La transformee en Z

1. La transformée en Z
et les séries de
Laurent :
Applications

3. Introduction
Les séries de Laurent furent nommées ainsi après leur
publication par Pierre Alphonse Laurent en 1843. Karl
Weierstrass les découvrit le premier mais il ne publia
pas sa découverte.
Le plus souvent, les auteurs d'analyse complexe
présentent les séries de Laurent pour les fonctions
holomorphes définies sur des couronnes, c'est-à-dire des
ouverts du plan complexe délimités par deux cercles
concentriques. Ces séries sont surtout utilisées pour
étudier le comportement d'une fonction holomorphe
autour d'une singularité.
La transformation en Z est un outil mathématique de
l'automatique et du traitement du signal, qui est
l'équivalent discret de la transformation de Laplace. Elle
transforme un signal réel du domaine temporel en un
signal représenté par une série complexe et appelé
transformée en Z.
Elle est utilisée entre autres pour le calcul de filtres
numériques à réponse impulsionnelle infinie et en
automatique pour modéliser des systèmes dynamiques
de manière discrète et les équations de differrance finies

4. Plan :
1. Les séries de Laurent
2. La transformée en Z (Cas
particulier des séries de Laurent)
3. Séries de Laurent, transformation
en Z (Application)
4. Situation Problème
5. Problématiques

5. 1. Les séries de Laurent
En analyse complexe, la série de Laurent (aussi appelée développement de Laurent) d'une
fonction holomorphe f est une manière de représenter f au voisinage d'une singularité, ou plus
généralement, autour d'un « trou » de son domaine de définition. On représente f comme
somme d'une série de puissances (d'exposants positifs ou négatifs) de la variable complexe.
Une fonction holomorphe f est analytique, c'est-à-dire développable en série entière au
voisinage de chaque point de son domaine de définition. Autrement dit, au voisinage d'un
point a où f est définie, on peut écrire f(z) sous la forme :
On a fait apparaître une série entière en a, qui est la série de Taylor de f en a. Les séries de
Laurent peuvent être vues comme une extension pour décrire f autour d'un point où elle n'est
pas (a priori) définie. On inclut les puissances d'exposants négatifs ; une série de Laurent se
présentera donc sous la forme :
.
Une couronne centrée en a est un ouvert du plan complexe délimité par aux plus deux
cercles de centre a. En général, une couronne est délimitée par deux cercles de rayons
respectifs r, R tels que r < R. Plusieurs cas dégénérés peuvent toutefois être envisagés :
 Si R vaut l'infini, la couronne considérée est le complémentaire du disque fermé de
centre a et de rayon r ;
 Si r vaut 0, la couronne correspond au disque ouvert de centre a et de rayon R, privé
de a. On parle aussi dans ce cas de disque épointé ;
 Si r vaut 0 et R l'infini, alors la couronne est le plan complexe privé du point a.
Pour toute fonction holomorphe f sur une couronne C centrée en a, il existe une unique suite
telle que :
,
Où la série de fonctions converge normalement sur tout compact de la couronne C. De plus,
les coefficients an sont donnés par :

6. Où 𝛾 est le paramétrage d'un cercle de centre a tracé dans la couronne.
Preuve : (Par la théorie de Fourier)
La restriction de f au cercle de rayon s (compris entre r et R) peut être regardée comme une
fonction 2π-périodique d'une variable réelle FS : il suffit d'exprimer f(z) en fonction de
l'argument de z. On pose :
Le théorème de convergence de Dirichlet s'applique aux fonctions périodiques continues FS
et permet de les décomposer comme somme de sinusoïdales. Plus exactement, on peut faire
apparaître des coefficients de Fourier (qui dépendent du choix de s) tels que:
.
Or, comme la fonction FS est de classe au moins C1
, la série de Fourier converge
normalement vers FS. Ce résultat général de la théorie de Fourier se démontre en utilisant des
estimations sur la vitesse de convergence des coefficients de Fourier. En reprenant
l'argument, on pourra obtenir la convergence normale sur tout compact de la série, vue
comme série de fonctions en s et t. Fort malheureusement, la série obtenue n'est pas, du
moins en apparence, exactement de la forme recherchée : des puissances de z doivent
apparaître. Il est donc nécessaire de faire sortir la dépendance des coefficients de Fourier
en le module s. Plus précisément, il faut chercher à définir des coefficients complexes
𝑎𝑛vérifiant :
Or, on dispose d'une expression intégrale pour les coefficients de Fourier : par conséquent,
en fonction de s peut être regardée comme une intégrale à paramètres. On peut chercher
à établir sa régularité, puis à exprimer sa dérivée. Il est remarquable d'obtenir une équation
différentielle relativement facile à intégrer :
.
De cette équation différentielle découle effectivement, qui permet de voir f comme somme
d'une série de Laurent qui converge au moins ponctuellement. Et la convergence normale sur
tout compact de la couronne sera chose déjà obtenue. Toujours de l'expression des
coefficients de Fourier, on déduit :

7. .
Ainsi se démontre dans les grandes lignes l'existence de la série de Laurent en utilisant les
seuls outils de la théorie de Fourier.
2. Définition de la transformée de Z :
Soit un signal discret 𝑥(𝑛), Sa Transformée en Z est définie par :
X(𝑧) = ∑ 𝑥
+∞
𝑛=−∞ (𝑛)𝑧−𝑛
Ou z : variable complexe définie partout où cette série converge
La région de convergence dépend de l’ensemble des valeurs de z
Exemple :
1. 𝑥(𝑛) = 𝛿(𝑛) ⇒ X(𝑧) = 1 ; X(𝑧) = ∑ 𝛿
+∞
𝑛=−∞ (𝑛)𝑧−𝑛
= 1.𝑧−0
= 1
2. 𝑥(𝑛) = 𝛿(𝑛 − 𝑘) ⇒ X(𝑧) = 𝑧−𝑛
; X(𝑧) = ∑ 𝛿
+∞
𝑛=−∞ (𝑛 − 𝑘)𝑧−𝑛
= 𝑧−𝑘
Condition d’existence de la TZ :
La TZ d'un signal discret x(n) existe si la série converge. Pour cela on utilise le critère
De Cauchy 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
∑ |𝑈(𝑛)|
+∞
𝑛=−∞ <1.
X(𝑧) = ∑ 𝑥
+∞
𝑛=−∞ (𝑛)𝑧−𝑛
= ∑ 𝑥
−1
𝑛=−∞ (𝑛)𝑧−𝑛
+ ∑ 𝑥
+∞
𝑛=0 (𝑛)𝑧−𝑛
De façon générale, la RDC est un anneau de convergence centré sur l’origine
Pour un signal causal :
=

8. X(𝑧) = ∑ 𝑥
+∞
𝑛=−∞ (𝑛)𝑧−𝑛
3.Séries de Laurent, transformation en z :
Etant donné un signal numérique {sn, n ∈ Z}, il existe des cas ou sa transformée de Fourier
discrète
N’est pas d´définie au sens classique. On a parfois recours `a une alternative, la transformée
en z, dont
On décrit ci-dessous les propriétés essentielles, sans entrer dans les détails.
Soit s = {sn, n ∈ Z} un signal numérique. Sa transformée en z est la série
De Laurent :
D ´définie dans la couronne de convergence (´éventuellement vide) r1 < |z| < r2.
On sait d’après des résultats généraux sur les séries de Laurent que S est holomorphe dans
sa couronne de convergence. Inversement, ´étant donnée une fonction S holomorphe dans
une couronne
R1 < |z| < r2, elle admet un unique d´développement en série de Laurent. De plus, on a :
Le rayon de convergence ρ de la série entière 𝑧 → ∑ 𝑎𝑛𝑧𝑛
+∞
0 est donné par :
𝑙𝑖𝑚
𝑛→
sup
+∞
|𝑎𝑛| = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
𝑠𝑢𝑝 |
𝑎𝑛 + 1
𝑎𝑛
|
Le premier critère est le critère de Cauchy, le second est le critère de d’Alembert.
Pour un signal anti-causal :
𝑟1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
|𝑥(+∞)|1 +∞
⁄
= 0

9. On en d´déduit immédiatement la couronne de convergence de la transformée en z d’un
signal numérique :
Les bornes de la couronne de convergence de S sont données par :
𝑟1 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→
sup
+∞
|𝑎𝑛| ;
1
𝑟2
= 𝑙𝑖𝑚
𝑛→+∞
𝑠𝑢𝑝|𝑠−𝑛|
EXEMPLE : On dit qu’un signal numérique est causal si 𝑠𝑛= 0 pour tout n < 0. Inversement,
S est dit anti causal si 𝑠𝑛= 0 pour tout n ≥ 0. Supposons que s soit causal. Alors il est
évident 𝑟2
−1
= 0, de sorte que la transformée en z de s est bien d´définie dans le domaine
|z| > r1, c’est-à-dire à l’extérieur d’un cercle de rayon r1.
De même, si s est anti causal, r1 = 0, et S(z) est bien défini à l’intérieur du cercle de rayon 𝑟2.
Inversion de la transformation en z
Il existe plusieurs techniques permettant d’inverser une transformation en z. La plus simple
consiste à expliciter un d´développement en série de Laurent de la fonction S considérée. Le
d´développement en série de Laurent étant unique, ceci fournit directement une
transformée inverse.
Prenons l’exemple de la fonction :
𝑆(𝑧) =
𝑧
𝑧−𝑧0
; |𝑧| ≤ |𝑧0|
On peut alors écrire, pour |z| < |𝑧0|,
𝑆(𝑧) =
𝑧
𝑧−𝑧0
= −
𝑧
𝑧0
1
1−𝑧
𝑧0
⁄
=
𝑧
𝑧0
∑ (
𝑧
𝑧0
)
𝑛
∞
𝑛=0
= ∑ 𝑧0
𝑛
𝑧−𝑛
−1
𝑛=−∞
Ce qui, conjugue à l’unicité du développement en série de Laurent, fournit :
Une alternative consiste à utiliser la TFD. Soit S l’a transformée en z d’un signal s, et soit r un
Nombre tel que r1 < r < r2. Calculons :
On peut donc écrire :

10. Par un changement de variables complexes z = r ⅇⅈ𝜃
, on obtient donc :
𝑆𝑛 =
1
2𝑖𝛱
∮ 𝑆(𝑍)𝑍𝑛
ⅆ𝑧
𝑧
Ou C est un cercle centre sur l’origine du plan complexe, de rayon r ∈] r1, r2[.
On a généralement recours `a la m´méthode des résidus pour calculer de telles intégrales.
4. Situation Problème :
Des équations aux différence finies :
Les systèmes linéaires invariants décrits par une équation aux différence finies possèdent
une transformée en Z rationnelle :
= H(z)
On peut caractériser un système linéaire par :
.
TZ

11. Singularités de la Fonction de Transfert :
La fonction de transfert d'un filtre numérique est souvent représentée dans le domaine en Z
par une fraction rationnelle en 𝑧−1
.
Les pôles de cette fonction de transfert (les valeurs de z pour lesquelles le dénominateur
devient nul) sont cruciaux pour comprendre le comportement du filtre.
Représentation par les pôles et zéros :
Exemple :
Soit h(n) la réponse impulsionnelle de la fonction de transfert H(z) :
H(z) peut être représentée sous la forme d’un cercle modélisant la position des pôles et des
zéros dans le plan complexe.
Le rayon d’un système causal se trouve à l’extérieur d’un cercle. Par ailleurs s’il est stable
𝛴|ℎ(𝑛)| < ∞ puisque H(z)= ∑ ℎ
+∞
𝑛=−∞ (𝑛)𝑧−𝑛
Démonstration :
Pour un système stable l’entrée doit être bornée et la sortie aussi
Et on sait qu’ils sont liés avec un produit de convolution
Y(n)= ∑ 𝑥
+∞
𝑛=−∞ (𝑘)ℎ(𝑛 − 𝑘)
D’où le résultat

12. 5. Problématiques :
Choix de la RDC : La RDC est cruciale dans la transformation en Z. Les propriétés du signal ou
du système peuvent changer en fonction de la région de convergence choisie. Un choix
inapproprié peut conduire à des résultats incorrects.
Stabilité : La stabilité d'un système peut être analysée à l'aide de la transformation en Z. Un
système est stable si tous les pôles de sa fonction de transfert se trouvent à l'intérieur de la
RDC.
Inversion de la transformation en Z : L'inversion de la transformation en Z peut être
complexe et parfois impossible, en particulier lorsque la RC est mal définie.