Ce document présente une généralisation du théorème de Weierstrass et son application à l'approximation des opérateurs de Hilbert-Schmidt par des opérateurs polynomiaux. Il explore les propriétés des systèmes complexes en utilisant des entrées et sorties mesurées, et détaille la formulation mathématique nécessaire pour cette approximation. Des théorèmes concernant la densité des opérateurs polynomiaux dans des espaces de Hilbert et des applications pratiques dans l'identification de systèmes non linéaires sont également discutés.

1. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et
application
DJEDDI Kamel*, Department of Mathematics
Universit´e de Oum El Bouaghi
*E-mail : djeddi.kamel@gmail.com
B.P. 873 Tebessa 12002
Mai 2013
R´esum´e. Dans ce travail, on cherche alors une approximation du op´erateur de Hilbert-
Schmidt, c’est-a-dire d´eveloppement de op´erateur de Hilbert-Schmidt a op´erateur po-
lynˆomial `a partir de certaines entr´ees et des sorties correspondantes et repr´esent´e un
application.
Mots cl´es. Op´erateur, Th´eor`eme de Weierstrass, D´eveloppement, Approximation. 1.In-
troduction. D’un point de vue physique un syst`eme peut grossi`erement ˆetre consid´er´e
comme un m´ecanisme faisant correspondre `a une action (on dira une entr´ee) une r´eaction
( une sortie ). D’un point de vue math´ematique, un syst`eme peut ˆetre repr´esent´e par
un op´erateur, celui-ci faisant correspondre `a une fonction ( la fonction entr´ee), une autre
fonction ( la fonction sortie).La connaissance d’un syst`eme revient `a celle des lois qui
r´egissent son comportement. L’´etude du comportement `a partir des lois ´el´ementaires est
th´eoriquement possible, mais en pratique elle est souvent impossible si le syst`eme est
complexe, si les ph´enom`e nes pr´esents ne sont pas, ou sont mal connus etc...
On cherche alors une approximation du comportement du syst`eme (G´en´eralisation du
th´eor`eme de Weierstrass), c’est-a-dire une approximation de l’op´erateur qui le repr´esente,
`a partir de certaines entr´ees et des sorties correspondantes.
2.Th´eor`eme classique de Weierstrass
Th´eor`eme.1. Toute fonction continue sur un intervalle ferm´e et born´e I de R , `a valeurs
r´eelles, peut ˆetre approch´ee uniform´ement sur I `a ε pr`es, pour tout ε > 0, par une fonction
polynomiale.
En d’autres termes :
Th´eor`eme.2. Le sous-espace vectoriel P (I, R) de l’espace vectoriel C (I, R) est dense
par rapport `a C (I, R) dans E = B∞ (I, R)
Op´erateur de Hilbert-Schmidt
D´efinition.1. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert ; un op ´erateur A de H1 dans
H2 est Hilbert Schmidt si et seulement si il admet la repr´esentation :
page : 1 DJEDDI Kamel

2. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
Af =
∞
n=1
λn f, en hn
o`u (en) et (hn) sont des ensembles orthonorm´es dans H1 et H2 respectivement. f ∈ H1
λn > 0 et tel que la s´erie ∞
1 λ2
n converge.
Op´erateurs polynˆomes
D´efinition.2. Soient X et Y deux espaces vectoriels complexes. Une application y = P(x)
de X dans Y d´efinie pour tous les x est un op´erateur polynˆome de degr´e m si :
P(x1 + αx2) =
m
n=0
Pn(x1, x2)αn
∀x1, x2 ∈ X, α complexe
Pn(x1, x2) ´etant ind´ependants de α.
Op´erateur int´egral Hilbert-Schmidt
D´efinition.3. Soit T un intervalle r´eel, k ∈ L2
(Tn+1
)
un op´erateur int´egral Hilbert-Schmidt, A : L2
(Tn
) → L2
(T) , s’ecrit :
(Ax) (t) =
Tn
k (t, s) x (s) ds, t ∈ T, s = (s1, ..., sn) ∈ Tn
Op´erateurs polynˆomes Hilbert-Schmidt
D´efinition.4. Un op´erateur polynˆome Hilbert-Schmidt de degr´e N est une combinaison
lin´eaire d’op´erateurs Hilbert-Schmidt avec x (s) = x (s1) ...x (sn) s’´ecrira :
(Hx) (t) =
N
n=0 Tn
kn (t, s1, ..., sn) x (s1) ...x (sn) ds1...dsn
2.G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass
Th´eor`eme de Weierstrass dans espace de Hilbert Th´eor`eme.2. Soit H un espace
de Hilbert s´eparable, K une partie compacte de H et C (K, H) l’espace vectoriel norm´e
des applications continues de K dans H.
Alors la famille des op´erateurs polynˆomes d´efinies et continus dans le compact K est
dense dans C (K, H) .
Th´eor`eme de Weierstrass dans espace de Hilbert
En d’autres termes :
Th´eor`eme.3. Si A : K → H est une application continue, alors ∀ε > 0, existe un
op´erateur polynˆome P
(ε)
N tel que
A − P
(ε)
N = sup
x∈K
Ax − P
(ε)
N x < ε
P
(ε)
N = L0 + L1x + ... + LN xN
page : 2 DJEDDI Kamel

3. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
L0 = application constante Ln = application n−lin´eaire Hn
→ H, Lnxn
= Ln (x, ..., x) .
Th´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2
.
Soit T un intervalle r´eel, t ∈ T, X un compact de L2
(T) et C[X, L2
(T)] l’espace vectoriel
norm´e des applications continues de X dans L2
(T) (muni de la norme des sup).
Notons n l’ensemble des polynˆomes Hilbert-Schmidt de degr´e ≤ n, d´efinis sur X :
H ∈ n ⇔ (Hx) (t) =
n
j=0 Tj
kj (t; s1, ..., sj) x (s1) ...x (sj) ds1...dsj.
o`u x ∈ X. En supposant les kj sym´etriques par rapport s1, ..., sj .Par d´efinition des
op´erateurs Hilbert-Schmidt n ⊂ C[X, L2
(T)].
Th´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2
Th´eor`eme.4. Soit k ⊂ C[X, L2
(T)] relativement compact (k compact) Alors ∀ε > 0,
∃N = N (ε) tel que ∀F ∈ k, il existe un polynˆome Hilbert-Schmidt : H ∈ n satisfaisant
la relation
F − H C[X,L2(T)] = sup
x∈X
Fx − Hx L2(T) < ε
Proposition. Soit F une fonctionnelle sur X compact, F : X ⊂ L2
(T) → R. Alors
il existe une suite d’´el´ements de , c’est-`a-dire des fonctionnelles Hilbert-Schmidt, qui
converge uniform´ement vers F.
Preuve
- est manifestement une alg`ebre.
- s´epare les point de X car si x1 = x2, il existe un noyau k1 tel que
T
k1(s)x1(s)ds =
T
k1(s)x2(s)ds
- toute fonctionnelle appartenant `a est ´evidement continue. D’apr`es le th´eor`eme de
Stone-Weierstrass, ∀ε > 0, il existe un entier N(ε) = N tel que pour toute fonctionnelle
F continue sur X on dit
|F(x) − k(x)| = F(x) −
n
j=0 Tj
kj(s1, ..., sj)x(s1)...x(sj)ds1...dsj < ε, ∀x ∈ X.
Aussi, la classe des fonctionnelles Hilbert-Schmidt est partait dense dans c [X, R] .
Le passage `a un op´erateur dans L2
(T) utilisera le fait qui k(x) est pr´e compact et peut
ˆetre recouvert ∀ε > 0 par un nombre fini de boules de diam`etre k. Ou simulera aussi un
op´erateur A `a une famille de fonctionnelles At d´efinies par
At(x) = (Ax)(t), x ∈ L2
(T), t ∈ T.
3.Application.
page : 3 DJEDDI Kamel

4. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
On va d´ecrire la d´etermination d’un syst`eme non lin´eaire en l’approximant par un op´erateur
Hilbert-Schmidt d’ordre 2.
Calcul formel d’identification.
Le syst`eme est approxim´e par un polynˆome Hilbert-Schmidt d’ordre 2.{Φi (t)} ´etant une
base de L2
(T), la sortie du syst`eme y(t) correspondant `a l’entr´ee x (z) est donn´ee par :
y(t) =
T
k1 (t − z) x (z) dz +
T2
k2(t − z1, t − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2
avec
k1 (t) =
N
i=1
αiΦi(t)
k2 (t1, t2) =
N
i,j=1
βijΦi (t1) Φj (t2)
avec les donn´ees
entr´ees mesur´ees : vecteur x (tk) , k = 1, ..., p
sorties mesur´ees : vecteur y (tk), k = 1, ..., p
Probl`eme. Trouver les N coefficients αi et les N2
coefficients βij.
Calculs :
y(tk) = y1(tk) + y2(tk)
avec
y1(tk) =
T
k1 (tk − z) x (z) dz
y2(tk) =
T2
k2(tk − z1, tk − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2
Expression de y1(tk) :
y1(tk) =
N
i=1 T
Φi (tk − z) x (z) dz
On applique la m´ethode des trap`ezes pour calculer
T
Φi (tk − z) x (z) dz pour cela, on
divise l’intervalle [0, T] en D sous intervalles d’amplitude T
D
= h cette int´egrale devient :
y1(tk) =
N
i=1
hαi
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)
page : 4 DJEDDI Kamel

5. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
avec zl ∈ [(l − 1) h, lh]
Expression de y2(tk) :
y2(tk) =
N
i,j=1
βij



(
T
Φi (tk − z1) x (z1) dz1)(
T
Φj (tk − z2) x (z2) dz2)



En appliquant la m´ethode des trap`ezes on obtient :
T
Φi (tk − z1) x (z1) dz1 = h
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)
T
Φj (tk − z2) x (z2) dz2 = h
D
l=1
Φj (tk − zl) x (zl)
donc
y2(tk) =
N
i,j=1
h2
βij (
D
l=1
Φi (tk − zl) x (z1)).(
D
l=1
Φj (tk − zl) x (zl))
Expression de y(tk) :
y(tk) = y1(tk) + y2(tk)
alors
y(tk) = h
N
i=1
αi
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)
+2h2
N
i=j=1
βij (
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)).(
D
l=1
Φj (tk − zl) x (zl))
+h2



N
i=1
βii
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)
2



En appliquant la m´ethode de Moindres carr´es : y et y ´etant respectivement les sorties
calcul´ee et mesur´ee :
Sp = (y (tp) − y (tp))
S =
P
p=1
(y (tp) − y (tp))
2
=
P
p=1
(Sp)2
page : 5 DJEDDI Kamel

6. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
On a un syst`eme de N + N + N2−N
2
´equations. On pose : F (n1, n2, n3) = Φn1 (tn2 − zn3 ) x (zn2 )
∂Sp
∂αi
= h
D
l=1
F (i, p, l)
∂Sp
∂βii
= h2
D
l=1
F (i, p, l)
2
∂Sp
∂βij
= 2h2
D
l=1
F (i, p, l) .
D
l=1
F (j, p, l)
Sp = h
N
i=1
αi
D
l=1
F (i, p, l) + h2



N
i=1
βii
D
l=1
F (i, p, l)
2



+2h2



N
1
i=j
βij
D
l=1
F (i, p, l) .
D
l=1
F (i, p, l)



− y (tp)
Formation du vecteur V des inconnues de dimension 2N + N2−N
2
αi = V (i) avec i = 1, ..., N
βii = V (N + i) avec i = 1, ..., N
βij = V (2N + k) avec i = 1, ..., N et j > i, k = (i − 1) N −
i
2
+ j − i
On pose G (i, j) = D
l=1 F (i, j, l) avec F (i, j, l) = Φi (ti − zl) x (zl)
donc :
Sp = h
N
i=1
αiG (i, p) + h2
N
i=1
βii (G (i, p))2
+2h2
N−1
i=1
j>i
βijG (i, p) G (j, p) − y (tp)
1
2
∂S
∂αi
=
P
p=1
Sp
∂Sp
∂αi
= 0
1
2
∂S
∂βii
=
P
p=1
Sp
∂Sp
∂βii
= 0
1
2
∂S
∂βij
=
P
p=1
Sp
∂Sp
∂βij
= 0
page : 6 DJEDDI Kamel

7. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
avec
∂Sp
∂αi
= hG (i, p)
∂Sp
∂βii
= h2
[G (i, p)]2
∂Sp
∂βij
= 2h2
G (i, p) G (j, p)
Pour compl´eter les algorithmes, on d´etermin´e les coefficients de la matrice des moindres
carr´es, on droit distinguer, pour l’application informatique, les diff´erents cas :
Par exemple
cas 1 : r ≤ N s ≤ N
B (r, s) =
P
p=1
{hG (r, p) hG (s, p)}
H (r) =
P
p=1
{hG (r, p) y (tp)}
cas 2 : r ≤ N , N < s ≤ 2N , s − N = i
B (r, s) =
P
p=1
hG (r, p) h2
[G (s, p)]2
4.Conclusion.
Dans ce travail relatif `a la recherche du mod`ele, ´etudie les propri´et´es des op´erateurs
polynˆomes et sp´eciallement ceux du type Hilbert Schmidt. Elle ´etude leur utilisation
pour approximer des op´erateurs non lin´eaire. On montrera tout op´erateur non lin´eaire
d´efini et continu sur un compact X de L2
(T) (T intervalle r´eel) peut ˆetre repr´esent´e
par un polynˆome Hilbert Schmidt est (donc par des int´egrales `a noyaux) ; autrement dit
l’ensemble des polynˆomes Hilbert Schmidt est dense dans C[X, L2
(T)]. Si au lieu de L2
(T),
l’op´erateur est d´efini sur un Hilbert s´eparable, on verra qu’il peut ˆetre repr´esent´e par un
op´erateur polynˆome.
page : 7 DJEDDI Kamel

8. Bibliographie
[1] A.LIAZID. Representations non lineaire de l’automatique avanc´ee. Science et tech-
nologie N 14 D´ecembre 2000. pp 61-66.
[2] I.M.Guelfand-N.Y. Vilenkin. Les distributions tome 4 applications de l’analyse
harmonique. Dunod 1992.
[3] Herv´e Queff´elec. Topologie. dunod 2007.
[4] Lourent Schwartz. Cours d’analyse. Hermann 1967.
[5] Lipschutz, S. Theory and problems of gˆenerai topology. Schaum’s outline s´eries
McGraw- Hill Book C˚´ed. New York 1965 (il existe une ´edition r´ecente, en fran¸cais).
[6] Mat´e, L. Hilbert space methods in science and engineering. Akad´emiai Kiado ´ed.
Budapest 1989.
[7] Yves SONNTAG. Topologie et analyse fonctionnelle. ellipses 1997.
8