CM3 - Transformée de Fourier

Mise en œuvre du TNS Page 1 sur 96
Novembre 2011.
Traitement Numérique du Signal
CM3 : Transformée de Fourier
Université du Havre, IUT du Havre
Département GEII

PPN 2008: MC-II3
Traitement du signal
Applications en GEII
Mise en œuvre
Test
DSP
CAN/CNA
TF, compression,
codage

Conversion Analogique-Numérique
 Représentation d'un signal
 Séries de Fourier
 Transformée de Fourier
 Temps-fréquence
 Exemples
 Transformée en Cosinus Discret
Plan

1. Représentation d’un signal

 Dualité temps/fréquence : Transformée de Fourier (TF)
t
s(t)
0
0
0
1
T
f
=
Traitement du Signal
f
|S(f)|
0
0
0
1
f
T
=
( )0( ) sin 2s t A f tπ= ( )0( )S f f fδ= −
Signal sinusoïdal : Signal Dirac: "Pic" à f = f0
TF
TFI

2. Composantes d'un signal

0 20 40 60 80 100
-2
0
2
4
6
8
t (ms)
x(t)
0 20 40 60 80 100
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )0 1 0( ) sin 2s t a a f tπ= +
0T
0f
( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + −
 Composante continue :
Signal : Signal Dirac : "Pic" à f = f0
0a
0 1a a+
0 1a a−
0a
1a
Composante continue
Composante fondamentale

0 20 40 60 80 100
-8
-6
-4
-2
0
2
t (ms)
x(t)
0 20 40 60 80 100
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )0 1 0( ) sin 2s t a a f tπ= +
0T
0a
0 1a a+
0 1a a−
0f
0a
1a
( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + −
 Composante continue :
Composante continue
Composante fondamentale

0 20 40 60 80 100
-8
-6
-4
-2
0
2
t (ms)
x(t)
0 20 40 60 80 100
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )0 1 0( ) cos 2s t a a f tπ= +
0T
 Dualité temps/fréquence : Influence de la phase
0a
0 1a a+
0 1a a−
0f
( )0 1 0( ) sin 2 / 2s t a a f tπ π= + +
Phase
0a
1a
( ) ( )0 1 0( )S f a f a f fδ δ= + −

3. Notion de phase

t
a
( )0 0sin 2a a f tπ=
t
a
( )0 0sin 2 ( )pa a f tπ τ= −
τ
0
( )0 0sin 2pa a f tπ ϕ= −
Temps τ
de propagation
Déphasage temporel :
0
2
2 f
T
π
ϕ π τ τ ωτ= = =
0
0
1
T
f
=
Déphasage

0 20 40 60 80 100
-10
-5
0
5
10
t (ms)
x(t)
0 50 100 150
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )
( )
0 1 0
2 0
( ) sin 2
sin 2 2
s t a a f t
a f t
π
π
= +
+
( ) ( )
( )
0 1 0
2 0
( )
2
S f a f a f f
a f f
δ δ
δ
= + −
+ −
Déphasage

0 50 100 150
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )
( )
0 1 0
2 0
( ) sin 2
sin 2 2 / 2
s t a a f t
a f t
π
π π
= +
+ +
( ) ( )
( )
0 1 0
2 0
( )
2
S f a f a f f
a f f
δ δ
δ
= + −
+ −
0 20 40 60 80 100
-10
-5
0
5
10
t (ms)
x(t)
Déphasage

0 50 100 150
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )
( )
0 1 0
2 0
( ) sin 2
sin 2 2
s t a a f t
a f t
π
π π
= +
+ +
( ) ( )
( )
0 1 0
2 0
( )
2
S f a f a f f
a f f
δ δ
δ
= + −
+ −
0 20 40 60 80 100
-10
-5
0
5
10
t (ms)
x(t)
Déphasage

0 50 100 150
0
1
2
3
4
5
f (Hz)|x(f)|
( )
( )
0 1 0
2 0
( ) sin 2
sin 2 2 3 / 2
s t a a f t
a f t
π
π π
= +
+ +
( ) ( )
( )
0 1 0
2 0
( )
2
S f a f a f f
a f f
δ δ
δ
= + −
+ −
0 20 40 60 80 100
-10
-5
0
5
10
t (ms)
x(t)
Déphasage

4. Séries de Fourier

 Décomposition en séries de Fourier :
( ) ( )( )0
0 0
1
( ) cos 2 sin 2
2
n n
n
a
s t a nf t b nf tπ π
+∞
=
= + +∑
( )
( )
0
0
1/
0 0
0
1/
0 0
0
2 ( )cos 2
2 ( )sin 2
f
n
f
n
a f s t nf t dt
b f s t nf t dt
π
π

=



=

∫
∫
 Coefficients de Fourier :
Décomposition en séries de Fourier
 Autre notation :
( )
0
( ) sin 2
n
n n n
n
s t c f tπ ϕ
→+∞
=
= −∑
( )
0
( ) sin 2 ( )
N
n n n bruit
n
s t c f t s tπ ϕ
=
= − +∑
( )
0
( ) sin 2
N
n n n
n
s t c nf tπ ϕ
=
= −∑
 Signal utile et bruit :
 Signal utile :
 Le bruit est le signal "non désiré".
 Le signal utile contient N composantes
harmoniques "utiles".

 Signal carré :
 Signal triangle :
 Signal dent de scie :
 Signal |Sinus| :
( )0
1
4 1
( ) sin 2 (2 1)
2 1n
s t n f t
n
π
π
+∞
=
= −
−
∑
( )
( )022
1
8 1
( ) sin 2 (2 1)
2 1n
s t n f t
n
π
π
+∞
=
= −
−
∑
( )
( )
1
0
1
12
( ) sin 2
k
n
s t nf t
n
π
π
+
+∞
=
−
= ∑
( ) ( )
( )0
1
2 4 1
( ) sin 2 2
2 1 2 1n
s t nf t
n n
π
π π
+∞
=
= −
− +
∑

( ) ( ) ( )0 0 0
4 1 1
( ) sin 2 sin 2 3 sin 2 5 ...
3 5
s t f t f t f tπ π π
π
 
= + + + ÷
 
( ) ( ) ( )0 0 02 2 2
8 1 1
( ) sin 2 sin 2 3 sin 2 5 ...
3 5
π
 
= + + + ÷
 
( ) ( ) ( )0 0 0
2 1 1
( ) sin 2 sin 2 2 sin 2 3 ...
2 3
π
 
= − + − ÷
 
( ) ( )0 0
2 4 1 1
( ) sin 2 2 sin 2 4 ...
1 3 3 5
s t f t f tπ π
π π
 
= − + + ÷
× × 
 Signal carré :
 Signal triangle :
 Signal |Sinus| :

Signal f = 0 f = f0 f = 2f0 f = 3f0
Sinus 0 1 0 0
Cosinus 0 1 0 0
Carré 0 4/π 0 4/(3π)
Triangle 0 8/π2
0 8/(3π)2
Dent de scie 0 2/π −1/π 2/(3π)
|Sinus| 2/π 0 −4/(3π) 0
 Synthèse :

 Fondamental
 Signal carré :
 h1 + h3
 h1+h3+h5
 h1+h3+h5+h7  h1+h3+…+h11  h1+h3+…+h15

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
-1
0
1
2
t (ms)
x(t)
0 0.5 1 1.5 2
0
0.5
1
1.5
f (kHz)
|x(f)|
0 0.5 1 1.5 2
-15
-10
-5
0
5
10
15
f (kHz)
φ(rad)
 Décroissance des harmoniques impairs en 1/n

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 0.5 1 1.5 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (kHz)
|x(f)|
0 0.5 1 1.5 2
-20
-10
0
10
20
f (kHz)
φ(rad)
 Décroissance des harmoniques impairs en 1/n2

 Fondamental
 Fondamental + h2
 Fondamental + h2 et h3
 Fondamental + h2 à h4
 Fondamental + h2 à h5

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
-2
-1
0
1
2
t (ms)
x(t)
0 0.5 1 1.5 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (kHz)
|x(f)|
0 0.5 1 1.5 2
-20
-10
0
10
20
f (kHz)
φ(rad)
 Décroissance des harmoniques pairs et impairs en 1/n

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
t (ms)
x(t)
0 0.5 1 1.5 2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (kHz)
|x(f)|
0 0.5 1 1.5 2
-20
-10
0
10
20
f (kHz)
φ(rad)
 Décroissance des harmoniques pairs en 1/((n−1)(n+1)) ≈ 1/n2

0 20 40 60 80 100
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t (ms)
x(t)
 Effet d’une troncature :
0 100 200 300 400 500
0
1
2
3
4
5
f (Hz)
|x(f)|
 Troncature à 90 % de l’amplitude

0 20 40 60 80 100
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t (ms)
x(t)
0 100 200 300 400 500
0
1
2
3
4
5
f (Hz)
|x(f)|

0 100 200 300 400 500
0
1
2
3
4
5
f (Hz)
|x(f)|
0 20 40 60 80 100
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
t (ms)
x(t)

5. Transformée de Fourier

Tout signal périodique (T) de puissance finie peut être décomposé en une somme de sinus
et de cosinus.
( )0
0 0
1
( ) cos( ) sin( )
2
n n
n
a
x t a n t b n tω ω
∞
=
= + +∑
/ 2
0
/ 2
2
( ).cos( ).
T
n
T
a x t n t dt
T
ω
−
= ∫
/ 2
0
/ 2
2
( ).sin( ).
T
n
T
b x t n t dt
T
ω
−
= ∫
1 (4/π)
1+ 3 (4/3π)
a0 = 0
1+ 3+5 (4/5π)
1+ 3+ 5 + 7 (4/7π)
Continu / Fondamental / Harmoniques
Séries de Fourier

Sinusoïde
Rectangle périodique
Triangle périodique
Dent de scie
{ } { }( ) : 0,1,2,... : 1,2,3...n nx t a n b n= = + =
Signaux périodiques

( ) ( ).exp( 2 ).X f x t j f t dtπ
+∞
−∞
= −∫
( ) ( ).exp( 2 ).x t X f j f t dfπ
+∞
−∞
= ∫
sin( / 2)
( ) .
/ 2
X A
ωτ
ω τ
ωτ
 
=  ÷
 
Signal "porte"

Signal "porte"

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (Hz)
Amplitude
Spectre
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
t (s)
Amplitude
Signal temporel
Signal "porte"
( )x t
( )X f

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
1
2
t (s)
Amplitude
Signal temporel
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-30
-20
-10
0
10
f (Hz)
Énergie(dB)
Spectre
Signal "porte"
( )x t
( )X f
Conservation
de l’énergie

Signaux "classiques"
( )tδ
0cos(2 )f tπ
0sin(2 )f tπ
( )0 0
1
( ) ( )
2
f f f fδ δ− + +
( )0 0
1
( ) ( )
2
f f f f
j
δ δ− − +
1
02j f t
e π
0( )f fδ −
( )fδ1
0( )t tδ − 02j ft
e π−
{ }( ) ( )X f TF x t={ }1
( ) ( )x t TF X f−
=
( )H t
1 1
( )
2 2
f
j f
δ
π
+
( )H t−
1 1
( )
2 2
f
j f
δ
π
−
+

0sin(2 ) ( )
T
f t tπ ∏ ( ) ( )( )0 0sinc ( ) sinc ( )
2
T
f f T f f T
j
π π− − +
{ }( ) ( )X f TF x t={ }1
( ) ( )x t TF X f−
=
( ) ( ) ( )sign t H t H t= − −
1
j fπ
( ) t
H t e α−
1
2j fα π+
| |t
e α−
2 2
2
(2 )f
α
α π+
( )
T
t∏ sin( )
. .sinc( )
fT
T T fT
fT
π
π
π
 
= ÷
 
. ( ) t
t H t e α−
( )
2
1
2j fα π+

{ }( ) ( )X f TF x t={ }1
( ) ( )x t TF X f−
=
( )e
n
t nTδ −∑ 1
ne e
n
f
T T
δ
 
− ÷
 
∑
( )
d
t
dt
δ 2j fπ
0sin(2 ) ( ) t
f t H t e α
π −
( ) ( )
0
2 2
0
2
2 2
f
j f f
π
α π π+ +
( )
T
tΛ ( )
2
2sin( )
. . sinc( )
2 2
T fT T
fT
fT
π
π
π
 
= ÷
 
2
0
0 0
1
2 2 ( )1
2
t
t t
j f t t
t
e e
σ π
πσ
 −
−  ÷ ÷ − 
2
0
0 0
1
2 2f
f f
j f t
e e
σ π
 −
 ÷−
 ÷
 
1
2
t
f
σ
πσ
=
( ).
t
t dtδ∫ 1
2j fπ

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
t (s)
Amplitude
Signal temporel
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (Hz)
Amplitude
Spectre
Signaux “sinus"
( )x t
( )X f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
t (s)
Amplitude
Signal temporel
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (Hz)
Amplitude
Spectre
( )x t
( )X f

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
t (s)
Amplitude
Signal temporel
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
f (Hz)
Amplitude
Spectre
0 5 10 15 20 25 30
( )x t
( )X f

6. Représentation temps-fréquence

 Représentation temps-fréquence :
 Nécessité imposée par la non-stationnarité des signaux
Temps-fréquence
 Principe:
1) Découpage en signaux élémentaires de courte durée: [ti; ti+30ms].
2) Transformée de Fourier rapide: FFT.
3) Concaténation des FFT et représentation en niveaux de couleurs.
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900
-100
-50
0
50
100
Time(ms)
Amplitude(mV)
0 5 10 15 20 25 30
-100
-50
0
50
100
Time (ms)
Amplitude(mV)
Fenêtre

Temps-fréquence
 Principe:
0 5 10 15 20 25 30
-100
-50
0
50
100
Time (ms)
Amplitude(mV)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-150
-100
-50
0
Magnitude(dB)
Frequency (Hz)
Global spectrum on a sample of 0.03 s (277 points at 11025 Hz)
280 Hzcf =
22 msit =
FFT

Temps-fréquence
 Principe:
3140 Hzcf =
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
-100
-50
0
50
100
Time (ms)
Amplitude(mV)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-150
-100
-50
0
Magnitude(dB)
Frequency (Hz)
600 msit =
FFT

Temps-fréquence
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-150
-100
-50
0
Magnitude(dB)
Frequency (Hz)
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
-150
-100
-50
0
Magnitude(dB)
Frequency (Hz)
2 600 msit =1 20 msit =
2 3140 Hzcf =
1 280 Hzcf =
 Principe:

 Application: Chirp (gazouillis, pépiement en anglais)
Temps-fréquence
 Détection de la fréquence instantanée: Fondamental et harmoniques caractéristiques.
( ) ( ).sin(2 )i cx t A t f tπ=
0
1
( ) ( '). '
t
c if t f t dt
t
= ∫avec
où Ai(t) est l'amplitude instantanée, fc(t) la pseudo-fréquence et fi(t) la fréquence instantanée.
 Exemple: Chirp linéaire
( )1 2 1
max
( )i
t
f t f f f
t
= + − ( )1 2 1
max
( )
2
c
t
f t f f f
t
= + −soit
2f
1f

 Application: Fréquence variable dans le temps (FM)
Temps-fréquence
 Détection de "formants": Fondamental et harmoniques caractéristiques.
minf
maxf

 Application: Analyse de la parole
Temps-fréquence
 Détection de "formants": Fondamental et harmoniques caractéristiques.

7. Illustrations temps-fréquence

Décomposition
 Représentation temporelle et spectrale :
 Spectre avec fondamental
et harmonique 2
 Spectre riche avec 12
fréquences harmoniques

La3 Diapason
 Représentation temporelle :
0 500 1000 1500 2000 2500
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t (ms)
x(t)
 Décroissance exponentielle
0 2 4 6 8 10
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t (ms)
x(t)
 Pseudo période: T = 2,3 ms
T

La3 Diapason
 Représentation spectrale :
0 200 400 600 800 1000
0
0.05
0.1
0.15
0.2
f (Hz)
|x(f)|
430 435 440 445 450
0
0.05
0.1
0.15
0.2
f (Hz)
|x(f)|
870 875 880 885 890
0
0.005
0.01
0.015
0.02
f (Hz)
|x(f)|
 Deux composantes "visibles":
1 440f Hz=
2 880f Hz=
 Fondamental: f1 = 440 Hz
 Harmonique 2: f2 = 880 Hz
 Amplitudes relatives: a2 / a1 = 10

La3 Diapason
 On parle de "dynamique" d’un signal:
 Sur la bande f = 0 à 5 kHz, la dynamique est de 110 dB.
 Harmonique 3: f3 = 3×440 = 1320 Hz
 Amplitudes relatives: a1 / a2 = 10 et a1 / a3 > 1000
0 1000 2000 3000 4000 5000
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f)|(dB)
20log
max( )
dB
x
x
x
 
=  ÷ ÷
 
 Echelle dB:
 Cette échelle permet de visualiser les
composantes de très grand rapport
d’amplitude.
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120 106
105
104
103
102
101
100
f3

La3 Diapason
 Représentation temps/fréquence :
 Décroissance exponentielle en échelle linéaire:
⇔ Décroissance linéaire en échelle dB:
 Harmoniques n: fn = n×440 Hz
1f
2f
3f

560 562 564 566 568 570
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
La3 Piano
 Troncature du signal  Pseudo période: T = 2,3 ms
T
500 1000 1500 2000
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)

430 435 440 445 450
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
f (Hz)
|x(f)|
860 870 880 890 900 910
0
0.01
0.02
0.03
0.04
f (Hz)
|x(f)|
0 1000 2000 3000 4000 5000
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
f (Hz)
|x(f)| La3 Piano
 Neuf composantes "visibles":
1 442f Hz=
2 886f Hz=
 Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,4

0 1000 2000 3000 4000 5000
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f)|(dB) La3 Piano
 Harmonique 9: f3 = 9×442 = 3980 Hz contre 4080 Hz mesurés.
 Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,4 et a1 / a9 = 50
20log
max( )
dB
x
x
x
 
=  ÷ ÷
 
 Echelle dB:
d’amplitude.
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120 106
105
104
103
102
101
100
f9

La3 Piano
 Harmoniques 1 à 7:nettement visibles.
1f
5f
3f
7f
9f
11f
 Décroissance variable en amplitude, selon t et f.

450 452 454 456 458 460
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
t (ms)
x(t)
La3 Violon
 Augmentation de l’amplitude
du signal avec le temps
 Pseudo période: T = 2,3 ms
T
0 500 1000 1500 2000
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
t (ms)
x(t)

0 1000 2000 3000 4000 5000
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
f (Hz)
|x(f)|
430 435 440 445 450
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
f (Hz)
|x(f)|
860 870 880 890 900 910
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
f (Hz)
|x(f)|
La3 Violon
 Neuf composantes "visibles":
1 442f Hz=
2 884f Hz=
 Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,1

0 1000 2000 3000 4000 5000
-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f)|(dB) La3 Violon
 Harmonique 11: f3 = 11×442 = 4860 Hz.
 Amplitudes relatives: a1 / a2 = 2,1 et a1 / a11 = 24
20log
max( )
dB
x
x
x
 
=  ÷ ÷
 
 Echelle dB:
d’amplitude.
0
-20
-40
-60
-80
-100
-120 106
105
104
103
102
101
100
f11

La3 Violon
 Harmoniques 1 à 11 nettement visibles.
1f
5f
3f
7f
9f
11f

 Recomposition temporelle et spectrale :
 Extrait original en bleu  Les 20 pics les plus
importants ont été retenus
La3 Violon
500 600 700 800 900 1000
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
t (ms)
x(t)
 Extrait recomposé en noir
0 1000 2000 3000 4000
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f)|(dB)

 Recomposition temporelle et spectrale :
 Extrait original en bleu  Les 20 pics les plus
importants ont été retenus
La3 Violon
 Extrait recomposé en noir
600 602 604 606 608 610
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
0.1
0.15
t (ms)
x(t)
0 500 1000 1500 2000
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f)|(dB)

Notes Violon
 Nombreux harmoniques nettement visibles.
 Harmoniques n: fn = n× f0

gamme.wav
 On distingue 8 paquets
d’ondes distincts
 On distingue 8 pics
0 500 1000 1500 2000
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 200 400 600 800
-100
-80
-60
-40
-20
0
f (Hz)
|x(f)|(dB)
LADO

gamme.wav
 Gamme complète.
 Fréquences fondamentales seulement.
 Dans l’ordre des fréquences croissantes.
DO
RE
MI
FA
SOL
LA
SI
DO

SOUND1.wav
 Rien de visible...  Nombreux pics
0 1000 2000 3000 4000 5000
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 1000 2000 3000 4000
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
f (Hz)
|x(f)|

SOUND1.wav
 Le signal ne semble pas périodique  Nombreux pics
0 200 400 600 800
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
f (Hz)
|x(f)|
1000 1050 1100 1150 1200
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)

SOUND1.wav
 Spectre large.
 Harmoniques.
 Croissance en fréquence.

SOUND68.wav
 Rien de visible...  Nombreux pics
0 500 1000 1500 2000 2500 3000
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
t (ms)
x(t)
0 1000 2000 3000 4000
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
f (Hz)
|x(f)|

 Nombreuses fréquences.
 Nombreux harmoniques.
 Décroissance en fréquence.
SOUND68.wav

0 100 200 300 400 500 600
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
SOUND999.wav
 Décroissance en fréquence  Décroissance exponentielle
0 1000 2000 3000 4000
0
0.05
0.1
0.15
f (Hz)
|x(f)|

SOUND999.wav
 Décroissance exponentielle
0 1000 2000 3000 4000
0
0.05
0.1
0.15
f (Hz)
|x(f)|
150 200 250
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
 Troncature du signal de 150
à 250 ms

 Une fréquence fondamentale.
 Harmoniques 2 et 3 visibles de 150 à 250 ms.
 Décroissance exponentielle en fréquence.
SOUND999.wav

LASER.wav
 Décroissance en fréquence  Spectre large
0 50 100 150
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 1000 2000 3000 4000
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.06
f (Hz)
|x(f)|

 Décroissance exponentielle en fréquence.
LASER.wav

 Calcul de fréquence moyenne :
 Décroissance exponentielle en fréquence.v
LASER.wav
0 20 40 60 80 100 120 140 160
0
1000
2000
3000
4000
5000
f
mean
(Hz)
Time (ms)
 La fréquence décroît de 4700 à 450 Hz.

accel.wav
 Croissance en fréquence  Spectre large
0 200 400 600 800 1000
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 1000 2000 3000 4000 5000
0
0.005
0.01
0.015
0.02
f (Hz)
|x(f)|

 Croissance linéaire en fréquence, de 310 à 4200 Hz.
accel.wav

 Effet Doppler :
 Décalage négatif lorsque la source s’approche :
accel.wav
 Décalage de la fréquence d ’émission.
 Décalage positif lorsque la source s’éloigne :
0v 0vθ
θ
0 02 cos
D
air
f v
f
c
θ
=
0 Df f f= +
0 Df f f= −

sirene.wav
 Rien de visible...  Spectre large
0 1000 2000 3000 4000
-1
-0.5
0
0.5
1
t (ms)
x(t)
0 200 400 600 800 1000
0
0.05
0.1
0.15
f (Hz)
|x(f)|

 Variation de fréquence, de 0 à 1000 Hz.
sirene.wav

8. Application: DCT

Transformée en cosinus discret
TCD (DCT): Contenu fréquentiel
 Décomposition dans une base de cosinus:
 Coefficients réels;
 Regroupement de l'énergie.
http://fr.wikipedia.org/wiki/Transformée_en_cosinus_discrète
 Principe:
 La transformée en cosinus discrète (DCT) est une
transformation proche de la transformée de Fourier discrète (DFT).
Le noyau de projection est un cosinus et crée donc des coefficients
réels, contrairement à la DFT, dont le noyau est une exponentielle
complexe et qui crée donc des coefficients complexes.
 La DCT [directe] la plus courante est la DCT type-II.
 La DCT [inverse] correspondante est la DCT type-III.
 Applications:
 La DCT est très utilisée en traitement numérique du
signal et spécialement en compression.
 Coefficients non nuls retenus : JPEG et MPEG.

 Composante continue;
 Harmoniques.
1 1
2 2 1 2 1
( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)
2 2
N N
C
m n
m n
P i j C i C j p m n i j
N N N
π π
= =
− −   
= − − ÷  ÷
   
∑∑
1 1
2 2 1 2 1
( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)
2 2
N N
C
i j
m n
p m n C i C j P i j i j
N N N
π π
= =
− −   
= − − ÷  ÷
   
∑∑
2
si 1
( ) 2
1 si 1
k
C k
k

=
= 
 >
 DCT [directe]:
 IDCT [inverse]:
 Coefficients:

 Harmoniques.
1 1
2 2 1 2 1
( , ) ( ) ( ) ( , ).cos ( 1) .cos ( 1)
2 2
N N
C
m n
m n
P i j C i C j p m n i j
N N N
π π
= =
− −   
= − − ÷  ÷
   
∑∑
 Application: DCT
DCT

 Harmoniques.
DCT
8×8 = 64 pixels 1+4 = 5 pixels
 Compression: !!! Négatif couleur !!!
 α = 5/64 = 7,8%.

 Quantification:
La quantification consiste à diviser cette matrice par une autre, appelée
matrice de quantification, et qui contient les coefficients choisis pour
atténuer les hautes fréquences, celles auxquelles l’œil est peu sensible.
 Opération de quantification [et filtrage]:
http://fr.wikipedia.org/wiki/JPEG
( , )
( , )
( , )
C
CQ
FQ
P i j
P i j fix
Q i j
 
=  ÷ ÷
 
( , ) 1 ( 1)FQQ i j i j FQ= + + −
 Facteur de qualité: FQ
 Exemple: FQ = 5
5
6 11 16 21 26 31 36 41
11 16 21 26 31 36 41 46
16 21 26 31 36 41 46 51
21 26 31 36 41 46 51 56
26 31 36 41 46 51 56 61
31 36 41 46 51 56 61 66
36 41 46 51 56 61 66 71
41 46 51 56 61 66 71 76
Q
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  

 Exemple:
 Résultats:
5
6 11 16 21 26 31 36 41
11 16 21 26 31 36 41 46
16 21 26 31 36 41 46 51
21 26 31 36 41 46 51 56
26 31 36 41 46 51 56 61
31 36 41 46 51 56 61 66
36 41 46 51 56 61 66 71
41 46 51 56 61 66 71 76
Q
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
p
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  
1020 184 0 217 0 325 0 924
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
CP
− − − − 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  
1020 176 0 210 0 310 0 902
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
.
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0
CQ FQP Q
− − − − 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  

 Exemple:
 Résultats:
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
0 255 0 255 0 255 0 255
p
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
5 251 3 253 2 252 4 250
QFQp
 
 
 
 
 
 =
 
 
 
 
 
  
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8
1 2 3 4 5 6 7 8
1
2
3
4
5
6
7
8

 Optimisation du calcul de la DCT: Algorithme de Chen
Le calcul de la DCT est optimisé pour le cas N = 8 (JPEG et MPEG)
en réécrivant la transformée sous forme matricielle et en factorisant la
décomposition, pour réduire le nombre de multiplications nécessaires.
http://fr.wikipedia.org/wiki/JPEG

 Optimisation du calcul de la DCT: Algorithme de Loeffler
 L'algorithme de Chen (qui calcule la DCT 1D à 8 points avec 16 multiplications)
est à la base des optimisations suivantes par factorisation des sous-matrices.
 L'algorithme de Loeffler est actuellement le plus efficace ayant été publié:
Loeffler :11 multiplications (DCT 1D à 8 points)
Chen : 16 multiplications (DCT 1D à 8 points)
Ces algorithmes se différencient seulement en termes de stabilité et de précision.
 Pour une DCT 2D 8×8:
Loeffler :112 multiplications (DCT 2D à 8x8 points)
Chen : 256 multiplications (DCT 2D à 8x8 points)
 Plus de détails: normes de compression JPEG et MPEG.
http://www.vtvt.ece.vt.edu/research/references_video_DCT.php

CM3 - Transformée de Fourier

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