1. Campus centre
Chapitre 4
Caractéristiques géométriques de la
surface plane :
05/04/2013 1

2. Campus centre
plan
 Centre de gravité,
 Moment statique,
 Moments quadratiques
05/04/2013 2

3. Centre de gravité
Campus centre
Soit une section plane d’aire S définie dans un repère orthonormé Oxy.
Les coordonnées du centre de gravité G sont définies par :
x.dS y.dS
S S
XG YG
S S
Si la section S peut être décomposée en sous-sections
simples, d’aires connues Si et de centres de gravités connus (xGi
et yGi) alors :
n n
Si .xGi Si . yGi
i 1 i 1
XG YG
S S
05/04/2013 3

4. Calcul du Centre de gravité
Campus centre
y
10 mm
2
50 mm
20 G
1 10 mm
O x
50 mm
xG
05/04/2013 4

5. Moment statique
Campus centre
Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment statique
élémentaire par rapport à l’axe Ox est la quantité :
d x Y.dS
Pour l’ensemble de la section :
x y.dS soit x S.YG
S
De même :
y x.dS soit y S.XG
S
05/04/2013 5

6. Moment statique
Campus centre
Le moment statique d’une section par rapport à un axe est égal
au produit de l’aire de la section par la distance entre son
centre de gravité et l’axe.
 si la section S peut être décomposée n en sous-sections
simples, d’aires connues Si et de c.d.g connus (xGi et yGi) alors :
n
x Si .yGi
i 1
n
y Si .x Gi
i 1
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7. Moment statique
Campus centre
S
G
G
d
d
Axe A
Axe A
05/04/2013 7

8. Moments quadratiques
Campus centre
Moment quadratique par rapport à un axe
Pour un élément dS, de coordonnées X et Y, le moment
quadratique élémentaire par rapport à l’axe Ox est, par
définition, la quantité :
dI Y².dS
Ox
Ce qui donne pour l’ensemble de la section :
IOx y².dS
S
De même :
IOy x².dS
S
05/04/2013 8

9. Campus centre Moments quadratiques
• Le moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe Δ est égal
au moment d’inertie de ce corps par rapport à un axe ΔG
parallèle à Δ passant par le centre de gravité augmenté du
produit
•Le moment quadratique est aussi appelé moment d’inertie de
la section
05/04/2013 9

10. Moments quadratiques
Campus centre
Remarque:
Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de moments
quadratiques connus IOxi et IOyi, alors:
n n
I Ox I Oxi I Oy I Oyi
i 1 i 1
05/04/2013 10

11. Moments quadratiques
Campus centre
Remarque :
La section peut être décomposée en n sous-sections Si de centre
de gravité Gi et de moment quadratique IGix ou IGiy connus:
n n
I Gx I G i x Si . YGi YG ² I Gy I G i y Si . X Gi X G ²
i 1 i 1
05/04/2013 11

12. Moments quadratiques
Campus centre
Moment quadratique par rapport à un couple d’axe
Ce moment quadratique est aussi appelé moment produit.
Pour un élément dS, le moment produit élémentaire par rapport
aux axes Ox et Oy est par définition la quantité:
dIOxy X.Y.dS
Ce qui donne pour l’ensemble de la section: I Oxy x.y.dS
S
Théorème de Huygens: I Oxy I Gxy S.X G .YG
05/04/2013 12

13. Moments quadratiques
Campus centre
Calculs pratiques :
 Si la surface peut être décomposée en n sous-sections de
moments produits connus IOxyi, alors:
n
I Oxy I Oxyi
i 1
 Si on cherche le moment produit d’une section par rapport à
son centre de gravité et que celle-ci peut être décomposée en n
sous-sections de c.d.g. Gi connus et de moments produits par
rapport à leur c.d.g. connus IGixy, alors:
n
I Gxy I G i xy Si . X Gi X G . YGi YG
05/04/2013 i 1 13

14. Moments quadratiques
Campus centre
Moment quadratique par rapport à un point
Pour un élément dS, à une distance de O,le moment quadratique
polaire élémentaire par rapport à ce point est par définition la
quantité:
dIo ρ ².dS
Ce qui donne pour l’ensemble de la section:
Io ².dS
S
Remarque: on peut écrire ² x² y² soit: I o x².dS y ².dS
S S
Finalement, on obtient: Io I Ox I Oy
05/04/2013 14

15. Moments quadratiques
Campus centre
III.3 Moment quadratique par rapport à un point
Changement d’origine (Théorème de Huygens)
Io I Ox I Oy
Soit:
Io I Gx S.YG ² I Gy S.X G ²
ou:
Io I Gx I Gy S. X G ² YG ²
Finalement, on obtient:
Io IG S. OG ²
05/04/2013 15

16. Moments quadratiques
Campus centre
Remarques
Les moments quadratiques s’ajoutent et se retranchent. Cette propriété permet
une détermination aisée dans le cas de surfaces composées d’éléments simples.
1 1 1
2 2 2
05/04/2013
[1]+[2] [1]+[2] [1]-[2] 16

17. Moments quadratiques
Campus centre
Moments quadratiques d’axes concourants
Rotations d’axes
Soit la section plane S, et deux systèmes d’axes Oxy et OXY obtenu par
une rotation d’angle .
Les relations liant les coordonnées dans les
y
(S) deux repères sont:
dS X x.cosθ y.sinθ
y
Y x.sinθ y.cos θ
Y X Calculons le moment quadratique / OX :
x
O x
IOX Y².dS - x.sinθ y.cosθ ².dS
S S
IOX θ
x².sin²θ 2.xy.sinθ.cosθ y².cos² .dS
05/04/2013 S 17

18. Moments quadratiques
Campus centre
Rotations d’axes
IOX sin²θ x².dS cos²θ y².dS 2sinθcosθ xy.dS
S S S
Ce qui nous donne :
IOX =sin²θ.IOy +cos²θ.IOx -2.sinθ.cosθ.IOxy
En passant à l’angle double :
1 cos 2 1 cos 2 sin 2
cos ² ; sin ² ; sin .cos
2 2 2
On obtient :
IOx +IOy IOx -IOy
IOX = + .cos2θ-IOxy .sin2θ
2 2
05/04/2013 18

19. Moments quadratiques
Campus centre
Rotations d’axes
De même, pour le moment quadratique / OY, on obtient :
IOx +IOy IOx -IOy
IOY = - .cos2θ+IOxy .sin2θ
2 2
Calcul du moment produit :
IOXY = XY.dS x.cos +y.sin . -x.sin +y.cos .dS
S S
IOXY =sin .cos . y².dS- x².dS (cos ² sin ² ) x.y.dS
S S S
Soit :
IOx -IOy
IOXY = .sin2θ+IOxy .cos2θ
05/04/2013 2 19

20. Moments quadratiques
Campus centre
Recherche des directions principales
Il s’agit des directions donnant les moments quadratiques extrêmes
(maximal et minimal). Pour les trouver , dérivons IOX et IOY / et
annulons ces dérivées:
dIOX IOx -IOy
=-2. .sin2θ-2.IOxy .cos2θ=0
dθ 2
dIOY IOx -IOy
=2. .sin2θ+2.IOxy .cos2θ=0
dθ 2
Ces deux expressions s’annulent pour :
-2IOxy
tan(2θ)=
IOx -IOy
05/04/2013 20

21. Moments quadratiques
Campus centre
Recherche des directions principales
Cette expression nous donne deux directions conjuguées définies par
les angles:
1 et 2 = 1+
2 y
Les directions ainsi déterminées (A)
s’appellent les directions principales
(ou axes principaux), elles sont
orthogonales et définies par la
relation: -2IOxy
tan(2θ)= x
O
IOx -IOy
Remarques:
 Pour les directions principales, IOXY est nul.
 Tout axe de symétrie, est axe principal d’inertie.
Tout axe perpendiculaire à un axe de symétrie est également axe
principal d’inertie.
05/04/2013 21

22. III. Moments quadratiques
Campus centre
Expression des moments quadratiques principaux
Pour connaître les expressions des moments quadratiques principaux
(Imaxi et Imini), il suffit de remplacer, dans les formules donnant IOX, IOY et
IOXY, la valeur de par les solutions de l’équation:
-2IOxy
tan(2θ)=
IOx -IOy
On obtient ainsi:
2
IOx +IOy IOx -IOy
I maxi = + +I 2 Oxy
2 2
2
IOx +IOy IOx -IOy
I mini = - +I 2 Oxy
2 2
05/04/2013 22

23. Moments quadratiques
Campus centre
Représentation graphique – Cercle de Mohr
Reprenons les expressions donnant IOX et IOXY
IOx +IOy IOx -IOy
IOX - = .cos2θ-IOxy .sin2θ
2 2
IOx -IOy
IOXY = .sin2θ+IOxy .cos2θ
2
Effectuons la somme des carrés, on obtient:
2 2
IOx +IOy 2
IOx -IOy
IOX - +IOXY = +IOxy 2
2 2
Ce qui correspond à l’équation d’un cercle de centre C et de rayon R
2
IOx +IOy IOx -IOy
xc = et R= +IOxy 2
05/04/2013 2 2 23

24. III. Moments quadratiques
Campus centre
Représentation graphique – Cercle de Mohr
Icouples d’axes
2
IOx +IOy IOx -IOy
xc = et R= +IOxy 2
2 2
IOxy
Imini IOy IOx Imaxi
O C -2 Iaxes
-IOxy
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25. y
12 Application
Calculer le centre de gravité
100 Les moments en O
Les moments on G
12 Les axes principaux
x
200
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