SlideShare une entreprise Scribd logo
G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et
application
DJEDDI Kamel*, Department of Mathematics
Universit´e de Oum El Bouaghi
*E-mail : djeddi.kamel@gmail.com
B.P. 873 Tebessa 12002
Mai 2013
R´esum´e. Dans ce travail, on cherche alors une approximation du op´erateur de Hilbert-
Schmidt, c’est-a-dire d´eveloppement de op´erateur de Hilbert-Schmidt a op´erateur po-
lynˆomial `a partir de certaines entr´ees et des sorties correspondantes et repr´esent´e un
application.
Mots cl´es. Op´erateur, Th´eor`eme de Weierstrass, D´eveloppement, Approximation. 1.In-
troduction. D’un point de vue physique un syst`eme peut grossi`erement ˆetre consid´er´e
comme un m´ecanisme faisant correspondre `a une action (on dira une entr´ee) une r´eaction
( une sortie ). D’un point de vue math´ematique, un syst`eme peut ˆetre repr´esent´e par
un op´erateur, celui-ci faisant correspondre `a une fonction ( la fonction entr´ee), une autre
fonction ( la fonction sortie).La connaissance d’un syst`eme revient `a celle des lois qui
r´egissent son comportement. L’´etude du comportement `a partir des lois ´el´ementaires est
th´eoriquement possible, mais en pratique elle est souvent impossible si le syst`eme est
complexe, si les ph´enom`e nes pr´esents ne sont pas, ou sont mal connus etc...
On cherche alors une approximation du comportement du syst`eme (G´en´eralisation du
th´eor`eme de Weierstrass), c’est-a-dire une approximation de l’op´erateur qui le repr´esente,
`a partir de certaines entr´ees et des sorties correspondantes.
2.Th´eor`eme classique de Weierstrass
Th´eor`eme.1. Toute fonction continue sur un intervalle ferm´e et born´e I de R , `a valeurs
r´eelles, peut ˆetre approch´ee uniform´ement sur I `a ε pr`es, pour tout ε > 0, par une fonction
polynomiale.
En d’autres termes :
Th´eor`eme.2. Le sous-espace vectoriel P (I, R) de l’espace vectoriel C (I, R) est dense
par rapport `a C (I, R) dans E = B∞ (I, R)
Op´erateur de Hilbert-Schmidt
D´efinition.1. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert ; un op ´erateur A de H1 dans
H2 est Hilbert Schmidt si et seulement si il admet la repr´esentation :
page : 1 DJEDDI Kamel
G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
Af =
∞
n=1
λn f, en hn
o`u (en) et (hn) sont des ensembles orthonorm´es dans H1 et H2 respectivement. f ∈ H1
λn > 0 et tel que la s´erie ∞
1 λ2
n converge.
Op´erateurs polynˆomes
D´efinition.2. Soient X et Y deux espaces vectoriels complexes. Une application y = P(x)
de X dans Y d´efinie pour tous les x est un op´erateur polynˆome de degr´e m si :
P(x1 + αx2) =
m
n=0
Pn(x1, x2)αn
∀x1, x2 ∈ X, α complexe
Pn(x1, x2) ´etant ind´ependants de α.
Op´erateur int´egral Hilbert-Schmidt
D´efinition.3. Soit T un intervalle r´eel, k ∈ L2
(Tn+1
)
un op´erateur int´egral Hilbert-Schmidt, A : L2
(Tn
) → L2
(T) , s’ecrit :
(Ax) (t) =
Tn
k (t, s) x (s) ds, t ∈ T, s = (s1, ..., sn) ∈ Tn
Op´erateurs polynˆomes Hilbert-Schmidt
D´efinition.4. Un op´erateur polynˆome Hilbert-Schmidt de degr´e N est une combinaison
lin´eaire d’op´erateurs Hilbert-Schmidt avec x (s) = x (s1) ...x (sn) s’´ecrira :
(Hx) (t) =
N
n=0 Tn
kn (t, s1, ..., sn) x (s1) ...x (sn) ds1...dsn
2.G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass
Th´eor`eme de Weierstrass dans espace de Hilbert Th´eor`eme.2. Soit H un espace
de Hilbert s´eparable, K une partie compacte de H et C (K, H) l’espace vectoriel norm´e
des applications continues de K dans H.
Alors la famille des op´erateurs polynˆomes d´efinies et continus dans le compact K est
dense dans C (K, H) .
Th´eor`eme de Weierstrass dans espace de Hilbert
En d’autres termes :
Th´eor`eme.3. Si A : K → H est une application continue, alors ∀ε > 0, existe un
op´erateur polynˆome P
(ε)
N tel que
A − P
(ε)
N = sup
x∈K
Ax − P
(ε)
N x < ε
P
(ε)
N = L0 + L1x + ... + LN xN
page : 2 DJEDDI Kamel
G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
L0 = application constante Ln = application n−lin´eaire Hn
→ H, Lnxn
= Ln (x, ..., x) .
Th´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2
.
Soit T un intervalle r´eel, t ∈ T, X un compact de L2
(T) et C[X, L2
(T)] l’espace vectoriel
norm´e des applications continues de X dans L2
(T) (muni de la norme des sup).
Notons n l’ensemble des polynˆomes Hilbert-Schmidt de degr´e ≤ n, d´efinis sur X :
H ∈ n ⇔ (Hx) (t) =
n
j=0 Tj
kj (t; s1, ..., sj) x (s1) ...x (sj) ds1...dsj.
o`u x ∈ X. En supposant les kj sym´etriques par rapport s1, ..., sj .Par d´efinition des
op´erateurs Hilbert-Schmidt n ⊂ C[X, L2
(T)].
Th´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2
Th´eor`eme.4. Soit k ⊂ C[X, L2
(T)] relativement compact (k compact) Alors ∀ε > 0,
∃N = N (ε) tel que ∀F ∈ k, il existe un polynˆome Hilbert-Schmidt : H ∈ n satisfaisant
la relation
F − H C[X,L2(T)] = sup
x∈X
Fx − Hx L2(T) < ε
Proposition. Soit F une fonctionnelle sur X compact, F : X ⊂ L2
(T) → R. Alors
il existe une suite d’´el´ements de , c’est-`a-dire des fonctionnelles Hilbert-Schmidt, qui
converge uniform´ement vers F.
Preuve
- est manifestement une alg`ebre.
- s´epare les point de X car si x1 = x2, il existe un noyau k1 tel que
T
k1(s)x1(s)ds =
T
k1(s)x2(s)ds
- toute fonctionnelle appartenant `a est ´evidement continue. D’apr`es le th´eor`eme de
Stone-Weierstrass, ∀ε > 0, il existe un entier N(ε) = N tel que pour toute fonctionnelle
F continue sur X on dit
|F(x) − k(x)| = F(x) −
n
j=0 Tj
kj(s1, ..., sj)x(s1)...x(sj)ds1...dsj < ε, ∀x ∈ X.
Aussi, la classe des fonctionnelles Hilbert-Schmidt est partait dense dans c [X, R] .
Le passage `a un op´erateur dans L2
(T) utilisera le fait qui k(x) est pr´e compact et peut
ˆetre recouvert ∀ε > 0 par un nombre fini de boules de diam`etre k. Ou simulera aussi un
op´erateur A `a une famille de fonctionnelles At d´efinies par
At(x) = (Ax)(t), x ∈ L2
(T), t ∈ T.
3.Application.
page : 3 DJEDDI Kamel
G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
On va d´ecrire la d´etermination d’un syst`eme non lin´eaire en l’approximant par un op´erateur
Hilbert-Schmidt d’ordre 2.
Calcul formel d’identification.
Le syst`eme est approxim´e par un polynˆome Hilbert-Schmidt d’ordre 2.{Φi (t)} ´etant une
base de L2
(T), la sortie du syst`eme y(t) correspondant `a l’entr´ee x (z) est donn´ee par :
y(t) =
T
k1 (t − z) x (z) dz +
T2
k2(t − z1, t − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2
avec
k1 (t) =
N
i=1
αiΦi(t)
k2 (t1, t2) =
N
i,j=1
βijΦi (t1) Φj (t2)
avec les donn´ees
entr´ees mesur´ees : vecteur x (tk) , k = 1, ..., p
sorties mesur´ees : vecteur y (tk), k = 1, ..., p
Probl`eme. Trouver les N coefficients αi et les N2
coefficients βij.
Calculs :
y(tk) = y1(tk) + y2(tk)
avec
y1(tk) =
T
k1 (tk − z) x (z) dz
y2(tk) =
T2
k2(tk − z1, tk − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2
Expression de y1(tk) :
y1(tk) =
N
i=1 T
Φi (tk − z) x (z) dz
On applique la m´ethode des trap`ezes pour calculer
T
Φi (tk − z) x (z) dz pour cela, on
divise l’intervalle [0, T] en D sous intervalles d’amplitude T
D
= h cette int´egrale devient :
y1(tk) =
N
i=1
hαi
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)
page : 4 DJEDDI Kamel
G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
avec zl ∈ [(l − 1) h, lh]
Expression de y2(tk) :
y2(tk) =
N
i,j=1
βij



(
T
Φi (tk − z1) x (z1) dz1)(
T
Φj (tk − z2) x (z2) dz2)



En appliquant la m´ethode des trap`ezes on obtient :
T
Φi (tk − z1) x (z1) dz1 = h
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)
T
Φj (tk − z2) x (z2) dz2 = h
D
l=1
Φj (tk − zl) x (zl)
donc
y2(tk) =
N
i,j=1
h2
βij (
D
l=1
Φi (tk − zl) x (z1)).(
D
l=1
Φj (tk − zl) x (zl))
Expression de y(tk) :
y(tk) = y1(tk) + y2(tk)
alors
y(tk) = h
N
i=1
αi
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)
+2h2
N
i=j=1
βij (
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)).(
D
l=1
Φj (tk − zl) x (zl))
+h2



N
i=1
βii
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)
2



En appliquant la m´ethode de Moindres carr´es : y et y ´etant respectivement les sorties
calcul´ee et mesur´ee :
Sp = (y (tp) − y (tp))
S =
P
p=1
(y (tp) − y (tp))
2
=
P
p=1
(Sp)2
page : 5 DJEDDI Kamel
G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
On a un syst`eme de N + N + N2−N
2
´equations. On pose : F (n1, n2, n3) = Φn1 (tn2 − zn3 ) x (zn2 )
∂Sp
∂αi
= h
D
l=1
F (i, p, l)
∂Sp
∂βii
= h2
D
l=1
F (i, p, l)
2
∂Sp
∂βij
= 2h2
D
l=1
F (i, p, l) .
D
l=1
F (j, p, l)
Sp = h
N
i=1
αi
D
l=1
F (i, p, l) + h2



N
i=1
βii
D
l=1
F (i, p, l)
2



+2h2



N
1
i=j
βij
D
l=1
F (i, p, l) .
D
l=1
F (i, p, l)



− y (tp)
Formation du vecteur V des inconnues de dimension 2N + N2−N
2
αi = V (i) avec i = 1, ..., N
βii = V (N + i) avec i = 1, ..., N
βij = V (2N + k) avec i = 1, ..., N et j > i, k = (i − 1) N −
i
2
+ j − i
On pose G (i, j) = D
l=1 F (i, j, l) avec F (i, j, l) = Φi (ti − zl) x (zl)
donc :
Sp = h
N
i=1
αiG (i, p) + h2
N
i=1
βii (G (i, p))2
+2h2
N−1
i=1
j>i
βijG (i, p) G (j, p) − y (tp)
1
2
∂S
∂αi
=
P
p=1
Sp
∂Sp
∂αi
= 0
1
2
∂S
∂βii
=
P
p=1
Sp
∂Sp
∂βii
= 0
1
2
∂S
∂βij
=
P
p=1
Sp
∂Sp
∂βij
= 0
page : 6 DJEDDI Kamel
G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application
avec
∂Sp
∂αi
= hG (i, p)
∂Sp
∂βii
= h2
[G (i, p)]2
∂Sp
∂βij
= 2h2
G (i, p) G (j, p)
Pour compl´eter les algorithmes, on d´etermin´e les coefficients de la matrice des moindres
carr´es, on droit distinguer, pour l’application informatique, les diff´erents cas :
Par exemple
cas 1 : r ≤ N s ≤ N
B (r, s) =
P
p=1
{hG (r, p) hG (s, p)}
H (r) =
P
p=1
{hG (r, p) y (tp)}
cas 2 : r ≤ N , N < s ≤ 2N , s − N = i
B (r, s) =
P
p=1
hG (r, p) h2
[G (s, p)]2
4.Conclusion.
Dans ce travail relatif `a la recherche du mod`ele, ´etudie les propri´et´es des op´erateurs
polynˆomes et sp´eciallement ceux du type Hilbert Schmidt. Elle ´etude leur utilisation
pour approximer des op´erateurs non lin´eaire. On montrera tout op´erateur non lin´eaire
d´efini et continu sur un compact X de L2
(T) (T intervalle r´eel) peut ˆetre repr´esent´e
par un polynˆome Hilbert Schmidt est (donc par des int´egrales `a noyaux) ; autrement dit
l’ensemble des polynˆomes Hilbert Schmidt est dense dans C[X, L2
(T)]. Si au lieu de L2
(T),
l’op´erateur est d´efini sur un Hilbert s´eparable, on verra qu’il peut ˆetre repr´esent´e par un
op´erateur polynˆome.
page : 7 DJEDDI Kamel
Bibliographie
[1] A.LIAZID. Representations non lineaire de l’automatique avanc´ee. Science et tech-
nologie N 14 D´ecembre 2000. pp 61-66.
[2] I.M.Guelfand-N.Y. Vilenkin. Les distributions tome 4 applications de l’analyse
harmonique. Dunod 1992.
[3] Herv´e Queff´elec. Topologie. dunod 2007.
[4] Lourent Schwartz. Cours d’analyse. Hermann 1967.
[5] Lipschutz, S. Theory and problems of gˆenerai topology. Schaum’s outline s´eries
McGraw- Hill Book C˚´ed. New York 1965 (il existe une ´edition r´ecente, en fran¸cais).
[6] Mat´e, L. Hilbert space methods in science and engineering. Akad´emiai Kiado ´ed.
Budapest 1989.
[7] Yves SONNTAG. Topologie et analyse fonctionnelle. ellipses 1997.
8

Contenu connexe

Tendances

85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)
85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)
85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)
AHMED ENNAJI
 
Exercices complexes corriges
Exercices complexes corrigesExercices complexes corriges
Exercices complexes corriges
Karim Amane
 
Fiche complexes
Fiche complexesFiche complexes
Fiche complexes
Boubakeur KACIMI
 
Exercices corrigés les matrices- djeddi kamel
Exercices corrigés les matrices- djeddi kamelExercices corrigés les matrices- djeddi kamel
Exercices corrigés les matrices- djeddi kamel
Kamel Djeddi
 
Omp math nombres-complexes
Omp math nombres-complexesOmp math nombres-complexes
Omp math nombres-complexes
Ahmed Ali
 
Algebre 1 (annales)
Algebre 1 (annales)Algebre 1 (annales)
Algebre 1 (annales)
Med Bijou
 
S3 algebre i (polycopie du cours)
S3 algebre i (polycopie du cours)S3 algebre i (polycopie du cours)
S3 algebre i (polycopie du cours)
issa-fariss
 
Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013
Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013
Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013
Ibrahima Sow
 
Techniques et-methodes-calcul-integral-mr-anis-ben-ali
Techniques et-methodes-calcul-integral-mr-anis-ben-aliTechniques et-methodes-calcul-integral-mr-anis-ben-ali
Techniques et-methodes-calcul-integral-mr-anis-ben-ali
m.a bensaaoud
 
Exercice nombres complexes
Exercice nombres complexesExercice nombres complexes
Exercice nombres complexes
Yessin Abdelhedi
 
exercices d'analyse complexe
exercices d'analyse complexeexercices d'analyse complexe
exercices d'analyse complexe
Kamel Djeddi
 
CAPES maths 2019 composition 2
CAPES maths 2019 composition 2CAPES maths 2019 composition 2
CAPES maths 2019 composition 2
Dany-Jack Mercier
 
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdfFormes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
VrazylandGuekou1
 
CAPES maths 2019 composition 1
CAPES maths 2019 composition 1CAPES maths 2019 composition 1
CAPES maths 2019 composition 1
Dany-Jack Mercier
 
CAPES maths 2019 composition 1 (option informatique)
CAPES maths 2019 composition 1 (option informatique)CAPES maths 2019 composition 1 (option informatique)
CAPES maths 2019 composition 1 (option informatique)
Dany-Jack Mercier
 
165380609 livre-professeur-maths-1ere-s
165380609 livre-professeur-maths-1ere-s165380609 livre-professeur-maths-1ere-s
165380609 livre-professeur-maths-1ere-s
Ettaoufik Elayedi
 
02 resume-algebre-lineaire-sup
02 resume-algebre-lineaire-sup02 resume-algebre-lineaire-sup
02 resume-algebre-lineaire-sup
SALLAH BOUGOUFFA
 

Tendances (20)

85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)
85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)
85717b7aca485735313534313338323437343138 (1)
 
Exercices complexes corriges
Exercices complexes corrigesExercices complexes corriges
Exercices complexes corriges
 
Fiche complexes
Fiche complexesFiche complexes
Fiche complexes
 
Exercices corrigés les matrices- djeddi kamel
Exercices corrigés les matrices- djeddi kamelExercices corrigés les matrices- djeddi kamel
Exercices corrigés les matrices- djeddi kamel
 
Omp math nombres-complexes
Omp math nombres-complexesOmp math nombres-complexes
Omp math nombres-complexes
 
Algebre 1 (annales)
Algebre 1 (annales)Algebre 1 (annales)
Algebre 1 (annales)
 
S3 algebre i (polycopie du cours)
S3 algebre i (polycopie du cours)S3 algebre i (polycopie du cours)
S3 algebre i (polycopie du cours)
 
Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013
Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013
Corrige math s1-s3_r_1er_gr_2013
 
Techniques et-methodes-calcul-integral-mr-anis-ben-ali
Techniques et-methodes-calcul-integral-mr-anis-ben-aliTechniques et-methodes-calcul-integral-mr-anis-ben-ali
Techniques et-methodes-calcul-integral-mr-anis-ben-ali
 
Exercice nombres complexes
Exercice nombres complexesExercice nombres complexes
Exercice nombres complexes
 
exercices d'analyse complexe
exercices d'analyse complexeexercices d'analyse complexe
exercices d'analyse complexe
 
CAPES maths 2019 composition 2
CAPES maths 2019 composition 2CAPES maths 2019 composition 2
CAPES maths 2019 composition 2
 
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdfFormes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
Formes bilineaire symetrique et formes quadratiques (1).pdf
 
CAPES maths 2019 composition 1
CAPES maths 2019 composition 1CAPES maths 2019 composition 1
CAPES maths 2019 composition 1
 
CAPES maths 2019 composition 1 (option informatique)
CAPES maths 2019 composition 1 (option informatique)CAPES maths 2019 composition 1 (option informatique)
CAPES maths 2019 composition 1 (option informatique)
 
246242769 sequence-1-pdf
246242769 sequence-1-pdf246242769 sequence-1-pdf
246242769 sequence-1-pdf
 
ficall
ficallficall
ficall
 
165380609 livre-professeur-maths-1ere-s
165380609 livre-professeur-maths-1ere-s165380609 livre-professeur-maths-1ere-s
165380609 livre-professeur-maths-1ere-s
 
S2- Math
S2- Math S2- Math
S2- Math
 
02 resume-algebre-lineaire-sup
02 resume-algebre-lineaire-sup02 resume-algebre-lineaire-sup
02 resume-algebre-lineaire-sup
 

En vedette

Résolution de l'équations linéaires
Résolution de l'équations linéairesRésolution de l'équations linéaires
Résolution de l'équations linéaires
Kamel Djeddi
 
Exercices corrigés applications linéaires-djeddi kamel
Exercices corrigés applications linéaires-djeddi kamelExercices corrigés applications linéaires-djeddi kamel
Exercices corrigés applications linéaires-djeddi kamel
Kamel Djeddi
 
Meiosis
MeiosisMeiosis
Chu reunion classe hpp volemie
Chu reunion classe hpp  volemieChu reunion classe hpp  volemie
Chu reunion classe hpp volemie
Claude GINDREY
 
La multiplicación
La multiplicaciónLa multiplicación
La multiplicación
Aitanasc94
 
Thesis-Abstract-Borges
Thesis-Abstract-BorgesThesis-Abstract-Borges
Thesis-Abstract-Borges
Scherezade Borges
 
Tarea crónica de tit@ profe nancy
Tarea crónica de tit@ profe nancyTarea crónica de tit@ profe nancy
Tarea crónica de tit@ profe nancy
chavelatita
 
SPIPNOZ 2013 : le plugin evaluations
SPIPNOZ 2013 : le plugin evaluationsSPIPNOZ 2013 : le plugin evaluations
SPIPNOZ 2013 : le plugin evaluations
Cyril Marion
 
Entorno visual de excel
Entorno visual de excelEntorno visual de excel
Entorno visual de excel
andreajosect
 
Zalando codes promo
Zalando codes promoZalando codes promo
Zalando codes promo
Ben Ten
 
Catálogo de ropa CBT Torrelavega
Catálogo de ropa CBT TorrelavegaCatálogo de ropa CBT Torrelavega
Catálogo de ropa CBT Torrelavega
Javier Coterillo Ruiz
 
Memorandos
MemorandosMemorandos
Caida de-las-torres-gemelas-el-11-de-septiembre-de-2001
Caida de-las-torres-gemelas-el-11-de-septiembre-de-2001Caida de-las-torres-gemelas-el-11-de-septiembre-de-2001
Caida de-las-torres-gemelas-el-11-de-septiembre-de-2001
Iris Tolentino Fuentes
 
Entrevista sobre la cría de vacas
Entrevista sobre la cría de vacasEntrevista sobre la cría de vacas
Entrevista sobre la cría de vacas
sonsoleslaferia
 
Fenêtre ouverte sur l’école maternelle
Fenêtre ouverte sur l’école maternelleFenêtre ouverte sur l’école maternelle
Fenêtre ouverte sur l’école maternelle
communemettet
 
Herramientas tics
Herramientas ticsHerramientas tics
Herramientas tics
Diana Milena Camargo
 
Fundamento del computador_2
Fundamento del computador_2Fundamento del computador_2
Fundamento del computador_2
saokirito10
 
Evaluacion
EvaluacionEvaluacion
Evaluacion
liznavarro888
 
BUsqueda y Gestion de Informacion
BUsqueda y Gestion de Informacion BUsqueda y Gestion de Informacion
BUsqueda y Gestion de Informacion
jputzlorenzi
 

En vedette (20)

Résolution de l'équations linéaires
Résolution de l'équations linéairesRésolution de l'équations linéaires
Résolution de l'équations linéaires
 
Exercices corrigés applications linéaires-djeddi kamel
Exercices corrigés applications linéaires-djeddi kamelExercices corrigés applications linéaires-djeddi kamel
Exercices corrigés applications linéaires-djeddi kamel
 
Meiosis
MeiosisMeiosis
Meiosis
 
Chu reunion classe hpp volemie
Chu reunion classe hpp  volemieChu reunion classe hpp  volemie
Chu reunion classe hpp volemie
 
La multiplicación
La multiplicaciónLa multiplicación
La multiplicación
 
Thesis-Abstract-Borges
Thesis-Abstract-BorgesThesis-Abstract-Borges
Thesis-Abstract-Borges
 
Tarea crónica de tit@ profe nancy
Tarea crónica de tit@ profe nancyTarea crónica de tit@ profe nancy
Tarea crónica de tit@ profe nancy
 
Evjf_Emeline_V2
Evjf_Emeline_V2Evjf_Emeline_V2
Evjf_Emeline_V2
 
SPIPNOZ 2013 : le plugin evaluations
SPIPNOZ 2013 : le plugin evaluationsSPIPNOZ 2013 : le plugin evaluations
SPIPNOZ 2013 : le plugin evaluations
 
Entorno visual de excel
Entorno visual de excelEntorno visual de excel
Entorno visual de excel
 
Zalando codes promo
Zalando codes promoZalando codes promo
Zalando codes promo
 
Catálogo de ropa CBT Torrelavega
Catálogo de ropa CBT TorrelavegaCatálogo de ropa CBT Torrelavega
Catálogo de ropa CBT Torrelavega
 
Memorandos
MemorandosMemorandos
Memorandos
 
Caida de-las-torres-gemelas-el-11-de-septiembre-de-2001
Caida de-las-torres-gemelas-el-11-de-septiembre-de-2001Caida de-las-torres-gemelas-el-11-de-septiembre-de-2001
Caida de-las-torres-gemelas-el-11-de-septiembre-de-2001
 
Entrevista sobre la cría de vacas
Entrevista sobre la cría de vacasEntrevista sobre la cría de vacas
Entrevista sobre la cría de vacas
 
Fenêtre ouverte sur l’école maternelle
Fenêtre ouverte sur l’école maternelleFenêtre ouverte sur l’école maternelle
Fenêtre ouverte sur l’école maternelle
 
Herramientas tics
Herramientas ticsHerramientas tics
Herramientas tics
 
Fundamento del computador_2
Fundamento del computador_2Fundamento del computador_2
Fundamento del computador_2
 
Evaluacion
EvaluacionEvaluacion
Evaluacion
 
BUsqueda y Gestion de Informacion
BUsqueda y Gestion de Informacion BUsqueda y Gestion de Informacion
BUsqueda y Gestion de Informacion
 

Similaire à Généralisation du théorème de weierstrass et application

Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieurCours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
SeiliOk
 
Cours fourier
Cours fourier Cours fourier
Cours fourier
Raed Ammar
 
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiquesL'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
CharvetXavier
 
Integrales doubles-ou-triples
Integrales doubles-ou-triplesIntegrales doubles-ou-triples
Integrales doubles-ou-triples
m.a bensaaoud
 
intégrale triple
intégrale tripleintégrale triple
intégrale triple
Kum Visal
 
Exam of June 2016, Mathematical Statistics 3rd year
Exam of June 2016, Mathematical Statistics 3rd yearExam of June 2016, Mathematical Statistics 3rd year
Exam of June 2016, Mathematical Statistics 3rd year
Christian Robert
 
notes_HF.pdf
notes_HF.pdfnotes_HF.pdf
notes_HF.pdf
aminejodar
 
Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...
Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...
Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...
tuxette
 
M1_exercices_corriges.pdf
M1_exercices_corriges.pdfM1_exercices_corriges.pdf
M1_exercices_corriges.pdf
DurelDonfack
 
Rappels math - www.coursdefsjes.com
Rappels math - www.coursdefsjes.comRappels math - www.coursdefsjes.com
Rappels math - www.coursdefsjes.com
cours fsjes
 
Aates ch08 lois-a-densite
Aates ch08 lois-a-densiteAates ch08 lois-a-densite
Aates ch08 lois-a-densite
Manar Sefiane
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
ismailkziadi
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
Mehdi Maroun
 
01 lois-à-densité
01 lois-à-densité01 lois-à-densité
01 lois-à-densité
Manar Sefiane
 
Cnc mp-2017-maths-2-corrige
Cnc mp-2017-maths-2-corrigeCnc mp-2017-maths-2-corrige
Cnc mp-2017-maths-2-corrige
Otman Aberkane
 
Conception d'algorithmes pour l'approximation de la "Cut-Norm" avec l'inégali...
Conception d'algorithmes pour l'approximation de la "Cut-Norm" avec l'inégali...Conception d'algorithmes pour l'approximation de la "Cut-Norm" avec l'inégali...
Conception d'algorithmes pour l'approximation de la "Cut-Norm" avec l'inégali...
ImadBerkani1
 
Hitting time for bessel processes and WOMS algorithm
Hitting time for bessel processes and WOMS algorithmHitting time for bessel processes and WOMS algorithm
Hitting time for bessel processes and WOMS algorithm
Victor Bontemps
 
Mathématiques Générales.pdf
Mathématiques Générales.pdfMathématiques Générales.pdf
Mathématiques Générales.pdf
KarimBara2
 

Similaire à Généralisation du théorème de weierstrass et application (20)

Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieurCours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
Cours de maths sur optimisation 1 ère année d’école d’ingénieur
 
Cours fourier
Cours fourier Cours fourier
Cours fourier
 
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiquesL'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
L'essentiel du programme de l'agrégation de mathématiques
 
Integrales doubles-ou-triples
Integrales doubles-ou-triplesIntegrales doubles-ou-triples
Integrales doubles-ou-triples
 
Slides cirm-copulasv3
Slides cirm-copulasv3Slides cirm-copulasv3
Slides cirm-copulasv3
 
intégrale triple
intégrale tripleintégrale triple
intégrale triple
 
Exam of June 2016, Mathematical Statistics 3rd year
Exam of June 2016, Mathematical Statistics 3rd yearExam of June 2016, Mathematical Statistics 3rd year
Exam of June 2016, Mathematical Statistics 3rd year
 
notes_HF.pdf
notes_HF.pdfnotes_HF.pdf
notes_HF.pdf
 
Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...
Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...
Discrimination et régression pour des dérivées : un résultat de consistance p...
 
M1_exercices_corriges.pdf
M1_exercices_corriges.pdfM1_exercices_corriges.pdf
M1_exercices_corriges.pdf
 
Rappels math - www.coursdefsjes.com
Rappels math - www.coursdefsjes.comRappels math - www.coursdefsjes.com
Rappels math - www.coursdefsjes.com
 
Aates ch08 lois-a-densite
Aates ch08 lois-a-densiteAates ch08 lois-a-densite
Aates ch08 lois-a-densite
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
 
Cours series fourier
Cours series fourierCours series fourier
Cours series fourier
 
01 lois-à-densité
01 lois-à-densité01 lois-à-densité
01 lois-à-densité
 
Cnc mp-2017-maths-2-corrige
Cnc mp-2017-maths-2-corrigeCnc mp-2017-maths-2-corrige
Cnc mp-2017-maths-2-corrige
 
Am4 series
Am4 seriesAm4 series
Am4 series
 
Conception d'algorithmes pour l'approximation de la "Cut-Norm" avec l'inégali...
Conception d'algorithmes pour l'approximation de la "Cut-Norm" avec l'inégali...Conception d'algorithmes pour l'approximation de la "Cut-Norm" avec l'inégali...
Conception d'algorithmes pour l'approximation de la "Cut-Norm" avec l'inégali...
 
Hitting time for bessel processes and WOMS algorithm
Hitting time for bessel processes and WOMS algorithmHitting time for bessel processes and WOMS algorithm
Hitting time for bessel processes and WOMS algorithm
 
Mathématiques Générales.pdf
Mathématiques Générales.pdfMathématiques Générales.pdf
Mathématiques Générales.pdf
 

Généralisation du théorème de weierstrass et application

  • 1. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application DJEDDI Kamel*, Department of Mathematics Universit´e de Oum El Bouaghi *E-mail : djeddi.kamel@gmail.com B.P. 873 Tebessa 12002 Mai 2013 R´esum´e. Dans ce travail, on cherche alors une approximation du op´erateur de Hilbert- Schmidt, c’est-a-dire d´eveloppement de op´erateur de Hilbert-Schmidt a op´erateur po- lynˆomial `a partir de certaines entr´ees et des sorties correspondantes et repr´esent´e un application. Mots cl´es. Op´erateur, Th´eor`eme de Weierstrass, D´eveloppement, Approximation. 1.In- troduction. D’un point de vue physique un syst`eme peut grossi`erement ˆetre consid´er´e comme un m´ecanisme faisant correspondre `a une action (on dira une entr´ee) une r´eaction ( une sortie ). D’un point de vue math´ematique, un syst`eme peut ˆetre repr´esent´e par un op´erateur, celui-ci faisant correspondre `a une fonction ( la fonction entr´ee), une autre fonction ( la fonction sortie).La connaissance d’un syst`eme revient `a celle des lois qui r´egissent son comportement. L’´etude du comportement `a partir des lois ´el´ementaires est th´eoriquement possible, mais en pratique elle est souvent impossible si le syst`eme est complexe, si les ph´enom`e nes pr´esents ne sont pas, ou sont mal connus etc... On cherche alors une approximation du comportement du syst`eme (G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass), c’est-a-dire une approximation de l’op´erateur qui le repr´esente, `a partir de certaines entr´ees et des sorties correspondantes. 2.Th´eor`eme classique de Weierstrass Th´eor`eme.1. Toute fonction continue sur un intervalle ferm´e et born´e I de R , `a valeurs r´eelles, peut ˆetre approch´ee uniform´ement sur I `a ε pr`es, pour tout ε > 0, par une fonction polynomiale. En d’autres termes : Th´eor`eme.2. Le sous-espace vectoriel P (I, R) de l’espace vectoriel C (I, R) est dense par rapport `a C (I, R) dans E = B∞ (I, R) Op´erateur de Hilbert-Schmidt D´efinition.1. Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert ; un op ´erateur A de H1 dans H2 est Hilbert Schmidt si et seulement si il admet la repr´esentation : page : 1 DJEDDI Kamel
  • 2. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application Af = ∞ n=1 λn f, en hn o`u (en) et (hn) sont des ensembles orthonorm´es dans H1 et H2 respectivement. f ∈ H1 λn > 0 et tel que la s´erie ∞ 1 λ2 n converge. Op´erateurs polynˆomes D´efinition.2. Soient X et Y deux espaces vectoriels complexes. Une application y = P(x) de X dans Y d´efinie pour tous les x est un op´erateur polynˆome de degr´e m si : P(x1 + αx2) = m n=0 Pn(x1, x2)αn ∀x1, x2 ∈ X, α complexe Pn(x1, x2) ´etant ind´ependants de α. Op´erateur int´egral Hilbert-Schmidt D´efinition.3. Soit T un intervalle r´eel, k ∈ L2 (Tn+1 ) un op´erateur int´egral Hilbert-Schmidt, A : L2 (Tn ) → L2 (T) , s’ecrit : (Ax) (t) = Tn k (t, s) x (s) ds, t ∈ T, s = (s1, ..., sn) ∈ Tn Op´erateurs polynˆomes Hilbert-Schmidt D´efinition.4. Un op´erateur polynˆome Hilbert-Schmidt de degr´e N est une combinaison lin´eaire d’op´erateurs Hilbert-Schmidt avec x (s) = x (s1) ...x (sn) s’´ecrira : (Hx) (t) = N n=0 Tn kn (t, s1, ..., sn) x (s1) ...x (sn) ds1...dsn 2.G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass Th´eor`eme de Weierstrass dans espace de Hilbert Th´eor`eme.2. Soit H un espace de Hilbert s´eparable, K une partie compacte de H et C (K, H) l’espace vectoriel norm´e des applications continues de K dans H. Alors la famille des op´erateurs polynˆomes d´efinies et continus dans le compact K est dense dans C (K, H) . Th´eor`eme de Weierstrass dans espace de Hilbert En d’autres termes : Th´eor`eme.3. Si A : K → H est une application continue, alors ∀ε > 0, existe un op´erateur polynˆome P (ε) N tel que A − P (ε) N = sup x∈K Ax − P (ε) N x < ε P (ε) N = L0 + L1x + ... + LN xN page : 2 DJEDDI Kamel
  • 3. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application L0 = application constante Ln = application n−lin´eaire Hn → H, Lnxn = Ln (x, ..., x) . Th´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2 . Soit T un intervalle r´eel, t ∈ T, X un compact de L2 (T) et C[X, L2 (T)] l’espace vectoriel norm´e des applications continues de X dans L2 (T) (muni de la norme des sup). Notons n l’ensemble des polynˆomes Hilbert-Schmidt de degr´e ≤ n, d´efinis sur X : H ∈ n ⇔ (Hx) (t) = n j=0 Tj kj (t; s1, ..., sj) x (s1) ...x (sj) ds1...dsj. o`u x ∈ X. En supposant les kj sym´etriques par rapport s1, ..., sj .Par d´efinition des op´erateurs Hilbert-Schmidt n ⊂ C[X, L2 (T)]. Th´eor`eme de Weierstrass dans les espaces L2 Th´eor`eme.4. Soit k ⊂ C[X, L2 (T)] relativement compact (k compact) Alors ∀ε > 0, ∃N = N (ε) tel que ∀F ∈ k, il existe un polynˆome Hilbert-Schmidt : H ∈ n satisfaisant la relation F − H C[X,L2(T)] = sup x∈X Fx − Hx L2(T) < ε Proposition. Soit F une fonctionnelle sur X compact, F : X ⊂ L2 (T) → R. Alors il existe une suite d’´el´ements de , c’est-`a-dire des fonctionnelles Hilbert-Schmidt, qui converge uniform´ement vers F. Preuve - est manifestement une alg`ebre. - s´epare les point de X car si x1 = x2, il existe un noyau k1 tel que T k1(s)x1(s)ds = T k1(s)x2(s)ds - toute fonctionnelle appartenant `a est ´evidement continue. D’apr`es le th´eor`eme de Stone-Weierstrass, ∀ε > 0, il existe un entier N(ε) = N tel que pour toute fonctionnelle F continue sur X on dit |F(x) − k(x)| = F(x) − n j=0 Tj kj(s1, ..., sj)x(s1)...x(sj)ds1...dsj < ε, ∀x ∈ X. Aussi, la classe des fonctionnelles Hilbert-Schmidt est partait dense dans c [X, R] . Le passage `a un op´erateur dans L2 (T) utilisera le fait qui k(x) est pr´e compact et peut ˆetre recouvert ∀ε > 0 par un nombre fini de boules de diam`etre k. Ou simulera aussi un op´erateur A `a une famille de fonctionnelles At d´efinies par At(x) = (Ax)(t), x ∈ L2 (T), t ∈ T. 3.Application. page : 3 DJEDDI Kamel
  • 4. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application On va d´ecrire la d´etermination d’un syst`eme non lin´eaire en l’approximant par un op´erateur Hilbert-Schmidt d’ordre 2. Calcul formel d’identification. Le syst`eme est approxim´e par un polynˆome Hilbert-Schmidt d’ordre 2.{Φi (t)} ´etant une base de L2 (T), la sortie du syst`eme y(t) correspondant `a l’entr´ee x (z) est donn´ee par : y(t) = T k1 (t − z) x (z) dz + T2 k2(t − z1, t − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2 avec k1 (t) = N i=1 αiΦi(t) k2 (t1, t2) = N i,j=1 βijΦi (t1) Φj (t2) avec les donn´ees entr´ees mesur´ees : vecteur x (tk) , k = 1, ..., p sorties mesur´ees : vecteur y (tk), k = 1, ..., p Probl`eme. Trouver les N coefficients αi et les N2 coefficients βij. Calculs : y(tk) = y1(tk) + y2(tk) avec y1(tk) = T k1 (tk − z) x (z) dz y2(tk) = T2 k2(tk − z1, tk − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2 Expression de y1(tk) : y1(tk) = N i=1 T Φi (tk − z) x (z) dz On applique la m´ethode des trap`ezes pour calculer T Φi (tk − z) x (z) dz pour cela, on divise l’intervalle [0, T] en D sous intervalles d’amplitude T D = h cette int´egrale devient : y1(tk) = N i=1 hαi D l=1 Φi (tk − zl) x (zl) page : 4 DJEDDI Kamel
  • 5. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application avec zl ∈ [(l − 1) h, lh] Expression de y2(tk) : y2(tk) = N i,j=1 βij    ( T Φi (tk − z1) x (z1) dz1)( T Φj (tk − z2) x (z2) dz2)    En appliquant la m´ethode des trap`ezes on obtient : T Φi (tk − z1) x (z1) dz1 = h D l=1 Φi (tk − zl) x (zl) T Φj (tk − z2) x (z2) dz2 = h D l=1 Φj (tk − zl) x (zl) donc y2(tk) = N i,j=1 h2 βij ( D l=1 Φi (tk − zl) x (z1)).( D l=1 Φj (tk − zl) x (zl)) Expression de y(tk) : y(tk) = y1(tk) + y2(tk) alors y(tk) = h N i=1 αi D l=1 Φi (tk − zl) x (zl) +2h2 N i=j=1 βij ( D l=1 Φi (tk − zl) x (zl)).( D l=1 Φj (tk − zl) x (zl)) +h2    N i=1 βii D l=1 Φi (tk − zl) x (zl) 2    En appliquant la m´ethode de Moindres carr´es : y et y ´etant respectivement les sorties calcul´ee et mesur´ee : Sp = (y (tp) − y (tp)) S = P p=1 (y (tp) − y (tp)) 2 = P p=1 (Sp)2 page : 5 DJEDDI Kamel
  • 6. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application On a un syst`eme de N + N + N2−N 2 ´equations. On pose : F (n1, n2, n3) = Φn1 (tn2 − zn3 ) x (zn2 ) ∂Sp ∂αi = h D l=1 F (i, p, l) ∂Sp ∂βii = h2 D l=1 F (i, p, l) 2 ∂Sp ∂βij = 2h2 D l=1 F (i, p, l) . D l=1 F (j, p, l) Sp = h N i=1 αi D l=1 F (i, p, l) + h2    N i=1 βii D l=1 F (i, p, l) 2    +2h2    N 1 i=j βij D l=1 F (i, p, l) . D l=1 F (i, p, l)    − y (tp) Formation du vecteur V des inconnues de dimension 2N + N2−N 2 αi = V (i) avec i = 1, ..., N βii = V (N + i) avec i = 1, ..., N βij = V (2N + k) avec i = 1, ..., N et j > i, k = (i − 1) N − i 2 + j − i On pose G (i, j) = D l=1 F (i, j, l) avec F (i, j, l) = Φi (ti − zl) x (zl) donc : Sp = h N i=1 αiG (i, p) + h2 N i=1 βii (G (i, p))2 +2h2 N−1 i=1 j>i βijG (i, p) G (j, p) − y (tp) 1 2 ∂S ∂αi = P p=1 Sp ∂Sp ∂αi = 0 1 2 ∂S ∂βii = P p=1 Sp ∂Sp ∂βii = 0 1 2 ∂S ∂βij = P p=1 Sp ∂Sp ∂βij = 0 page : 6 DJEDDI Kamel
  • 7. G´en´eralisation du th´eor`eme de Weierstrass et application avec ∂Sp ∂αi = hG (i, p) ∂Sp ∂βii = h2 [G (i, p)]2 ∂Sp ∂βij = 2h2 G (i, p) G (j, p) Pour compl´eter les algorithmes, on d´etermin´e les coefficients de la matrice des moindres carr´es, on droit distinguer, pour l’application informatique, les diff´erents cas : Par exemple cas 1 : r ≤ N s ≤ N B (r, s) = P p=1 {hG (r, p) hG (s, p)} H (r) = P p=1 {hG (r, p) y (tp)} cas 2 : r ≤ N , N < s ≤ 2N , s − N = i B (r, s) = P p=1 hG (r, p) h2 [G (s, p)]2 4.Conclusion. Dans ce travail relatif `a la recherche du mod`ele, ´etudie les propri´et´es des op´erateurs polynˆomes et sp´eciallement ceux du type Hilbert Schmidt. Elle ´etude leur utilisation pour approximer des op´erateurs non lin´eaire. On montrera tout op´erateur non lin´eaire d´efini et continu sur un compact X de L2 (T) (T intervalle r´eel) peut ˆetre repr´esent´e par un polynˆome Hilbert Schmidt est (donc par des int´egrales `a noyaux) ; autrement dit l’ensemble des polynˆomes Hilbert Schmidt est dense dans C[X, L2 (T)]. Si au lieu de L2 (T), l’op´erateur est d´efini sur un Hilbert s´eparable, on verra qu’il peut ˆetre repr´esent´e par un op´erateur polynˆome. page : 7 DJEDDI Kamel
  • 8. Bibliographie [1] A.LIAZID. Representations non lineaire de l’automatique avanc´ee. Science et tech- nologie N 14 D´ecembre 2000. pp 61-66. [2] I.M.Guelfand-N.Y. Vilenkin. Les distributions tome 4 applications de l’analyse harmonique. Dunod 1992. [3] Herv´e Queff´elec. Topologie. dunod 2007. [4] Lourent Schwartz. Cours d’analyse. Hermann 1967. [5] Lipschutz, S. Theory and problems of gˆenerai topology. Schaum’s outline s´eries McGraw- Hill Book C˚´ed. New York 1965 (il existe une ´edition r´ecente, en fran¸cais). [6] Mat´e, L. Hilbert space methods in science and engineering. Akad´emiai Kiado ´ed. Budapest 1989. [7] Yves SONNTAG. Topologie et analyse fonctionnelle. ellipses 1997. 8