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Cristallographie : Structure
microscopique et organisation de la
matière solide
➢ Prof : Benkerroum Houssam
➢ Centre : CPGE Moulay Youssef Rabat
➢ Matière : Physique Chimie
➢ Classe : MPSI 1
➢ Année Scolaire : 2022 - 2023

La science des matériaux est au cœur des grandes révolutions technologiques récentes et
participe à l’amélioration de notre quotidien au travers de ses applications dans les
nanotechnologies, les énergies renouvelables, l’aéronautique, ou l’environnement. Afin de concevoir
des matériaux ayant les propriétés recherchées, il est donc nécessaire de maîtriser la structure de la
matière, et notamment de l’état solide. Ce chapitre présente le cadre d’étude des solides cristallins
afin de décrire par la suite les quatre différentes catégories de cristaux : métalliques, covalents,
ioniques et moléculaires.
I. Système cristallin :
1. Différents types de solides :
Au niveau macroscopique, la matière à l’état solide a une forme propre et ne s’écoule pas. Au
niveau microscopique, les entités chimiques constituant un solide sont très proches les unes des
autres. Les interactions entre elles sont tellement intenses qu’elles ne peuvent (presque) pas se
déplacer les unes par rapport aux autres. Les différents solides peuvent être classés en fonction du
degré d’organisation des entités microscopiques.
 Les solides cristallins correspondent à un état parfaitement ordonné et sont constitués d’un
arrangement périodique des entités dans l’espace sur de très larges domaines (plusieurs
dizaines de nanomètres, c’est-à-dire plusieurs centaines voire milliers d’atomes). Leur
température de fusion est nette, et leurs propriétés sont souvent anisotropes.
Exemple : diamant, métaux, sel de cuisine.
 Les solides amorphes, dans lesquels l’arrangement des entités est totalement désordonné,
n’ont pas de fusion nette, mais ramollissent progressivement avec une diminution de
viscosité. Leurs propriétés sont complètement isotropes, comme pour les liquides.
Exemple : verre, plastiques mous (sac poubelle), lave.
 Les solides semi-cristallins contiennent à la fois des zones cristallines et des zones amorphes.
Exemple : beaucoup de plastiques rigides ou certaines roches volcaniques.
2. Modèle du cristal parfait – modèle des sphères dures :
C’est un cristal pour lequel l’organisation est parfaitement régulière. C’est un état d’ordre absolu. Le
cristal réel comporte de nombreux défauts.
Afin de décrire la manière dont les atomes s’agencent dans un cristal métallique, on utilise le
modèle des sphères dures, dans lequel les atomes métalliques sont assimilés à des sphères
identiques, rigides et indéformables de rayon 𝑟.
Remarques : Limites du modèle du cristal parfait :
 Bien que contenant un très grand nombre d’entités chimiques, un cristal réel n’en contient
qu’un nombre fini. L’existence de bords influe sur les propriétés du cristal.
 Un cristal réel présente des défauts comparativement au modèle théorique du cristal parfait
qui sont autant de ruptures dans la périodicité de l’arrangement des entités chimiques
constituant le cristal : dislocations, impuretés, lacunes.
CPGE Moulay Youssef Rabat
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Cristallographie
Benkerroum Houssam 1 Année Scolaire: 2022-2023

Ces modifications de l’arrangement spatial modifient les propriétés du cristal et sont parfois
recherchées (lacunes pour les centres colorés et impuretés pour le dopage des semi-conducteurs).
3. Définitions fondamentales de cristallographie :
La théorie moderne de la cristallographie repose sur la notion de périodicité spatiale du cristal et
introduit plusieurs définitions fondamentales.
 Maille :
L’arrangement triplement périodique suggère de ramener la description du cristal à un système
d’axe 𝑥, 𝑦, 𝑧. Le cristal peut être décrit par translation suivant les trois axes de la plus petite partie,
appelée maille, à partir de laquelle on peut engendrer tout le cristal. La maille est définie par
𝑂𝐴 = 𝑎, 𝑂𝐵 = 𝑏, 𝑂𝐶 = 𝑐 et 𝛼 = (𝑏
⃗ , 𝑐), 𝛽 = (𝑎, 𝑐) et 𝛾 = (𝑎, 𝑏
⃗ ).
Les paramètres de maille : Ce sont les longueurs (𝑎, 𝑏, 𝑐) des arêtes et les mesures (𝛼, 𝛽, 𝛾) des angles
entres les vecteurs de base.
 Nœud :
A partir de la maille d’origine O, on peut définir l’ensemble des points N (Nœuds) tels que
𝑂𝑁
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚𝑎 + 𝑛𝑏
⃗ + 𝑝𝑐 avec (𝑚, 𝑛, 𝑝) entiers relatifs. Les points N sont appelés des nœuds.
 Le réseau cristallin : L’ensemble des nœuds constitue le réseau cristallin.
 Un motif : A chaque nœud de ce réseau se trouve un motif : atome, ion ou molécule.
Exemple :
Fer solide : Le motif est un atome de fer.
Glace d’eau : Le motif est une molécule d’eau.
Sel de mer : Un ion 𝑁𝑎+
et un ion 𝐶𝑙−
.
 Structure cristalline : réseau + motif.
4. Description de la maille :
Quelque soit la structure cristalline étudiée, on peut toujours définir quatre caractéristiques
importantes : la population, la coordinence, la compacité et la masse volumique.
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(a) Population :
La population (ou multiplicité) de la maille est notée 𝑍 et correspond au nombre de motifs
totalement inclus dans la maille
Remarque :
En général on travaille sur des réseaux cubiques
 Si le motif est sur un sommet, il compte pour 1/8.
Un atome au sommet d’un cube est partagé entre plusieurs mailles. Figure de droite : de point de
vue de la maille, seul un huitième de l’atome s’y trouve. Figure de droite : point de vue de l’atome,
il appartient à huit mailles différentes.
 Si le motif est sur une arête, il compte pour 1/4.
Un atome côté d’un cube, partagé entre plusieurs mailles. Figure de gauche : point de vue de la
maille, seul un quart de l’atome s’y trouve. On y distingue deux types d’atomes : on ne s’intéresse
qu’aux atomes en gris. Figure de droite : point de vue de l’atome, il appartient à quatre mailles
différentes.
 Si le motif est sur une face, il compte pour 1/2.
Un atome situé dans une face d’un cube est partagé entre plusieurs mailles. Figure de gauche : de
point de vue de la maille, seule la moitié de l’atome s’y trouve. Figure de droite : point de vue de
l’atome, il appartient à deux mailles différentes.
 Si le motif est dans le cube, il compte pour 1.
Exercice 1 : Motifs dans une maille
Dans la maille présentée ci-dessous, les cercles indiquent les motifs. Déterminer La population de
cette maille.
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Réponse :
Chaque motif positionné au sommet de la maille compte pour 1/8 de motif, chaque motif
positionné sur une face de la maille compte pour 1/2 motif. La population de la maille est donc :
8 ×
1
8
+ 6 ×
1
2
= 4
(b) Coordinence :
La coordinence d’un atome dans une maille est le nombre de ses plus proches voisins.
Exemple :
Dans la structure cristalline présentée dans la figure ci-contre, chaque
atome (que l’on notera par exemple l’atome A) est entouré des
atomes présents sur les sommets voisins , soit 6 pour les plus
proches.
La coordinence vaut donc 6.
(c) Compacité :
La compacité est le taux de remplissage de la maille (elle nous renseigne sur le taux de vide dans
une maille)
𝐶 =
𝑉𝑜𝑐𝑐𝑢𝑝𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑜𝑡𝑖𝑓𝑠
𝑉𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒
𝐶 est toujours inférieur à 1 ce qui veut dire qu’il y a des espaces vides dans les cristaux.
Dans le cas, souvent traité, des structures cubiques, en assimilant les motifs à des sphères de rayon 𝑟
et la maille cubique d’arête 𝑎 :
𝐶 =
𝑉𝑜𝑐𝑐𝑢𝑝𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑙𝑒𝑠 𝑚𝑜𝑡𝑖𝑓𝑠
=
𝑍𝑉𝑚𝑜𝑡𝑖𝑓
⟹ 𝐶 =
𝑍
4
3
𝜋𝑟3
𝑎3
(d) Masse volumique :
Dans le modèle du cristal parfait, le cristal est obtenu par répétition périodique de la maille remplie
de ses motifs. La masse volumique du cristal est donc égale à celle de la maille. Si une maille de
volume 𝑉 contient 𝑍 motifs de masse molaire 𝑀, alors la masse volumique du cristal vaut :
𝜌 =
𝑚
𝑉
=
𝑛𝑀
𝑉
=
𝑍
𝑁𝐴
× 𝑀
𝑉
⟹ 𝜌 =
𝑍𝑀
𝑁𝐴𝑉
5. Allotropie :
Certains composés adoptent à l’état solide différentes structures cristallines en fonction de la
température et de la pression. On parle de différentes variétés allotropiques.
Lorsque plusieurs variétés allotropiques existent pour le même corps pur à l’état solide, les
domaines de stabilités de ces différentes formes apparaissent sur le diagramme de phase.
Exemple : Le carbone :
Il existe des diamants synthétiques : en 1955, General Electric réalise la première synthèse d’un
diamant à partir de graphite à 2500 K et 15000 bars.
La forme stable du carbone dans les conditions qui règnent à la surface de la Terre est le graphite.
Les hachures sur le diagramme correspondent à des domaines où deux phases peuvent coexister.
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6. Classement des différents cristaux :
La cohésion d’un cristal est assurée par des forces de natures et d’intensités différentes. On
distingue les liaisons fortes (métalliques, ioniques, covalentes ; ordre de grandeur 𝐸 = 100 à
1000𝑘𝐽. 𝑚𝑜𝑙−1
) des liaisons faibles (ordre de grandeur 𝐸 = 1 à 25𝑘𝐽. 𝑚𝑜𝑙−1
).
En fonction du type de liaison assurant la cohésion des cristaux, on les classe dans 4 catégories :
métalliques, ioniques, covalents ou moléculaires. Il sera vu un peu plus loin dans ce chapitre les
propriétés physiques propres à chaque catégorie de cristal.
C’est l’électronégativité des éléments et donc leur position dans la classification périodique qui
permet de prévoir la nature de l’interaction responsable de la cohésion du cristal.
Cristaux métallique Cristaux ioniques Cristaux covalents
Cristaux
moléculaires
Espèce
concerné
Atomes métalliques Ions
Atomes non
métalliques
Molécules
Exemples 𝐹𝑒(𝑠), 𝑍𝑛(𝑠), 𝑃𝑜(𝑠) 𝑁𝑎𝐶𝑙(𝑠), 𝐾𝑂𝐻(𝑠) 𝑆𝑖(𝑠), 𝐶(𝑠)𝐺𝑒(𝑠) 𝐻2𝑂(𝑠), 𝐼2(𝑠)
Type de
liaison Métallique Ionique Métallique
De type Van Der
Waals ou liaison
hydrogène
Energie de
liaison en
𝑘𝐽. 𝑚𝑜𝑙−1
300 à 600 400 à 800 400 à 800
Pour Van Der
Waals de 1 à 10
Pour liaison
hydrogène de 20 à
30
II. Cristaux métalliques :
1. Types des empilements :
(a) Empilement compact :
Les atomes (plus précisément les cations) sont assimilés à des sphères dures de rayons 𝑟. Dans les
métaux, on suppose que les sphères plus proches voisines sont tangentes. Ceci permet de définir le
rayon métallique 𝑟 de l’atome.
Les empilements dits compacts sont ceux qui laissent le moins d’espace disponible entre les
différentes sphères. Décrire ces empilements nécessite non plus un seul mais trois types de plans
d’atomes, appelés A, B et C.
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 Premier plan : chaque sphère s’entoure de six autres sphères, aux sommets d’un hexagone
régulier. On parle d’un plan A.
 Deuxième plan : dans le plan immédiatement supérieur au plan A, on comprend intuitivement
que pour obtenir la compacité maximale, chaque sphère va se placer dans un des creux des sphères
du plan A. Cependant, seul un creux sur deux peut être occupé. Comme les sphères sont placées
différemment, ce plan n’est pas équivalent au précédent : on parle de plan B.
 Troisième plan : les sphères du plan immédiatement supérieur au plan B se placent à nouveau
dans les creux des sphères du plan B, mais il y a cette fois deux choix non-équivalents :
➢ Ou bien les sphères se placent dans les cavités de B à la verticale des sphères de A, ce qui
forme un nouveau plan A et un empilement de type ABA.
➢ Ou bien les sphères se placent dans les cavités de B à la verticale des creux de A, ce qui forme
un plan non équivalent aux précédents appelé plan C, d’où un empilement appelé ABC.
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Les empilements compacts sont en toute généralité formés par empilement successif de plans A, B
ou C. Deux cas particuliers se retrouvent fréquemment, l’empilement ABAB qui donne la maille
hexagonale compacte et l’empilement ABCABC qui donne la maille cubique face centrée
(b) Empilement semi-compact :
Dans un plan, les centres des sphères dures sont répartis selon un pavage carré. Les différents plans
sont exactement superposés les uns aux autres. On parle parfois d’empilement AAA ... mais on le
rencontre rarement en pratique.
2. Propriétés :
Description :
 Motifs : Les cristaux métalliques ont pour motifs des atomes.
 Description du cristal : Le cristal métallique est décrit comme un assemblage périodique de
cations métalliques fixes qui partagent leurs électrons de valence.
 Cohésion du cristal : La cohésion d’un cristal métallique est assurée par des liaisons métalliques.
Ce type de cristal est rencontré lors de la cristallisation des éléments métalliques (en gris, les métaux
usuellement rencontrés sont indiqués par leur symbole.).
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Propriétés :
Propriétés Explications
Propriétés
mécaniques
Dureté variable
La liaison métallique est non directionnelle, ce
qui confère au métal une certaine malléabilité.
Certains métaux sont étirables et déformables
d’autres sont durs et résistent à la déformation.
Propriétés
électriques
Excellente conduction
électrique
Les électrons de valence sont délocalisés (libres)
et forment un gaz d’électons libres, ce qui rend
les métaux conducteurs
Propriétés
thermiques
Température de fusion
souvent élevée
La liaison métallique est une liaison forte,
l’énergie de liaison est donc élevée et ainsi la
température de fusion est élevé.
3. Structures compactes :
(a) Structure cubique à faces centrées CFC:
i. Maille :
L’empilement compact ABC est appelé cubique faces centrées, et la maille conventionnelle est un
cube.
Les atomes occupent les sommets et les centres des faces, la population de la maille CFC vaut :
𝑍 = 8 ×
1
8
+ 6 ×
1
2
= 4
Dans la structure CFC la coordinence d’un atome est égale à 12 puisque l’atome possède six voisins
au sommet de l’hexagone dont il occupe le centre et trois dans les plans supérieur et inférieur.
Relation entre 𝑟 et 𝑎 :
Dans cette maille cubique d’arête 𝑎, les atomes de rayon 𝑟 se
touchent sur la diagonale des faces qui vaut 𝑎√2.
La condition de contact s’écrit donc :
4𝑟 = 𝑎√2
𝑟 =
𝑎√2
4
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Compacité :
𝐶 =
𝑉𝑜𝑐𝑐𝑢𝑝é
=
𝑍
4
3
𝜋𝑟3
𝑎3
=
16𝜋
3
(
𝑎√2
4
)
3
𝑎3
⟹ 𝐶 =
𝜋√2
6
= 74%
C’est la valeur maximale de la compacité puisque c’est celle des empilements compacts.
La masse volumique est donnée par: 𝜌 =
4𝑀
𝑁𝐴𝑎3
Exercice 2 :
Quel est le rayon métallique. Quelle est la masse volumique de la maille de cuivre ? On donne :
𝑀𝐶𝑢 = 63,55𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1
et 𝑎 = 361,6𝑝𝑚.
Réponse :
4𝑟 = 𝑎√2 ⟹ 𝑟 =
𝑎√2
4
=
361,6 × √2
4
⟹ 𝑟 = 127,84𝑝𝑚
𝜌 =
𝑍𝑀𝐶𝑢
𝑁𝐴𝑎3
=
4 × 63,55 × 10−3
6,02 × 1023 × (361,6 × 10−12)3
⟹ 𝜌 = 8,93. 103
𝑘𝑔. 𝑚−3
ii. Sites interstitiels :
La compacité maximale d’un cristal étant de 74% ; il reste des espaces vides pouvant éventuellement
accueillir de la matière : ce sont les sites interstitiels.
 On peut placer dans les sites des atomes différents (de petite taille H, B, C, N, O...) de ceux de
la structure hôte : on parle d’alliage d’insertion. Ces alliages sont en général plus durs et
moins ductiles que les métaux purs (car plus compacts).
 Il existe également un autre type d’alliage où un atome étranger remplace un atome hôte : on
parle d’alliage de substitution. Ces atomes sont de taille comparable.
On appelle habitabilité d’un site interstitiel est le rayon maximal d’un atome pouvant s’y insérer
sans déformer la maille. Elle se calcule en considérant la condition de contact entre la sphère se
logeant dans l’interstice et les sphères du réseau hôte. Dans le cas de la maille CFC, il existe deux
types de sites interstitiels : les sites tétraédriques et les sites octaédriques.
 Sites octaédriques : Les sites interstitiels octaédriques sont situés au centre du cube et au milieu
de chaque arête.
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Le site au centre du cube est totalement inclus dans la maille. En revanche, chaque site sur une arête
est partagé entre 4 mailles donc, ainsi le nombre des sites octaédriques vaut : (12 ×
1
4
) + 1 soit 4 sites
octaédriques par maille.
Habitabilité d’un site octaédrique :
Soit 𝑟 le rayon des sphères du réseau CFC et 𝑟0 le rayon de la sphère placée dans le site octaédrique.
Le contact entre la sphère insérée et celles du réseau CFC a lieu sur l’arête du cube de longueur 𝑎. La
condition de contact s’écrit donc :
𝑎 = 2𝑟 + 2𝑟0 ⟹ 𝑎 = 2(𝑟 + 𝑟0)
La condition de contact entre sphères du réseau CFC étant toujours vérifiée, on a : 4𝑟 = 𝑎√2 d’où
𝑎 =
4𝑟
√2
⟹
4𝑟
√2
= 2(𝑟 + 𝑟0) ⟹ 4𝑟 = 2√2 (𝑟 + 𝑟0) ⟹ 𝑟√2 = (𝑟 + 𝑟0) l’habitabilité d’un site octaédrique :
𝑟0 = (√2 − 1)𝑟 = 0,414𝑟
Exercice 3 :
Quel est l’habitabilité d’un site octaédrique de la maille de cuivre ? On donne : 𝑎 = 361,6𝑝𝑚.
Réponse :
4𝑟 = 𝑎√2 ⟹ 𝑟 =
𝑎√2
4
=
361,6 × √2
4
⟹ 𝑟 = 127,84𝑝𝑚 ⟹ 𝑟0 = 0,414𝑟 = 0,414 × 127,84 = 52,92𝑝𝑚
 Sites tétraédriques : Les sites interstitiels tétraédriques sont situés au situés au centre de chacun
des 8 petits cubes d’arête 𝑎/2.
Les 8 sites interstitiels tétraédriques étant dans le cube, ils sont totalement inclus dans la maille,
donc: soit 8 sites octaédriques par maille.
Habitabilité d’un site tétraédrique :
Soit 𝑟 le rayon des sphères du réseau CFC et 𝑟𝑇 le rayon de la sphère placée dans le site tétraédrique.
Le contact entre la sphère insérée et celles du réseau CFC a lieu sur la grande diagonale principale
du cube d’arête 𝑎/2 qui vaut
𝑎√3
2
. La condition de contact s’écrit donc :
𝑎√3
2
= 2𝑟 + 2 𝑟𝑇 ⟹
𝑎√3
2
= 2(𝑟 + 𝑟𝑇) ⟹
𝑎√3
4
= 𝑟 + 𝑟𝑇
La condition de contact entre sphères du réseau CFC étant toujours vérifiée, on a : 4𝑟 = 𝑎√2 d’où
𝑎 =
4𝑟
√2
⟹
4𝑟
√2
√3
4
= 𝑟 + 𝑟𝑇 ⟹
√3
√2
𝑟 = 𝑟 + 𝑟𝑇 l’habitabilité d’un site tétraédrique :
𝑟𝑇 = (√
3
2
− 1) 𝑟 = 0,225𝑟
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Exercice 4 :
Quel est l’habitabilité d’un site tétraédrique de la maille de cuivre ? On donne : 𝑎 = 361,6𝑝𝑚.
Réponse :
4𝑟 = 𝑎√2 ⟹ 𝑟 =
𝑎√2
4
=
361,6 × √2
4
⟹ 𝑟 = 127,84𝑝𝑚 ⟹ 𝑟𝑇 = 0,225𝑟 = 0,225 × 127,84 = 28,76𝑝𝑚
Remarques :
 La taille des sites interstitiels est beaucoup plus petite que celle des atomes hôtes.
 On constate que les sites octaédriques sont plus « spacieux » que les tétraédriques.
(b) Structure hexagonale compact HC:
L’empilement compact AB est appelé hexagonal compact, et la maille conventionnelle est un prisme
à base losange.
Paramètre de la maille hexagonale :
➢ 𝑎 = 𝑏 ≠ 𝑐
➢ 𝛼 = (𝑏
⃗ , 𝑐) =
𝜋
2
, 𝛽 = (𝑎, 𝑐) =
𝜋
2
et 𝛾 = (𝑎, 𝑏
⃗ ) =
𝜋
3
.
La maille à base losange contient 8 motifs sur les sommets, ils appartiennent à 8 mailles, le motif à
l’intérieur de la maille est propre à cette maille. La population de la maille conventionnelle 𝑍 = 2.
Exercice 5 :
Montrer que la population de la maille hexagonal compact à base hexagone est six.
Réponse :
La maille à base hexagone contient 6 motifs par mailles :
➢ Sommets : Les motifs aux sommets sont partagés entre six mailles soit 12 ×
1
6
= 2.
➢ Faces : Les motifs des faces sont partagés entre deux mailles soit 2 ×
1
2
= 1.
➢ Intérieur : Trois motifs.
Par construction la coordinence vaut 12 : 6 plus proches voisins dans le plan, 3 plus proches voisins
au-dessus, 3 plus proches voisins en dessous.
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Compacité :
Volume du motif on note 𝑅 le rayon de l’atome :
𝑉𝑚𝑜𝑡𝑖𝑓 =
4
3
𝜋𝑅3
Volume occupé : 𝑉𝑜𝑐𝑐𝑢𝑝é = 2 ×
4
3
𝜋𝑟3
=
8
3
𝜋𝑅3
Volume de la maille :
𝑉𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 = 𝑎. (𝑏
⃗ ∧ 𝑐) = 𝑎𝑏𝑐𝑠𝑖𝑛
𝜋
3
=
√3
2
𝑎²𝑐
Exprimons 𝑐 en fonction de 𝑎 :
Triangle bleu : Théorème de Pythagore donne
𝑎2
= (
2ℎ
3
)
2
+ (
𝑐
2
)
2
Soit : 𝑎2
=
4ℎ²
9
+
𝑐²
4
. Dans le triangle rouge : 𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
=
ℎ
𝑎
⇒ ℎ = 𝑎𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
=
𝑎√3
2
d’où 𝑎2
=
4
9
3𝑎²
4
+
𝑐²
4
d’où :
𝑎2
=
𝑎²
3
+
𝑐²
4
⟹ 𝑐 =
2√2
√3
𝑎
D’où le volume de la maille : 𝑉𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 = √2𝑎3
. Or la tangence des atome est selon une arête on aura :
𝑎 = 2𝑅.
𝐶 =
=
8
3
𝜋𝑅3
√2 × 8𝑅3
=
𝜋
3√2
= 0,74
C’est la compacité maximale d’un cristal. La compacité de la structure HC est identique à celle de la
structure CFC, ce qui est cohérent avec le fait que ces deux structures obéissent au même principe
de construction
Sites octaédriques : Il s’agit d’une lacune, d’un vide créé par l’absence de plan compact de type C.
Elles apparaissent en
𝑐
4
et
3𝑐
4
. Ce site est de nature octaédrique. La maille hexagonal à base losange
contient 2 sites octaédriques.
Sites tétraédriques : La maille hexagonal contient 4 sites tétraédriques 2 sites par arête de longueur
𝑐, chacun partagé par 4 mailles ; et deux sites propres.
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Masse volumique : Calculons la masse volumique dans le cas du magnésium, on donne :
𝑀𝑀𝑔 = 24,3𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1
et 𝑎 = 320,9𝑝𝑚.
𝜌 =
2𝑀𝑀𝑔
𝑁𝐴√2𝑎3
= 1,73. 103
𝑘𝑔. 𝑚−3
4. Structures semi-compactes :
(a) Structure cubique simple :
Les motifs se situent aux sommets, le polonium qui est le seul élément cristallisant suivant le réseau
cubique simple.
La maille cubique du paramètre 𝑎. Le motif est un atome de Polonium. Par simplicité, on choisit
l’origine du réseau de façon que chaque nœud coïncide avec le centre d’un atome de polonium Po.
Population :
L’atome de polonium mis en évidence en
rouge n’appartient pas uniquement à la
maille en gras, il appartient aux sept autres
mailles voisines donc il est partagé par 8
mailles entre eux. Il en va de même pour tous
atomes de polonium.
La population vaut :
𝑍 = 8 ×
1
8
= 1.
Coordinence : Pour le polonium la coordinence vaut 6
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Compacité :
On se place dans le cadre du modèle des sphère dures tangentes, la
tangence des plus proches voisins selon une arête 𝑎 = 2𝑅.
𝐶 =
=
4
3
𝜋𝑅3
𝑎3
=
4
3
𝜋𝑅3
8𝑅3
La compacité vaut :
𝐶 =
𝜋
6
= 0,52
Dans un réseau cubique simple on envisagera que des sites cubiques :
Habitabilité d’un site cubique :
On cherche le rayon maximale 𝑟𝐶 de l’atome qu’on
peut insérer dans le site cubique. Par définition 𝑟𝐶 est
la taille du site.
Pour cela on suppose qu’il y a tangence entre l’atome
inséré de rayon 𝑟𝐶 t les atomes du motif de rayon 𝑅.
La tangence se fait suivant la diagonale principale du
cube qui vaut 𝑎√3 donc :
2(𝑅 + 𝑟𝐶) = 𝑎√3
Il y a toujours tangence entre atomes de polonium
plus proches voisins suivant un arête de la maille :
2(𝑅 + 𝑟𝐶) = 2𝑅√3
D’où :
𝑟𝐶 = (√3 − 1)𝑅 ⟹ 𝑟𝑐 = 122,69𝑝𝑚
Masse volumique :
Pour le polonium, les tables donnent 𝑎 = 335,2𝑝𝑚 et 𝑀𝑃𝑜 = 209𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1
.
𝜌 =
𝑀𝑃𝑜
𝑁𝐴𝑎3
=
209 × 103
6,02 × 1023 × (335,2 × 10−12)3
= 9,22. 103
𝑘𝑔. 𝑚−3
(b) Structure cubique centré CC :
Maille conventionnelle : Paramètre de maille 𝑎, arête du cube.
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Les atomes se situent aux sommets et au centre du cube, la population vaut :
𝑍 = 8 ×
1
8
+ 1 = 2
La coordinence vaut 8 : les sommets du cube sont les plus proches voisins de l’atome centrale.
Compacité :
La tangence des atomes se fait selon la diagonale principale du cube
d’où :
4𝑅 = 𝑎√3 ⟹ 𝑅 =
𝑎√3
4
La compacité :
𝐶 =
=
8𝜋
3
𝑅3
(
4𝑅
√3
)
3
La compacité du réseau cubique centré vaut : 𝐶 =
𝜋√3
8
= 0,68.
La structure cubique centrée ne comprend pas de sites octaédriques et tétraédriques réguliers en
raison du mode d’empilement non compact.
La masse volumique : 𝜌 =
2𝑀
𝑁𝐴𝑎3
. Calculons la masse volumique pour le fer où 𝑀𝐹𝑒 = 55,9𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1
et
𝑎 = 286,6𝑝𝑚 :
𝜌 =
2 × 55,9. 10−3
6,02. 1023 × (286,6 × 10−12)3
= 7,9. 103
𝑘𝑔. 𝑚−3
Exercice 6 :
Le niobium Nb, élément de numéro atomique 𝑍 = 41 et de masse molaire
𝑀 = 92𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1
cristallise à température ambiante dans la structure cubique centrée CC de
paramètre de maille 𝑎 = 330𝑝𝑚. Les atomes occupent les sommets et le centre d’une maille
cubique, voir ci-contre.
1. Déterminer la population de la maille.
2. Calculer la masse volumique 𝜌 du niobium.
3. Déterminer le rayon métallique 𝑅 du niobium en précisant au préalable où a lieu le contact
entre les atomes.
4. Définir et calculer la compacité 𝐶 de la structure cubique centrée.
Réponse :
1. Un atome sur un des sommets est partagé entre huit mailles et compte pour 1/8, l’atome central
n’appartient qu’à une seule maille, donc :
8 ×
1
8
+ 1 = 2
2. la masse volumique 𝜌 du niobium :
𝜌 =
2𝑀
𝑁𝐴𝑎3
= 8,51. 103
𝑘𝑔. 𝑚−3
Chimie MPSI1
Cours de Chimie
Cristallographie

3. La tangence est le long de la diagonale principale du cube. Ainsi, en comptant successivement les
atomes :
𝑎√3 = 4𝑅 ⟹ 𝑅 =
𝑎√3
4
= 143𝑝𝑚
4. La compacité :
𝐶 =
=
8𝜋
3
𝑅3
(
4𝑅
√3
)
3 =
𝜋√3
8
= 0,68
III. Cristaux ioniques :
1. Définition et propriétés :
Les cristaux ioniques sont constitués d’éléments aux électronégativités très différentes. Ils ont pour
motifs des ions. Le solide ionique est électriquement neutre, il y a autant de charges positives que
négatives.
Modèle du cristal ionique parfait :
➢ Les ions sont assimilés à des sphères dures ;
➢ Le rayon de l’anion 𝑟−
est en général supérieur au rayon du cation 𝑟+
. On note 𝑥 =
𝑟+
𝑟−
le
paramètre cristallin. Le plus souvent ce paramètre est inférieur à 1.
➢ Les ions de même signe se repoussent et les ions de signe opposés s’attirent.
Description du cristal : Dans un cristal ionique, les anions imposent le système d’empilement alors
que les cations occupent les sites interstitiels.
➢ Il y a non tangence entre les anions pour éviter de trop fortes répulsions. On parle de contact
limite (ou limite de remplissage).
➢ Il y a tangence entre anions et cations pour maximiser les interactions attractives. On parle de
contact mixte.
Cohésion du cristal : La cohésion d’un cristal ionique est assurée par des liaisons ioniques. Les ions
de signes contraires s’attirent par des forces coulombiennes mais se repoussent quand les nuages
électroniques se touchent. La liaison ionique est non directionnelle et la charge est localisée sur les
ions. La liaison est forte 400 à 800 𝑘𝐽. 𝑚𝑜𝑙−1
.
La stabilité d’un cristal ionique résulte de l’interaction entre les différents ions qui le constituent. En
général, il est favorable qu’un maximum d’anions entoure de manière compacte chaque cation
(contact anion-cation). On suppose qu’un cristal ionique est stable si :
➢ Il y a contact (soit tangence) entre anions et cations plus proches voisins ;
➢ Il n’y a pas de contact anion-anion et cation-cation.
Les structures de coordinence anion/cation les plus élevées sont donc a priori plus stables, à
condition que cela n’implique pas une interpénétration des anions ! Dans ce modèle purement
géométrique, le rapport 𝑥 =
𝑟+
𝑟−
est déterminant.
On distingue quatre types de structures ioniques :
➢ Structure de type 𝑁𝑎𝐶𝑙 :
➢ Structure de type 𝐶𝑠𝐶𝑙 :
Chimie MPSI1
Cours de Chimie
Cristallographie

➢ Structure de type 𝑍𝑛𝑆 :
➢ Structure de type 𝐶𝑎𝐹2 :
Dans le tableau suivant on donne les propriétés des cristaux ioniques :
Propriétés
mécaniques
Cassants
Une déformation du cristal conduit à mettre face
à face des ions de même signe ce qui entraîne
l’apparition d’interactions coulombiennes
répulsives très importantes.
Propriétés
électriques
Isolants
À l’état solide, les ions occupent des positions
fixes et les charges sont localisées, ce qui
explique le caractère isolant.
Propriétés
thermiques
élevée
La liaison ionique étant une liaison forte,
l’énergie de liaison qui en résulte est donc
élevée.
2. Types de structures :
(a) Structure de type 𝑵𝒂𝑪𝒍 :
Contenu de la maille :
➢ Le chlorure de sodium est constitué de cations 𝑁𝑎+
de rayon 𝑟+
et d’anions 𝐶𝑙−
de rayon 𝑟−
.
➢ Les ions 𝐶𝑙−
occupent un réseau cubique à faces centrées.
➢ Les ions 𝑁𝑎+
occupent tous les sites octaédriques.
Population : 𝑍𝐶𝑙− = 8 ×
1
8
+ 6 ×
1
2
= 4 et 𝑍𝑁𝑎+ = 12 ×
1
4
+ 1 = 4 soit 4𝑁𝑎𝐶𝑙 par maille.
Coordinence d’un ion :
Dans un cristal ionique, la coordinence d’un ion est le
nombre d’ions de charge opposée situés à la distance la
plus courte de cet ion.
 Les cations occupent des sites octaédriques, ils sont donc
en contact avec 6 anions → coordinence 6.
 Les anions sont quant à eux en contact avec 6 cations
→ coordinence 6.
 Pour les solides ioniques, on note en général la
coordinence de la façon suivante : coordinence des cations -
coordinence des anions. On parlera donc de coordinence 6-
6 pour la structure de type 𝑁𝑎𝐶𝑙.
Chimie MPSI1
Cours de Chimie
Cristallographie

Tangence anion-cation : On considère les plus proches voisins placés sur une arête du cube. La
tangence anion-cation permet d'écrire l’égalité ci-dessous.
2(𝑟+
+ 𝑟−) = 𝑎
Remarque :
Si le modèle de liaison ionique n’est pas parfaitement adapté (parce que les liaisons sont légèrement
covalentes), on trouvera un paramètre de maille inférieur à celui prévu dans le cadre du modèle
ionique : les liaisons étant légèrement covalentes, elles sont plus courtes que des liaisons purement
ioniques donc la maille est plus petite.
Contact limite : Les anions disposés selon la diagonale d’une face du cube ne doivent pas être en
contact. La non-tangence anion-anion permet d’écrire l’inégalité :
𝑎√2 > 4𝑟−
⟹ 2√2(𝑟+
+ 𝑟−) > 4𝑟−
⟹ 2√2𝑟+
> (4 − 2√2)𝑟−
2√2𝑟+
> (4 − 2√2)𝑟−
⟹
𝑟+
𝑟−
>
4 − 2√2
2√2
𝑥 =
𝑟+
𝑟− d’où 𝑥 > 0,41. La stabilité de la structure est telle que :
0,41 < 𝑥 < 0,73
Compacité :
𝐶 =
4 (
4𝜋
3
(𝑟+3
+ 𝑟−3
))
𝑎3
=
16𝜋
3
(𝑟+3
+ 𝑟−3
)
23(𝑟+ + 𝑟−)3
=
16𝜋
3
𝑟−3
(1 +
𝑟+3
𝑟−3)
8𝑟−3 (1 +
𝑟+
𝑟−)
3
𝐶 =
16𝜋
3
(1 + 𝑥3)
8(1 + 𝑥)3
=
2𝜋
3
1 + 𝑥3
(1 + 𝑥)3
Pour le cas de 𝑁𝑎𝐶𝑙 on a : 𝑟+
= 95𝑝𝑚 et 𝑟−
= 181𝑝𝑚 ainsi 𝐶 = 0,67.
𝑁𝑎𝐼, 𝐾𝐹, 𝐶𝑎𝑂, 𝐾𝐶𝑙, …. se cristallisent selon une structure 𝑁𝑎𝐶𝑙.
La masse volumique : On donne 𝑀𝑁𝑎 = 23𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1
et 𝑀𝐶𝑙 = 35,5𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1
, 𝑟+
= 95𝑝𝑚 et 𝑟−
= 181𝑝𝑚
d’où 𝑎 = 2(𝑟+
+ 𝑟−) = 552𝑝𝑚.
𝜌 =
4(𝑀𝑁𝑎 + 𝑀𝐶𝑙)
𝑁𝐴𝑎3
= 2,31. 103
𝑘𝑔. 𝑚−3
(b) Structure de type 𝑪𝒔𝑪𝒍 :
Maille : Les ions 𝐶𝑙−
occupent un réseau cubique simple, et 𝐶𝑠+
occupe un site cubique.
Chimie MPSI1
Cours de Chimie
Cristallographie

Population : 𝑍𝐶𝑙− = 8 ×
1
8
= 1 , 𝑍𝐶𝑠+ = 1 ⟹ Il y a autant d’ions chlorure que d’ions césium dans le
cristal donc sa formule est 𝐶𝑠𝐶𝑙.
Coordinence : Un ion 𝐶𝑙−
possède huit ions 𝐶𝑠+
plus proches voisins et réciproquement, soit une
coordinence de 8-8.
Déterminons à quelle condition sur 𝑥 =
𝑟+
𝑟−
le cristal est stable :
Le contact anion-cation se fait selon la diagonale
principale du cube :
2(𝑟+
+ 𝑟−) = 𝑎√3
Absence de contact anion-anion :
2𝑟−
< 𝑎 ⟹ 2𝑟−
>
2(𝑟+
+ 𝑟−)
√3
𝑟−
√3 < (𝑟+
+ 𝑟−)
𝑟−
(√3 − 1) < 𝑟+
𝑟+
𝑟−
> √3 − 1
𝑥 =
𝑟+
𝑟− d’où la condition de stabilité :
0,73 < 𝑥 < 1
Compacité :
𝐶 =
4𝜋
3
(𝑟+3
+ 𝑟−3
)
𝑎3
=
4𝜋
3
(𝑟+3
+ 𝑟−3
)
23
3√3
(𝑟+ + 𝑟−)3
=
4𝜋
3
𝑟+3
(1 +
𝑟+3
𝑟−3)
8
3√3
𝑟+3
(1 +
𝑟+
𝑟−)
3 ⟹ 𝐶 =
𝜋√3(1 + 𝑥3)
2(1 + 𝑥)3
Pour 𝐶𝑠𝐶𝑙 : 𝑥 =
𝑟+
𝑟− =
167
181
= 0,92 d’où 𝐶 = 0,68.
𝐶𝑠𝐵𝑟, 𝐶𝑠𝐶𝑙, 𝐶𝑠𝐼 et 𝑁𝐻4𝐶𝑙 se cristallisent selon une structure de type 𝐶𝑠𝐶𝑙.
(c) Structure de type 𝒁𝒏𝑺 Blende :
Maille : Les ions 𝑆2−
occupent un réseau cubique simple, et 𝑍𝑛2+
occupe la moitié des sites
tétraédriques de façon adjacente.
Population : 𝑍𝑆2− = 8 ×
1
8
+ 6 ×
1
2
= 4 , 𝑍𝑍𝑛2+ = 4 ⟹ Il y a autant d’ions chlorure que d’ions césium
dans le cristal donc sa formule est 𝑍𝑛𝑆. La maille contient 4 𝑍𝑛𝑆 par maille.
Chimie MPSI1
Cours de Chimie
Cristallographie

La maille contient 4 𝑍𝑛𝑆 par maille.
Les coordinences sont égales 4 pour 𝑆2−
et or
𝑍𝑛2+
occupe un site tétraédrique alors il est entouré par
4 ions de 𝑆2−
.
La coordinence est 4-4.
Condition de contact anion-cation : 𝑍𝑛2+
occupe
un site tétraédrique le contact anion-cation se
fait selon la moitié de la diagonale principale du
cube d’arête
𝑎
2
.
𝑟+
+ 𝑟−
=
𝑎√3
4
⟹ 𝑎 =
4(𝑟+
+ 𝑟−)
√3
Absence de contact anion-anion est telle que :
2𝑟−
≤
𝑎√2
2
⟹ 2𝑟−
≤
√2
2
×
4(𝑟+
+ 𝑟−)
√3
𝑟−
≤
√2
√3
(𝑟+
+ 𝑟−)
𝑟−
(1 −
√2
√3
) ≤
√2
√3
𝑟+
Or 𝑥 =
𝑟+
𝑟−
la condition de stabilité de la structure s’exprime par : 0,225 ≤ 𝑥 ≤0,414
Compacité :
𝐶 =
16𝜋
3
(𝑟+3
+ 𝑟−3
)
𝑎3
=
16𝜋
3
(𝑟+3
+ 𝑟−3
)
(
4(𝑟+ + 𝑟−)
√3
)
3 =
16𝜋
3
(
4
√3
)
3
𝑟−3
(1 +
𝑟+3
𝑟−3)
𝑟−3 (1 +
𝑟+
𝑟−)
3
𝐶 =
𝜋√3
4
(1 + 𝑥3)
(1 + 𝑥)3
𝑟+
= 60𝑝𝑚, 𝑟−
= 184𝑝𝑚 ⟹ 𝑥 =
𝑟+
𝑟− =
60
184
= 0,32 d’où 𝐶 = 0,61.
(d) Structure de type 𝑪𝒂𝑭𝟐 Fluroine :
On distingue deux cas :
 Les ions 𝐶𝑎2+
occupent un réseau cubique à faces centrées et les ions 𝐹−
occupent tous les sites
tétraédriques.
Chimie MPSI1
Cours de Chimie
Cristallographie

 Les ions 𝐹−
occupent un réseau cubique à faces centrées et tous les sites octaédriques et les ions
𝐶𝑎2+
occupent la moitié des sites tétraédrique de façon adjacente.
Population de la maille : 𝑍𝐹− =8×
1
8
+ 12 ×
1
4
+ 1 = 8 et 𝑍𝐶𝑎2+ = 4. La maille contient 4 𝐶𝑎𝐹2 par
maille.
Coordinence : 𝐹−
est entouré par 4 𝐶𝑎2+
, 𝐶𝑎2+
est entouré par 8 𝐹−
, soit une coordinence 8-4.
Exercice 7 : Structure et propriétés de la fluorine
La fluorine possède une structure cubique de paramètre de maille 𝑎. Ce système est constitué
d’ions 𝐶𝑎2+
distribués sur un réseau CFC et d’ions 𝐹−
placés dans tous les sites tétraédriques. On
donne : 𝑟+
= 99𝑝𝑚, 𝑟−
= 133𝑝𝑚 et 𝑀𝑪𝒂𝑭𝟐
= 78,08𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1
.
1. Construire la maille cristallographique de la fluorine.
2. Déterminer le nombre de motif par maille puis calculer la coordinence du cristal.
3. Calculer la valeur de 𝑎. Les ions sont-ils en contact ?
4. Calculer la compacité de la structure.
5. Trouver la masse volumique 𝜌 de la fluorine.
Réponse :
1. Maille :
2. 𝑍𝐹− =8×
1
8
+ 12 ×
1
4
+ 1 = 8 et 𝑍𝐶𝑎2+ = 4. La maille contient 4 𝐶𝑎𝐹2 par maille. 𝐹−
est entouré par 4
𝐶𝑎2+
, 𝐶𝑎2+
est entouré par 8 𝐹−
, soit une coordinence 8-4.
3. 𝐶𝑎2+
et 𝐹−
sont tangents selon la grande diagonale principale du cube de coté
𝑎
2
:
2(𝑟+
+ 𝑟−) =
𝑎√3
2
⟹ 𝑎 =
4(𝑟+
+ 𝑟−)
√3
= 536𝑝𝑚
𝐶𝑎2+
et 𝐹−
sont tangents, les ions 𝐹−
sont tangents.
4. Compacité :
𝐶 =
16𝜋
3
𝑟+3
+
32𝜋
3
𝑟+3
𝑎3
= 0,61
Chimie MPSI1
Cours de Chimie
Cristallographie

5. Masse volumique :
𝜌 =
4𝑀𝐶𝑎𝐹2
𝑁𝐴𝑎3
= 3,37. 103
𝑘𝑔. 𝑚−3
IV. Cristaux covalents :
 Les éléments dont le symbole est noté sont ceux formant des cristaux covalents.
 Motifs : Les cristaux covalents ont pour motifs des atomes.
 Description du cristal : Sauf exception telle que le graphite, les cristaux covalents sont formés
d’une seule entité s’étendant dans les trois directions de l’espace.
 Cohésion du cristal : La cohésion d’un cristal covalent est assurée par des liaisons covalentes
(liaisons fortes d’énergie de liaison de l’ordre de 200 à 1000 𝑘𝐽. 𝑚𝑜𝑙−1
). La liaison covalente est
directionnelle (la densité électronique est maximale dans une direction privilégiée, celle reliant les
deux centres atomiques) et les électrons sont localisés entre les atomes (sauf dans le cas du graphite).
Propriétés
mécaniques
Grande dureté (excepté le
graphite)
La liaison covalente est une liaison directionnelle
et forte qui empêche toute déformation
Propriétés
électriques
Isolants (excepté le
graphite ou les semi-
conducteurs tels que le
silicium)
Les électrons de la liaison covalente restent
localisés entre les atomes, ils ne sont donc pas
mobiles. (À l’exception de graphite)
Propriétés
thermiques
Température de fusion très
élevée
La liaison covalente étant une liaison forte,
l’énergie de liaison qui en résulte est donc
élevée.
2. Structure de type diamant :
Quelques constatations expérimentales : le diamant est très dur, isolant, et a une température de
fusion très élevée : les liaisons covalentes C-C sont localisées (pas de délocalisation des électrons),
directionnelles, et très difficiles à rompre.
Chimie MPSI1
Cours de Chimie
Cristallographie

Contenu de la maille : Les atomes du carbone occupent un réseau cubique à faces centrées et la
moitié des sites tétraédriques de façon adjacentes.
Population : 𝑍 = 8 ×
1
8
+ 6 ×
1
2
+ 4 = 8 soit 8 atomes de carbone par maille.
Coordinence : le carbone occupe des sites tétraédriques, soit une coordinence de 4.
Tous les électrons sont engagés dans des liaisons covalentes. Le carbone diamant est un isolant
électrique.
Relation entre 𝑟 et 𝑎 : La tangence des atomes se fait selon la demi-diagonale principale du cube
d’arête
𝑎
2
d’où :
𝑎
√3
4
= 2𝑟 ⟹ 𝑟 = 𝑎
√3
8
; 𝑎 =
8𝑟
√3
𝑟 = 77𝑝𝑚 le paramètre de la maille vaut 𝑎 = 355,65𝑝𝑚.
 Compacité :
𝐶 =
32𝜋
3
𝑟3
𝑎3
=
32𝜋
3
𝑟3
(
8𝑟
√3
)
3 = 0,34
 La masse volumique de la maille : on donne 𝑎 = 355,65𝑝𝑚 et 𝑀𝐶 = 12𝑔. 𝑚𝑜𝑙−1
𝜌 =
8𝑀𝑐
𝑁𝐴𝑎3
= 3,54. 103
𝑘𝑔. 𝑚−3
3. Structure de type graphite :
Quelques constatations expérimentales : le graphite est très friable (intérêt pour les mines de crayon)
et de température de fusion très élevée. Le graphite est un conducteur électrique.
Description : Le graphite est une superposition de plans de graphène faiblement liés les uns aux
autres Le graphène est un réseau hexagonal plan. Chaque atome de carbone est lié à ses 3 plus
proches voisins
Plan de graphène Graphite
Le graphite est constitué par un empilement de feuillets, distants de 335 pm :
➢ La cohésion entre feuillets est assurée par des interactions de Van der Waals (interactions
faibles), c’est pourquoi le graphite est très friable.
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Cours de Chimie
Cristallographie

➢ Dans un feuillet (plan de graphène), les atomes de C forment des hexagones réguliers d’arête.
Les liaisons sont covalentes. Les liaisons dans un plan sont donc fortes (𝑇𝑓𝑢𝑠 très élevée), et on
observe une délocalisation électronique (conduction électrique).
➢ Les feuillets sont superposés de manière qu’un atome du plan 𝐴 soit au milieu d’un hexagone
du plan 𝐵.
La maille du graphite est hexagonale, les paramètres sont 𝑎 = 𝑏 = 245,1𝑝𝑚 et 𝑐 = 670,8𝑝𝑚.
𝑐
𝑎
=
670,8
245,1
= 2,73 la structure n’est pas compacte. La maille contient 8 atomes aux sommets, 2 sur les
bases, 4 sur les arêtes latérales et une à l’intérieur.
𝑍 = 8 ×
1
8
+ 2 ×
1
2
+ 4 ×
1
4
+ 1 = 4
Compacité :
La distance entre deux plans de graphène vaut
𝑐
2
= 335𝑝𝑚 Le rayon covalent du carbone vaut
𝑅 = 71𝑝𝑚.
Volume d’une maille : 𝑉𝑚𝑎𝑖𝑙𝑙𝑒 = 𝑎. (𝑏
⃗ ∧ 𝑐) =
√3
2
𝑎2
𝑐
Exprimons 𝑎 en fonction de 𝑅 :
𝑎 = 2𝑅 =
ℎ
𝑐𝑜𝑠
𝜋
6
Or la tangence entre plus proches voisins impose :
2ℎ
3
= 𝑅
Or 𝑍 = 4 d’où, finalement :
𝐶 =
2𝜋𝑅
3√3𝑐
= 0,17.
Le graphite est très peu compact.
V. Cristaux moléculaires :
 Motifs : Les cristaux moléculaires ont pour motifs des molécules.
 Description du cristal : Un cristal moléculaire est constitué de molécules en interaction les unes
avec les autres.
Chimie MPSI1
Cours de Chimie
Cristallographie

 Cohésion du cristal : La cohésion du cristal moléculaire est assurée par des liaisons faibles de Van
der Waals (1 à 10 𝑘𝐽. 𝑚𝑜𝑙−1
) et éventuellement des liaisons hydrogène (10 à 50 𝑘𝐽. 𝑚𝑜𝑙−1
). Ces
liaisons de Van der Waals sont non directionnelles alors que les liaisons hydrogène sont
directionnelles.
Propriétés
mécaniques
Fragiles
Les liaisons intermoléculaires (liaisons de Van
der Waals et hydrogène) sont des liaisons faibles
Propriétés
électriques
Isolants
Les électrons ne sont pas mobiles car impliqués
dans les liaisons covalentes
Propriétés
thermiques
faible
Les liaisons intermoléculaires (liaisons de Van
der Waals et hydrogène) étant des liaisons
faibles, l’énergie de liaison qui en résulte est
donc faible.
2. Structure de la glace :
L’eau solide présente plusieurs variétés allotropiques. Pour des pressions élevées, la glace a une
structure de type diamant : les atomes d’oxygène occupent les emplacements des atomes de carbone
dans le diamant.
Dans la glace, la cohésion est principalement assurée par des liaisons hydrogène (mais aussi de Van
der Waals).
Les atomes 𝑂 occupent les emplacements des atomes de carbone dans le diamant tandis que les
atomes 𝐻 se placent entre deux atomes 𝑂 , à distance 𝑑𝑂𝐻 = 100𝑝𝑚 ; des uns (liaison covalente) et à
distance 𝑑𝐻 = 176𝑝𝑚 des autres (liaison hydrogène). Chaque molécule d’eau est entourée de 4
doublets :
➢ Deux liants : liaisons covalentes avec 2 atomes
d’hydrogène H.
➢ Deux non liants : doublets libres présentant 2
liaisons hydrogène avec 2 atomes de 2 d’oxygène de
2 autres molécules d’eau.
On considère un atome d’oxygène placé au centre d’un
tétraèdre situé dans un cube de coté
𝑎
2
:
𝑑𝐻 + 𝑑𝑂𝐻 =
𝑎√3
4
⟹ 𝑎 = 638𝑝𝑚
Nombre de molécules par maille est le même nombre d’oxygène par maille, soit :
𝑍 = 4 ×
1
4
+ 6 ×
1
2
+ 8 ×
1
8
= 8
Soit 8 molécules d’eau par maille.
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