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Campus centre




                           Chapitre 4

                 Caractéristiques géométriques de la
                             surface plane :


05/04/2013                                             1
Campus centre
                              plan
        Centre de gravité,

        Moment statique,

        Moments quadratiques




05/04/2013                           2
Centre de gravité
 Campus centre

     Soit une section plane d’aire S définie dans un repère orthonormé Oxy.

       Les coordonnées du centre de gravité G sont définies par :

                                      x.dS            y.dS
                                     S               S
                          XG                   YG
                                         S               S

       Si la section S peut être décomposée en sous-sections
       simples, d’aires connues Si et de centres de gravités connus (xGi
       et yGi) alors :
                               n                      n
                                     Si .xGi                 Si . yGi
                               i 1                   i 1
                         XG                    YG
                                     S                       S

05/04/2013                                                                 3
Calcul du Centre de gravité
 Campus centre


      y
                 10 mm

                   2
                            50 mm
    20                 G

             1              10 mm
    O                               x
                 50 mm

                       xG




05/04/2013                                                 4
Moment statique
 Campus centre


      Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment statique
      élémentaire par rapport à l’axe Ox est la quantité :
                                     d   x   Y.dS
                 Pour l’ensemble de la section :


                          x      y.dS        soit    x   S.YG
                                S


                   De même :



                           y        x.dS      soit   y   S.XG
                                S




05/04/2013                                                        5
Moment statique
 Campus centre


      Le moment statique d’une section par rapport à un axe est égal
      au produit de l’aire de la section par la distance entre son
      centre de gravité et l’axe.


       si la section S peut être décomposée n en sous-sections
      simples, d’aires connues Si et de c.d.g connus (xGi et yGi) alors :


                                      n

                                x          Si .yGi
                                     i 1


                                     n

                                y          Si .x Gi
                                     i 1
05/04/2013                                                                  6
Moment statique
 Campus centre


                 S


                 G
                                          G
   d
                                    d
                     Axe A
                                              Axe A




05/04/2013                                            7
Moments quadratiques
 Campus centre


      Moment quadratique par rapport à un axe
      Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment
      quadratique élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par
      définition, la quantité :
                            dI         Y².dS
                                  Ox


           Ce qui donne pour l’ensemble de la section :

                              IOx       y².dS
                                       S


                 De même :


                              IOy          x².dS
                                       S
05/04/2013                                                  8
Campus centre      Moments quadratiques


• Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe Δ est égal
  au moment d’inertie de ce corps par rapport à un axe ΔG
  parallèle à Δ passant par le centre de gravité augmenté du
  produit




   •Le moment quadratique est aussi appelé moment d’inertie de
   la section



05/04/2013                                                    9
Moments quadratiques
 Campus centre




      Remarque:
      Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments
      quadratiques connus IOxi et IOyi, alors:



                        n                               n
                 I Ox         I Oxi              I Oy         I Oyi
                        i 1                             i 1




05/04/2013                                                            10
Moments quadratiques
 Campus centre

      Remarque :
      La section peut être décomposée en n sous-sections Si de centre
      de gravité Gi et de moment quadratique IGix ou IGiy connus:



                 n                                  n
 I Gx                I G i x Si . YGi YG ²   I Gy         I G i y Si . X Gi X G ²
             i 1                                    i 1




05/04/2013                                                                          11
Moments quadratiques
 Campus centre

      Moment quadratique par rapport à un couple d’axe
      Ce moment quadratique est aussi appelé moment produit.
      Pour un élément dS, le moment produit élémentaire par rapport
      aux axes Ox et Oy est par définition la quantité:
                                 dIOxy    X.Y.dS

      Ce qui donne pour l’ensemble de la section:     I Oxy   x.y.dS
                                                              S


      Théorème de Huygens:       I Oxy   I Gxy S.X G .YG




05/04/2013                                                             12
Moments quadratiques
 Campus centre

      Calculs pratiques :
       Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de
      moments produits connus IOxyi, alors:
                                           n
                                   I Oxy         I Oxyi
                                           i 1


       Si on cherche le moment produit d’une section par rapport à
      son centre de gravité et que celle-ci peut être décomposée en n
      sous-sections de c.d.g. Gi connus et de moments produits par
      rapport à leur c.d.g. connus IGixy, alors:

                            n
                 I Gxy          I G i xy Si . X Gi X G . YGi YG
05/04/2013               i 1                                            13
Moments quadratiques
 Campus centre
       Moment quadratique par rapport à un point
      Pour un élément dS, à une distance              de O,le moment quadratique
      polaire élémentaire par rapport à ce point est par définition la
      quantité:
                              dIo       ρ ².dS



       Ce qui donne pour l’ensemble de la section:

                         Io             ².dS
                                    S


Remarque: on peut écrire            ² x² y²           soit: I o       x².dS       y ².dS
                                                                  S           S


Finalement, on obtient:        Io       I Ox   I Oy
05/04/2013                                                                          14
Moments quadratiques
 Campus centre
      III.3 Moment quadratique par rapport à un point
      Changement d’origine (Théorème de Huygens)

                                        Io   I Ox   I Oy

                 Soit:

                         Io     I Gx S.YG ²         I Gy S.X G ²

                 ou:
                          Io     I Gx    I Gy S. X G ² YG ²

                 Finalement, on obtient:
                                    Io IG S. OG ²
05/04/2013                                                         15
Moments quadratiques
 Campus centre

Remarques
Les moments quadratiques s’ajoutent et se retranchent. Cette propriété permet
une détermination aisée dans le cas de surfaces composées d’éléments simples.




                         1                  1                   1


                                2                 2             2




05/04/2013
                             [1]+[2]        [1]+[2]           [1]-[2]    16
Moments quadratiques
 Campus centre
                 Moments quadratiques d’axes concourants
Rotations d’axes
Soit la section plane S, et deux systèmes d’axes Oxy et OXY obtenu par
une rotation d’angle .
                                              Les relations liant les coordonnées dans les
          y
                              (S)             deux repères sont:

                         dS                              X x.cosθ y.sinθ
      y
                                                         Y  x.sinθ y.cos θ
  Y                      X                    Calculons le moment quadratique / OX :
                                         x
      O              x
                        IOX           Y².dS          - x.sinθ y.cosθ ².dS
                                     S           S

                  IOX                                             θ
                                    x².sin²θ 2.xy.sinθ.cosθ y².cos² .dS
05/04/2013                     S                                                     17
Moments quadratiques
 Campus centre
Rotations d’axes

             IOX   sin²θ x².dS cos²θ             y².dS 2sinθcosθ xy.dS
                           S                     S                     S

      Ce qui nous donne :

                   IOX =sin²θ.IOy +cos²θ.IOx -2.sinθ.cosθ.IOxy

      En passant à l’angle double :
                 1 cos 2                    1 cos 2                        sin 2
  cos ²                        ; sin ²                    ; sin .cos
                    2                          2                              2
      On obtient :
                           IOx +IOy       IOx -IOy
                   IOX =              +              .cos2θ-IOxy .sin2θ
                                2            2
05/04/2013                                                                         18
Moments quadratiques
 Campus centre
Rotations d’axes
De même, pour le moment quadratique / OY, on obtient :

                             IOx +IOy IOx -IOy
                       IOY =         -         .cos2θ+IOxy .sin2θ
                                 2       2
 Calcul du moment produit :

 IOXY =              XY.dS           x.cos +y.sin      . -x.sin +y.cos           .dS
                 S               S



IOXY =sin .cos .                 y².dS-       x².dS   (cos ²      sin ² )       x.y.dS
                             S            S                                 S

 Soit :
                                  IOx -IOy
                         IOXY =              .sin2θ+IOxy .cos2θ
05/04/2013                            2                                            19
Moments quadratiques
 Campus centre
Recherche des directions principales
Il s’agit des directions donnant les moments quadratiques extrêmes
(maximal et minimal). Pour les trouver , dérivons IOX et IOY /   et
annulons ces dérivées:

                 dIOX      IOx -IOy
                      =-2.          .sin2θ-2.IOxy .cos2θ=0
                  dθ          2
                 dIOY     IOx -IOy
                      =2.          .sin2θ+2.IOxy .cos2θ=0
                  dθ         2
Ces deux expressions s’annulent pour :
                                       -2IOxy
                            tan(2θ)=
                                       IOx -IOy
05/04/2013                                                       20
Moments quadratiques
 Campus centre
Recherche des directions principales
Cette expression nous donne deux directions conjuguées définies par
les angles:
           1 et   2 = 1+
                           2                    y
 Les directions ainsi déterminées                          (A)
 s’appellent les directions principales
 (ou axes principaux), elles sont
 orthogonales et définies par la
 relation:            -2IOxy
           tan(2θ)=                                                x
                                              O
                     IOx -IOy
Remarques:
 Pour les directions principales, IOXY est nul.
 Tout axe de symétrie, est axe principal d’inertie.
Tout axe perpendiculaire à un axe de symétrie est également axe
principal d’inertie.
05/04/2013                                                        21
III. Moments quadratiques
 Campus centre
Expression des moments quadratiques principaux
Pour connaître les expressions des moments quadratiques principaux
(Imaxi et Imini), il suffit de remplacer, dans les formules donnant IOX, IOY et
IOXY, la valeur de par les solutions de l’équation:
                                            -2IOxy
                               tan(2θ)=
                                           IOx -IOy
On obtient ainsi:

                                                           2
                            IOx +IOy        IOx -IOy
                 I maxi =              +                       +I 2 Oxy
                               2               2
                                                       2
                            IOx +IOy       IOx -IOy
                 I mini =              -                   +I 2 Oxy
                               2              2
05/04/2013                                                                   22
Moments quadratiques
  Campus centre
Représentation graphique – Cercle de Mohr
Reprenons les expressions donnant IOX et IOXY
                           IOx +IOy       IOx -IOy
                  IOX -               =               .cos2θ-IOxy .sin2θ
                              2               2
                                  IOx -IOy
                     IOXY =                  .sin2θ+IOxy .cos2θ
                                     2
Effectuons la somme des carrés, on obtient:
                                         2                          2
                           IOx +IOy               2
                                                         IOx -IOy
                   IOX -                     +IOXY =                    +IOxy 2
                                 2                          2
Ce qui correspond à l’équation d’un cercle de centre C et de rayon R
                                                                    2
                         IOx +IOy                        IOx -IOy
                  xc =                    et R=                         +IOxy 2
 05/04/2013                  2                              2                     23
III. Moments quadratiques
        Campus centre
     Représentation graphique – Cercle de Mohr
              Icouples d’axes
                                                                                           2
                                                 IOx +IOy                       IOx -IOy
                                         xc =                       et R=                      +IOxy 2
                                                    2                               2

 IOxy


              Imini             IOy                 IOx     Imaxi

 O                                      C   -2                              Iaxes


-IOxy




     05/04/2013                                                                                   24
y
       12                 Application
                                  Calculer le centre de gravité
100                               Les moments en O
                                  Les moments on G
                         12       Les axes principaux
                              x
                   200




      05/04/2013                                                  25

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  • 1. Campus centre Chapitre 4 Caractéristiques géométriques de la surface plane : 05/04/2013 1
  • 2. Campus centre plan  Centre de gravité,  Moment statique,  Moments quadratiques 05/04/2013 2
  • 3. Centre de gravité Campus centre Soit une section plane d’aire S définie dans un repère orthonormé Oxy. Les coordonnées du centre de gravité G sont définies par : x.dS y.dS S S XG YG S S Si la section S peut être décomposée en sous-sections simples, d’aires connues Si et de centres de gravités connus (xGi et yGi) alors : n n Si .xGi Si . yGi i 1 i 1 XG YG S S 05/04/2013 3
  • 4. Calcul du Centre de gravité Campus centre y 10 mm 2 50 mm 20 G 1 10 mm O x 50 mm xG 05/04/2013 4
  • 5. Moment statique Campus centre Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment statique élémentaire par rapport à l’axe Ox est la quantité : d x Y.dS Pour l’ensemble de la section : x y.dS soit x S.YG S De même : y x.dS soit y S.XG S 05/04/2013 5
  • 6. Moment statique Campus centre Le moment statique d’une section par rapport à un axe est égal au produit de l’aire de la section par la distance entre son centre de gravité et l’axe.  si la section S peut être décomposée n en sous-sections simples, d’aires connues Si et de c.d.g connus (xGi et yGi) alors : n x Si .yGi i 1 n y Si .x Gi i 1 05/04/2013 6
  • 7. Moment statique Campus centre S G G d d Axe A Axe A 05/04/2013 7
  • 8. Moments quadratiques Campus centre Moment quadratique par rapport à un axe Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment quadratique élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par définition, la quantité : dI Y².dS Ox Ce qui donne pour l’ensemble de la section : IOx y².dS S De même : IOy x².dS S 05/04/2013 8
  • 9. Campus centre Moments quadratiques • Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe Δ est égal au moment d’inertie de ce corps par rapport à un axe ΔG parallèle à Δ passant par le centre de gravité augmenté du produit •Le moment quadratique est aussi appelé moment d’inertie de la section 05/04/2013 9
  • 10. Moments quadratiques Campus centre Remarque: Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments quadratiques connus IOxi et IOyi, alors: n n I Ox I Oxi I Oy I Oyi i 1 i 1 05/04/2013 10
  • 11. Moments quadratiques Campus centre Remarque : La section peut être décomposée en n sous-sections Si de centre de gravité Gi et de moment quadratique IGix ou IGiy connus: n n I Gx I G i x Si . YGi YG ² I Gy I G i y Si . X Gi X G ² i 1 i 1 05/04/2013 11
  • 12. Moments quadratiques Campus centre Moment quadratique par rapport à un couple d’axe Ce moment quadratique est aussi appelé moment produit. Pour un élément dS, le moment produit élémentaire par rapport aux axes Ox et Oy est par définition la quantité: dIOxy X.Y.dS Ce qui donne pour l’ensemble de la section: I Oxy x.y.dS S Théorème de Huygens: I Oxy I Gxy S.X G .YG 05/04/2013 12
  • 13. Moments quadratiques Campus centre Calculs pratiques :  Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments produits connus IOxyi, alors: n I Oxy I Oxyi i 1  Si on cherche le moment produit d’une section par rapport à son centre de gravité et que celle-ci peut être décomposée en n sous-sections de c.d.g. Gi connus et de moments produits par rapport à leur c.d.g. connus IGixy, alors: n I Gxy I G i xy Si . X Gi X G . YGi YG 05/04/2013 i 1 13
  • 14. Moments quadratiques Campus centre Moment quadratique par rapport à un point Pour un élément dS, à une distance de O,le moment quadratique polaire élémentaire par rapport à ce point est par définition la quantité: dIo ρ ².dS Ce qui donne pour l’ensemble de la section: Io ².dS S Remarque: on peut écrire ² x² y² soit: I o x².dS y ².dS S S Finalement, on obtient: Io I Ox I Oy 05/04/2013 14
  • 15. Moments quadratiques Campus centre III.3 Moment quadratique par rapport à un point Changement d’origine (Théorème de Huygens) Io I Ox I Oy Soit: Io I Gx S.YG ² I Gy S.X G ² ou: Io I Gx I Gy S. X G ² YG ² Finalement, on obtient: Io IG S. OG ² 05/04/2013 15
  • 16. Moments quadratiques Campus centre Remarques Les moments quadratiques s’ajoutent et se retranchent. Cette propriété permet une détermination aisée dans le cas de surfaces composées d’éléments simples. 1 1 1 2 2 2 05/04/2013 [1]+[2] [1]+[2] [1]-[2] 16
  • 17. Moments quadratiques Campus centre Moments quadratiques d’axes concourants Rotations d’axes Soit la section plane S, et deux systèmes d’axes Oxy et OXY obtenu par une rotation d’angle . Les relations liant les coordonnées dans les y (S) deux repères sont: dS X x.cosθ y.sinθ y Y x.sinθ y.cos θ Y X Calculons le moment quadratique / OX : x O x IOX Y².dS - x.sinθ y.cosθ ².dS S S IOX θ x².sin²θ 2.xy.sinθ.cosθ y².cos² .dS 05/04/2013 S 17
  • 18. Moments quadratiques Campus centre Rotations d’axes IOX sin²θ x².dS cos²θ y².dS 2sinθcosθ xy.dS S S S Ce qui nous donne : IOX =sin²θ.IOy +cos²θ.IOx -2.sinθ.cosθ.IOxy En passant à l’angle double : 1 cos 2 1 cos 2 sin 2 cos ² ; sin ² ; sin .cos 2 2 2 On obtient : IOx +IOy IOx -IOy IOX = + .cos2θ-IOxy .sin2θ 2 2 05/04/2013 18
  • 19. Moments quadratiques Campus centre Rotations d’axes De même, pour le moment quadratique / OY, on obtient : IOx +IOy IOx -IOy IOY = - .cos2θ+IOxy .sin2θ 2 2 Calcul du moment produit : IOXY = XY.dS x.cos +y.sin . -x.sin +y.cos .dS S S IOXY =sin .cos . y².dS- x².dS (cos ² sin ² ) x.y.dS S S S Soit : IOx -IOy IOXY = .sin2θ+IOxy .cos2θ 05/04/2013 2 19
  • 20. Moments quadratiques Campus centre Recherche des directions principales Il s’agit des directions donnant les moments quadratiques extrêmes (maximal et minimal). Pour les trouver , dérivons IOX et IOY / et annulons ces dérivées: dIOX IOx -IOy =-2. .sin2θ-2.IOxy .cos2θ=0 dθ 2 dIOY IOx -IOy =2. .sin2θ+2.IOxy .cos2θ=0 dθ 2 Ces deux expressions s’annulent pour : -2IOxy tan(2θ)= IOx -IOy 05/04/2013 20
  • 21. Moments quadratiques Campus centre Recherche des directions principales Cette expression nous donne deux directions conjuguées définies par les angles: 1 et 2 = 1+ 2 y Les directions ainsi déterminées (A) s’appellent les directions principales (ou axes principaux), elles sont orthogonales et définies par la relation: -2IOxy tan(2θ)= x O IOx -IOy Remarques:  Pour les directions principales, IOXY est nul.  Tout axe de symétrie, est axe principal d’inertie. Tout axe perpendiculaire à un axe de symétrie est également axe principal d’inertie. 05/04/2013 21
  • 22. III. Moments quadratiques Campus centre Expression des moments quadratiques principaux Pour connaître les expressions des moments quadratiques principaux (Imaxi et Imini), il suffit de remplacer, dans les formules donnant IOX, IOY et IOXY, la valeur de par les solutions de l’équation: -2IOxy tan(2θ)= IOx -IOy On obtient ainsi: 2 IOx +IOy IOx -IOy I maxi = + +I 2 Oxy 2 2 2 IOx +IOy IOx -IOy I mini = - +I 2 Oxy 2 2 05/04/2013 22
  • 23. Moments quadratiques Campus centre Représentation graphique – Cercle de Mohr Reprenons les expressions donnant IOX et IOXY IOx +IOy IOx -IOy IOX - = .cos2θ-IOxy .sin2θ 2 2 IOx -IOy IOXY = .sin2θ+IOxy .cos2θ 2 Effectuons la somme des carrés, on obtient: 2 2 IOx +IOy 2 IOx -IOy IOX - +IOXY = +IOxy 2 2 2 Ce qui correspond à l’équation d’un cercle de centre C et de rayon R 2 IOx +IOy IOx -IOy xc = et R= +IOxy 2 05/04/2013 2 2 23
  • 24. III. Moments quadratiques Campus centre Représentation graphique – Cercle de Mohr Icouples d’axes 2 IOx +IOy IOx -IOy xc = et R= +IOxy 2 2 2 IOxy Imini IOy IOx Imaxi O C -2 Iaxes -IOxy 05/04/2013 24
  • 25. y 12 Application Calculer le centre de gravité 100 Les moments en O Les moments on G 12 Les axes principaux x 200 05/04/2013 25