Exercices sur les fonctions numeriques

1. 1 R´solution
e
1.1 Exo 1
a) f est d´finie sur ] − ∞; 0[ U ]0; +∞[ car on ne peux pas diviser par 0.
e
x
b) lim f (x) = 2x − = −1
0+ x
x
lim f (x) = −2x + = 1
0− x
Comme les limites ` gauche et ` droite ne sont pas les mˆmes, la fonction f
a a e
n’est pas continue en 0.
Remarque : Est ce suffisant comme conclusion ?
1.2 Exo 2
1) lim f (x) = lim x × sin(1/x) = 0
x→0 x→0
Or f (0) = 5
Donc lim f (x) = f (0)
x→0
Donc f n’est pas continue en 0.
2) Il aurait fallu prendre f (x) = 0 en x = 0
Car on a f (0) = lim f (x) = lim f (x). Donc f est bien continue.
0+ 0−
f est d´rivable en 0 ?
e
J’ai fais le taux d’accroissement :
f (x + h) − f (x) f (0 + h) − f (0) f (h)
= = = sin(1/h)
h h h
Et donc f n’est pas d´rivable en 0.
e
Remarque : Je ne suis pas sur qu’il fallait faire le taux d’accroissement, est
ce juste ?
1.3 Exo 3
1) f est d´finie sur ] − ∞; 1[ U ]1; +∞[ car on ne peux pas diviser par 0.
e
2) Je factorise par (x − 1) :
(x − 1)(2x3 − 4x2 − 3x − 3)
f (x) = = 2x3 − 4x2 − 3x − 3 −→ f (1) = −8
x−1
Il fallait donc prendre f (1) = −8 pour que f soit continue en x = 1.
Remarque : Ce que je ne comprend pas c’est que au d´part la fonction n’est
e
pas d´finie sur 1 et si on la factorise elle devient d´finie sur 1. Pourtant c’est
e e
bien la mˆme fonction, non ?
e
1

2. 1.4 Exo 4
Je ne vois pas bien comment d´montrer ¸a.
e c
Je pense que ca consiste ` trouver un h suffisamment petit pour que
¸ a
f (a + h) = f (a − h) = 0
Donc lim |f (a) − f (x)| < ε
x→a
Comme la distance entre f (a) et f (a + h) est epsilonnesque f (a + h) et f (a − h)
sont diff´rents de 0.
e
1.5 Exo 5
|f (x) − f (y)| k|x − y|
Par d´finition, f est k-lipschitzienne. On a,
e
lim |x − y| = 0 donc lim |f (x) − f (y)| lim k|x − y| = 0
y→x y→x y→x
Donc f est continue, j’insiste pas on a d´j` vu la continuit´ dans les exos
ea e
pr´c´dents.
e e
1.6 Suite des exercices ` venir...
a
2