bits pour e en plus d'un bit pour le signe, on a 15 chiffres décimaux significatifs
car 252
 1015
.
2.1.2. Erreur de troncature
Il s'agit ici des erreurs qui se produisent lorsqu'on utilise des approximations basées, le plus
souvent, sur les séries de Taylor. Ainsi, si on choisit x0 et x deux réels appartenant au domaine
de définition d'une fonction f suffisamment dérivable, on peut écrire:
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑥 − 𝑥0 𝑓′
𝑥0 + … +
𝑥 − 𝑥0
𝑛
𝑛!
𝑓 𝑛
𝑥0 +
𝑥 − 𝑥0
𝑛+1
𝑛 + 1 !
𝑓 𝑛+1

où

𝑥0 <  < 𝑥
Lorsqu'on néglige le terme
𝑥 − 𝑥0
𝑛+1
𝑛 + 1 !
𝑓 𝑛+1

On dit qu'il correspond à l'erreur de troncature.
On peut ainsi écrire
𝑠𝑖𝑛 0.1 = 0.1 −
0.1 3
3!
+
0.1 4
4!
𝑠𝑖𝑛 
avec
0 <  < 0.1
Donc si on choisit
𝑠𝑖𝑛 0.1 = 0.1 −
0.1 3
3!
≈ 0.099833333
L'erreur de troncature est alors estimée à la valeur maximale possible :
0.1 4
4!
≈ 0.0000042
Remarquer que la valeur analytique de sin(0.1)  0,099833417.
2.2. Evaluation de l'erreur
Notons x*
la solution analytique et x la solution approchée d'un problème donnée. On désigne
par erreur absolue la valeur :
|𝑥∗
− 𝑥|
Cette valeur désigne l'écart entre la solution approchée obtenue en utilisant une méthode
numérique et la solution analytique "exacte" du problème. La solution analytique étant à
priori inconnue, une des caractéristiques intéressante des méthodes numériques consiste à
donner une estimation maximale de cette erreur.
Cette mesure de l'erreur est cependant rarement utilisée du fait qu'elle ne tient pas compte de
la valeur de x*
. En effet, si on estime que l'erreur absolue est par exemple égale à 1, son
appréciation ne sera pas la même selon que x*
= 10 ou x*
= 1000.
Ainsi, dans la majorité des cas, on utilise une estimation de l’erreur relative donnée par :

|𝑥∗
− 𝑥|
|𝑥∗|
ou encore une combinaison entre erreur absolue et erreur relative
|𝑥∗
− 𝑥|
1 + |𝑥∗|
Cette dernière expression nous dispense du traitement du cas où x*
est voisin de 0.
2.3. Méthodes itératives
Dans la majorité des méthodes numériques, on commence par proposer une solution
approximative initiale, ensuite un algorithme va améliorer cette solution jusqu'à satisfaire un
certain critère de convergence. On dit alors que le calcul ou la recherche de la solution se font
à travers des itérations. A chaque itération, on répète le plus souvent les mêmes instructions,
mais sur des données obtenues lors de (des) itération(s) précédente(s) de sorte que chaque
itération améliore la solution.
De manière générale, une bonne estimation de la valeur initiale garantit et améliore la
convergence des algorithmes utilisés. L'obtention de cette première estimation de la solution
dépend plus de l'analyse du problème à résoudre plutôt que des méthodes numériques. On
signale, comme corollaire, que les méthodes numériques ne se substituent en aucun cas à
l'expertise de celui qui les utilise et à sa connaissance et maîtrise du contexte de leur
utilisation.
2.3.1. Convergence d’une méthode
Le plus souvent l'utilisation d'une méthode numérique consiste à partir d'une première
estimation approchée de la solution, et à exécuter des instructions pour améliorer cette
estimation initiale. Ensuite, on utilise l'approximation calculée comme valeur initiale à
améliorer en exécutant les mêmes instructions et ainsi de suite. A la fin de chaque itération, la
méthode nous permet généralement d'évaluer l'erreur d'approximation et de décider, si celle-ci
est suffisamment petite, d'arrêter le processus.
Une méthode est convergente si l’on peut rendre l’erreur de calcul arbitrairement petite. Dans
la pratique, on dit qu'il y a convergence de la méthode numérique si, au bout d'un nombre
acceptable (pas trop élevé) d'itérations on obtient une erreur suffisamment petite. Dans le cas
contraire on dit que la méthode a divergé.
2.4. Programme informatique
Un programme informatique correspond à la description d’une méthode de résolution pour un
problème donné. Cette description est effectuée par une suite d’instructions qui constituent un
algorithme, traduit ensuite dans un langage de programmation. Ces instructions permettent de
traiter et de transformer les données (entrées) du problème à résoudre pour aboutir à des
résultats (sorties). Un programme n’est pas une solution en soi mais une méthode à suivre
pour trouver les solutions.

Chapitre 2
Résolution des équations
numériques
1. Position du problème
On considère dans ce chapitre de résoudre l'équation non-linéaire à une seule variable
f(x) = 0
ou
f(x) = g(x)
• Une racine x*
d’une fonction f est un nombre réel qui vérifie f(x*
) = 0.
• Pour simplifier, on considère dans ce cours que f et g sont des fonctions numériques à
variable réelle (f, g : R  R). Il est à remarquer que ces fonctions sont généralement
de Rn
dans Rn
.
Ainsi résoudre une équation f(x)=0 revient à calculer une racine de f.
Exemples :
1. f(x) = 2x + 5.
Dans ce cas, l’équation f(x) = 0 est dite équation linéaire. f possède une racine unique x*
= 2,5.
2. f(x) = x2
+ x – 2. f possède deux racines distinctes 1 et -2.
3. f(x) = x2
– 7x -1. f possède deux racines distinctes (discriminant positif).
Dans les exemples précédents, on dit que les solutions sont analytiques. En effet, nous
obtenons les valeurs ou expressions exactes des racines des fonctions. Cependant, dans les
équations numériques que l'on a souvent à résoudre :
 Soit on n'a pas de solution analytique
Exemple:
f(x) = sin(x) – xex
= 0
 Soit la résolution analytique est très couteuse

Analyse numérique Résolution des équations numériques
Exemple :
Résoudre l’équation linéaire Ax – b = 0, A matrice, x et b de Rn
. Pour n assez grand, il est
déconseillé de calculer l’inverse de la matrice A pour obtenir
x* = A-1
b.
La résolution d’une équation f(x) = 0 se fait généralement en recourant aux méthodes
numériques.
Cela consiste le plus souvent à commencer par donner une estimation approchée de la racine,
ensuite chaque méthode propose un algorithme itératif qui vise à améliorer l’estimation de
départ.
La solution obtenue au bout d’un nombre fini (et acceptable) d’itérations, si l’algorithme
utilisé le permet, est dite solution approchée. En effet elle ne coïncide pas le plus souvent avec
la solution analytique.
Mais dans les applications concrètes cela ne pose pas de problème à condition de pouvoir
contrôler l’erreur. Une solution précise peut être utilisée à la place d’une solution exacte.
2. Méthode de dichotomie
2.1. Principe de la méthode :
Si une fonction f continue change de signe sur un intervalle [a , b] alors il existe c dans cet
intervalle tel que f(c) = 0.
"Théorème des valeurs intermédiaires"
𝑓 continue sur [𝑎 , 𝑏]
𝑓(𝑎). 𝑓(𝑏) < 0
  c  [a , b] tel que f(c) = 0
𝑥0 =
𝑎 + 𝑏
2
est utilisée comme une approximation de la racine de f.
On aura f(a).f(x0) < 0 ou f(x0).f(b) < 0 ou f(x0) = 0. Ce qui revient à dire qu'une racine x*
se
trouve dans [a , x0] ou dans [x0 , b].

Dans la figure ci-dessous, on a f(x0).f(b) < 0. Une racine se trouve donc dans l’intervalle
[x0 , b]. On note a0=a, b0=b, puis a1=x0, b1= b0. On cherche ainsi la racine sur [a1 , b1].
Maintenant la recherche s’effectue sur un intervalle de taille plus petite.
𝑏1 − 𝑎1 =
𝑏0 − 𝑎0
2
On pose alors
𝑥1 =
𝑎1 + 𝑏1
2
On détermine de la même façon un intervalle [a2 , b2] de longueur
𝑏2 − 𝑎2 =
𝑏1 − 𝑎1
2
=
𝑏0 − 𝑎0
22
=
𝑏 − 𝑎
22
tel que f(a2).f(b2) < 0, donc [a2 , b2] contient une racine x*
.
En répétant ce processus, on construit une suite d'approximations x0, x1, ... , xi, xi+1, ... avec:
𝑥𝑖 =
𝑎𝑖 + 𝑏𝑖
2
et
𝑒𝑟𝑟𝑖 = 𝑥∗
− 𝑥𝑖 =
𝑏𝑖 − 𝑎𝑖
2
=
𝑏 − 𝑎
2𝑖+1
La méthode de dichotomie assure la convergence vers une racine de f.
Remarque: Noter que l'erreur
𝑒𝑟𝑟𝑖 = 𝑥∗
− 𝑥𝑖
est inconnue. Mais on l'assimile à la valeur maximale que l'erreur peut prendre, soit
𝑏𝑖 − 𝑎𝑖
2

2.2. Critère d’arrêt:
La méthode de dichotomie est itérative. On arrête les itérations dans l'un des cas suivants:
- Arrêt lorsque la précision demandée est réalisée,
𝑥∗
− 𝑥 𝑛 ≤
𝑏 𝑛 − 𝑎 𝑛
2
=
𝑏 − 𝑎
2 𝑛+1
< 
x*
étant la racine analytique de f.
ou
- Arrêt après un nombre maximum d’itérations.
Dans le premier cas on dit qu'il y a convergence (xn  x*
), n étant le premier entier qui vérifie
𝑏 − 𝑎
2 𝑛+1
< 
C’est-à-dire le plus petit entier n tel que :
log2
𝑏 − 𝑎

 𝑛 + 1
Ce qui correspond à :
𝑛 = E log2
𝑏 − 𝑎

Le nombre des itérations nécessaires à la convergence de la méthode de dichotomie dépend
ainsi de la longueur de l’intervalle et de la précision demandée. Mais il ne dépend pas de la
fonction f.
Code en langage C
Programme simplifié pour être facile à comprendre.
float dichotomie(float a, float b, float eps, float
(*f)(float)){
/* Données:
a et b, telles que f(a).f(b)<0
Précision demandée : eps
*/
float c,err;
err=fabs(b-a)/2;
int i=0;
c=(a+b)/2.0;
while( err > eps ) {
if( f(a)*f(c) < 0 )
b = c;

else
a = c;
c=(a+b)/2.0;
err = fabs(b-c);
i++;
}
return c;
}
2.4. Application de la méthode de dichotomie
On se propose de calculer une racine de la fonction
f(x) = sin(x) - cos(x)
dans l’intervalle [0 , 1].
f est continue sur [0 , 1] et on a f(0) = -1 et f(1) = 0,301
donc f(0).f(1) < 0 et d'après le théorème des valeurs intermédiaires, f possède une racine sur [0
, 1].
Nous allons utiliser la méthode de dichotomie pour calculer une estimation de cette racine.
Le tableau suivant récapitule les étapes de résolution de l’équation f(x)=0 par la méthode de
dichotomie. Chaque ligne correspond à une itération. xi désigne l’estimation de la racine à
l’itération i et erri l’erreur relative à cette estimation.
La précision demandée est  = 10-2
.
i ai f(ai) bi f(bi) xi f(xi) erri
0 0 -1 1 0,30116868 0,5 -0,39815702 0,5
1 0,5 -0,39815702 1 0,30116868 0,75 -0,05005011 0,25
2 0,75 -0,05005011 1 0,30116868 0,875 0,12654664 0,125
3 0,75 -0,05005011 0,875 0,12654664 0,8125 0,03832309 0,0625
4 0,75 -0,05005011 0,8125 0,03832309 0,78125 -0,00586637 0,03125
5 0,78125 -0,00586637 0,8125 0,03832309 0,796875 0,01623034 0,015625
6 0,78125 -0,00586637 0,796875 0,01623034 0,7890625 pas nécessaire 0,0078125
La méthode de dichotomie converge vers la solution x= 0,789 à l’itération n=6 comme le
prédit la formule vue auparavant :
𝑛 = E log2
1 − 0
102
= E 6,64 = 6
La méthode de dichotomie est couteuse en termes de temps de calcul. Son cout est souvent
assimilé au nombre de fois où la fonction f est calculée.
Dans le présent exemple, f est calculée 8 fois.

Utilisation du tableur Excel
L’image suivante donne une idée de la manière dont le tableur Excel peut être utilisé pour
calculer une racine de la fonction :
dans l’intervalle [0 , 1].
3.3. Ordre et convergence de la méthode de la sécante
La méthode de dichotomie est très simple à implémenter et converge nécessairement.
Toutefois, cette méthode est à convergence linéaire.
𝑒𝑟𝑟𝑖+1 =
𝑒𝑟𝑟𝑖
2
Sa convergence est donc très lente.
3. Méthode de la sécante
La méthode que nous allons maintenant présenter peut être assimilée à une amélioration de la
méthode de dichotomie.
3.1. Construction
Étant donnés deux points initiaux x0 et x1, on calcule x2 par la formule
x2 = x1-
x1 – x0
f(x1) – f(x0)
. f(x1)
x1 et x2 sont ensuite utilisés pour calculer x3 et ainsi de suite…
De façon générale, à partir de xi-1 et xi on calcule xi+1 par la formule :
xi+1 = xi-
xi – xi-1
f(xi) – f(xi-1)
. f(xi
)

Une valeur approchée de la racine est obtenue en calculant la limite de la suite (xi)i, si elle
existe.
On peut considérer, pour simplifier, qu’il y a convergence de la suite (xi)i , lorsque |xi+1 - xi| <
,  étant la précision demandée.
Remarque: Contrairement à la méthode de dichotomie, les points initiaux x0 et x1 peuvent
être du même côté de la racine recherchée.
3.2. Application de la méthode de la sécante
On reprend l’exemple proposé dans le cas de la méthode de dichotomie f(x) = sin(x) - cos(x)
sur l’intervalle [0 , 1]. Nous allons utiliser la méthode de la sécante pour calculer une
estimation de la racine. On choisit x0 = 0 et x1=1.
Le tableau suivant récapitule les étapes de résolution de l’équation f(x)=0 par la méthode de la
sécante.
La précision demandée est de 10-3
.
i xi xi+1 f(xi) f(x i+1) erri
0 0 1 -1 0,30116868 1
1 1 0,76853986 0,30116868 -0,02384011 -0,23146014
2 0,76853986 0,78551797 -0,02384011 0,00016943 0,01697811
3 0,78551797 0,78539816 -0,00011981
La méthode de la sécante converge vers la solution x= 0,7854 à l’itération n=3. f est calculée 4
fois pour atteindre la convergence.
Le tableau suivant indique comment Excel permet la résolution de l’équation f(x)=0 par la
méthode de la sécante.

Programme en C
Programme simplifié pour être facile à comprendre. Pour une
utilisation plus rigoureuse, certaines modifications doivent être
apportées à ce code.
float secante(float x0, float x1, float eps, float (*f)(float)){
/* Données:
x0,x1 : estimations initiales de la solution
eps : précision demandée
*/
int itr, maxitr=20;
float x1;
for (itr=1; itr<=maxitr; itr++) {
dx=(f(x1)*(x1-x0))/(f(x1)-f(x0));
x2=x1-dx;
if (fabs(dx) < eps)
{
return x2;
}
x0=x1;
x1=x2;
}
return -1; // -1 : divergence
}
3.4. Ordre et convergence de la méthode de la sécante
On peut montrer que
Ce qui permet d’écrire
|erri|  c| erri+1 |
Avec =1.62.
Il s’agit d’une convergence super-linéaire.
4. Méthode de Newton
4.1. Construction de la méthode
Etant donnée x0, une estimation initiale de la racine de f, on calcule x1 comme suit:
𝑥1 = 𝑥0 −
𝑓(𝑥0)
𝑓′ (𝑥0)
11
*
1 ..
)("
)("
2
1
 





 ii
k
k
ii errerr
f
f
xxerr



x1est l'intersection de la tangent à la courbe de f au point (x0 , f(x0) avec l'axe des x.
On obtient de la même manière x2, x3,… On construit ainsi une suite (xi)i par :
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′ (𝑥𝑖)
Remarque:
La méthode de Newton et la méthode de la sécante peuvent être considérées similaires. En
effet, on sait que
h
xfhxf
xf ii
h
i
)()(
lim)('
0



Si l’on suppose que xi-1 et xi sont voisins, cela permet d’écrire:
𝑓′(𝑥𝑖)
𝑓(𝑥𝑖) - 𝑓(𝑥𝑖−1)
𝑥𝑖 - 𝑥𝑖−1
Cela montre que l’on peut obtenir la méthode de la sécante à partir de la méthode de Newton
ou l’inverse. La méthode de la sécante est d'ailleurs appelée parfois méthode quasi-
newtonienne.
4.2. Application de la méthode de Newton
On applique la méthode de Newton pour trouver une estimation approchée de la racine de la
fonction
sur l’intervalle [0 , 1].
On choisit x0 = 0 et la précision de 10-3
.
Le tableau suivant récapitule les étapes de résolution de l’équation f(x)=0 par la méthode de
Newton.

i xi f(xi) f‘(xi) xi+1 erri
0 0 -1 1 1 1
1 1 0,30116868 1,38177329 0,7820419 -0,2179581
2 0,7820419 -0,00474646 1,4142056 0,78539818 0,00335627
3 0,78539818 1,7822E-08 1,41421356 0,78539816 -1,2602E-08
La méthode de Newton converge vers la solution x= 0,7854 à l’itération n=3. f est calculée 4
fois et f’ est calculée 4 fois pour atteindre la convergence.
Utilisation du tableur Excel pour la résolution de l’équation f(x)=0 par la méthode de Newton.
Programme en C
Programme simplifié pour être facile à comprendre. Pour une
utilisation plus rigoureuse, certaines modifications doivent être
apportées à ce code.
float newton(float x0, float eps, float (*f)(float), float
(*df)(float)){
/* Données:
x0 : estimation initiale de la solution
eps : précision demandée
*/
int itr, maxitr=20;
float x1;
for (itr=1; itr<=maxitr; itr++) {
dx=f(x0)/df(x0);
x1=x0-dx;
if (fabs(dx) < eps)
{
return x1;
}
x0=x1;
}
return -1; // -1 : divergence
}
4.4. Ordre et convergence de la méthode de Newton
Si x*
est la racine analytique de l'équation numérique, et si xi est voisin de x*
, la différence

i = x*
- xi, erreur absolue à l'itération i, sera petite. Soit i+1 = x*
- xi+1. On a
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 −
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′ (𝑥𝑖)
Ce qui donne:
𝑖+1 = 𝑖 +
𝑓(𝑥𝑖)
𝑓′ (𝑥𝑖)
x*
vérifiant l'équation f(x*
) = 0, d'après Taylor, nous avons
𝑓 𝑥∗
= 𝑓 𝑥𝑖 + 𝑥∗
− 𝑥𝑖 𝑓′
𝑥𝑖 +
𝑥∗
− 𝑥𝑖
2
2
𝑓"(𝑐𝑖)
où ci  [x*
, xi]
Donc
0 = 𝑓 𝑥𝑖 + 𝑖 𝑓′
𝑥𝑖 +
𝑖
2
2
𝑓"(𝑐𝑖)
On en déduit la relation
𝑖+1 = −
𝑖
2
2
𝑓"(𝑐𝑖)
𝑓′ 𝑥𝑖
On en déduit que la méthode de Newton est en général à convergence quadratique. Elle est à
convergence cubique si f ''
(x*
) = 0. Elle ne peut pas être utilisée lorsque f '
(x*
) = 0 c'est à dire
lorsque le point cherché est un point de tangente parallèle avec l'axe des x. Dans ce dernier cas
x*
est racine double de f.
Comment choisir x0.
De façon générale, vous devez comprendre ce que signifie votre fonction, comment elle se
comporte avant de procéder aux traitements numériques.
4.5. Applications de la méthode de Newton
4.5.1. Recherche de l'inverse d'un nombre
Nous allons résoudre l'équation
en utilisant la méthode de Newton
ou
xi+1 = xi(2 - bxi)

Nous avons aussi la relation
où xi et ci sont voisins de
,
donc
I.2.2. Recherche de la racine carrée d'un nombre
Nous allons maintenant résoudre l'équation x2
- a = 0 par la méthode de Newton
Nous avons donc
ou
et ainsi
𝑖+1 = −
𝑖+1
2
2𝑥𝑖
5. Méthode de substitution
Cette méthode est également itérative, mais ne nécessite pas le calcul de la dérivée. Par
contre, sa convergence n'est pas automatique.
5.1. Principe de la méthode
On met l'équation f(x) = 0 sous la forme g(x) – x = 0 en posant par exemple g(x) = x + f(x),
R*
Pour résoudre l'équation g(x) – x = 0, on choisit un nombre x0, et on construit la suite x1,
x2,....... par xi+1 = g(xi).
On suppose que la fonction g est continue. Si cette suite converge vers une limite l, on aura
l = g(l), et par conséquent l est une racine de l'équation proposée.
Cette méthode s'appelle aussi méthode du point fixe.
5.2. Conditions de convergence
Si xi est voisin de la racine x*
, soit i = x*
- xi et d'après la formule des accroissements finis,

g(x*
) = g(xi) + i g'(ci), ci  [x*
, xi]
D'où
i+1 = i g'(ci), ci  [x*
, xi]
Nous voyons que lorsque g'(x*
) < 1, et si g est suffisamment régulière, i tend vers 0 quand i
tend vers . Il y a donc convergence dans ce cas. A l'inverse, si g'(x*
) > 1, i ne peut tendre
vers 0 même si xi est voisin de la racine x*
. Si |g'(x*
) < 1, la méthode de substitution est à
convergence linéaire.
Dans la pratique, nous devons trouver un réel 0  k  1 et un intervalle I contenant la racine x*
tels que:
xI, |g'(x*
) < k.
On peut aussi, dans ce cas, montrer l'unicité du point fixe de g qui est en même temps racine
de f.
6. Comparaison des différentes méthodes
• Méthodes
– Dichotomie :
• inconvénient : convergence très lente
• avantage : convergence assurée
– Newton :
• inconvénient : calcul des dérivées
• avantage : convergence quadratique
– Quasi-Newton :
• inconvénient : convergence super-linéaire
• avantage : pas de calcul des dérivées
– Point Fixe :
• inconvénient : convergence linéaire
• inconvénient : choix de g
• Problème général : initialisation de la suite.
7. Méthodes spéciales aux équations algébriques
Les équations que nous considérerons dans cette partie sont de la forme
f(x) = a0xn
+ a1xn-1
+ ... akxn-k
n + ... an-1x + an = 0
En plus des méthodes présentées dans les paragraphes précédents, les propriétés particulières
des équations algébriques conduisent à de nouvelles méthodes qui leur sont propres.
7.1. Application de la méthode de Newton
Pour simplifier, on va considérer un polynôme unitaire de troisième degré
f(x) = x3
+ a1 x2
+ a2 x + a3

n = 3 et a0 = 1
x0 étant un nombre donné, la meilleure façon de calculer f(x) consiste à évaluer
successivement
b0 = a0 = 1
b1 = b0 x0 + a1
b2 = b1 x0 + a2
b3 = b2 x0 + a3
C'est à dire f(x0) = ((a0 x0 + a1) x0 + a2) x0 + a3
On a ainsi
b3 = f(x0)
Ce calcul ne nécessite que 3 multiplications
Un autre avantage de cette méthode est que si x0 est une racine de l'équation f(x)=0, donc les
autres racines sont celles de l'équation de degré 2,
f1(x) = b0 x2
+ b1 x + b2
En effet, pour tout x et x0, on a
f1(x) (x - x0) = f(x) - b3
Emploi de la méthode de Newton
On se donne x0 et on obtient x1 par la relation
On obtient alors par dérivation
f1'(x) (x - x0) + f1(x) = f '
(x)
Il suffit donc de calculer
c0 = b0 = 1
c1 = c0 x0 + b1
c2 = c1 x0 + b2
et donc f '(x0) = c2

7. 2. Méthode de Graeffe
Cette méthode fournit simultanément toutes les racines d'une équation algébrique. Elle ne
nécessite pas la connaissance d'approximations initiales. Elle tombe en défaut si certaines
racines sont égales en module.
Pour simplifier, on va considérer un polynôme unitaire de troisième degré
f(x) = x3
+ a1 x2
+ a2 x + a3
n = 3 et a0 = 1
Posons x1, x2, x3, les racines de f(x). On a
f1(x) = (x - x1) (x - x2) (x - x3)
Ce qui conduit aux relations
a1 = -(x1 + x2 + x3)
a2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3
a1 = -x1 x2 x3
On considère le cas où  x3  <<  x2  <<  x1 
On peut alors utiliser les approximations suivantes
8. Exercices
Exercice 1 : Soit la fonction f(x) = x sin (x) + 1
1. Montrer que f ne s’annule pas sur [-π , π].
2. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une infinité de solutions sur R.
3. Monter qu’il existe au moins un point s  [0 , π] tel que f(s) = 2s.
4. Montrer l’unicité de ce point s  [0 , π].
5. Utiliser la méthode de Newton pour calculer s avec une précision de 10-4
6. Utiliser la méthode de substitution pour calculer s avec une précision de 10-4
Exercice 2 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = x2x
- 1.
1. Montrer que f possède une racine sur [0 , 1].
2. Montrer que cette racine est unique sur [0 , 1].
3. Utiliser la méthode de dichotomie pour calculer la racine de f avec une
précision de l’ordre de 10-2
.

4. On pose x0 = 0.5, utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f
avec une précision de l’ordre de 10-3
.
5. Quelle est d'après cet exemple la vitesse de convergence de la méthode de
Newton ?
6. Soit x0 = 0 et x1 = 0.5, utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine
de f avec une précision de l’ordre de 10-3
.
7. Proposer une formule qui permet d'utiliser la méthode de substitution pour
trouver une racine de f avec une précision de l’ordre de 10-3
.
8. Faire une comparaison entre les différentes méthodes utilisées sur la base de cet
exemple.
Exercice 3 : On considère la fonction f(x) = x -
1
2
sin(x) -1.
1. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution x*
.
2. Montrer que l’on peut construire une fonction g(x) telle que g(x*
) = x*
,
vérifiant pour tous x et y réels : |g(x) – g(y)| ≤ k |x - y| avec 0 < k < 1.
3. Construire alors une suite (xn)nN qui converge vers x*
.
4. Quelle est la vitesse de convergence de la méthode utilisée pour calculer x*
?
Exercice 4 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = sin(ex
) – x.
1. Montrer que f admet une racine sur [-1 , 1].
2. Montrer que f ne s'annule pas sur ]- , -1[ et sur [1 , +[.
3. Montrer que f s'annule en un point unique sur R.
4. On considère l'intervalle [-1 , 1], utiliser la méthode de dichotomie pour
calculer la racine de f dans cet intervalle avec une précision de l’ordre de 10-2
.
5. On pose x0 = 1, utiliser la méthode de Newton pour trouver la racine de f avec
une précision de l’ordre de 10-3
.
de f avec une précision de l’ordre de 10-3
.
exemple.
Exercice 5 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = ex
– 2x - 1. On
pose a = ln(2).
1. Montrer que f admet une racine unique sur ]- , a] que vous déterminez sans
utiliser les méthodes d'analyse numérique.
2. Montrer que f admet une racine unique sur [a , +[.
3. On considère l'intervalle [a , 2], utiliser la méthode de dichotomie pour
calculer la racine de f dans cet intervalle avec une précision de l’ordre de 10-2
.
4. On pose x0 = 1, utiliser la méthode de Newton pour trouver la racine de f sur
[a , 2] avec une précision de l’ordre de 10-3
.
de f sur [a , 2] avec une précision de l’ordre de 10-3
.
On pose g(x) =
1
2
(ex
– 1).
8. Montrer que toute racine de f est point fixe de g et réciproquement.
9. Montrer que pour tout x de [a , 2], g'(x)≥1.
10. En déduire que cette expression de g ne permet pas d'utiliser la méthode de
substitution pour trouver la racine de f sur [a , 2].
On pose maintenant g(x) = ln(2x + 1)
11. Montrer que toute racine de f est point fixe de g et réciproquement.

12. Montrer que l'on peut alors utiliser la méthode de substitution avec cette
expression de g pour trouver la racine de f sur [a , 2] avec une précision de
l’ordre de 10-3
.
exemple.
Exercice 6 : On se propose de calculer une racine de la fonction f(x) = x cos(x) + 2 x
+ 1 sur [-1 , 1].
1. Montrer que f admet une racine unique sur [-1 , 1].
2. Montrer que f possède une infinité de racines sur ]- , 0].
3. Montrer que l'on peut utiliser la méthode de substitution pour calculer la
racine de f dans [-1 , 1]en posant :
𝑔(𝑥) =
−1
cos 𝑥 + 2
4. Utiliser la méthode de substitution avec cette expression de g pour trouver la
racine de f sur [-1 , 1] avec une précision de l’ordre de 10-3
.
5. Combien alors de fois la fonction g construite à partir de f a été calculée pour
atteindre cette solution ?
6. Déterminer numériquement à l'aide de cet exemple la vitesse de convergence
de la méthode de substitution.
Exercice 7 : On considère sur l’intervalle [0 , 1] la fonction
f(x)= x-e(-1-x)
1. Utiliser la méthode de dichotomie, la méthode de Newton, la méthode de
substitution et, enfin, la méthode de la sécante pour calculer une racine de f.
2. Etudier pour chacune des méthodes la vitesse de convergence.
Exercice 8 : Soit a un réel non nul, on veut utiliser la méthode de Newton pour
calculer 1/a.
a- Montrer que cela conduit à calculer la limite de la suite xn+1 = xn (2 - axn).
b- Déterminer la condition sur le choix de x0 pour que cette suite converge vers
1/a.
Exercice 9 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = xex
- cos(x).
7. Montrer que f ne s'annule pas sur [1 , +[.
8. En déduire que f possède une racine unique sur [0 , +[.
9. Utiliser la méthode de dichotomie pour trouver la racine positive de f avec une
en considérant l'intervalle [0 , 1].
10.Evaluer le coût de la méthode de dichotomie dans le cas ci-dessus.
11.Utiliser la méthode de la sécante pour trouver la racine positive de f avec une
avec x0 = 0 et x1=0,5.
12.Evaluer le coût de la méthode de la sécante dans le cas ci-dessus.
13.Utiliser la méthode de Newton pour trouver une racine de f avec une précision
de l’ordre de 10-3
avec x0 = 1.
14.Evaluer le coût de la méthode de Newton dans le cas ci-dessus.
Exercice 10 : Soit la fonction f(x) = 2 x sin (x) +
𝟏
𝟐
1. Montrer que f ne s’annule pas sur [-π , π].
2. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une infinité de solutions sur R.
3. Monter qu’il existe au moins un point s  [0 , π] tel que f(x) = 2x.
4. Montrer l’unicité de ce point s  [0 , π].

5. Utiliser, en proposant x0, la méthode de Newton pour calculer s avec une
précision de 10-3
6. Utiliser, en proposant x0 et x1, la méthode de la sécante pour calculer s avec
une précision de 10-3
.
14.Utiliser, si c'est possible, la méthode de substitution pour calculer s avec une
précision de 10-3
.
Exercice 11 : On se propose de calculer les zéros de la fonction f(x) = x5
+ 2x3
- 1.
1. Montrer que f admet une racine unique dans R.
On note  cette racine réelle de f.
2. Montrer que   1.
3. Montrer que  > 0.
On considère alors l'intervalle [0 , 1]. On veut utiliser la méthode de Newton pour
trouver une estimation de .
4. Démontrer que si on choisit x0 ≥ 1, la suite (xn)n donnée par la méthode de
Newton est strictement décroissante.
5. Démontrer que pour tout n ≥ 1,
𝒙 𝒏+𝟏 = 𝜶 +
𝜶 − 𝒙 𝒏
𝟐
𝟐
𝒇"()
𝒇′ 𝒙 𝒏
,   ] , 𝒙 𝒏[
6. Démontrer que la suite (xn)n est minorée par .
7. Démontrer alors que la suite (xn)n converge vers .
8. On choisit maintenant x0=1, calculer la racine de f,  avec une précision de
9. Quelle est la vitesse de convergence de la suite (xn)n ?
Exercice 12 : On se propose de calculer une valeur approchée de 𝟐 .
On considère la fonction f(x) = x2
– 2
1. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution positive x*
.
2. Soit la fonction
g(x) =
x
2
+
1
x
3. Montrer que l’on peut construire une fonction g(x) telle que g(x*
) = x*
,
vérifiant pour tous x et y dans un intervalle que vous déterminez : |g(x) – g(y)| ≤ k |x
- y| avec 0 < k < 1.
4. Construire alors une suite (xn)nN qui converge vers x*
.
5. Quelle est la vitesse de convergence de la méthode utilisée pour calculer x*
?
Exercice 13 : On considère sur ]0 , +] la fonction f(x) = x - cos(
1
x
).
a- Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une infinité de racines sur ]0 , 1].
b- Etudier la résolution de l'équation f(x) = 0 sur [1 , +].

Chapitre 3
Interpolation polynomiale
1. Introduction
Supposons que nous connaissons les valeurs d'une fonction en un nombre de points
x0, x1, ... , xn, mais que nous n'avons pas l'expression analytique de f. Pour estimer la valeur de
f en un point quelconque x  R, on peut construire un polynôme P tel que P(xi) = f(xi) pour
i=0,1,...,n et utiliser l'approximation P(x)  f(x). C'est ce qu'on appelle interpolation
polynomiale.
2. Interpolation polynomiale
2.1. Le polynôme de Lagrange
Théorème: Etant donnés n+1 points x0, x1, ... , xn, deux à deux distincts et n+1 réels y0, y1, ...
, yn, , il existe un polynôme PPn(R) et un seul tel que
P(xi) = yi ; i=0,1, ... ,n
Démonstration :
L'existence est donnée directement par le polynôme
𝑃 𝑥 = 𝑦𝑖 𝐿𝑖
𝑛
𝑖=0
𝑥
où les polynômes Li sont donnés par l'expression:
𝐿𝑖(𝑥) =
(𝑥 − 𝑥 𝑘 )
(𝑥𝑖 − 𝑥 𝑘)
𝑘=𝑛
𝑘=0
𝑘≠𝑖
On a ainsi
𝑃 𝑥 =
𝑥 − 𝑥1 𝑥 − 𝑥2 … 𝑥 − 𝑥 𝑛
𝑥0 − 𝑥1 𝑥0 − 𝑥2 … 𝑥0 − 𝑥 𝑛
𝑦0 +
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥2 … 𝑥 − 𝑥 𝑛
𝑥1 − 𝑥0 𝑥1 − 𝑥2 … 𝑥1 − 𝑥 𝑛
𝑦1 + …
+
𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 … 𝑥 − 𝑥 𝑛−1
𝑥 𝑛 − 𝑥0 𝑥 𝑛 − 𝑥1 … 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛−1
𝑦𝑛
L'unicité est immédiate : si on a deux polynômes P et Q ayant pour les n+1 points (xi , yi)
P(xi) = Q(xi) = yi alors soit R = P – Q, on a :

Analyse numérique Interpolation polynomiale
R(xi) = 0 pour les n+1 nombres distincts xi, i=0,n; or R, comme P et Q est de degré au
maximum égal à n. On en déduit que R = 0.
Remarque:
Les Li vérifient les propriétés suivantes:
Li(xi) = 1 et Li(xj) = 0 si i  j.
2.2. Exemple d'application
On considère le tableau des xi et yi:
i 0 1 2 3 4
xi -2 -1 0 1 2
yi 7,2160 7,0710 5,2460 3,0503 2,6294
Le polynôme d'interpolation de Lagrange en ces xi et yi est
P(x) = 0.0348 x4
+ 0.2879 x3
- 0.22 x2
- 2.298 x + 5.246
La figure ci-dessous présente la courbe de du polynôme P.
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5.5
6
6.5
7
7.5
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
2
3
4
5
6
7
8

On considère la fonction
𝑓 𝑥 = log 10 + 3 sin 𝑒 𝑥
+ 𝑒(cos ⁡(𝑥)−𝑥)
On peut remarquer que P(xi)= f(xi) pour i=0,4
La figure suivante présente les courbes de f et de P.
L'interpolation de cette fonction f en -2, -1.5, -0.5, 0, 0.5, 1, 1.5 et 2 donne la figure suivante :
3. Le polynôme de Newton
Définition : Soit f une fonction définie aux points xi, supposés deux à deux distincts. On
définit les différences divisées par récurrence comme suit :
𝑓 𝑥𝑖 = 𝑓 𝑥𝑖 , 𝑖 = 0, … , 𝑛
𝑓 𝑥𝑖, … , 𝑥𝑖+𝑘+1 =
𝑓 𝑥𝑖+1, … , 𝑥𝑖+𝑘+1 − 𝑓 𝑥𝑖, … , 𝑥𝑖+𝑘
(𝑥𝑖+𝑘+1 − 𝑥𝑖)
, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑘 = 0, … , 𝑛 − 𝑖 − 1

Exemple: On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction
f(x) =
𝟏
𝒙
On considère les points xi = 1,
4
3
,
5
3
et 2. Les coefficients du polynôme de Newton sont donnés par:
f[1] = f(1) = 1
𝑓 1,
4
3
=
𝑓[
4
3] − 𝑓[1]
1
3
= −0,75
f[
4
3
] = f(
4
3
) = 0,75
𝑓[
4
3 ,
5
3] − 𝑓[1,
4
3]
2
3
= 0,45
𝑓
4
3
,
5
3
=
𝑓[
5
3] − 𝑓[
4
3]
1
3
= −0,45
𝑓[
4
3 ,
5
3 , 2] − 𝑓[1,
4
3 ,
5
3]
1
= −0,225
f[
5
3
] = f(
5
3
) = 0,6
𝑓[
5
3
, 2] − 𝑓[
4
3
5
3
]
2
3
= 0,225
𝑓
5
3
, 2 =
𝑓 2 − 𝑓[
5
3]
1
3
= −0,3
f[2] = f(2) = 0,5
Proposition :
𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛 =
𝑓(𝑥𝑖)
(𝑥𝑖 − 𝑥𝑗 )𝑛
𝑗=0,𝑗≠𝑖
𝑛
𝑖=0
Démonstration : Par récurrence.
Théorème: (Formule de Newton)
Le polynôme d'interpolation de f aux points x0, x1, …, xn s'exprime dans la base de Newton
comme
𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + (𝑥 − 𝑥0)𝑓 𝑥0, 𝑥1 + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)𝑓 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 + …
+ (𝑥 − 𝑥𝑖)
𝑛−1
𝑖=0
𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛

Remarque: La formule de Newton présente l'avantage d'exploiter les calculs déjà faits si un
point d'interpolation est ajouté à la liste précédente. Dans la formule de Lagrange tous les
calculs doivent être refaits.
On considère sur l’intervalle [1 , 2] la fonction
f(x) =
𝟏
𝒙
On considère les points xi = 1,
4
3
,
5
3
et 2. Les coefficients du polynôme de Newton sont donnés par :
P(x) = 1 – 0,75 (x – 1) + 0,45 (x – 1) (x –
4
3
) – 0,225 (x – 1) (x –
4
3
) (x –
5
3
)
La figure suivante présente la courbe de P.
4. Calcul de l'erreur
Soit f : [a , b]  R une fonction donnée, on construit le polynôme P(x) qui interpole les
valeurs de f aux points x0, x1, ... , xn (xi  [a , b]), ce qui conduit à yi = f(xi) pour i = 1, 2, ..., n.
Quelle est alors l'erreur commise si on considère le polynôme P(x) comme étant une
approximation de la fonction f ?
Dans ce qui suit on suppose que f est n+1 fois continûment dérivable sur [a , b], et on note
e(x) l'erreur d'interpolation :
e(x) = f(x) - P(x)
Posons Int(x, x0 , x1, ... xn) le plus petit intervalle fermé contenant x, x1 , x2, ... xn et  la
fonction
(x) = (x – x0) (x – x1)..... (x - xn)
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2
0.5
0.55
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
0.95
1

Théorème 1.2. Quelque soit x[a , b], il existe   Int(x, x0 , x1, ... xn) tel que
𝑒 𝑥 =
1
𝑛 + 1 !
𝑓 𝑛+1
𝜉 𝜙(𝑥)
Démonstration :
 S'il existe i tel que x = xi, la formule (4) est immédiate
 Si i, x  xi, alors (x)0 et on peut définir
𝑔 𝑧 = 𝑓 𝑧 − 𝑃 𝑧 − (𝑓 𝑥 − 𝑃 𝑥 )
𝜙(𝑧)
𝜙(𝑥)
Il est clair que g(x) = g(xi) = 0 pour i=0, 1, ..., n. Donc g s'annule au mois n+2 fois dans
Int(x, x0 , x1, ... xn). On voit alors que
- g' s'annule au mois n+1 fois dans cet intervalle
- g" s'annule au mois n fois dans cet intervalle
....
- g(n)
s'annule au mois 2 fois dans cet intervalle.
- g(n+1)
s'annule au mois 1 fois dans cet intervalle.
Soit donc   Int(x, x1 , x2, ... xn) tel que g(n+1)
() = 0. Comme P est un polynôme de degré au
plus égal à n, P(n+1)
(z)  0 et comme le terme de plus haut degré de (z) est zn+1
on a (n+1)
=
(n+1)!, donc
0 = g(n+1)
() = f(n+1)
() – (n+1)!
𝑓 𝑥 −𝑃(𝑥)
𝜙(𝑥)
On en déduit que :
𝑒 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑃 𝑥 =
1
𝑛 + 1 !
𝑓 𝑛+1
𝜉 𝜙(𝑥)
Une autre expression de l'erreur d'interpolation peut être obtenue en utilisant la formule de
Newton. Nous savons déjà que le polynôme d'interpolation de f aux points x0, x1, …, xn
s'exprime dans la base de Newton comme
𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + (𝑥 − 𝑥0)𝑓 𝑥0, 𝑥1 + (𝑥 − 𝑥0)(𝑥 − 𝑥1)𝑓 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2 + …
+ (𝑥 − 𝑥𝑖)
𝑛−1
𝑖=0
𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛
Soit x tel que i, x  xi, le polynôme :
𝑄 𝑡 = 𝑃 𝑡 + (𝑡 − 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0
𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛, 𝑥

est le polynôme d'interpolation de f en x0, x1, …, xn, x. On a donc :
𝑄 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑥 + (𝑥 − 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0
𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛, 𝑥
On en déduit que l'erreur d'interpolation s'écrit :
𝑒 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑃 𝑥 = (𝑥 − 𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=0
𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛 , 𝑥
Il est à noter que les deux expressions de l'erreur d'interpolation permettent de démontrer que
pour tout x dans [a , b], différents des xi, i=0,1,…,n, il existe   Int(x, x0 , x1, ... xn) tel que :
𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛 , 𝑥 =
1
𝑛 + 1 !
𝑓 𝑛+1
𝜉
5. Phénomène de Runge
Soit f une fonction définie sur un intervalle [a , b], n un entier non nul et P le polynôme
d'interpolation de f en n+1 points deux à deux distincts x0, x1, …, xn. Lorsque le degré du
polynôme augmente, on observe quelquefois des oscillation de P au bord de l'intervalle [a , b].
L'augmentation du nombre de points d'interpolation n'améliore pas l'approximation de f par P.
C'est ce qu'on désigne par Phénomène de Runge.
Exemple:
Pour illustrer ce phénomène, soit sur l'intervalle [-1 , 1] la fonction de Runge :
𝑓 𝑥 =
1
1 + 25𝑥2
On considère le polynôme d'interpolation P10 de f sur 10 points équidistants de [0 , 1]. La
figure suivante met en évidence les oscillations au bord dues au phénomène de Runge.

6. Algorithme de Neville
Soit P0 l'unique polynôme de degré 0 (c'est à dire une constante) qui passe par le point (x0,y0);
d'où P0(x0) = y0. De la même manière, on construit les polynômes P1, P2, ... Pn.
Soit maintenant P01 l'unique polynôme de degré 1 passant par les points (x0,y0) et (x1 , y1). On
définit aussi les polynômes P12, P23, ... P(n-1)n. De proche en proche on arrive au polynôme de
plus grand degré P01...n qui coïncide avec l'unique polynôme d'interpolation P. Pour n = 2 cet
algorithme peut être représenté comme suit.
x0 : y0 = P0
P01
x1 : y1 = P1 P012
P12
x2 : y2 = P2
L'algorithme de Neville permet de construire par récurrence les polynômes Pi(i+1)...(i+m). Soit
𝑃𝑖 𝑖+1 …(𝑖+𝑚)
𝑥 − 𝑥𝑖+𝑚 𝑃𝑖 𝑖+1 … 𝑖+𝑚−1 + 𝑥𝑖 − 𝑥 𝑃 𝑖+1 𝑖+2 … 𝑖+𝑚
𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+𝑚
7. Exercices
𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
1. Tracer la courbe de f
2. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange qui coïncide avec f en n
points équidistants pour n=3 puis n=4.
3. Calculer les coefficients du polynôme de Newton dans le cas de n=4.
Exercice 2 : On considère sur l’intervalle [0 , 5] la fonction f(x) = ex
.
2. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange P1 qui coïncide avec f en 3
points: 0, 1 et 3.
3. Tracer sur une même figure les courbes de f et de P1 définis sur l'intervalle [0
, 5].
4. On pose E(x) = f(x)-P1(x), expliquez ce que représente E(x).
5. Tracer la courbe de la fonction E(x).
6. Quelles remarques peut-on tirer de la courbe de E(x) ?

7. Calculer les coefficients du polynôme de Newton dans le cas des points
d'interpolation 0, 1, 2 et 3.
8. En déduire le polynôme d'interpolation P2 utilisant les points d'interpolation 0,
1, 2 et 3.
9. Comparer P2(5) et f(5).
10. Que peut-on conclure de la dernière réponse ?
Exercice 3 : On considère le tableau des xi et yi:
i 0 1 2 3 4
xi -3 -1 0 1 3
yi 1.5 3.5 5.2 3.5 1.5
1. Calculer le polynôme d’interpolation de Lagrange P en utilisant les xi et yi ci-
dessus.
2. Tracer la courbe de P sur l’intervalle [-3 , 3].
3. Retrouver le polynôme d'interpolation en utilisant la formule de Newton avec
les mêmes points que ci-dessus.
Exercice 4 : On considère sur l’intervalle [-3 , 3] la fonction
𝒇(𝒙) =
𝟏
𝟏 + 𝒙 𝟐
2. Calculer le polynôme d’interpolation de Lagrange P1 qui coïncide avec f en 4
points équidistants x1 , x2, x3, x4 avec x1= -3 et x4=3.
3. Tracer la courbe de P1 sur l’intervalle [-3 , 3].
4. Calculer P1(0). Que pouvez-vous en déduire ?
5. Construire le polynôme d'interpolation en utilisant la formule de Newton avec
les mêmes points que ci-dessus.
𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
1. Tracer la courbe de f.
2. On sait d'après le cours que l'erreur d'interpolation en x0, x1,…, xn d'une fonction
f est donnée par
𝑒 𝑥 =
1
𝑛 + 1 !
𝑓 𝑛+1
𝜉 𝑥 − 𝑥0 𝑥 − 𝑥1 … (𝑥 − 𝑥 𝑛)
avec   Int(x, x1 , x2, ... xn): le plus petit intervalle fermé contenant x, x1 , x2, ... xn.
3. Comparer en traçant les courbes des fonctions correspondantes, les expressions :
𝑺𝒖𝒑 𝒙∈[𝟏 ,𝟐] 𝑥 − 1 𝑥 − 1.5 (𝑥 − 2) et 𝑺𝒖𝒑 𝒙∈[𝟏 ,𝟐] 𝑥 − 1 𝑥 − 1.2 (𝑥 − 2)
4. Quels points d'interpolation donneraient alors la meilleure approximation de f,
x0=1, x1=1.5, x2=2 ou x0=1, x1=1.2, x2=2 ?
5. Déterminer le polynôme d’interpolation de Lagrange de f en x0=1, x1=1.5 et x2=2.
6. Calculer les coefficients du polynôme d'interpolation en utilisant la formule de
Newton pour
x0=1, x1=
4
3
, x2=
5
3
et x3=2.

Chapitre 4
Dérivation et intégration
numériques
1. Introduction
Soit f une fonction définie et dérivable sur [a , b]. Soit x]a , b[, la dérivée de f en x est
donnée par :
𝑓′ 𝑥 = lim
𝑕0
𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓(𝑥)
𝑕
Soit f une fonction définie et continue sur [a , b]. L’intégrale de f sur [a , b] est donnée par :
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑛+
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑏
𝑎
𝑓(𝑎 + 𝑖
𝑏 − 𝑎
𝑛
)
𝑛−1
𝑖=0
Le calcul analytique des dérivées ou des intégrales est souvent difficile ou couteux. D'autant
plus que dans la plupart des problèmes concrets, l'expression de f peut ne pas être connue.
2. Dérivation numérique
Soit f une fonction suffisamment dérivable sur [a , b], et x [a , b]. On se propose de calculer
une approximation de la dérivée de f en x, f'(x).
2.1. Formule de différences progressives
Soit h > 0 tel que x+h ]a , b[, une première approximation de f'(x) utilise la pente de la droite
passant par (x , f(x)) et (x+h , f(x+h)).
La formule de Taylor à l'ordre 2 donne :

Analyse numérique Dérivation et intégration numériques
avec c]x , x+h[, il s'en suit alors que
D'où l'approximation d'ordre 1 de f '(x) :
,
e(x) étant l'erreur de dérivation.
2.2. Formule de différences centrales
Soit h1, h2 >0 tels que x-h1 et x+h2 appartiennent à ]a , b[, l'approximation précédente de f'(x)
sera améliorée par l'utilisation des points (x-h1 , f(x-h1)) et (x+h2 , f(x+h2)), ainsi on approche
f'(x) par la pente de la droite passant par ces deux points.
Les formules de Taylor à l'ordre 3 donnent :
avec c1]x , x-h1[ et c2]x , x+h2[
L'élimination de f"(x) entre ces deux relations donne
D'où l'approximation d'ordre 2 de f '(x) :

Dans le cas où h1 = h2 = h, cette approximation devient
et l'erreur de dérivation vérifie alors l'inégalité :
Pour illustrer les expressions précédentes, nous allons utiliser les approximations de dérivées
à l'exemple suivant:
𝑓 𝑥 = Log 𝑥 + esin 𝑥
sur l'intervalle [1 , 10]. La figure suivante présente la courbe de f:
On choisit x=3, le tableau suivant permet de constater l'évolution des dérivées numériques en
fonction de h et de comparer les résultats des formules de différences progressives à ceux des
formules de différences centrales.
On remarque en particulier que :
𝑓"(3) ≈ −2
𝑒1 𝑕
𝑕
et que
𝑓(3)
(3) ≈ −6
𝑒2 𝑕
𝑕2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5

h
𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓 𝑥
𝑕
e1(h) −2
𝑒1 𝑕
𝑕
𝑓 𝑥 + 𝑕 − 𝑓 𝑥 − 𝑕
2𝑕
e2(h) −6
𝑒2 𝑕
𝑕2
0,025 -0,7960 -0,0107 0,8596 -0,8066 -0,0001 -0,5797
0,05 -0,7851 -0,0216 0,8638 -0,8065 -0,0002 -0,5804
0,075 -0,7742 -0,0325 0,8676 -0,8062 -0,0005 -0,5816
0,1 -0,7632 -0,0435 0,8710 -0,8057 -0,0010 -0,5833
0,125 -0,7521 -0,0546 0,8739 -0,8052 -0,0015 -0,5855
0,15 -0,7410 -0,0657 0,8765 -0,8045 -0,0022 -0,5882
0,175 -0,7298 -0,0769 0,8788 -0,8037 -0,0030 -0,5914
0,2 -0,7186 -0,0881 0,8807 -0,8027 -0,0040 -0,5950
0,225 -0,7075 -0,0993 0,8822 -0,8017 -0,0051 -0,5991
0,25 -0,6963 -0,1104 0,8835 -0,8004 -0,0063 -0,6036
0,275 -0,6851 -0,1216 0,8844 -0,7990 -0,0077 -0,6086
0,3 -0,6740 -0,1328 0,8850 -0,7975 -0,0092 -0,6140
0,325 -0,6628 -0,1439 0,8854 -0,7958 -0,0109 -0,6198
0,35 -0,6518 -0,1549 0,8854 -0,7939 -0,0128 -0,6261
0,375 -0,6407 -0,1660 0,8852 -0,7919 -0,0148 -0,6327
0,4 -0,6298 -0,1769 0,8847 -0,7896 -0,0171 -0,6397
0,425 -0,6188 -0,1879 0,8840 -0,7872 -0,0195 -0,6471
0,45 -0,6080 -0,1987 0,8831 -0,7846 -0,0221 -0,6549
0,475 -0,5972 -0,2095 0,8820 -0,7818 -0,0249 -0,6630
0,5 -0,5866 -0,2202 0,8806 -0,7787 -0,0280 -0,6714
2.4. Approximation des dérivées d'ordre supérieur
Comme précédemment, les démonstrations reposent sur la formule de Taylor mais sont plus
compliquées. Nous nous limitons donc à citer les formules les plus utilisées
Pour la dérivée seconde :
l'erreur étant en O(h)
l'erreur est ici en O(h2
).
Pour la dérivée troisième, on a :
l'erreur étant en O(h)
l'erreur étant en O(h2
).

3. Intégration numérique
Soit f une fonction définie et continue sur [a , b]. L’intégrale de f sur [a , b] est donnée par :
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = lim
𝑛+
𝑏 − 𝑎
𝑛
𝑏
𝑎
𝑓(𝑎 + 𝑖
𝑏 − 𝑎
𝑛
)
𝑛−1
𝑖=0
Comme cela a été dit auparavant, le calcul analytique des intégrales est souvent difficile ou
couteux. Nous allons procéder, pour l'évaluer, à approcher f sur l'intervalle [a , b] par un
polynôme P, ensuite, nous considérons que :
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
Plusieurs méthodes sont proposées en fonction, en particulier, du nombre de points
d'interpolation utilisés.
Cela permet par ailleurs de donner une estimation de l'erreur d'intégration. Elle est calculée à
partir de l'erreur d'interpolation:
𝑒 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑃 𝑥 =
1
𝑛 + 1 !
𝑓 𝑛+1
(𝜉 𝑥) 𝜙(𝑥)
(x) = (x – x0) (x – x1)..... (x - xn)
On rappelle aussi que:
𝑓 𝑥0, … , 𝑥 𝑛 , 𝑥 =
1
𝑛 + 1 !
𝑓 𝑛+1
𝜉 𝑥
Dans ces expressions, on a utilisé la notation ξx pour spécifier que ξx dépend de x.
Finalement
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑓 𝑥
𝑏
𝑎
𝑑𝑥 − 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
=
1
𝑛 + 1 !
𝑓 𝑛+1
(𝜉 𝑥) 𝜙(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
3.1. Méthode des rectangles
La méthode des rectangles est une formule dite à un point x0 = a. Le polynôme d’interpolation
associé est le polynôme constant P0(x) = f(a) et
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 𝑃0 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑓(𝑎)(𝑏 − 𝑎)

Soit e(x) l'erreur d'interpolation, on a
𝑒 𝑥 =
𝑓′( 𝑥
)
2
𝑥 – 𝑎
On en déduit que
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
− 𝑏 − 𝑎 𝑓 𝑎 =
𝑏 − 𝑎 2
2
𝑓′
 , [𝑎 , 𝑏]
3.2. Méthode des trapèzes
La méthode des trapèzes utilise une approximation d'une intégrale en calculant l'aire d'un
trapèze. Pour calculer l'intégrale de f sur [a , b], on approche ainsi f par le polynôme
d'interpolation P1 en x0=a et x1=b. P1 est de degré 1 et est donné, d'après la formule de
Newton, par:
P1(x) = f[a] + (x – a) f[a,b]
Donc
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈ (𝑓[𝑎] + (𝑥 – 𝑎) 𝑓[𝑎, 𝑏])𝑑𝑥
𝑏
𝑎
En développant et en utilisant le fait que
𝑓[𝑎, 𝑏] =
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
On obtient:
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 𝑏 − 𝑎
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏
2
D'un autre côté, l'erreur d'interpolation est donnée par:
e(x) = f (x) - P1(x)
et on a
𝑒 𝑥 =
𝑓"( 𝑥
)
2
𝑥 – 𝑎 𝑥 – 𝑏
Il s'ensuit que

𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
=
𝑓"  𝑥
2
𝑥 – 𝑎 𝑥 – 𝑏
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
=
𝑓" 
2
𝑥 – 𝑎 𝑥 – 𝑏
𝑏
𝑎
𝑑𝑥
[a , b], d'après le théorème de la moyenne. Remarquer que (x)=(x – a)( x – b) ne change
pas de signe sur [a , b].
Et, en développant les calculs, on obtient:
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= −
(𝑏 − 𝑎)3
12
𝑓" 
Pour une fonction à valeurs réelles, deux fois continûment différentiable sur le segment [a ,
b], on peut donc écrire:
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
− 𝑏 − 𝑎
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑏
2
= −
𝑏 − 𝑎 3
12
𝑓"()
pour un certain [a , b]. La méthode est donc du premier ordre.
3.3. Méthode de Simpson
La méthode de Simpson, du nom de Thomas Simpson, utilise l'approximation d'ordre 2 de f
par un polynôme d'interpolation quadratique P2 en en x0=a, x1=m=
𝑎+𝑏
2
et x2=b:
On a
𝑃2 𝑥 = 𝑓 𝑎
𝑥 − 𝑚 𝑥 − 𝑏
𝑎 − 𝑚 𝑎 − 𝑏
+ 𝑓 𝑚
𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑏
𝑚 − 𝑎 𝑚 − 𝑏
+ 𝑓 𝑏
𝑥 − 𝑎 𝑥 − 𝑚
𝑏 − 𝑎 𝑏 − 𝑚
On approche alors l'intégrale de la fonction f sur l'intervalle [a , b], par l'intégrale de P2 sur ce
même intervalle. On a ainsi, la formule :
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
≈ 𝑃2 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
=
𝑏 − 𝑎
6
𝑓 𝑎 + 4𝑓
𝑎 + 𝑏
2
+ 𝑓 𝑏

Si f est 4 fois continument différentiable sur [a , b], l'erreur d'approximation vaut :
𝑒 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= −
𝑏 − 𝑎
2
5
𝑓(4)

90
= −
(𝑚 − 𝑎)5
90
𝑓(4)
 , [𝑎 , 𝑏]
L'expression de l'erreur montre que la méthode de Simpson est exacte pour tout polynôme de
degré inférieur ou égal à 3. De plus, cette méthode est d'ordre 4 pour toute fonction 4 fois
continument dérivable sur [a , b].
Pour améliorer la précision de l'intégrale obtenue par chacune des méthodes numériques, on
procède souvent à la subdivision de [a , b] en des sous-intervalles d'intégration. Cette
approche sera illustrée sur un exemple simple.
Soit la fonction f définie sur [0 , 2] par
f(x) = 2(x –1) + cos(x) esin(x)
Une primitive de f est donnée par
F(x) = x2
- 2x + esin(x)
On en déduit que
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1,1628
2
1
Le tableau suivant donne l'intégrale obtenue pour chacune des méthodes présentées. On
remarque que la méthode de Simpson donne le meilleur résultat.
Méthode Intégrale
Rectangles 1,2534
Trapèzes 1,1101
Simpson 1,1646

3.5. Subdivision de l'intervalle d'intégration
Pour améliorer la précision de l'intégrale obtenue par chacune des méthodes numériques, on
procède souvent à la subdivision de [a , b] en des sous-intervalles d'intégration. Par exemple,
on peut utiliser la méthode des rectangles sur [a , m] et sur [m , b] avec 𝑚 =
𝑎+𝑏
2
. En effet
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑚
𝑎
+ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑚
ce qui donne
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑚 − 𝑎 𝑓 𝑎 +
𝑚 − 𝑎 2
2
𝑓′ 1
+ 𝑏 − 𝑚 𝑓 𝑚 +
𝑏 − 𝑚 2
2
𝑓′(2
)
1[a , m] et 2[m , b]
Donc
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑚 − 𝑎 𝑓 𝑎 +
𝑚 − 𝑎 2
2
𝑓′ 1
+ 𝑏 − 𝑚 𝑓 𝑚 +
𝑏 − 𝑚 2
2
𝑓′(2
)
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑏 − 𝑎
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑚
2
+
𝑏 − 𝑎 2
4
𝑓′ 1
+ 𝑓′(2
)
2
Or il existe [1 , 2] tel que
𝑓′  =
𝑓′ 1
+ 𝑓′(2
)
2
Donc on peut écrire
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑏
𝑎
= 𝑏 − 𝑎
𝑓 𝑎 + 𝑓 𝑚
2
+
𝑏 − 𝑎 2
4
𝑓′ 
On remarque ainsi que la subdivision de l'intervalle d'intégration permet de diviser la valeur
de l'erreur par 2 dans le cas de la méthode des rectangles.
Le gain en précision par subdivision de l'intervalle d'intégration sera illustré en reprenant
l'exemple du paragraphe précédent. f étant définie sur [0 , 2] par
f(x) = 2(x –1) + cos(x) esin(x)
Méthode
Intégration
sur [1 , 2]
Intégration sur
[1 , 1.5] et [1.5 , 2]
Rectangles 1,2534 1,2226
Trapèzes 1,1101 1,1510
Simpson 1,1646 1,16288
La comparaison avec la solution analytique,
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1,1628
2
1
permet de constater que la précision est améliorée par la subdivision de l'intervalle pour
chacune des méthodes utilisées.

4. Exercices
Exercice 1 : Etablir, pour une fonction f suffisamment régulière, la formue
𝑓"(𝑥) =
𝑓 𝑥 + 𝑕 − 2𝑓 𝑥 + 𝑓(𝑥 − 𝑕)
𝑕2
−
𝑕2
12
𝑓(4)
(), [𝑥 − 𝑕, 𝑥 + 𝑕]
Exercice 2 : On se propose de calculer l’intégrale suivante :
I =
𝟏
𝒙
𝒅𝒙
𝟐
𝟏
1. Calculer analytiquement I.
2. Soit P = 0.3333 x2
- 1.5 x + 2.1667, le polynôme d’interpolation de Lagrange de f en
x0=1, x1=1.5 et x2=2. Calculer
𝑰 𝑷 = 𝑷(𝒙)𝒅𝒙
𝟐
𝟏
3. Calculer numériquement des estimations de I en utilisant les méthodes des trapèzes
(pour obtenir It) et Simpson (pour obtenir Is).
4. Comparer et interpréter les résultats obtenus.
5. Utiliser la méthode des trapèzes pour obtenir une valeur approchée It2 de I en
subdivisant l'intervalle [1, 2] en 2 sous-intervalles de même taille.
6. Expliquer graphiquement pourquoi It2 est supérieure à ln(2).
Exercice 3 : On se propose de calculer l’intégrale suivante :
I =
𝟏
𝟏 + 𝒙 𝟐
𝒅𝒙
𝟏
−𝟏
1. Calculer analytiquement I.
2. Utiliser le polynôme d’interpolation de Lagrange P en x0=-1, x1=-0.5, x2=0.5 et x3=1
pour obtenir une valeur approchée de I.
𝑰 𝑷 = 𝑷(𝒙)𝒅𝒙
𝟏
−𝟏
3. Calculer numériquement Is, une estimation de I en utilisant la méthode Simpson.
4. Comparer et interpréter les résultats obtenus.
5. Montrer comment on peut évaluer une estimation de l'erreur par rapport à I dans
chacun des cas.

Chapitre 5
Résolution de systèmes linéaires
1. Introduction
Beaucoup de problèmes se réduisent à la résolution numérique d’un système d’équations
linéaires. Il peut s'agir de la modélisation de certains phénomènes physiques ou lors de
l'utilisation de méthodes numériques appliquées à des modèles mathématiques.
On note Mn(R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n.
Un système linéaire d'ordre n est une expression de la forme
AX = B
où A = (aij), i,j=1,n désigne une matrice de taille n x n de nombres réels, B = (bi), i=1,n, un vecteur
colonne réel et X = (xi), i=1,n, est le vecteur des inconnues du système. La relation précédente
équivaut aux équations
𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖,
𝑛
𝑗=1
𝑖 = 1, … , 𝑛
Ou encore
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
⋮
𝑎 𝑛1 𝑥1 + 𝑎 𝑛2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛
Ce qui donne sous forme matricielle
𝑎11 𝑎12
𝑎21
⋯
𝑎1𝑛
𝑎2𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑎 𝑛1 ⋯ 𝑎 𝑛𝑛
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑛
=
𝑏1
𝑏2
⋮
𝑏 𝑛
Si la matrice A est régulière, c'est-à-dire det(A)0, alors le système linéaire AX=B admet une
solution unique quelque soit le vecteur B.
Cette solution est donnée par la formule de Cramer
𝑥𝑖 =
det⁡(𝐀𝑖)
det⁡(𝐀)
, 𝑖 = 1, … , 𝑛

Analyse numérique Résolution de systèmes linéaires
Où Ai est la matrice obtenue en remplaçant la ième colonne de A par le vecteur B. Le calcul
de la solution X par la méthode de Cramer pour n assez grand (n100) est de l'ordre de
n.(n+1)!, ce qui montre qu'il n'est pas envisageable d'utiliser cette méthode pour des systèmes
linéaires de grande taille.
Il faut donc développer des algorithmes alternatifs avec un coût raisonnable. Dans les sections
suivantes, on va analyser les méthodes dites directes.
On appelle méthode de résolution directe d'un système linéaire un algorithme qui, si
l'ordinateur faisait des calculs exacts (pas d'erreurs d'arrondi), donnerait la solution exacte en
un nombre fini d'opérations élémentaires. Il existe aussi des méthodes itératives qui consistent
à construire une suite de vecteurs xn convergeant vers la solution x. Selon le type et la taille de
la matrice A, on utilise une méthode directe ou une méthode itérative.
2. Méthodes directes de résolution des systèmes linéaires
On considère la résolution du système linéaire
AX = B
avec A une matrice d'ordre n à coefficients réels, inversible et B un vecteur de Rn
, par des
méthodes directes. On cherche à écrire A = LU où
- L est une matrice triangulaire inférieure avec des 1 sur la diagonale,
- U est une matrice triangulaire supérieure.
La résolution de AX = B est alors ramenée aux résolutions successives des systèmes
échelonnés LY = B et UX = Y.
2.1. Résolution des systèmes triangulaires.
Une matrice A = (aij) est triangulaire supérieure si
aij = 0 i,j tels que 1  j < i  n
et triangulaire inférieure si
aij = 0 i,j tels que 1  i < j  n
Suivant les cas, le système à résoudre est dit système triangulaire supérieur ou inférieur. Si la
matrice A est régulière et triangulaire alors, comme det(A) =aii, on en déduit que aii  0,
pour tout i = 1,…, n.
Supposons que A soit une matrice triangulaire supérieure. Le système AX=B peut alors
s’écrire :
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏1
𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏2
⋱
𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛

Pour résoudre ce système, on utilise l'algorithme suivant appelé méthode de remontée ou
algorithme de substitution rétrograde:
1. 𝑥 𝑛 =
𝑏 𝑛
𝑎 𝑛𝑛
2. Pour i de n-1 à 1 par pas de -1 faire :
𝑥𝑖 =
1
𝑎𝑖𝑖
𝑏𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑛
𝑗=𝑖+1
Si A est une matrice triangulaire inférieure, le système AX=B s'écrit alors:
𝑎11 𝑥1 = 𝑏1
𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 = 𝑏2
⋱
𝑎 𝑛1 𝑥1 + 𝑎 𝑛2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎 𝑛𝑛 𝑥 𝑛 = 𝑏 𝑛
Pour résoudre ce système, on utilise l'algorithme suivant appelé méthode de descente:
1. 𝑥1 =
𝑏1
𝑎11
2. Pour i de 2 à n par pas de 1 faire :
𝑥𝑖 =
1
𝑎𝑖𝑖
𝑏𝑖 − 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗
𝑖−1
𝑗=1
Remarque: On peut vérifier que la résolution d’un système d’équations linéaires triangulaire
se fait en n2
opérations à virgule flottante.
2.2. Méthode d'élimination de Gauss et décomposition LU
Soit A = (aij) une matrice non singulière (régulière) n x n. La méthode d'élimination de Gauss
permet de construire une suite de systèmes linéaires équivalents:
AX=B  A(k)
X=B(k)
, k = 1,2,…,n.
L'algorithme est le suivant:
1. On pose A(1)
= A, B(1)
= B, c'est-à-dire
𝑎𝑖𝑗
(1)
= 𝑎𝑖𝑗
𝑏𝑖
(1)
= 𝑏𝑖
2. On suppose que pour 1  k  n, A(k)
et B(k)
sont déjà construits et on construit A(k+1)
et
B(k+1)
;

Pour 1  i  k, j = 1,2,…,n
𝑎𝑖𝑗
𝑘+1
= 𝑎𝑖𝑗
𝑘
𝑏𝑖
𝑘+1
= 𝑏𝑖
𝑘
Pour k  i  n, j = 1,2,…,n
𝑙𝑖𝑘 =
𝑎𝑖𝑘
𝑘
𝑎 𝑘𝑘
𝑘
𝑎𝑖𝑗
𝑘+1
= 𝑎𝑖𝑗
𝑘
− 𝑙𝑖𝑘 𝑎 𝑘𝑗
𝑘
𝑏𝑖
𝑘+1
= 𝑏𝑖
𝑘
− 𝑙𝑖𝑘 𝑏 𝑘
𝑘
3. Et enfin
𝐋 = 𝑙𝑖𝑗 et 𝐔 = 𝑎𝑖𝑗
𝑖
Le système A(2)
X=B(2)
, s'écrit
𝑎11
(1)
𝑎12
(1)
0 𝑎22
(2)
⋯
𝑎1𝑛
(1)
𝑎2𝑛
(2)
⋮ ⋱ ⋮
0 𝑎 𝑛2
(2)
⋯ 𝑎 𝑛𝑛
(2)
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑛
=
𝑏1
(1)
𝑏2
(2)
⋮
𝑏 𝑛
(2)
et à l'étape k, A(k)
X=B(k)
,
𝑎11
(1)
𝑎12
(1)
0 𝑎22
(2)
⋯ 𝑎1𝑛
(1)
⋯ 𝑎2𝑛
(2)
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯
⋮
0 ⋯
0
⋮
0
𝑎 𝑘𝑘
(𝑘)
⋯ 𝑎 𝑘𝑘
(𝑘)
⋮ ⋮
𝑎 𝑛𝑘
(𝑘)
⋯ 𝑎 𝑛𝑛
(𝑘)
𝑥1
𝑥2
⋮
𝑥 𝑛
=
𝑏1
(1)
𝑏2
(2)
⋮
𝑏 𝑛
(2)
A chaque étape k, on élimine l'inconnue xk des équations k+1 à n.
Remarque:
- A étant une matrice non singulière, la décomposition A=LU est unique.
- Le coût de cette méthode de factorisation est de l'ordre de 2n3
/3 opérations à virgule
flottante.
- Cas d'un pivot nul: Si à l'étape k, le pivot akk=0, on peut permuter la ligne k avec une
ligne i0, telle que i0k et 𝑎𝑖0 𝑘 0 et on continue la méthode de Gauss.

3. Application
3.1. Application
On considère le système linéaire:
3𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 = 1
−𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 3
𝑥1 + 𝑥3 = 1
L'écriture matricielle de ce système d'équations donne:
3 2 3
−1 1 1
1 0 1
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
1
3
1
Les étapes de la méthode d'élimination de Gauss donnent:
𝐀(1)
=
3 2 3
−1 1 1
1 0 1
𝐁(1)
=
1
3
1
𝑙21 =
−1
3
, 𝑙31 =
1
3
Pour obtenir A(2)
, on ajoute respectivement aux lignes 2 et 3 de A(1)
les termes de la ligne 1
multipliés respectivement par l21 et l31. Ce qui donne
𝐀(2)
=
3 2 3
0
5
3
2
0
−2
3
0
𝐁(2)
=
1
10
3
2
3
𝑙32 =
−2
5
et donc
𝐀(3)
=
3 2 3
0
5
3
2
0 0
4
5

𝐁(3)
=
1
10
3
2
et on a l'équivalence
AX=B  A(3)
X=B(3)
On obtient alors
3 2 3
0
5
3
2
0 0
4
5
𝑥1
𝑥2
𝑥3
=
1
10
3
2
et finalement, l’algorithme de substitution rétrograde donne la solution du système système
d’équations linéaires
𝑥1 =
−3
2
𝑥2 = −1
𝑥3 =
5
2
En outre, la décomposition A=LU s'écrit:
3 2 3
−1 1 1
1 0 1
=
1 0 0
−1
3
1 0
1
3
2
5
1
3 2 3
0
5
3
2
0 0
4
5
3.2. Utilisation de MATLAB
Les commandes suivantes montre comment on peut utiliser MATLAB pour effectuer la
décomposition LU d'une matrice A.
>> A=[3 2 3;-1 1 1;1 0 1]
A =
3 2 3
-1 1 1
1 0 1
>> [L,U]=lu(A)
L =
1.0000 0 0
-0.3333 1.0000 0
0.3333 -0.4000 1.0000
U =
3.0000 2.0000 3.0000
0 1.6667 2.0000
0 0 0.8000

4. Exercices
Exercice 1: Vérifier si la matrice
𝐀 =
0 1
1 0
admet une décomposition LU.
Exercice 2:
1. Quel est le nombre de multiplications/divisions nécessaires pour effectuer la
décomposition LU d'une matrice A d'ordre n ?
2. Montrer que ce nombre pour n grand est en O(n3
).
Exercice 3: Utiliser la méthode d'élimination de Gauss pour résoudre le système linéaire
𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 = 1
−𝑥1 + 3𝑥2 = 4
2𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 = 2
Exercice 4: On considère la matrice
𝐀 =
4 1 −1
−2 2 1
7 0 3
1. Effectuer la décomposition LU de A
2. En déduire la résolution du système linéaire
4𝑥1 + 𝑥2 − 𝑥3 = 5
−2𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 = 1
7𝑥1 + 3𝑥3 = −3

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