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2.3. Montrer que l'énergiemécaniquedu systèmes'écritsousla forme :
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3.3. Reproduirele schémade la trajectoire(figure 1-b)etplacerlespoints A, ...
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champde pesanteurf : -gû," estsupposéuniforme,d'intensitéégaleà savaleur ...
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Modèle de l'atmosphère isotherme
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Cnc 2009 mp_physique_2

  1. 1. RoyauMEDUManoc Vlinistèredel'Education Nationale,del'EnseignementSupérieuç de la Formation desCadreset de la RechercheScientifique Présidencedu ConcoursNationalCommun Institut Nationaiede Statistjqueet d'EconomieAppliquée INSEA Concourslational Comrnun d'admission aux GrandesÉcolesd'Ingénieurs ou assimilées Session2009 EpnEuvEDEPr-rvsrçuEII FilièreMP Durée4 heures Cetteépreuvecomporte8pagesau format A4, en plus de cettepagede garde L"usagede la calculatriceestautorisé
  2. 2. ConcoursNational Commun - Session2009- FilièreMP Ljénoncéde cetteépreuvecomporteI pages. [/usagede la calculatriceestautorisé. On aeilleraà uneprésentationclaireet soigtéedescopies.Il conuienten particulierderappelernuec précisionltt F"tet"** I clesqttestionsaborclées' Le sujetestcomposéde deux problèmestotalernentindépendants.Ils peuvent êtretraitésdans un ordre quelconque. Dans lesapplicationsnumériques,qui ne doivent pas êtrenégligées,une attentionparticuiière seraprêtéeau nombre de chiffresà utiliser pour afficherles résultats.Ce nombre,qui dépend en généraldu niveau de précisionrecherché,ne doit en aucun casdépasserIe nombre de chiffres significatifspermis par les données.La valeur numérique de toute grandeur physique doit être accompagnéede sonunité dansle systèmeinternationaldesunités(SI). Si,au coursdel'épreuae,un cnndidatrepèrecequilui sembleêtreuneerreurd'énoncë,il Iesignnlesur str copieetpourntitsacontpositionenindiquantlesraisonsdesinitiatirsesqtt'il estamenéà prendre. Données pour toute l'éPreuve r Massedu Soleil: Ms :1, 99.1030kg o Constanted'attractionuniverselle: G : 6,67.10-1rN.^2 .lrg-2 o Accé1érationd.ela pesanteurau niveaudu soli I : 9,87m.s-z r Constantedes gazparfaits:Â : 8,3I J.K-r.mol-L . Massemolairede I'air: Mo:29.10-3 kg.mol-t o Massevolumiqued.el'eau: p : 103kg.*-3 Premier problème Durée dessaisons La saisonest une période de l'année qui observeune relative constancedu climat et de la température.D'une durée d'environ trois mois, la saisonjoue un rôle déterminantsur l'état de la végétationqui dépendessentiellementde facteursclimatiques. D'un point de vue astronomique,unesaisoncorrespondà l'intervalledetempsau coursduquel la Terreoccupeune portion de l'espacelors de sagravitation autour du Soleil.C'estl'jnclinaison de l'axe despôles,combinéeà la rotation de la Terreautour du Soleil,qui fait qu'il seproduit une alternancedessaisons.Celles-cicorrespondentaux périodesqui séparentle passagede la Terreà certainspoints de sonorbite. Dansceproblème,on étudie1emouvement dela Terredansle référentieihéliocentrique7?ceni-ré au centre.9du Soleiiet supposégaliléen. 1è" partie Propriétés généralesdu mouvement 1.1. Référentiel galiléen 1.1.1. Donnerla définition d'un référentieigaliléen. +. Epreuvede PhysiqueII 7 / B Tonrnez ia page S.VP.
  3. 3. ConcoursNational Commun- Session2009- FilièreMP 1.L.2. Définir le référentielgéocenfrique.A quelle(s)condition(s)peut-onle considérercorune galiléen? 1,.2, Force et énergie mécanique La Terreestmodéliséepar un solideindéformablede forme sphériqueque l'on assimileraici à un point matériel de massern situéen son cenked'inertie O. Leseffetsliésà Ia rotation de la Terre autourde sonaxene sontpaspris encomptedansceproblème- Le centred'inertie O de Ia Terresedéplacedansle champde gravitationdu Soleiide masseMg sousl'effet de la force: : G M s m - f Ç : ô : - - - - - _ ; - l ,' : Sô étantle vecteurpositiondu centreO deia Terrepar rapport au centre,9du Soleil.Orrnéglige i'influencedesautresplanètessurle mouvementde Ia Terre. 1.2.1. Le champ de forcede l'équation(1)est-iiun champde forcecentral? 1.2.2. Donner 1adéfinition d'une forceconservative. 1.2.3. Montrer quela forceclegravitationexercéepar le Soleilsur la Terreestconservative. 1.2.4. Exprimer l'énergiepotentielle-Eodont dérive cetteforceen fonction de G, Ms, m êt r. L énergiepotentielleE, serapriseconventionnellementnulle pour r tendantversf infini. 1.2.S. Montrer que l'énergiemécaniqueErnde la Terreestconstanteau coursde son mouve- ment autour du Soleil. 1.3. Moment cinétique 1.3.1. Définir le vecteurmoment cinétiqueis de ia Terredansle référentielR, parrapport au centre,Sdu Soleil. 1.3.2. Énoncerle théorèmedu momentcinétiquepour un point matériel. 1.3.3. En appliquant à Ia Terrele théorèmedu moment cinétiquepar rapport au point ,9, montrerque sonmomentcinétique-Lgestun vecteurconstant. 1.3.4. En déduirequela kajectoiresuiviepar la Terreautourdu Soleilestentièrementcontenue dansun plan fixe II. Commentestsituéie pian de cettetrajectoirepar rapport au vecteurmoment 1 1 f 6 1 1 d 1 1 o t , à a r q r r ! ^ Y s v ! J , 1.3.g. Pour la suite,on pose: i, : mCû,où 17estun vecteurunitairefixe dansle référentiel héliocentrique1?et C uneconstante. Dans le plan fI de sa trajectoire,on repèrela position dT_fntre d'inertie de la Terre O en coordonnéespolaires(r,0) définiesparr: SO et0 : (SOo,,SO)(figure1-a).Ooestlaposition de O à une datechoi.siecommeorigine.(ùr,ûe)étantla baselocaleassociéeà cescoordonnées. (1) Épreuvede PhysiqueII ) / R
  4. 4. ConcoursNationalCommun - Session2009- FilièreMP P ,9 Figure 1.-a: repéragede la positionde ia Terre. Figure 1-b : trajectoirede la Terreautour du Soleil. 1.3.5.1. Montrer que Ia vitessedu centred'inertie de la Terrepar rapport au référentielR s'écritsousla forme : û : u r û , r * u 6 û , 6 Donnerlesexpressionsd.eo. et d.euden fonctionde r, i : ff "t a" e : #. 1.3.5.2. Exprimeriemomentcinétique15 enfonctionde m, r et0.Endéd.uirequela constante C estliéeaux paramètresr et 0 parla relation: C : r 2 0 1.3.6. Loidesaires 1.3.6.1. ExprimerL'atredE,balayéepar le rayon-vecteurr-pendantuneduréedt du mouve- ment de1aTerreautour du Soleil. 1.3.6.2. Montrer quel'aire X balayéepar le rayon-vecteurf,durant un intervallede tempsÀl estdonnéepar la loi : a x : r A f cette loi ? Justifierl'appellation de la constantedes aires habituellement 2è*" partie Étude de la trajectoire 1 ,, dr drdud9 Un pOSeu : - et on rapperleque -; : -- -;;. - T - dL d,u d.a 0,t - d r , d u 2.1. Exprimer - enfonctionde C et - - d . L * ' " " d 0 ' 2.2. Définir l'énergiecinétiqueE" de la Terrepar rapport au référentielhéliocentriqueR. En déduiresonexpressionenfonctiond.em, C, u et .o,a Comment appelle-t-on donnéeà C. EpreuvedePhysiqueII 3 / 8 To'.in'Lezia page 3.1.i'.
  5. 5. ConcoursNational Commr.rn- Session2009- FilièreMP 2.3. Montrer que l'énergiemécaniquedu systèmes'écritsousla forme : t ^ / ^ / , J , , 2 E * : r * " ' ( r ' - æ ) l - G M s m u " / 2.4. Montrer que la conservationde l'énergiemécaniquele long de la trajectoirese traduit par deuxéquationsdifférentiellespossiblesrelativesà u(0).On expliciteracesdeux équations. 2.5. L-unedes deux équationsprécédentess'écrit* :0. Quelleestla naturede la trajectoire danscecas? do 2,6. On montre, par un choix convenablede l'origine des anglespolairesque ia solution de la deuxièmeéquationpeut s'écriresousla forme: r _ p 1 * e c o s 9 çz avec p : A-i;= et e : p. u0, où ug est une constante d'intégration qu'on ne demande pas G lViq déterminer La relation (2) estl'équationpolaired'une coniqued'excentricitée.On supposeraqr-ree < 1 queIa trajectoireestuneellipsedont ,9estl'un de sesfoyers(figure i-b). 2.6.L. Déterminer la distance ,SOminimale notée r,n aupérihélie P de ia trajectoire en fonction dep et e. 2.6.2. Déterminer la distance 5O maximale notée ry àl'aphélie ,4 de la trajectoire en fonction d e p e t e . 2.6.3. Déterminer l'écart reiatif entre cesdeux distances défini py T!- :nl. ^ p 2.6.4. Apptication numérique : on donnep : 150.106lcmet e:0,,018. Calculetr1y1,r- et leur écart relatif. Commenter. 3è-' partie Périodetemporelledu mouvement Onrappellequeiasurfaced'uneelLipseestd.onnéeparX : T.a.b,oùa : fA etb: désignantrespectivementledemigrandaxeetle demipetitaxedel'ellipse. JT:ê Pour toute la suite,on utifiserales valeursnumériquesde e et de p donnéesdansla question 2.6.4. 3.1, En utilisant la relationétablieen1.3.6.2.,exprimer Ia période? du mouvementde la Terre autourdu Soleil,en fonctionde G,Mg, p ete. 3.2. Application numérique: calculer7 enjours. Commenter. Pour l'hémisphèrenord de la Terre,le périhélieP de la trajectoirecorrespondapproximative- ment au début de l'hiver (soisticed'hiver),I'aphélieA de la trajectoirecorrespondau début dei'été (solsticed'été),le début du printemps ou équinoxedu printemps EP correspondà I : rf 2 etle débutde l'automne ou équinoxed'automneEA corcespondà 0 : 3112. (2) de ^ l E I Epreuvede PhysiqueII 4 / 8
  6. 6. ConcoursNationalCommun - Session2009- FilièreMP 3.3. Reproduirele schémade la trajectoire(figure 1-b)etplacerlespoints A, EP et EA.Indiquer avecsoinIa surfacebalayéepar le rayon-vecteurde la Terrependantchacunedesquatressaisons. 3.4. Montrer graphiquementque le printemps et l'été sont plus longs que l'automne et l'hiver dansl'hémisphèrenord.. 3.5. Danscettesection,on utiliseIarelationétabliedansIa question7.3.5.2. 3.5.1. En tenant compte de la valeur de e, montrer que la durée T6 de l'hiver se caicule approximativementpar : m2 rltl2 Tn=7 Jo Q-2ecos0)d0 3.5.2. Applicationnumérique: calcuier76 enjours. 3.5.3. Montrer de mêrneque 1aduréeT, du printemps secalculeapproximativementpar : n2 [11 rr=b J*,r(r_2ecoso)do 3.5.4. Application nurnérique: calculerTo enjours.Commenter. 3.6. Un modè1eplus complexepermetd'établir un caiendrierqui fait apparaîtlelesdatesapprox- imativessuivantes: solsticed'hiver : 21décembre2008à 12h équinoxedu printemps : 20mars2009à 12h solsticed'étê:21juin 2009à 6h équinoxed'automne: 22septembre2009à 21h . solsticed'tdver : 21décembrc2009à 18h 3.6.1. Calculerla duréede la saisond'hiver { et de la saisondu printemps{. 3.6.2. Comparer ces valeurs à celiesobtenuespar le modèle précédent.Commenter.Que pensezvous du modèIeutilisé? Deuxièmeproblème Étudedel'équilibredeI'atmosphèredansle champdepesanteur L'atmosphèreterrestres'étend sur quelques dizaines de kilomèfres et permet à toutes les espècesvivantes terriennesde respirerpour vivre. Les phénomènesphysiquesintervenant dans l'atmosphèresontnombreux et caractérisenten fait différentescouchesen fonction de l'altitude : de la troposphèreau niveau du soljusqu'àf ionosphèrecouched'atmosphèrela plus haute avant i'Espace. On se propose d'étudier quelquesmodèles de variation de la pressiondans l'aLmosphère terrestre.Danstout le problème,on ne tiendrapascomptedeseffetsliésà la rotationde la Terre.Le Epreuvede PhysiqueII 5 / 8
  7. 7. ConcoursNational Commun - Session2009- FilièreMP champde pesanteurf : -gû," estsupposéuniforme,d'intensitéégaleà savaleur au niveau du sol. û,, étantle vecteurunitairede la directionascendanteOz. 10 z (km) ^ 600 - Ê- 4oo Figure1 : tranchede fluide dans Iechamp de pesanteur. Figure 2 : Profil de pressiondanslespremières couchesde i'atmosphère. Lè'" partie Pression dans un fluide au repos dans le champ de pesanteur On considèreun fluide au reposdansie champde pesanteur.On supposequela pressionet ia massevolumique du fluide ne dépendentquede l'altitude z. On appelleP(z) cettepressionet p(z) la massevoLumiquedu fluirle.La pressionau niveaudu sol,pris commeorigine desaltitudesz : 0, vautPg: 1,0bar:1,0.10oPa. 1.1. Déterminer1arésultanted,Fodesforcesde pressions'exercantsur une tranchede fluide de base,5,situéeentrelesaltitudesz etz*dz (figure1).Endéduirel'expressiondela densitévolumique desforcesde pression. I.2. Écrirel'équation qui traduit l'équilibremécaniquede la tranchede fluide dansle champde pesanteur.Montrer quela pressionestiiéeà la massevolumique du fluide par l'équation: d P * + p 9 : 0 ( 1 ) 1.3. On supposedanscettequestionquela massevolumique du fluide estquasi-indépendante del'altitude. Déterminerl'expressionde la pressionP(z) qui règnedansle fluide à l'altitude z. 1.4. Ordres de grandeurs 1.4.L. Déterminerla différencedepressionentrele sol etle toit d'une salle,situéà une altitude de 3 m, en assimilantl'air àun gazparfait àia températureambiante7 : 300K. Commenter. 7.4.2. Déterminerla différencede pressionentrela surfacelibre et un point à une profondeur de 3 rn d'un océan.Commenter. l--r- Sol Epreuvede PhysiqueII 6 / 8
  8. 8. ConcoursNational Commun - Session2009- FilièreMP 2è'u partie Modèle de l'atmosphère isotherme On assimilel'atmosphèreà un gaz parfait de massemolaire Mo ar reposdans Ie référentiel terrestresupposégaliléenet soumisau champde pesanteuruniforme g'. On supposedans ceparagraphe,que l'atmosphèreestisothermedanslaquellela température estuniformeetvaut To: 273K.Lapression au niveaudu solvaut P6 : 1,0bar : 1,0.105Pa. On appelleP (z) la pressionqui règneà l'altitude z. 2.1. A partir de i'équationd'état desgazparfaits,déterminerl'expressiondela massevolumique de l'air en fonctionde Mo,To,de la pressionP et de Ia constantedesgazparfaitsfi. 2.2. En déduire,enutilisantl'équation(1),l'expressionde la pressionP(z). 2.3. Interpréter Ie résultat obtenu en termes énergétiqueset mettre en ér'idencele facteur de Boltzrranxs. 2.4. En déduire une hauteur caractéristiqueh desvariations de la pressionP(z). Déterminerla valeur numériquede à.Commenter. 3è-" partie Modèle de l'atmosphère polytropique Lemodèledei'atmosphèreisothermenes'appliquequ'àla hauteatmosphèreappeléestratosphère, pour descouchesd'air dont l'altitude estcompriseentre l0 km et 30 km, et avecune température de i'ordre de 223K. Entre les altitudes z : 0 et z : L0 km,l'air est constammentbrassépar les courants que constituentlesvents dont l'origine esten partie due aux variationsjournalièresde la température au niveaudu sol.La partiede l'atmosphèrecorrespondantes'appe1lela troposphère. LesdonrLéesexpérimentalesfransmisespar un ballon-sonde,utiliséparunestationmétéorologique, au cours de la traverséede la troposphèreet de ia bassestratosphèremontrent que le modèlele mieux adaptéestcelui d'un gradientuniforme de température.Cesdonnéespermettent de tracer le profii réel de la pressionrégnantà la verticalede la station.Lesrésultatssontrassembléssur la figure2.On chercheà modélisercesrésultatsen considérantun profil de températurede la forme : T ( z ) : T s - a . z Tset o étantdesparamètresconstants, 3.1. Donnerl'expressionde la massevolumiquep(z) de l'air enfonctionde Mo, Ts,a,z, P(z) et R. 3.2. La pressionetla massevolumique sonttoujoursliéespar l'équation(1). 3.2.1. Déterminerl'expressiondela pressionP(z). Montrerqu'elles'écritsousla forme: P ( z ) : P s ( I - b . z ) a où ôet a sontdeuxparamètresconstantsà déterminer. 3.2.2. Comparercechampdepressionaveccelui obtenupour l'atmosphèreisothermelorsque l'on seplaceà faiblealtitude(b.z<< I). EpreuvedePhysiqueII 7 / 8 lburnez la pageS.V.P.
  9. 9. ConcoursNational Commun - Session2009- FilièreMp 3.2.3. Montrer quela pressionestiiéeàia massevolumique par la relation: P(z ffi -- "tt" appeléerelationpolytropique d'indice ,k.Donnerl'expressionde ,ken fonctionde a. 3.3. Le traitement des donnéesexpérimentales,indiquéespar des croix sur ia figure 2, permet d'ajusteriesvaleursde Po,beta pour quelemodèledécrivecorrectementlespointsexpérimèntaux. Onobtientainsi:Po:1,03.105Pa; b:1,95.10-sm-L eta:5,91. Lacourbecorrespondanteest tracéeen trait plein sur 1afigure2. 3.3.1. Déduire de cesrésultatsiesvaleursde 7s et de a.En déduirela valeur de la température 7 à rrnealtitude de 10lcm.Conclurequant à la validité de cemodèlepour décrirela troposphère. 3.3.2. Déduire de cequi précèdel'ordre de grandeurde l'épaisseurde l'atmosphèredansle cadrede cemodèIe. FrNng L'ÉpRguvn Epreuvede PhysiqueiI 8 / 8

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