Le document traite de l'intégration et du calcul d'aires délimitées par des fonctions, notamment des fonctions affines et des courbes comme les paraboles. Il présente des exemples pratiques où l'aire est calculée à l'aide de triangles et de trapèzes, ainsi qu'une méthode pour travailler avec des surfaces ayant un bord courbe en utilisant des rectangles pour approcher l'aire recherchée. La conclusion souligne l'importance de la limite des sommes de rectangles pour déterminer avec précision l'aire sous la courbe d'une fonction continue.

1. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Chapitre 11 : Intégration
Terminale S
N Gilbert
2011-2012
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

2. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
On sait calculer l’aire d’un triangle, d’un carré, d’un trapèze, d’un
quadrilatère en général.
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

3. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
On sait calculer l’aire d’un triangle, d’un carré, d’un trapèze, d’un
quadrilatère en général.
On peut ainsi calculer une aire délimitée par l’axe des abscisses, deux
droites verticales, et une fonction particulière (une fonction affine).
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

4. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Exemple 1
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite
d’équation y = 2x).
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

5. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Exemple 1
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite
d’équation y = 2x).
L’aire cherchée est l’aire d’un triangle.
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

6. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Exemple 1
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite
d’équation y = 2x).
L’aire cherchée est l’aire d’un triangle.
base × hauteur
A=
2
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

7. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Exemple 1
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite
d’équation y = 2x).
L’aire cherchée est l’aire d’un triangle.
base × hauteur
A=
2
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

8. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Exemple 1
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = 0 et x = 3, et la courbe d’une fonction affine (droite
d’équation y = 2x).
L’aire cherchée est l’aire d’un triangle.
base × hauteur 3×6
A= = = 9 unités d’aire.
2 2
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9. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
1
f (x) = − x + 4.
2
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10. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
1
f (x) = − x + 4.
2
L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze.
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11. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
1
f (x) = − x + 4.
2
L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze.
(BASE + base) × hauteur
A=
2
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

12. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
1
f (x) = − x + 4.
2
L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze.
(BASE + base) × hauteur
A=
2
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

13. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
1
f (x) = − x + 4.
2
L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze.
(BASE + base) × hauteur
A= =
2
(f (−1) + f (5)) × (5 − (1))
2
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14. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
1
f (x) = − x + 4.
2
L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze.
(BASE + base) × hauteur
A= =
2
(f (−1) + f (5)) × (5 − (1)) (9 + 3) × 6
= 2 2
2 2
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15. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Exemple 2
On désire calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites
d’équations x = −1 et x = 5 et la droite représentant la fonction affine
1
f (x) = − x + 4.
2
L’aire cherchée est l’aire d’un trapèze.
(BASE + base) × hauteur
A= =
2
(f (−1) + f (5)) × (5 − (1)) (9 + 3) × 6
= 2 2 = 18
2 2
unités d’aire.
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16. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Présentation
Comment calculer l’aire d’une surface ayant un bord courbe ?
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17. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Présentation
Comment calculer l’aire d’une surface ayant un bord courbe ?
Exemple
Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations
x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 .
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

18. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
La méthode
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

19. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
La méthode
On travaille avec la fonction carrée sur [0; 1].
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

20. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
La méthode
On travaille avec la fonction carrée sur [0; 1].
On découpe l’aire en un certain nombre de
rectangles et on ajoute les aires de ces rectangles.
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21. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
2 possibilités
Rectangles inférieurs
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22. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
2 possibilités
Rectangles inférieurs Rectangles supérieurs
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

23. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Réglage de la précision
Comment augmenter la précision ?
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

24. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Réglage de la précision
Comment augmenter la précision ?
En augmentant le nombre de rectangles.
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

25. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Réglage de la précision
Comment augmenter la précision ?
En augmentant le nombre de rectangles.
On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) :
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

26. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Réglage de la précision
Comment augmenter la précision ?
En augmentant le nombre de rectangles.
On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) :
un désignant la somme des n rectangles inférieurs ;
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

27. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Réglage de la précision
Comment augmenter la précision ?
En augmentant le nombre de rectangles.
On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) :
un désignant la somme des n rectangles inférieurs ;
vn désignant la somme des n rectangles supérieurs.
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

28. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Réglage de la précision
Comment augmenter la précision ?
En augmentant le nombre de rectangles.
On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) :
un désignant la somme des n rectangles inférieurs ;
vn désignant la somme des n rectangles supérieurs.
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

29. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Réglage de la précision
Comment augmenter la précision ?
En augmentant le nombre de rectangles.
On définie ainsi 2 suites (un ) et (vn ) :
un désignant la somme des n rectangles inférieurs ;
vn désignant la somme des n rectangles supérieurs.
Plus n est grand, plus les 2 aires sont proches et plus on se rapproche de
l’aire recherchée.
voir fichier geogebra
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30. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Calcul de un
On a partagé l’intervalle [0; 1] en n
Rectangles inférieurs intervalles.
Quelle est la largeur de chaque rectangle ?
Quelle est l’aire du premier rectangle ? du
deuxième ? ... du dernier ?
Écrire un sous la forme d’une somme et la
calculer.
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

31. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Calcul de un
On a partagé l’intervalle [0; 1] en n
Rectangles inférieurs intervalles.
Quelle est la largeur de chaque rectangle ?
Quelle est l’aire du premier rectangle ? du
deuxième ? ... du dernier ?
Écrire un sous la forme d’une somme et la
calculer.
(n − 1)(2n − 1)
un =
6n2
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32. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Calcul de vn
On a partagé l’intervalle [0; 1] en n
Rectangles supérieurs intervalles.
Quelle est la largeur de chaque rectangle ?
Quelle est l’aire du premier rectangle ? du
deuxième ? ... du dernier ?
Écrire vn sous la forme d’une somme et la
calculer.
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

33. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Calcul de vn
On a partagé l’intervalle [0; 1] en n
Rectangles supérieurs intervalles.
Quelle est la largeur de chaque rectangle ?
Quelle est l’aire du premier rectangle ? du
deuxième ? ... du dernier ?
Écrire vn sous la forme d’une somme et la
calculer.
(n + 1)(2n + 1)
un =
6n2
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

34. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Réponse au problème
Rappel de l’énoncé
Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations
x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 .
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

35. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Réponse au problème
Rappel de l’énoncé
Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations
x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 .
L’aire recherchée est encadrée par les deux termes un et vn .
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

36. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Réponse au problème
Rappel de l’énoncé
Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations
x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 .
L’aire recherchée est encadrée par les deux termes un et vn .
En faisant tendre n vers +∞, on obtient l’aire recherchée.
N Gilbert Chapitre 11 : Intégration

37. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
Réponse au problème
Rappel de l’énoncé
Calculer l’aire délimitée par l’axe des abscisses, les droites d’équations
x = 0 et x = 1, et la parabole d’équation y = x 2 .
L’aire recherchée est encadrée par les deux termes un et vn .
En faisant tendre n vers +∞, on obtient l’aire recherchée.
1
lim un = lim vn =
n→+∞ n→+∞ 3
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38. Introduction
Exemples
Le problème
Résumé et notations
A retenir
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b] et C sa
courbe représentative.
L’aire du domaine délimité par l’axe des abscisses, C , et les droites
d’équations x = a et x = b est notée :
b
f (x)dx.
a
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