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Campus centre




                Chapitre 7

                Torsion pure




                               1
Campus centre
                       Définition
Une poutre est sollicitée à la torsion pure si le seul élément de
réduction au centre de gravité de chaque section des forces de
cohésion est un moment autour de la ligne moyenne appelé moment
de torsion.
                    N=Ty=Tz=0 , Mfy=Mfz=0 , Mt 0


  M                                                         M
                                    G
                A                                      B


                                L
                                                                2
Campus centre
                  Etude des déformations
 • Soit une poutre circulaire pleine, parfaitement encastrée en ,
   soumise à l’extrémité à un moment de torsion         M
                                                      α
                                                            .G
                           α1 M1 Mt                  M’
              M0
                 α M
                           M’       M’1
                                               L’expérience montre que, pour
                  S0            S
                       l              S1       une section et un moment de
                                               torsion donnés, on a :

 :angle de torsion unitaire (rad/mm)
                          l1
 : angle total de torsion de (S)/(S0) (rad)
l: distance entre (S) et (S0) (mm)                                     3
Campus centre
                     Etude des déformations
                                              Si Mt<MA, on est dans le domaine
                                              élastique, l’angle est proportionnel
                                              au moment appliqué
                                  α1
                     α        M          M1   Si Mt>MA, on est dans le domaine
                M0                            plastique, l’angle      n’est plus
                         M’        M’1
                                              proportionnel au moment appliqué
                S0            S
                                              On appelle , l’angle MM0M’. Cet angle
                     l                 S1
                                              représente l’angle de glissement de
                                              (S)/(S0) (ou distorsion).
                                              On a :
Campus centre
                    Etude des déformations



En torsion, les sections du solide sont soumises à une contrainte
tangentielle (ou de cisaillement). Nous avons vu (cf. chapitre VI) la
relation liant les contraintes et les déformations:


On obtient donc:

Avec:
                 : la contrainte de cisaillement,
                G : le module de Coulomb,
                  : angle unitaire de torsion,
                  : distance du point considéré à l’axe Gx.         5
Campus centre
                            Etude des contraintes
  On coupe le cylindre en une section (S) et on exprime que la partie
  isolée est en équilibre sous l’action du moment de torsion Mt et des
  forces de cohésion dans la section (S).
                   dS : élément de surface situé à une distance de
r         dS       l’axe Gx, soumis à une contrainte de cisaillement
   G
                   L’effort élémentaire de cisaillement dF vaut donc:
                                               dF   .dS
L’équilibre de l’élément isolé s’écrit donc:             Mt   S
                                                                   . .dS

Or :             G. .

D’où : M t              S
                            ².G. .dS
Comme G. est identique pour chaque dS, on obtient finalement :
                 Mt     G. .       ².dS   Mt    G. .I0            Moment d’inertie
                               S                                     polaire
                                                                                     6
                                                                     de (S)/ à G
Etude des contraintes
  Campus centre



   On a donc : Mt                 G. .I0

   On sait aussi que :                 G. .
   On peut donc exprimer la contrainte de cisaillement en fonction de
   Mt, on obtient:
                                     Mt
                                   .
                                     I0
   La contrainte de cisaillement est donc proportionnelle à la distance /
   au c.d.g. de la section et est maximale pour = r :
                                                    max               max
                             Mt
                  max   r.
                             I0

I0
   : module de torsion (mm3 )
 r                                                                     7
                                              max          max
Campus centre
                 Dimensionnement
Condition de résistance
Le dimensionnement des solides soumis à la torsion pure se fera en
limitant la valeur de la contrainte tangentielle à une valeur notée Rpg
(résistance pratique au glissement = contrainte tangentielle
admissible adm) définie par :




On obtient ainsi l’inéquation (d’équarrissage) suivante:



                                                                          8
Campus centre
                         Dimensionnement
Condition de déformation
On utilise souvent l’angle limite de torsion pour dimensionner une
pièce soumise à la torsion (surtout dans le cas d’arbres de grande
longueur).                                      Mt
                                                     lim
On obtient ainsi l’inéquation suivante:        G.I 0
                                                        ou
                                                        M t .
                                                                 lim
                                                        G.I 0
                                         P   Mt .
Avec :          P : puissance en Watts
                Mt : moment de torsion en N.m
                  : vitesse angulaire en rad/s
Si la vitesse de rotation est donnée en tours/min, il faut convertir :
                                             2. .n
                                              60
                                                                         9

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Chapitre 7 torsion pure

  • 1. Campus centre Chapitre 7 Torsion pure 1
  • 2. Campus centre Définition Une poutre est sollicitée à la torsion pure si le seul élément de réduction au centre de gravité de chaque section des forces de cohésion est un moment autour de la ligne moyenne appelé moment de torsion. N=Ty=Tz=0 , Mfy=Mfz=0 , Mt 0 M M G A B L 2
  • 3. Campus centre Etude des déformations • Soit une poutre circulaire pleine, parfaitement encastrée en , soumise à l’extrémité à un moment de torsion M α .G α1 M1 Mt M’ M0 α M M’ M’1 L’expérience montre que, pour S0 S l S1 une section et un moment de torsion donnés, on a :  :angle de torsion unitaire (rad/mm) l1  : angle total de torsion de (S)/(S0) (rad) l: distance entre (S) et (S0) (mm) 3
  • 4. Campus centre Etude des déformations Si Mt<MA, on est dans le domaine élastique, l’angle est proportionnel au moment appliqué α1 α M M1 Si Mt>MA, on est dans le domaine M0 plastique, l’angle n’est plus M’ M’1 proportionnel au moment appliqué S0 S On appelle , l’angle MM0M’. Cet angle l S1 représente l’angle de glissement de (S)/(S0) (ou distorsion). On a :
  • 5. Campus centre Etude des déformations En torsion, les sections du solide sont soumises à une contrainte tangentielle (ou de cisaillement). Nous avons vu (cf. chapitre VI) la relation liant les contraintes et les déformations: On obtient donc: Avec: : la contrainte de cisaillement, G : le module de Coulomb, : angle unitaire de torsion, : distance du point considéré à l’axe Gx. 5
  • 6. Campus centre Etude des contraintes On coupe le cylindre en une section (S) et on exprime que la partie isolée est en équilibre sous l’action du moment de torsion Mt et des forces de cohésion dans la section (S). dS : élément de surface situé à une distance de r dS l’axe Gx, soumis à une contrainte de cisaillement G L’effort élémentaire de cisaillement dF vaut donc: dF .dS L’équilibre de l’élément isolé s’écrit donc: Mt S . .dS Or : G. . D’où : M t S ².G. .dS Comme G. est identique pour chaque dS, on obtient finalement : Mt G. . ².dS Mt G. .I0 Moment d’inertie S polaire 6 de (S)/ à G
  • 7. Etude des contraintes Campus centre On a donc : Mt G. .I0 On sait aussi que : G. . On peut donc exprimer la contrainte de cisaillement en fonction de Mt, on obtient: Mt . I0 La contrainte de cisaillement est donc proportionnelle à la distance / au c.d.g. de la section et est maximale pour = r : max max Mt max r. I0 I0 : module de torsion (mm3 ) r 7 max max
  • 8. Campus centre Dimensionnement Condition de résistance Le dimensionnement des solides soumis à la torsion pure se fera en limitant la valeur de la contrainte tangentielle à une valeur notée Rpg (résistance pratique au glissement = contrainte tangentielle admissible adm) définie par : On obtient ainsi l’inéquation (d’équarrissage) suivante: 8
  • 9. Campus centre Dimensionnement Condition de déformation On utilise souvent l’angle limite de torsion pour dimensionner une pièce soumise à la torsion (surtout dans le cas d’arbres de grande longueur). Mt lim On obtient ainsi l’inéquation suivante: G.I 0 ou M t . lim G.I 0 P Mt . Avec : P : puissance en Watts Mt : moment de torsion en N.m : vitesse angulaire en rad/s Si la vitesse de rotation est donnée en tours/min, il faut convertir : 2. .n 60 9