Colloque de tebessa 1

Plan de travail
Introduction
Chapitre 1: Généralités
Chapitre 2: Généralisation du théorème de Weierstrass
Chapitre 3: Application
Conclusion
Généralisation du théorème de Weierstrass et
application
DJEDDI Kamel
Sous la direction de Professeur:KADA Allab
Colloque National sur les Sciences Mathématiques
Université de Tebessa
17-18 Septembre 2012
DJEDDI Kamel (Université de Oum El Bouaghi) Généralisation du théorème de Weierstrass et application

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Plan de travail

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Plan de travail
1 Introduction

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Plan de travail
1 Introduction
2 Chapitre 1: Généralités

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Plan de travail
1 Introduction
Théorème classique de Weierstrass
Opérateur de Hilbert-Schmidt
Opérateurs polynômes
Opérateur intégral Hilbert-Schmidt
Opérateurs polynômes Hilbert-Schmidt

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Plan de travail
1 Introduction
3 Chapitre 2: Généralisation du théorème de Weierstrass

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Plan de travail
1 Introduction
Théorème de Weierstrass dans espace de Hilbert
Théorème de Weierstrass dans les espaces L2

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Plan de travail
1 Introduction
4 Chapitre 3: Application

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Plan de travail
1 Introduction
4 Chapitre 3: Application
5 Conclusion

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Introduction
D’un point de vue physique un système peut grossièrement être considéré
comme un mécanisme faisant correspondre à une action (on dira une
entrée ) une réaction ( une sortie ). D’un point de vue mathématique, un
système peut être représenté par un opérateur, celui-ci faisant
correspondre à une fonction ( la fonction entrée), une autre fonction ( la
fonction sortie ).

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Introduction
D’un point de vue physique un système peut grossièrement être considéré
comme un mécanisme faisant correspondre à une action (on dira une
entrée ) une réaction ( une sortie ). D’un point de vue mathématique, un
système peut être représenté par un opérateur, celui-ci faisant
correspondre à une fonction ( la fonction entrée), une autre fonction ( la
fonction sortie ).
La connaissance d’un système revient à celle des lois qui régissent son
comportement. L’étude du comportement à partir des lois élémentaires
est théoriquement possible, mais en pratique elle est souvent impossible si
le système est complexe, si les phénomènes présents ne sont pas, ou sont
mal connus etc...

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Introduction
On cherche alors une approximation du comportement du système
(Généralisation du théorème de Weierstrass), c’est-a-dire une
approximation de l’opérateur qui le représente, à partir de certaines
entrées et des sorties correspondantes.

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle fermé et borné I de R , à valeurs
réelles, peut être approchée uniformément sur I à ε près, pour tout ε > 0, par
une fonction polynomiale.

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Th´eor`eme
En d’autres termes:

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Théorème
Théorème
Le sous-espace vectoriel P (I, R) de l’espace vectoriel C (I, R) est dense par
rapport à C (I, R) dans E = B∞ (I, R)

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Introduction
Conclusion
Définition
Soient H1 et H2 deux espaces de Hilbert ; un opérateur A de H1 dans H2
est Hilbert Schmidt si et seulement si il admet la représentation :
Af =
∞
n=1
λn f, en hn
où (en) et (hn) sont des ensembles orthonormés dans H1 et
H2 respectivement. f ∈ H1
λn > 0 et tel que la série ∞
1 λ2
n converge.

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Introduction
Conclusion
Définition
Soient X et Y deux espaces vectoriels complexes. Une application y = P(x) de
X dans Y définie pour tous les x est un opérateur polynôme de degré m si :
P(x1 + αx2) =
m
n=0
Pn(x1, x2)αn
∀x1, x2 ∈ X, α complexe
Pn(x1, x2) étant indépendants de α.

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Introduction
Conclusion
Définition
Soit T un intervalle réel, k ∈ L2
Tn+1
un opérateur intégral Hilbert-Schmidt, A : L2
(Tn
) → L2
(T) , s’ecrit :
(Ax) (t) =
T n
k (t, s) x (s) ds, t ∈ T, s = (s1, ..., sn) ∈ Tn

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Introduction
Conclusion
Définition
Un opérateur polynôme Hilbert-Schmidt de degré N est une combinaison
linéaire d’opérateurs Hilbert-Schmidt avec x (s) = x (s1) ...x (sn) s’écrira :
(Hx) (t) =
N
n=0 T n
kn (t, s1, ..., sn) x (s1) ...x (sn) ds1...dsn

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Théorème de Weierstrass dans espace de
Hilbert
Théorème
Soit H un espace de Hilbert séparable, K une partie compacte de H et
C (K, H) l’espace vectoriel normé des applications continues de K dans H.
Alors la famille des opérateurs polynômes définies et continus dans le compact
K est dense dans C (K, H) .

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Théorème de Weierstrass dans espace de
Hilbert
Théorème
Si A : K → H est une application continue, alors ∀ε > 0, existe un opérateur
polynôme P
(ε)
N tel que
A − P
(ε)
N = sup
x∈K
Ax − P
(ε)
N x < ε
P
(ε)
N = L0 + L1x + ... + LN xN
L0 = application constante
Ln = application n−linéaire Hn
→ H, Lnxn
= Ln (x, ..., x) .

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Introduction
Conclusion
Généralisation du théorème de Weierstrass
Soit T un intervalle réel, t ∈ T, X un compact de L2
(T) et C[X, L2
(T)]
l’espace vectoriel normé des applications continues de X dans L2
(T)
(muni de la norme des sup).
Notons n l’ensemble des polynômes Hilbert-Schmidt de degré ≤ n,
définis sur X :
H ∈ n ⇔ (Hx) (t) =
n
j=0 T j
kj (t; s1, ..., sj) x (s1) ...x (sj) ds1...dsj.
où x ∈ X. En supposant les kj symétriques par rapport à s1, ..., sj .Par
définition des opérateurs Hilbert-Schmidt n ⊂ C[X, L2
(T)].

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Théorème
Soit k ⊂ C[X, L2
(T)] relativement compact (k compact)
Alors ∀ε > 0, ∃N = N (ε) tel que ∀F ∈ k, il existe un polynôme
Hilbert-Schmidt : H ∈ n satisfaisant la relation
F − H C[X,L2(T )] = sup
x∈X
Fx − Hx L2(T ) < ε

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Théorème
Soit k ⊂ C[X, L2
(T)] relativement compact (k compact)
Alors ∀ε > 0, ∃N = N (ε) tel que ∀F ∈ k, il existe un polynôme
Hilbert-Schmidt : H ∈ n satisfaisant la relation
F − H C[X,L2(T )] = sup
x∈X
Fx − Hx L2(T ) < ε
Proposition
Soit F une fonctionnelle sur X compact, F : X ⊂ L2
(T) → R. Alors il
existe une suite d’éléments de , c’est-à-dire des fonctionnelles
Hilbert-Schmidt, qui converge uniformément vers F.

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Introduction
Conclusion
Preuve
- est manifestement une algèbre.
- sépare les point de X car si x1 = x2, il existe un noyau k1 tel que
T
k1(s)x1(s)ds =
T
k1(s)x2(s)ds
- toute fonctionnelle appartenant à est évidement continue.
D’après le théorème de Stone-Weierstrass, ∀ε > 0, il existe un entier
N(ε) = N tel que pour toute fonctionnelle F continue sur X on dit
|F(x) − k(x)| = F(x) −
n
j=0 T j
kj(s1, ..., sj)x(s1)...x(sj)ds1...dsj < ε,
∀x ∈ X.
Aussi, la classe des fonctionnelles Hilbert-Schmidt est partait dense
dans c [X, R] .

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Introduction
Conclusion
Le passage à un opérateur dans L2
(T) utilisera le fait qui k(x) est pré
compact et peut être recouvert ∀ε > 0 par un nombre fini de boules de
diamètre k.
Ou simulera aussi un opérateur A à une famille de fonctionnelles At
définies par
At(x) = (Ax)(t), x ∈ L2
(T), t ∈ T.

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Introduction
Conclusion
On va décrire la détermination d’un système non linéaire en
l’approximant par un opérateur Hilbert-Schmidt d’ordre 2.
Calcul formel d’identification
Le système est approximé par un polynôme Hilbert-Schmidt d’ordre 2.
{Φi (t)} étant une base de L2
(T), la sortie du système y(t)
correspondant à l’entrée x (z) est donnée par :
y(t) =
T
k1 (t − z) x (z) dz +
T 2
k2(t − z1, t − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2
avec
k1 (t) =
N
i=1
αiΦi(t)
k2 (t1, t2) =
N
i,j=1
βijΦi (t1) Φj (t2)

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Application
avec les données
entrées mesurées: vecteur x (tk) , k = 1, ..., p
sorties mesurées: vecteur y (tk), k = 1, ..., p
Problème
Trouver les N coefficients αi et les N2
coefficients βij.

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Application
Calculs:
y(tk) = y1(tk) + y2(tk)
avec
y1(tk) =
T
k1 (tk − z) x (z) dz
y2(tk) =
T 2
k2(tk − z1, tk − z2)x(z1)x(z2)dz1dz2

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Application
Expression de y1(tk) :
y1(tk) =
N
i=1 T
Φi (tk − z) x (z) dz
On applique la méthode des trapèzes pour calculer
T
Φi (tk − z) x (z) dz
pour cela, on divise l’intervalle [0, T] en D sous intervalles d’amplitude
T
D = h cette intégrale devient :
y1(tk) =
N
i=1
hαi
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)
avec zl ∈ [(l − 1) h, lh]

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Introduction
Conclusion
Application
Expression de y2(tk) :
y2(tk) =
N
i,j=1
βij



(
T
Φi (tk − z1) x (z1) dz1)(
T
Φj (tk − z2) x (z2) dz2)



En appliquant la m´ethode des trap`ezes on obtient :
T
Φi (tk − z1) x (z1) dz1 = h
D
l=1
T
Φj (tk − z2) x (z2) dz2 = h
D
l=1
Φj (tk − zl) x (zl)

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Application
donc
y2(tk) =
N
i,j=1
h2
βij (
D
l=1
Φi (tk − zl) x (z1)).(
D
l=1
Φj (tk − zl) x (zl))

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Application
Expression de y(tk) :
y(tk) = y1(tk) + y2(tk)
alors
y(tk) = h
N
i=1
αi
D
l=1
+2h2



N
i=j=1
βij (
D
l=1
Φi (tk − zl) x (zl)).(
D
l=1
Φj (tk − zl) x (zl))



+h2



N
i=1
βii
D
l=1
2




Plan de travail
Introduction
Conclusion
Application
En appliquant la méthode de Moindres carrés :
y et y étant respectivement les sorties calculée et mesurée :
Sp = (y (tp) − y (tp))
S =
P
p=1
(y (tp) − y (tp))
2
=
P
p=1
(Sp)
2
On a un système de N + N + N2
−N
2 équations.
On pose : F (n1, n2, n3) = Φn1
(tn2
− zn3
) x (zn2
)

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Application
∂Sp
∂αi
= h
D
l=1
F (i, p, l)
∂Sp
∂βii
= h2
D
l=1
F (i, p, l)
2
∂Sp
∂βij
= 2h2
D
l=1
F (i, p, l) .
D
l=1
F (j, p, l)
Sp = h
N
i=1
αi
D
l=1
F (i, p, l) + h2



N
i=1
βii
D
l=1
F (i, p, l)
2



+2h2




N
1
βij
D
l=1
F (i, p, l) .
D
l=1
F (i, p, l)




− y (tp)

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Application
Formation du vecteur V des inconnues de dimension 2N + N2
−N
2
αi = V (i) avec i = 1, ..., N
βii = V (N + i) avec i = 1, ..., N
βij = V (2N + k) avec i = 1, ..., N et j > i, k = (i − 1) N −
i
2
On pose G (i, j) =
D
l=1 F (i, j, l) avec F (i, j, l) = Φi (ti − zl) x (zl)

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Application
donc :
Sp = h
N
i=1
αiG (i, p) + h2
N
i=1
βii (G (i, p))
2
+2h2
N−1
i=1
j>i
βijG (i, p) G (j, p) − y (tp)
1
2
∂S
∂αi
=
P
p=1
Sp
∂Sp
∂αi
= 0
1
2
∂S
∂βii
=
P
p=1
Sp
∂Sp
∂βii
= 0
1
2
∂S
∂βij
=
P
p=1
Sp
∂Sp
∂βij
= 0

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Application
avec
∂Sp
∂αi
= hG (i, p)
∂Sp
∂βii
= h2
[G (i, p)]
2
∂Sp
∂βij
= 2h2
G (i, p) G (j, p)
Pour compléter les algorithmes, on déterminé les coefficients de la
matrice des moindres carrés, on droit distinguer, pour l’application
informatique, les différents cas :

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Application
Par exemple
cas 1: r ≤ N
s ≤ N
B (r, s) =
P
p=1
{hG (r, p) hG (s, p)}
H (r) =
P
p=1
{hG (r, p) y (tp)}
cas 2 : r ≤ N , N < s ≤ 2N , s − N = i
B (r, s) =
P
p=1
hG (r, p) h2
[G (s, p)]
2

Plan de travail
Introduction
Conclusion
Conclusion
Conclusion
Dans ce travail relatif à la recherche du modèle, étudie les propriétés des
opérateurs polynômes et spéciallement ceux du type Hilbert Schmidt.
Elle étude leur utilisation pour approximer des opérateurs non linéaire.
On montrera tout opérateur non linéaire défini et continu sur un compact
X de L2
(T) (T intervalle réel) peut être représenté par un polynôme
Hilbert Schmidt est (donc par des intégrales à noyaux) ; autrement dit
l’ensemble des polynômes Hilbert Schmidt est dense dans C[X, L2
(T)].
Si au lieu de L2
(T), l’opérateur est défini sur un Hilbert séparable, on
verra qu’il peut être représenté par un opérateur polynôme.

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Introduction
Conclusion
Mercipourvotreattention

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