Le document discute des propriétés des fonctions strictement monotones et de leurs fonctions réciproques, établissant des théorèmes sur la bijection et la continuité. Il traite également des équations de la forme xn = a en fonction de n et a, et présente des exemples illustrant ces concepts. Enfin, il aborde la fonction racine nième et ses caractéristiques sur l'intervalle des réels positifs.

1. 1
Théorème :
Soit f une fonction strictement monotone sur un intervalle I. On a alors les propriétés suivantes :
(*) la fonction f est une bijection de I sur f(I)
(*)La fonction f -1 est une bijection de f(I) sur I et on a : (x I∈ , y = f(x) ) ⇔ ( y )I(f∈ , x = f -1 (y) )
(*)La fonction f -1 est strictement monotone sur f(I) et a la même sens de variations que f .
(*) Les courbes représentatives de f et f -1 , dans un repère orthonormé, sont symétriques par rapport à la
première bissectrice du repère (y = x)
Si est du plus f est continue sur I alors f -1 est continue sur f(I)
Si est du plus f est dérivable sur I et f’(x) 0≠ pour tout x de I alors : ( ) ( ))x(f'f
1
)x(f 1
1
−
−
=
′
pour tout x de f(I)
Exemple :Soit f(x) =
1x2
1x
+
+
.
Montrer que f réalise une bijection de I= 





+∞− ,
2
1
sur un intervalle J qu l’on précisera.
Correction
Expliciter f -1 (x) pour tout x de J .
On a Ix ∈∀ : f’(x) = 0
)²1x2(
1
<
−
−
alors f est strictement décroissante et continue sur I alors f réalise une
bijection de I sur J = f(I) =
( )






+
−→+∞→
)x(flim);x(flim
5,0xx
= 





+∞,
2
1
Pour tout x J∈ : y = f -1(x) équivaut à x = f(y) et y I∈
équivaut à x =
1y2
1y
+
+
et y I∈ équivaut à : 2xy + x = y + 1 et y I∈ équivaut à y =
1x2
x1
−
−
et y I∈
alors pour tout x de J : f -1(x) =
1x2
x1
−
−
Théorème
La fonction réciproque de la fonction f définie sur R+ par : f(x) = xn ( n 2≥ ) est appelée fonction racine nième .
Pour toit x de R+ , le réel f -1(x) est noté n
x .( lire racine nième de x )
f -1(x) = n
x
(*) f -1 est définie , continue et strictement croissante sur R+ . elle est bijective de R+ sur R+
(*)Pour tout réel x de R+ , on a : n n
x = x et ( )n
n
x = x
(*) +∞=
+∞→
n
x
xlim
(*) x ֏ n
x est dérivable sur R+ est sa fonction dérivée est : x ֏





 −n 1n
xn
1
Exemple : Soit f(x) = 3
2x −
1°)Montrer que f est continue sur l’intervalle I = [ [+∞,2
2°)Calculer )x(flim
x +∞→
3°)Montrer que est strictement croissante sur I .
Correction :
1°)La fonction : g : x ֏ x – 2 est continue et positif sur I
La fonction : x ֏ 3
x est continue sur R+ )I(g⊃
Alors la fonction f est continue sur I car f est comme composée de fonction continues.
2°)on a : ( ) +∞=−
+∞→
2xlim
x
et on a : +∞=
+∞→
3
x
xlim donc d’apres le théoreme sur la limite d’une fonction composée
on a : +∞=
+∞→
)x(flim
x
3°)Soit a et b deux élément de I tel que a < b .
On a : a < b ⇒⇒⇒⇒ a – 2 < b – 2 ⇒⇒⇒⇒ 3
2a − < 3
2b − ⇒⇒⇒⇒ f(a) <f(b).Alors est strictement croissante sur I .
Fiche de cours 4ème Maths
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2. 2
Résolution d’équation : xn = a
Soit a un réel et n un entier supérieur ou égale à 2 .
Si n est impair et a 0≥ , l’équation xn = a admet une unique solution : n
a
Si n est impair et a <0, l’équation xn = a admet une unique solution : n
a−−
Si n est pair et a 0≥ , l’équation xn = a admet comme solutions : - n
a et n
a
Si n est pair et a<0, l’équation xn = a n’admet aucune solution .
Théorème
Pour x et y ∈R+ , n et p deux entiers vérifiant : n 2≥ et p 2≥ on a :
n p
x = ( )p
n
x ; n p
x =
np
x ;
np p
x = n
x ; n xy = n
x n y× ; n
y
x
=
n
n
y
x
( y>0)
Théorème
Soit u une fonction dérivable et positive sur un intervalle I et un entier n 2≥ .
La fonction n )x(ux:f ֏ est continue sur I et dérivable en tout réel x de I tel que 0)x(u ≠
Et on a ,






=
−n 1n
)x(un
)x('u
)x('f pour tout x de I tel que u(x) > 0