Le document traite des propriétés de continuité et de dérivabilité de diverses fonctions. Il examine les limites de certaines fonctions en zéro et discute des conditions nécessaires pour qu'une fonction soit continue, notamment à travers des exemples spécifiques. En outre, il aborde la notion de fonction k-lipschitzienne et son implication sur la continuité.

1. 1 R´solution
e
1.1 Exo 1
a) f est d´finie sur ] − ∞; 0[ U ]0; +∞[ car on ne peux pas diviser par 0.
e
x
b) lim f (x) = 2x − = −1
0+ x
x
lim f (x) = −2x + = 1
0− x
Comme les limites ` gauche et ` droite ne sont pas les mˆmes, la fonction f
a a e
n’est pas continue en 0.
Remarque : Est ce suffisant comme conclusion ?
1.2 Exo 2
1) lim f (x) = lim x × sin(1/x) = 0
x→0 x→0
Or f (0) = 5
Donc lim f (x) = f (0)
x→0
Donc f n’est pas continue en 0.
2) Il aurait fallu prendre f (x) = 0 en x = 0
Car on a f (0) = lim f (x) = lim f (x). Donc f est bien continue.
0+ 0−
f est d´rivable en 0 ?
e
J’ai fais le taux d’accroissement :
f (x + h) − f (x) f (0 + h) − f (0) f (h)
= = = sin(1/h)
h h h
Et donc f n’est pas d´rivable en 0.
e
Remarque : Je ne suis pas sur qu’il fallait faire le taux d’accroissement, est
ce juste ?
1.3 Exo 3
1) f est d´finie sur ] − ∞; 1[ U ]1; +∞[ car on ne peux pas diviser par 0.
e
2) Je factorise par (x − 1) :
(x − 1)(2x3 − 4x2 − 3x − 3)
f (x) = = 2x3 − 4x2 − 3x − 3 −→ f (1) = −8
x−1
Il fallait donc prendre f (1) = −8 pour que f soit continue en x = 1.
Remarque : Ce que je ne comprend pas c’est que au d´part la fonction n’est
e
pas d´finie sur 1 et si on la factorise elle devient d´finie sur 1. Pourtant c’est
e e
bien la mˆme fonction, non ?
e
1

2. 1.4 Exo 4
Je ne vois pas bien comment d´montrer ¸a.
e c
Je pense que ca consiste ` trouver un h suffisamment petit pour que
¸ a
f (a + h) = f (a − h) = 0
Donc lim |f (a) − f (x)| < ε
x→a
Comme la distance entre f (a) et f (a + h) est epsilonnesque f (a + h) et f (a − h)
sont diff´rents de 0.
e
1.5 Exo 5
|f (x) − f (y)| k|x − y|
Par d´finition, f est k-lipschitzienne. On a,
e
lim |x − y| = 0 donc lim |f (x) − f (y)| lim k|x − y| = 0
y→x y→x y→x
Donc f est continue, j’insiste pas on a d´j` vu la continuit´ dans les exos
ea e
pr´c´dents.
e e
1.6 Suite des exercices ` venir...
a
2