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Définition
La fonction logarithme népérien, notée ln, est définie sur ]0, + ∞[ , prend la valeur 0 en x = 1, est continue
sur ]0, + ∞[ et admet pour dérivée la fonction x
x
1
֏ . ] [ ∫→+∞
x
1 t
dt
x,R,0:ln ֏
Soit a et b deux réels strictement positifs et a1,a2,…an>0
( )
( ) ( ) aln
2
1
alnalnnalnaln...alnalna...a.aln
aln
b
1
lnblnaln
b
a
lnblnalnb.aln
n
n21n21 ==+++=
−=
−=
+=
• ln x < 0 si et seulement si 0 < x <
• lnx = 0 si et seulement si x = 1
• ln x > 0 si et seulement si x ∈ ]1 ; + ∞[
• La fonction x xln֏ est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[
Soit n et m deux entiers naturels non nuls
( ) 0xlnxlim0
x
xln
lim1
1x
xln
lim1
x
x1ln
lim
0xlnxlim0
x
xln
limxlnlimxlnlim
nm
0xm
n
x1x0x
0xx0xx
===
−
=
+
==−∞=+∞=
+
++
→+∞→→→
→+∞→→+∞→
Tableau de variations et courbe de ln
la fonction ln réalise une bijection de
RversR*
+ donc il existe un unique réel, noté e,
vérifiant lne = 1.
x 0 +∞
x
1 +
ln(x) +∞
−∞
Dérivées et primitives
1°) Dérivée de ln u
Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.
La fonction x ֏ ln (u(x)) , notée ln u, est dérivable sur I et on a (ln u)' =
u
'u
2°) Primitive de ln u
Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I qui ne s’annule pas sur I
La primitive sur l'intervalle I de la fonction
u
'u
est la fonction ln |u| + c
3°)Primitive de x→→→→lnx
La fonction x ֏ xlnx-x est une primitive de la fonction xlnx ֏ sur *
R+
Fonction logarithme décimale :
C’est la fonction log, définie ] [+∞,0 par
10ln
xln
xlog = , ( )x10log,110log x
==
Fiche de cours 4ème Maths
logarithmelogarithmelogarithmelogarithme
Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR
Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/](https://image.slidesharecdn.com/courslogarithme-150325005440-conversion-gate01/85/Cours-logarithme-1-320.jpg)
![Devoir de synthèse_n°_02--2008-2009(mr_otay)[lycée__el_aghaliba]](https://cdn.slidesharecdn.com/ss_thumbnails/devoirdesynthsen02-2008-2009mrotaylyceelaghaliba-150325005447-conversion-gate01-thumbnail.jpg?width=640&height=640&fit=bounds)
Cours logarithme
- 1. 1 Définition La fonction logarithmenépérien, notée ln, est définie sur ]0, + ∞[ , prend la valeur 0 en x = 1, est continue sur ]0, + ∞[ et admet pour dérivée la fonction x x 1 ֏ . ] [ ∫→+∞ x 1 t dt x,R,0:ln ֏ Soit a et b deux réels strictement positifs et a1,a2,…an>0 ( ) ( ) ( ) aln 2 1 alnalnnalnaln...alnalna...a.aln aln b 1 lnblnaln b a lnblnalnb.aln n n21n21 ==+++= −= −= += • ln x < 0 si et seulement si 0 < x < • lnx = 0 si et seulement si x = 1 • ln x > 0 si et seulement si x ∈ ]1 ; + ∞[ • La fonction x xln֏ est strictement croissante sur ]0 ; + ∞[ Soit n et m deux entiers naturels non nuls ( ) 0xlnxlim0 x xln lim1 1x xln lim1 x x1ln lim 0xlnxlim0 x xln limxlnlimxlnlim nm 0xm n x1x0x 0xx0xx === − = + ==−∞=+∞= + ++ →+∞→→→ →+∞→→+∞→ Tableau de variations et courbe de ln la fonction ln réalise une bijection de RversR* + donc il existe un unique réel, noté e, vérifiant lne = 1. x 0 +∞ x 1 + ln(x) +∞ −∞ Dérivées et primitives 1°) Dérivée de ln u Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I. La fonction x ֏ ln (u(x)) , notée ln u, est dérivable sur I et on a (ln u)' = u 'u 2°) Primitive de ln u Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I qui ne s’annule pas sur I La primitive sur l'intervalle I de la fonction u 'u est la fonction ln |u| + c 3°)Primitive de x→→→→lnx La fonction x ֏ xlnx-x est une primitive de la fonction xlnx ֏ sur * R+ Fonction logarithme décimale : C’est la fonction log, définie ] [+∞,0 par 10ln xln xlog = , ( )x10log,110log x == Fiche de cours 4ème Maths logarithmelogarithmelogarithmelogarithme Maths au lyceeMaths au lyceeMaths au lyceeMaths au lycee *** Ali AKIRAli AKIRAli AKIRAli AKIR Site Web : http://maths-akir.midiblogs.com/
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