Le document traite des concepts fondamentaux de la géométrie des masses, y compris le centre de gravité et les théorèmes de Guldin. Il aborde également les moments et produits d'inertie d'un solide ainsi que les lois de la dynamique, incluant la définition de torseurs cinétiques et dynamiques. En outre, il présente les relations entre le moment cinétique et le moment dynamique dans le cadre du mouvement des solides.

1. 1
RESUME'
GEOMETRIE DES MASSES
I. Centre de gravité
Le centre de gravité du solide (S), noté G, est le barycentre des éléments de
masse dm. Il vérifie donc : 0
)
(
³
 S
M
dm
GM
Pour connaître la coordonnée de G : ³
 )
(
1
S
M
dm
OM
m
OG
x le centre d’inertie du solide (S) est un point lié à (S).
x le centre de gravité G d’un ensemble de n solides dont on connaît les masses
et les centres de gravité (mi, Gi) avec i=1..n, alors :
¦
n
i
i
i OG
m
OG
m
1
.
. où ¦
n
i
i
m
m
1
soit :
°
°
°
¯
°
°
°
®
­
³
³
³



)
(
)
(
)
(
1
1
1
S
M
G
S
M
G
S
M
G
zdm
m
z
ydm
m
y
xdm
m
x
OG
x Si (S) est homogène et admet un élément de symétrie (plan, axe, centre) son centre de gravité appartient à cet
élément de symétrie.
I.2.4. Théorèmes de Guldin
1er
théorème
L’aire A de la surface engendrée par une courbe plane tournant autour d’un
axe de son plan, ne la traversant pas, est égale au produit de la longueur L de
la courbe par le périmètre du cercle décrit par son centre de gravité :
L
r
A G
S
2
2éme
théorème
Le volume engendré par une surface plane tournant autour d’un axe de son
plan, ne la traversant pas, est égal au produit de l’aire (A) de la surface par la
longueur du périmètre du cercle décrit par son centre de gravité :
G
r
A
V S
2
.
II. Moments et produits d’inertie d’un solide
II.1 Définitions
x Cas d’un point matériel P de masse m:
x Moment d’inertie de P par rapport à un point, à un axe ou à un plan : I=m.d²
avec d est la distance séparant P au point, à l’axe ou au plan
x Produit d’inertie de P par rapport à 2 plans S1 et S2 : J=m.d1 d2
avec d1 et d2 sont les distances séparant P respectivement à S1 et S2
2
x Cas d’un solide:
Produit d’inertie d’un
solide (S) par rapport à
un plan (S)
Moment d’inertie d’un
solide (S) par rapport à
un axe (')
Moment d’inertie
d’un solide (S) par
rapport à un point (A)
Produit d’inertie d’un solide (S)
par rapport à deux plans S1 et S2
de normales n1 et n2
³S
M
dm
d
S
I 2
)
/
( S ³

'
S
M
dm
d
S
I 2
)
/
( ³
S
M
dm
d
A
S
I 2
)
/
( ³
S
M
dm
d
d
n
S
I 2
1
2
1 )
n
,
O,
/
(
II.2. Moments et produits d’inertie par rapport à un repére (R)=(O, z
y
x ,
, )
Considérons un solide (S) dans un repère O.N.D. (R)=(O, z
y
x ,
, )
Calculons les moments d’inertie et les produits d’inertie
de (S) par rapport aux axes du repère (R):
³
³
³
³
³
³
³
³








S
M
Oyz
S
M
Oxz
S
M
Oxy
S
M
Oz
S
M
Oy
S
M
Ox
S
M
S
M
O
yzdm
I
xzdm
I
xydm
I
dm
y
x
I
dm
z
x
I
dm
z
y
I
dm
z
y
x
dm
OM
I
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
.
où x,y,z sont les coordonnées du point courant M variant dans (S).
II.3. Matrice d’inertie
La matrice d’inertie du solide (S) au point O, relativement à la base ( z
y
x ,
, ) est telle que :
avec :
@
)
,
,
,
(
)
,
,
,
(
)
(
z
y
x
O
z
y
x
O
Oz
Oyz
Oxz
Oyz
Oy
Oxy
Oxz
Oxy
Ox
O
C
D
E
D
B
F
E
F
A
I
I
I
I
I
I
I
I
I
S
J
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
Attention : La matrice d’inertie est toujours calculée dans une base liée au solide !
Le moment d’inertie du solide (S) par rapport à un axe (') passant par un point O et de vecteur directeur unitaire u
est: @u
S
J
u
S
I O .
)
(
.
)
/
( '

2. 3
II.4. Théorèmes de Huyghens
Les formules de Huyghens permettent de calculer les inerties par rapport à un système d’axes quand on connaît les
inerties par rapport à l’autre système d’axes.
avec dGx , dGy et dGz sont les distances séparant le
centre de gravité G respectivement aux axes (Ox),
(Oy) et (Oz).
On considère un solide (S) dont le centre de gravité est désigné
par G et deux systèmes d’axes parallèles
(O, z
y
x ,
, ) et (G, z
y
x ,
, ).
Soient (xG,yG,zG) les coordonnées de G dans (O, z
y
x ,
, ).
°
°
°
°
¯
°
°
°
°
®
­
G
G
Gyz
Oyz
G
G
Gxz
Oxz
G
G
Gxy
Oxy
Gz
Gz
G
G
Gz
Oz
Gy
Gy
G
G
Gy
Oy
Gx
Gx
G
G
Gx
Ox
z
y
m
I
I
z
x
m
I
I
y
x
m
I
I
md
I
y
x
m
I
I
md
I
z
x
m
I
I
md
I
z
y
m
I
I
.
.
.
.
.
.
)
(
)
(
)
(
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Remarque : On constate que Gz
Oz
Gy
Oy
Gx
Ox I
I
et
I
I
I
I !
!
! , ; c’est donc que l’inertie du solide par rapport à un
axe passant par son centre de gravité est minimale.
II.5. Base principale d’inertie
Il existe toujours, en tout point, au moins une base orthonormée directe, appelée base principale d’inertie, dans laquelle
la matrice d’inertie est diagonale (produits d’inertie nuls).
Soit, par exemple, ( 1
1
1 ,
, z
y
x ) la base principale d’inertie de la matrice d’inertie du solide (S) au point A. Dans cette
base la matrice d’inertie est de la forme
@
)
,
,
( 1
1
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
)
(
z
y
x
Az
Ay
Ax
A
I
I
I
S
J
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
Propriétés:
x Les axes (A,x1),(A,y1) et (A,z1) sont appelés axes principaux d’inertie du solide (S) au point A.
x Les moments d’inertie 1
Ax
I , 1
Ay
I et 1
Az
I sont appelés moments principaux d’inertie du solide (S) au point A.
x Les moments principaux d’inertie sont les valeurs propres de la matrice d’inertie.
x L’axe normal à un plan de symétrie matérielle du solide (S) est un axe principal d’inertie.
x Si par exemple (A,x,y) est un plan de symétrie matérielle alors l’axe (A,z) est un axe principal d’inertie :
0
Ayz
Axz I
I :
@
)
,
,
(
0
0
0
0
)
(
z
y
x
Az
Ay
Axy
Axy
Ax
A
I
I
I
I
I
S
J
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
Ÿ
x Si l’un des axes du repère (R) est un axe de symétrie matérielle alors la base de (R) est une base principale
x d’inertie. Si par exemple (A,z) est un axe de symétrie matérielle alors I
I
I Ay
Ax : @
)
,
,
(
0
0
0
0
0
0
)
(
z
y
x
Az
A
I
I
I
S
J
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
4
II.6. Moments d’inerties usuelles

3. 5
CINETIQUE
III. Torseur cinétique
III.1. Définitions
Cas du point matériel (rappel) Soit M un point matériel de masse (m) en mouvement dans le repère (R) à
l’instant t à la vitesse )
/
( R
M
V , on définit :
x La quantité de mouvement ou résultante cinétique:
)
/
(
.
)
/
( R
M
V
m
R
M
Rc
x Le moment cinétique du point M par rapport à un point A
quelconque : )
/
(
.
)
/
( R
M
V
m
AM
R
M
A š
V
Cas du solide indéformable Soit (S) un solide de masse (m) en mouvement dans le repère (R). Le torseur
cinétique du solide (S) par rapport à (R) est :
^ `
A
S
M
S
M
A
A
c
A
c
dm
R
S
M
V
AM
dm
R
S
M
V
R
S
R
S
R
R
S
T
°
¿
°
¾
½
°
¯
°
®
­

š

°
¿
°
¾
½
°̄
°
®
­
³
³


)
/
(
.
)
/
(
)
/
(
)
/
(
)
/
(
V
x )
/
( R
S
Rc est la quantité de mouvement ou appelée aussi résultante
x
cinétique du solide (S) par rapport à (R)
x )
/
( R
S
A
V est le moment cinétique du solide(S) par rapport à (R) en un point A
III.2. Résultante cinétique
La résultante cinétique du solide – ou sa quantité de mouvement – dans son mouvement dans (R) est égale au produit
de sa masse par la vitesse de son centre de gravité : )
/
(
.
)
/
( R
S
G
V
m
R
S
Rc 
III.3. Moment cinétique
x Moment cinétique du solide (S) en un point A de ce solide :
@ )
/
(
)
/
(
.
)
(
)
/
( R
S
A
V
AG
m
R
S
S
J
R
S A
A 
š
:
V
avec @
)
(S
JA et )
/
( R
S
: sont exprimés dans une base lié au solide (S).
x Cas particuliers
x Si A=G : @ )
/
(
.
)
(
)
/
( R
S
S
J
R
S G
G :
V
avec @
)
(S
JG et )
/
( R
S
: sont exprimés dans une base lié au solide (S).
x Si A est fixe dans (R) : @ )
/
(
.
)
(
)
/
( R
S
S
J
R
S A
A :
V
x Si (A, z ) est un axe principal d’inertie et z
R
S
x
: T
)
/
( : )
/
(
.
)
/
( R
S
I
R
S Az
A :
V
x Relation entre les Moments cinétiques entre deux points : AB
R
S
R
R
S
R
S c
A
B š
)
/
(
)
/
(
)
/
( V
V
x Torseur cinétique d’un ensemble matériel
Soit (E) un ensemble matériel de n solides (Si), avec i=1..n, le torseur cinétique de l’ensemble (E) est simplement la
somme des torseurs de chacun des solides écrits au même point :
6
^ ` ^ `
¦
n
i
A
i
c
A
c R
S
T
R
E
T
1
)
/
(
)
/
(
°
°
¯
°
°
®
­

Ÿ
¦
¦
n
i
i
A
A
n
i
i
i
i
c
R
S
R
E
R
S
G
V
m
R
1
1
)
/
(
)
/
(
)
/
(
V
V
Remarque : Pour calculer un moment cinétique on se pose 2 questions :
x le système est il un solide ou un ensemble de solides ? si c’est un ensemble de solides le moment
cinétique de chaque solide doit être calculé seul puis transportés tous vers un même point et enfin on
fait la somme.
x Est ce qu’on travaille en un point appartenant à ce solide ? Si non on doit faire le calcul dans un point
appartenant au solide puis faire le changement de point.
IV. Energie cinétique d’un Solide S en mouvement quelconque
IV.1. Définition : dm
R
S
M
V
R
S
E
S
M
C .
)
/
(
2
1
)
/
(
2
³

ou encore : ^ ` ^ `
)
/
(
)
/
(
2
1
)
/
( R
S
R
S
T
R
S
E G
G
C
C -
Les torseurs cinétiques et cinématiques seront calculés au même point, de préférence G.
d’où : )
/
(
)
/
(
2
1
)
/
(
2
1
)
/
(
2
R
S
R
S
R
S
G
V
m
R
S
E G
C
:
x
 V
IV.2. Energie cinétique d’un ensemble matériel : ¦
n
i
i
C
C R
S
E
R
E
E
1
)
/
(
)
/
(
DYNAMIQUE
V. Torseur dynamique
V.1. Définitions
Cas du point matériel (rappel)
Soit P un point matériel de masse M en mouvement dans le repère (R) à l’instant t à
l’accélération )
/
( R
M
J , on définit :
x La résultante dynamique (ou force d’inertie) : )
/
(
.
)
/
( R
M
m
R
M
F d J
x Le moment dynamique par rapport à un point A quelconque :
)
/
(
.
)
/
( R
M
m
AM
R
M
A J
G š
Cas du solide indéformable
Soit (S) un solide en mouvement dans le repère (R), on définit le torseur dynamique
par : ^ `
A
S
M
S
M
A
A
d
A
d
dm
R
S
M
AM
dm
R
S
M
R
S
R
S
F
R
S
T
°
°
¿
°
°
¾
½
°
°
¯
°
°
®
­

š

°
¿
°
¾
½
°̄
°
®
­
³
³


.
)
/
(
.
)
/
(
)
/
(
)
/
(
)
/
(
)
(
)
(
J
J
G

4. 7
x )
/
( R
S
Fd est appelé la résultante dynamique (ou force d’inertie) du solide (S) par rapport à (R)
x )
/
( R
S
A
G est appelé le moment dynamique du solide (S) par rapport à (R) au point A quelconque :
V.2. Résultante dynamique
La résultante dynamique d’un solide (S) est égale au produit de la masse par l’accélération du centre de gravité. :
)
/
(
)
/
( R
S
G
m
R
S
F d 
J
V.3. Moment dynamique
On montre que le moment dynamique peut être calculé à partir du moment cinétique par la formule :
@ )
/
(
)
/
(
)
/
(
)
/
(
/
R
S
G
V
m
R
S
A
V
R
S
dt
d
R
S A
R
A 
š

V
G
Attention : Si )
/
( R
S
A
V n’est pas exprimé dans (R) mais dans une base (R’), alors :
@ @ )
/
(
)
/
'
(
)
/
(
)
/
(
'
/
/
R
S
R
R
R
S
dt
d
R
S
dt
d
A
A
R
A
R
V
V
V š
:
9 Cas particuliers:
Le moment dynamique se réduit à la dérivée du moment cinétique dans les cas suivants :
x La vitesse du point A est nulle : 0
)
/
(  R
S
A
V Ÿ @
)
/
(
)
/
(
/
R
S
dt
d
R
S A
R
A V
G
x La vitesse de A est parallèle à celle de G : )
/
(
//
)
/
( R
S
G
V
R
S
A
V 
 Ÿ @
)
/
(
)
/
(
/
R
S
dt
d
R
S A
R
A V
G
x A est confondu avec G : @
)
/
(
)
/
(
/
R
S
dt
d
R
S G
R
G V
G
x Si (A, z ) est un axe principal d’inertie et z
R
S
x
: T
)
/
( : @ )
/
(
.
)
/
(
/
/
R
S
dt
d
I
R
S
dt
d
S
Az
A
S
:
V
9 Relation entre les moments dynamiques en deux points A et B : AB
R
S
F
R
S
R
S d
A
B š
)
/
(
)
/
(
)
/
( G
G
9 Torseur dynamique d’un ensemble matériel
Soit (E) un ensemble matériel de n solides (Si), avec i=1..n, le torseur dynamique de l’ensemble (E) est simplement la
somme des torseurs dynamiques de chacun des solides écrits au même point:
^ ` ^ `
¦
n
i
A
i
d
A
d R
S
T
R
E
T
1
)
/
(
)
/
(
°
°
¯
°
°
®
­

Ÿ
¦
¦
n
i
i
A
A
n
i
i
i
i
d
R
S
R
E
R
S
G
m
R
1
1
)
/
(
)
/
(
)
/
(
G
G
J
PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA DYNAMIQUE
VI. Principe fondamental de la dynamique
VI.1. Hypothèse d’un espace absolu
x Isaac Newton fait l’hypothèse d’un espace dont la structure Euclidienne est indépendante de la présence des
corps matériels :
L’espace absolu, sans relation aux choses extérieures, demeure toujours similaire et immobile .
x Les référentiels en mouvement rectiligne uniforme par rapport au repère absolu sont dits Galiléens.
x Tous les repères Galiléens sont en mouvement rectilignes uniformes uns par rapport aux autres.
x En pratique, on considère qu’un repère calé sur des étoiles fixes de la Galaxie constitue un repère Galiléen.
8
x Pour la plupart des applications on considérera qu’un référentiel lié à la Terre constitue une bonne
approximation d’un système Galiléen.
VI.2. Définition :
Dans un repère Galiléen (R), le torseur des actions mécaniques extérieures appliquées à un solide est égale au torseur
dynamique de ce solide dans son mouvement par rapport à (R) :
^ ` ^ `
)
/
(
)
( R
E
T
E
E
T d
o Ÿ
A
A
d
A
A R
S
R
S
R
E
E
M
E
E
R
°
¿
°
¾
½
°̄
°
®
­
°
¿
°
¾
½
°̄
°
®
­
o
o
)
/
(
)
/
(
)
(
)
(
G
VI.3. Principe de la résultante dynamique
La résultante )
( E
E
R o des forces extérieures agissant sur un ensemble de solide (S) est égale à la résultante
dynamique )
/
( R
E
F d :
)
/
(
)
( R
E
R
E
E
R d
o si le repère (R) est Galiléen
Autre énoncé (dit de la conservation de la quantité de mouvement) :
La quantité de mouvement d’un ensemble de solides (S) isolé de toute action extérieure est constante.
@ 0
)
/
( R
S
R
dt
d
c si le repère (R) est Galiléen
VI.4. Principe du moment dynamique
Le moment des forces agissant sur un ensemble de solide (E) est égale au moment dynamique galiléen.
)
/
(
)
( R
E
E
E
M A
A G
o si le repère (R) est Galiléen
Autre énoncé (dit de la conservation du moment cinétique) :
Le moment cinétique d’un ensemble de solides (S) isolé de toute action extérieure est constant.
@ 0
)
/
( R
S
dt
d
A
V si le repère (R) est Galiléen
PUISSANCES ET ENERGIES
VII. 1. Puissance développé par une action mécanique extérieure appliquée sur un solide (S)
)
/
(
)
/
( R
S
ext
F
W
R
S
ext
F
P
dt
d
o
o
x )
/
( R
S
ext
F
W o : Travail de l’action mécanique extérieure.
^ ` ^ `
)
/
(
)
(
2
1
)
/
( R
S
S
F
T
R
S
ext
F
P A
A
ext -
o
o
Ÿ )
/
(
)
(
)
/
(
)
(
)
/
( R
S
S
ext
F
M
R
S
A
V
S
ext
F
R
R
S
ext
F
P A :
x
o

x
o
o
x Si P0 : Puissance motrice
x Si P0 : Puissance résistante
VII.2. Théorème de l'énergie cinétique
La somme des puissances des forces extérieures et des forces intérieures (frottements internes) fournies et/ou dissipées
par un système est égale à la variation par rapport au temps de l'énergie cinétique :
dt
R
S
dE
R
S
F
P
R
S
ext
F
P C )
/
(
)
/
int
(
)
/
( o
o ¦
¦
View
publication
stats
View
publication
stats