Ce document contient des travaux dirigés sur l'analyse mathématique axés sur les développements limités et la formule de Taylor. Il comprend divers exercices avec des solutions détaillées, démontrant des concepts tels que l'équivalence des fonctions et les dérivées successives. Les sujets abordés sont pertinents pour les étudiants en sciences économiques et gestion, et sont présentés par Mohamed Hachimi à la faculté des sciences juridiques économiques et sociales d'Agadir.

1. TRAVAUX DIRIGÉS
Analyse Mathématiques I
Filière Sciences Economiques et Gestion
Semestre 1
Mohamed HACHIMI
Faculté des Sciences Juridiques Economiques et Sociales d’Agadir
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2. Chapitre III
Développements limités
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3. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 1
Les fonctions
f (x) = x2 + 3x
et
g(x) = x2 + 1
sont-elles équivalentes au voisinage de +∞ ? au voisinage
de 0 ?
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4. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 1
On a :
f (x)
x2 + 3x
= lim
=1
x→+∞ g(x)
x→+∞ x2 + 1
lim
les fonctions f et g sont donc équivalentes en +∞.
x2 + 3x
f (x)
= lim 2
=0
x→0 x + 1
x→0 g(x)
lim
les fonctions f et g ne sont donc pas équivalentes en 0.
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5. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 2
Etant donné que
x ∼ x + 1,
+∞
ex
les fonctions et
sinage de +∞ ?
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ex+1
sont-elles aussi équivalentes au voi-
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6. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 2
Posons f (x) = ex et g(x) = ex+1 . On a :
ex
f (x)
1
= lim x+1 = = 1
x→+∞ g(x)
x→+∞ e
e
lim
les fonctions f et g ne sont donc pas équivalentes en +∞,
malgré que x ∼ x + 1.
+∞
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7. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 3
Déterminer, en utilisant les fonctions équivalentes :
1◦
1
x3 + 2x2 + 1
sin
x→∞ 4x2 + 3x + 2
x
2◦
lim
lim
(x2 + x) ln(1 + x)
x→0
x3 + 3x2
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8. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 3
1◦
On a : x3 + 2x2 + 1 ∼ x3 ,
∞
donc
4x2 + 3x + 2 ∼ 4x2 ,
sin
∞
1 1
∼
x∞x
x3 + 2x2 + 1
1
x3 1
1
sin = lim 2 =
x→∞ 4x2 + 3x + 2
x→∞ 4x x
x
4
lim
2◦
On a : x2 + x ∼ x,
0
donc
x3 + 3x2 ∼ 3x2 ,
0
ln(1 + x) ∼ x
0
(x2 + x) ln(1 + x)
x2
1
= lim 2 =
3 + 3x2
x→0
x→0 3x
x
3
lim
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9. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 4
Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1], on a :
x5
x2 x3 x4
+
1+x+ + +
2
6 24 120
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ex
x2 x3 x4
3x5
1+x+ + +
+
2
6 24 120
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10. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 4
La fonction f (x) = ex est plusieurs fois dérivable sur R. On peut lui
appliquer la formule de Mac-Laurin à l’ordre 5 sur [0, 1]. Il existe
c ∈]0, 1[ tel que :
f (x) = f (0) +
f ′ (0)
f ′′ (0) 2 f (3) (0) 3 f (4) (0) 4 f (5) (c) 5
x+
x +
x +
x +
x
1!
2!
3!
4!
5!
On a : f (x) = f ′ (x) = f ′′ (x) = f (3) (x) = f (4) (x) = f (5) (x) = ex
donc : f (0) = f ′ (0) = f ′′ (0) = f (3) (0) = f (4) (0) = 1 et f (5) (c) = ec
D’où :
ex = 1 + x +
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ec 5
x2 x3
x4
+
+
+
x
2
6
24 120
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11. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 4
Comme 0
1, il vient 1
c
1
ec
3
soit
ec
1 5
x
120
e. D’où :
ec 5
x
120
3 5
x
120
On en déduit :
1+x+
x4
x5
x2 x3
+
+
+
2
6
24 120
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ex
1+x+
x2 x3
x4
3x5
+
+
+
2
6
24 120
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12. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 5
Ecrire la formule de Taylor-Lagrange, à l’ordre 4, des fonctions suivantes :
1
, pour a = 1 ;
1◦ f (x) =
1+x
2◦
g(x) = ln x, pour a = 1
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13. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 5
1◦
f est plusieurs fois dérivable sur [1, x] pour x voisin de 1. On a :
1
2
f ′′ (x) =
(1 + x)2
(1 + x)3
6
24
f (3) (x) = −
f (4) (x) =
(1 + x)4
(1 + x)5
f ′ (x)
=−
La formule de Taylor-Lagrange, à l’ordre 4, est
(x−1)2 ′′
(x−1)3 (3)
(x−1)4 (4)
f (1)+
f (1)+
f (c)
2
6
24
1 1
1
1
(x − 1)4
= − (x − 1) + (x − 1)2 − (x − 1)3 +
2 2
8
16
(1 + c)5
f (x) = f (1)+(x−1)f ′ (1)+
avec c dans l’intervalle ]1, x[.
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14. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 5
2◦
g est plusieurs fois dérivable sur [1, x] pour x voisin de 1. On a :
f ′ (x) =
1
,
x
f ′′ (x) = −
1
,
x2
f (3) (x) =
2
,
x3
f (4) (x) = −
6
x4
La formule de Taylor-Lagrange, à l’ordre 4, est
(x−1)2 ′′
(x−1)3 (3)
(x−1)4 (4)
f (1)+
f (1)+
f (c)
2
6
24
1
1
(x − 1)4
= x − 1 − (x − 1)2 + (x − 1)3 −
2
3
4(1 − c)4
g(x) = f (1)+(x−1)f ′ (1)+
avec c dans l’intervalle ]1, x[.
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15. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 6
Montrer que la fonction
f (x) = x + 5x2 + x3 sin x
admet un DL d’ordre 3, au voisinage de 0.
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16. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 6
On peut écrire f sous la forme :
f (x) = 0 + x + 5x2 + 0x3 + x3 (sin x) avec
lim sin x = 0
x→0
donc f admet un DL d’ordre 3, au voisinage de 0
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17. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 7
En utilisant la formule de Taylor-Young, déterminer le DL
d’ordre 3, au voisinage de 0 de
f (x) = ln(1 + ex )
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18. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 7
f est plusieurs fois dérivable sur R. En particulier f (3) (0) existe,
on peut appliquer la formule de Taylor-Young à l’ordre 3 :
f (x) = f (0) +
On a : f ′ (x) =
f ′ (0)
f ′′ (0) 2 f (3) (0) 3
x+
x +
x + x3 ε(x)
1!
2!
3!
ex
,
1 + ex
d’où : f (0) = ln 2,
f ′′ (x) =
f ′ (0) =
1
,
2
ex
,
(1 + ex )2
f ′′ (0) =
1
,
4
f (3) (x) =
ex (1 + ex )
(1 + ex )3
f (3) (0) = 0
Ainsi,
ln(1 + ex ) = ln 2 +
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x x2
+
+ x3 ε(x)
2
8
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19. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 8
Trouver le DL d’ordre 4, au voisinage de 0 de la fonction
√
f (x) = 1 + x
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20. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 8
On a :
f (x) = (1 + x)α avec α =
1
2
1
1
5 4
1
x + x4 ε(x)
= 1 + x − x2 + x3 −
2
8
16
128
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21. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 9
Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 1 de la fonction
f (x) = ex
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22. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 9
En posant t = x − 1, on est ramené au voisinage de 0 :
ex = e1+t = e · et
=e 1+t+
t2 t3
+ + t3 ε(t)
2
6
ainsi, au voisinage de 1, on a :
ex = e 1 + (x − 1) +
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(x − 1)2 (x − 1)3
+
+ (x − 1)3 ε(x − 1)
2
6
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23. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 10
Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) = e4x sin 3x
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24. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 10
Au voisinage de 0, on a :
4x (4x)2
(4x)3
+
+
+ x3 ε(x)
1!
2!
3!
32
= 1 + 4x + 8x2 + x3 + x3 ε(x)
3
3
9
(3x)
+ x3 ε(x) = 3x − x3 + x3 ε(x)
sin 3x = 3x −
3!
2
e4x = 1 +
D’où : e4x sin 3x =
1 + 4x + 8x2 +
= 3x + 12x2 +
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32 3
x
3
9
3x − x3
2
+ x3 ε(x)
39 3
x + x3 ε(x)
2
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25. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 11
Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) =
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ln(1 + x)
cos x
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26. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 11
Au voisinage de 0, on a :
ln(1 + x) = x −
cos x = 1 −
x2 x3
+
+ x3 ε(x)
2
3
x2
+ x3 ε(x)
2
Donc
x2 5x3 3
ln(1 + x)
= x− +
+x ε(x)
cos x
2
6
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x2
x3
+
2
3
x3
−x
+
2
5x3
x2
+
−
2
6
x2
2
5x3
+
6
x−
x2
2
x2
5x3
x−
+
2
6
1−
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27. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 12
Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) = esin x
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28. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 12
Au voisinage de 0, on a :
sin x = x −
x3
+ x3 ε(x)
6
et
eu = 1 + u +
u2 u3
+
+ u3 ε(u)
2
6
Comme sin 0 = 0, on peut donc remplacer u, dans l’expression
x3
:
de eu , par le terme x −
6
esin x = 1 + x −
=1+x+
x3
6
+
1
2
x−
x3
6
2
+
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x−
x3
6
3
+ x3 ε(x)
x2
+ x3 ε(x)
2
(On ne garde que les termes de degré
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6
3).
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29. Formule de Taylor. Développements limités
Exercice 13
Trouver le DL d’ordre 3, au voisinage de 0 de la fonction
f (x) = ecos x
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30. Formule de Taylor. Développements limités
Solution de l’exercice 13
Puisque cos 0 = 1 = 0, on écrit ecos x sous la forme :
ecos x = e1+(cos x)−1 = e e(cos x)−1
Au voisinage de 0, on a :
(cos x) − 1 = −
x2
+ x3 ε(x)
2
et
eu = 1 + u +
En remplaçant u, dans eu , par le terme −
ecos x = e 1 −
x2
+ x3 ε(x)
2
u2 u3
+
+ u3 ε(u)
2
6
x2
, on a :
2
= e−
e2 2
x + x3 ε(x)
2
(On ne garde que les termes de degré 3). economie et gestion
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