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Université de Boumerdès Mai 2001
Faculté des sciences
Département de physique
EMD 2 : Mécanique Rationnelle
Durée : 1h 30 mn
Partie I : (10 pts)
1) Soit une plaque carrée de côté a , homogène, de masse m . Déterminer la matrice d’inertie au
point O, par rapport au repère Oxyz. Le centre de masse de la plaque est en O, l’axe (Ox)
étant perpendiculaire à cette dernière.
2) A l’aide de plaques similaires, on construit une boite cubique. On désigne par O2 , le centre de
masse de la boite.
a) Donner les coordonnées des centres de masse des faces de la boite, par rapport au repère
2222 zyxO ;
b) Déterminer la matrice d’inertie au point O2 , par rapport au repère 2222 zyxO .
On note par M la masse de la boite
c) Le repère 2222 zyxO est-il un repère principal d’inertie ?
d) Calculer le moment d’inertie de la boite par rapport à l’axe passant par les points O2 et F.
z
x
y
a
o
BA
E
F
G
z
x
y
C
D
H
O
2
Partie II : (10 pts)
On pratique deux petits trous dans les faces supérieure et inférieure AEFB et CDHG
respectivement, en leur centre, puis on enfile la boite sur une tige mince, sur laquelle elle peut
glisser et autour de laquelle elle peut tourner. Le système est en mouvement et est décrit par
les schémas ci-dessous.
On note
→−−−
= 2)( OOtr . On déduit les repères suivants :
),,,( 0000 zyxOR repère fixe ;
),,,( 1111 zyxOR repère lié à la tige ;
),,,( 2222 zyxOR repère lié à la boite.
Calculer :
a) La vitesse instantanée de rotation 0
2
→
Ω de la boite par rapport à ),,,( 0000 zyxOR
exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR et dans ),,,( 2222 zyxOR ;
b) La vitesse du point O2 par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ;
c) La vitesse du point M par rapport à ),,,( 2222 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ;
d) La vitesse d’entraînement du point M , ),,,( 2222 zyxOR étant le repère relatif, exprimée
dans ),,,( 1111 zyxOR ;
e) La vitesse du point M par rapport à ),,,( 0000 zyxOR et exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR
;
f) L’accélération du point O2 par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans
),,,( 1111 zyxOR ;
g) L’accélération du point M par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans
),,,( 1111 zyxOR ;
θ
θ
→
0y
→
0z
→→
10 , xx
→→
21 , zz
→
2x
→
2y
→
1y
2O
→
2x
→
1x
→
2y
→
1y
ϕ
ϕ
2O
M
Solution :
La plaque est un solide plan de masse 2
am σ= dont l’axe Ox est l’axe perpendiculaire à celle-ci
alors : zzyyxx III +=
Les axes Oy et Oz jouent le même rôle d’où : zzyy II =
Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie : 0=== yzxzxy III
On choisi un élément de masse dydzdm σ= de coordonnées (0 , y , z) tel que :
22
a
y
a
≤≤− ;
22
a
z
a
≤≤− On aura ainsi :
1212
.
..)(
242/
2/
2
2/
2/
2222 maa
dzzdydydzzdmzdmzxI
a
aS
a
aSS
yy =====+= ∫∫ ∫∫∫ −−
σ
σσ
1212
.
..)(
242/
2/
2/
2/
222222 maa
dzdyydydzydmydmyxI
a
aS
a
aSS
zz =====+= ∫∫ ∫∫∫ −−
σ
σσ
6
2
2
ma
IIII yyzzyyxx ==+=
Le tenseur d’inertie de la plaque en son centre O est :
















=
12
00
0
12
0
00
6
)(
2
2
2
ma
ma
ma
SIO
2.a. Coordonnées des centres d’inertie de chaque plaque formant la boite :
La boite est composée de six plaques identiques symétriques deux à deux par rapport au repère
),,,( 2222 zyxOR , 2O est aussi le centre d’inertie de la boite.
Les centres d’inertie des plaques ont pour coordonnées :






0,0,
2
:)(
a
ABCD ; 





− 0,0,
2
:)(
a
EFGH






2
,0,0:)(
a
AEFB ; 





−
2
,0,0:)(
a
DHGC






0,
2
,0:)(
a
BFGH ; 





− 0,
2
,0:)(
a
AEHD
2.b. Matrice d’inertie de la boîte dans le repère ),,,( 2222 zyxOR ;
Comme la boîte est cubique, alors tous les plans sont des plans de symétrie et tous les axes jouent
le même rôle. Nous aurons une matrice diagonale dont les éléments sont tous égaux.
On va procéder en cherchant les matrices d’inertie des plaques deux à deux.
Les plaques (ABCD) et (EFGH) ont les mêmes matrices d’inertie en leur centre d’inertie :















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00
0
12
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00
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2
2
2
ma
ma
ma
EFGHIABCDI GG , en utilisant le théorème de Huygens on déduit
leurs tenseurs d’inertie au point 2O .
























+






+==
22
22
2
22
212
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0
212
0
00
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a
m
ma
a
m
ma
ma
EFGHIABCDI OO
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
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



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2
2
2
22
ma
ma
ma
EFGHIABCDI OO
on déduit facilement par rotation des axes :



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









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0
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00
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2
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22
ma
ma
ma
AEHDIBFGCI OO
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ma
ma
ma
DHGCIAEFBI OO
)(2)(2)(2)( 2222 AEFBIBFGCIABCDIboiteI OOOO ++=
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


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



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+

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
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








+
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









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00
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0
6
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0
3
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2)(
2
2
2
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2
2
2
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ma
ma
ma
ma
ma
ma
ma
ma
ma
boiteIO

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





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
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3
5
0
00
3
5
)(
2
2
2
2
ma
ma
ma
boiteIO
La masse de la boite est donnée par : M = 6m ⇒
6
M
m = la matrice s’écrirait :
















=
18
00
0
18
5
0
00
18
5
)(
2
2
2
2
Ma
Ma
Ma
boiteIO
2.c. Le repère ),,,( 2222 zyxOR est-il un repère principal d’inertie ?
Comme tous les plans de ce repère sont des plans de symétrie et que tous les axes ont le même
rôle alors le repère ),,,( 2222 zyxOR est un repère principal d’inertie. La matrice étant diagonale
nous pouvons facilement le vérifier avec tous les axes.
En effet nous avons : )().( 22 boiteIxboiteI xxO =
→
de même pour les deux autres axes.
2.d. Moment d’inertie de la boîte par rapport à un axe ∆ passant par O2 et F.
Nous avons :









−
→−−
2/
2/
2/
2
a
a
a
FO , soit
→
u le vecteur unitaire porté par cet axe, il s’écrira :
)(
3
1
2
2
→→→
→−−
→
++−== kji
FO
FO
u
Le moment d’inertie de la boîte par rapport à un axe passant par O2 et F est donné par la
relation :
→→
∆ = uboiteIuI O
T
).(. 2
18
5
3
1
3
1
3
1
18
00
0
18
5
0
00
18
5
3
1
,
3
1
,
3
1 2
2
2
2
Ma
Ma
Ma
Ma
I =

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













−






















−=∆
18
5 2
Ma
I =∆ L’axe FO2 est aussi un axe principal d’inertie.
Parie II.
a) Vitesse instantanée de rotation 0
2
→
Ω de la boite par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée
dans ),,,( 1111 zyxOR et dans ),,,( 2222 zyxOR ;
11
0
1
1
2
0
2
→•→•→→→
−=Ω+Ω=Ω xz θϕ ; avec
221 sincos
→→→
−= yxx ϕϕ ;
21
→→
= kk







−
=++−=





−−=Ω
•
•
•
→•→•→•→→•→•→
ϕ
ϕθ
ϕθ
ϕϕθϕθϕϕθϕ sin
cos
sincossincos
2
222222
0
2
R
zyxyxz
b) Vitesse du point O2 par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ;
0
0
0
0
00
0
)( 2
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1
2
1
2
0
2
0





=





∧






−
+





=∧Ω+==
•
•
•
•
→−−→
→−−→−−
→
r
r
rr
OO
dt
OOd
dt
OOd
OV θ
θ
c) Vitesse du point M par rapport à ),,,( 2222 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ;
2
2
2
0)(
→
→−−
→
==
dt
MOd
MV car 22 RMO ∈
→−−
( il fixe dans ),,,( 2222 zyxOR )
d) Vitesse d’entraînement du point M, ),,,( 2222 zyxOR étant le repère relatif, exprimée dans
),,,( 1111 zyxOR ;







−
+
−
=





∧






−
+





=∧Ω+=
••
••
•
•
•
•
•→−−→
→−−
→−
ϕθ
ϕϕθ
ϕϕ
ϕ
ϕ
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θ
θ
sin2
cos2
sin2
0
sin2
cos2
0
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2
2
0
0
2
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)(a/r
)(a/
)(a/
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r
rMO
dt
OOd
MV
e) Vitesse absolue du point M par rapport à ),,,( 0000 zyxOR et exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR
;
0
2
0
2
20
)()()()(
→→→→
=+= MVMVMVMV
f) Accélération du point O2 par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR
;





−
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




∧






−
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



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•••
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•
•
••
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→−−→
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2
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1
1
2
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1
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01
2
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2
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θ
θθθ
θ
θθ
γ
rr
rr
Rr
r
R
R
r
rr
R
OV
dt
OVd
dt
OVd
O
g) Accélération du point M par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ;






∧Ω∧Ω+∧
Ω
+=
→−−−→→→−−−
→
→→
MOMO
d
OM 2
0
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)()( γγ

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


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

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



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−
=Ω∧Ω+
Ω
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θϕ
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


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

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
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


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

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





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••
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ϕ
ϕ
ϕ
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ϕ
θ
ϕ
ϕ
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)(a/
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θrr
a
θ
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θrθr
aa
(M)γ

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
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

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−−++
−−
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•••••••
••••••••
•••
→
ϕϕϕ
ϕϕϕϕϕ
ϕϕϕϕ
cossin
2
sin
2
sin
2
cos
2
2
cos
2
sin
2
2
22
2
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Emd2 mai 2001

  • 1. Université de Boumerdès Mai 2001 Faculté des sciences Département de physique EMD 2 : Mécanique Rationnelle Durée : 1h 30 mn Partie I : (10 pts) 1) Soit une plaque carrée de côté a , homogène, de masse m . Déterminer la matrice d’inertie au point O, par rapport au repère Oxyz. Le centre de masse de la plaque est en O, l’axe (Ox) étant perpendiculaire à cette dernière. 2) A l’aide de plaques similaires, on construit une boite cubique. On désigne par O2 , le centre de masse de la boite. a) Donner les coordonnées des centres de masse des faces de la boite, par rapport au repère 2222 zyxO ; b) Déterminer la matrice d’inertie au point O2 , par rapport au repère 2222 zyxO . On note par M la masse de la boite c) Le repère 2222 zyxO est-il un repère principal d’inertie ? d) Calculer le moment d’inertie de la boite par rapport à l’axe passant par les points O2 et F. z x y a o BA E F G z x y C D H O 2
  • 2. Partie II : (10 pts) On pratique deux petits trous dans les faces supérieure et inférieure AEFB et CDHG respectivement, en leur centre, puis on enfile la boite sur une tige mince, sur laquelle elle peut glisser et autour de laquelle elle peut tourner. Le système est en mouvement et est décrit par les schémas ci-dessous. On note →−−− = 2)( OOtr . On déduit les repères suivants : ),,,( 0000 zyxOR repère fixe ; ),,,( 1111 zyxOR repère lié à la tige ; ),,,( 2222 zyxOR repère lié à la boite. Calculer : a) La vitesse instantanée de rotation 0 2 → Ω de la boite par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR et dans ),,,( 2222 zyxOR ; b) La vitesse du point O2 par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ; c) La vitesse du point M par rapport à ),,,( 2222 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ; d) La vitesse d’entraînement du point M , ),,,( 2222 zyxOR étant le repère relatif, exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ; e) La vitesse du point M par rapport à ),,,( 0000 zyxOR et exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ; f) L’accélération du point O2 par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ; g) L’accélération du point M par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ; θ θ → 0y → 0z →→ 10 , xx →→ 21 , zz → 2x → 2y → 1y 2O → 2x → 1x → 2y → 1y ϕ ϕ 2O M
  • 3. Solution : La plaque est un solide plan de masse 2 am σ= dont l’axe Ox est l’axe perpendiculaire à celle-ci alors : zzyyxx III += Les axes Oy et Oz jouent le même rôle d’où : zzyy II = Les plans (xOz) et (yOz) sont des plans de symétrie : 0=== yzxzxy III On choisi un élément de masse dydzdm σ= de coordonnées (0 , y , z) tel que : 22 a y a ≤≤− ; 22 a z a ≤≤− On aura ainsi : 1212 . ..)( 242/ 2/ 2 2/ 2/ 2222 maa dzzdydydzzdmzdmzxI a aS a aSS yy =====+= ∫∫ ∫∫∫ −− σ σσ 1212 . ..)( 242/ 2/ 2/ 2/ 222222 maa dzdyydydzydmydmyxI a aS a aSS zz =====+= ∫∫ ∫∫∫ −− σ σσ 6 2 2 ma IIII yyzzyyxx ==+= Le tenseur d’inertie de la plaque en son centre O est :                 = 12 00 0 12 0 00 6 )( 2 2 2 ma ma ma SIO 2.a. Coordonnées des centres d’inertie de chaque plaque formant la boite : La boite est composée de six plaques identiques symétriques deux à deux par rapport au repère ),,,( 2222 zyxOR , 2O est aussi le centre d’inertie de la boite. Les centres d’inertie des plaques ont pour coordonnées :       0,0, 2 :)( a ABCD ;       − 0,0, 2 :)( a EFGH       2 ,0,0:)( a AEFB ;       − 2 ,0,0:)( a DHGC       0, 2 ,0:)( a BFGH ;       − 0, 2 ,0:)( a AEHD 2.b. Matrice d’inertie de la boîte dans le repère ),,,( 2222 zyxOR ; Comme la boîte est cubique, alors tous les plans sont des plans de symétrie et tous les axes jouent le même rôle. Nous aurons une matrice diagonale dont les éléments sont tous égaux.
  • 4. On va procéder en cherchant les matrices d’inertie des plaques deux à deux. Les plaques (ABCD) et (EFGH) ont les mêmes matrices d’inertie en leur centre d’inertie :                 == 12 00 0 12 0 00 6 )()( 2 2 2 ma ma ma EFGHIABCDI GG , en utilisant le théorème de Huygens on déduit leurs tenseurs d’inertie au point 2O .                         +       +== 22 22 2 22 212 00 0 212 0 00 6 )()( a m ma a m ma ma EFGHIABCDI OO                 == 3 00 0 3 0 00 6 )()( 2 2 2 22 ma ma ma EFGHIABCDI OO on déduit facilement par rotation des axes :                 == 3 00 0 6 0 00 3 )()( 2 2 2 22 ma ma ma AEHDIBFGCI OO                 == 6 00 0 3 0 00 3 )()( 2 2 2 22 ma ma ma DHGCIAEFBI OO )(2)(2)(2)( 2222 AEFBIBFGCIABCDIboiteI OOOO ++=
  • 5.                 +                 +                 = 6 00 0 3 0 00 3 2 3 00 0 6 0 00 3 2 3 00 0 3 0 00 6 2)( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ma ma ma ma ma ma ma ma ma boiteIO                 = 3 5 00 0 3 5 0 00 3 5 )( 2 2 2 2 ma ma ma boiteIO La masse de la boite est donnée par : M = 6m ⇒ 6 M m = la matrice s’écrirait :                 = 18 00 0 18 5 0 00 18 5 )( 2 2 2 2 Ma Ma Ma boiteIO 2.c. Le repère ),,,( 2222 zyxOR est-il un repère principal d’inertie ? Comme tous les plans de ce repère sont des plans de symétrie et que tous les axes ont le même rôle alors le repère ),,,( 2222 zyxOR est un repère principal d’inertie. La matrice étant diagonale nous pouvons facilement le vérifier avec tous les axes. En effet nous avons : )().( 22 boiteIxboiteI xxO = → de même pour les deux autres axes. 2.d. Moment d’inertie de la boîte par rapport à un axe ∆ passant par O2 et F. Nous avons :          − →−− 2/ 2/ 2/ 2 a a a FO , soit → u le vecteur unitaire porté par cet axe, il s’écrira : )( 3 1 2 2 →→→ →−− → ++−== kji FO FO u Le moment d’inertie de la boîte par rapport à un axe passant par O2 et F est donné par la relation : →→ ∆ = uboiteIuI O T ).(. 2
  • 6. 18 5 3 1 3 1 3 1 18 00 0 18 5 0 00 18 5 3 1 , 3 1 , 3 1 2 2 2 2 Ma Ma Ma Ma I =                 −                       −=∆ 18 5 2 Ma I =∆ L’axe FO2 est aussi un axe principal d’inertie. Parie II. a) Vitesse instantanée de rotation 0 2 → Ω de la boite par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR et dans ),,,( 2222 zyxOR ; 11 0 1 1 2 0 2 →•→•→→→ −=Ω+Ω=Ω xz θϕ ; avec 221 sincos →→→ −= yxx ϕϕ ; 21 →→ = kk        − =++−=      −−=Ω • • • →•→•→•→→•→•→ ϕ ϕθ ϕθ ϕϕθϕθϕϕθϕ sin cos sincossincos 2 222222 0 2 R zyxyxz b) Vitesse du point O2 par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ; 0 0 0 0 00 0 )( 2 0 1 2 1 2 0 2 0      =      ∧       − +      =∧Ω+== • • • • →−−→ →−−→−− → r r rr OO dt OOd dt OOd OV θ θ c) Vitesse du point M par rapport à ),,,( 2222 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ; 2 2 2 0)( → →−− → == dt MOd MV car 22 RMO ∈ →−− ( il fixe dans ),,,( 2222 zyxOR ) d) Vitesse d’entraînement du point M, ),,,( 2222 zyxOR étant le repère relatif, exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ;        − + − =      ∧       − +      =∧Ω+= •• •• • • • • •→−−→ →−− →− ϕθ ϕϕθ ϕϕ ϕ ϕ ϕ θ θ sin2 cos2 sin2 0 sin2 cos2 0 0 )( 2 0 2 2 0 0 2 )(a/r )(a/r )(a/ )(a/ )(a/ r rMO dt OOd MV e) Vitesse absolue du point M par rapport à ),,,( 0000 zyxOR et exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ; 0 2 0 2 20 )()()()( →→→→ =+= MVMVMVMV
  • 7. f) Accélération du point O2 par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ;      − +=      ∧       − +      += ∧Ω+== ••• •••• • • • •• •••• →−−→ →−−→−− → 2 11 1 1 2 00 1 2 01 2 00 2 0 2 00 0 0 0 )( )()( )( θ θθθ θ θθ γ rr rr Rr r R R r rr R OV dt OVd dt OVd O g) Accélération du point M par rapport à ),,,( 0000 zyxOR exprimée dans ),,,( 1111 zyxOR ;       ∧Ω∧Ω+∧ Ω += →−−−→→→−−− → →→ MOMO d OM 2 0 2 0 22 0 2 0 2 00 dt )()( γγ        − =       − ∧       − +       − =Ω∧Ω+ Ω = Ω •• •• •• • •• •• •• →→ →→ ϕ θϕ θ ϕ θθ ϕ θ 0 0 00 dtdt 1111 0 2 0 1 0 2 10 2 0 RRRR dd