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Intervalles de fluctuation
  Intervalles de confiance
               Conclusion




Seconde : Échantillonnage
        Intervalles de fluctuations
         Intervalles de confiance


                Nicolas Gilbert



                    2011-2012




          Nicolas Gilbert   Seconde : Échantillonnage
Intervalles de fluctuation
                     Intervalles de confiance
                                  Conclusion




Intervalle de fluctuation
On considère des échantillons de taille n relevant du schéma de Bernoulli
de probabilité p connue.
On peut établir que pour 95 % de ces échantillons, la fréquence
correspondante appartient à l’intervalle :

                                  1     1
                               p−√ ; p+√ .
                                   n     n

Cet intervalle est appelé intervalle de fluctuation au seuil de 95 %.
Cette situation correspond aux cas n            25 et 0, 2         p       0, 8.




                             Nicolas Gilbert   Seconde : Échantillonnage
Intervalles de fluctuation
                     Intervalles de confiance
                                  Conclusion




Prendre une décision à partir d’un échantillon
Pour savoir si une fréquence f observée à partir d’un échantillon de taille
n est compatible ou non avec un modèle de Bernoulli de probabilité
connue p, on teste l’appartenance de f à l’intervalle de fluctuation au
seuil de 95 %.
    Si f n’est pas dans l’intervalle, alors on peut rejeter l’hypothèse
    que l’échantillon soit compatible avec le modèle avec un risque de
    5 %.
    Si f est dans l’intervalle, on accepte l’hypothèse que l’échantillon
    soit compatible avec le modèle sans connaître le risque d’erreur.




                             Nicolas Gilbert   Seconde : Échantillonnage
Intervalles de fluctuation
                     Intervalles de confiance
                                  Conclusion




Exemple
Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type
« grains ponctuels sur le capot ». Lorsque le processus est sous contrôle,
on a 20 % de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 50
véhicules, on observe 26 % de défauts.
Que faut-il en penser ?




                             Nicolas Gilbert   Seconde : Échantillonnage
Intervalles de fluctuation
                    Intervalles de confiance
                                 Conclusion




Intervalle de confiance
Si p est inconnue mais que l’on procède à un tirage donnant une valeur
de f , on peut dire que dans environ 95 % des tirages on a :

                                1      1
                         p∈ f −√ ; f +√ .
                                 n      n

Cet intervalle est appelé intervalle de confiance ou fourchette de
sondage.




                            Nicolas Gilbert   Seconde : Échantillonnage
Intervalles de fluctuation
                     Intervalles de confiance
                                  Conclusion




Exemple
Lors du premier tour des élections présidentielles de 2002, le dernier
sondage publié par l’institut BVA, effectué sur 1000 électeurs le vendredi
19/04/02, prévoyait :
    Jacques Chirac à 19 %
    Lionel Jospin à 18 %
    Jean-Marie LePen à 14 %
On ne connait pas p (que l’on cherche à estimer) mais f .

Déterminer les intervalles de confiance.
En déduire toutes les possibilités pour le second tour.




                             Nicolas Gilbert   Seconde : Échantillonnage
Intervalles de fluctuation
                     Intervalles de confiance
                                  Conclusion




Quand on lit le résultat du sondage
« Il y a 18 % des français qui voteraient pour Lionel Jospin »,
il faut en fait comprendre
« Il y a 95 % de chances pour que l’intervalle [15 % ; 21 %] contienne le
pourcentage de français prêts à voter pour Lionel Jospin au premier tour
de l’élection ».




                             Nicolas Gilbert   Seconde : Échantillonnage
Intervalles de fluctuation
                     Intervalles de confiance
                                  Conclusion




Les résultats obtenus à l’issue du premier tout de l’élection par les
différents candidats :
    Jacques Chirac à 19,88 %
    Lionel Jospin à 16,18 %
    Jean-Marie LePen à 16,86 %

Doit-on considérer le sondage comme « faux » ?




                             Nicolas Gilbert   Seconde : Échantillonnage
Intervalles de fluctuation
                       Intervalles de confiance
                                    Conclusion


En conclusion...



  Intervalle de fluctuation
  On connait p et on prend une décision concernant une population à
  partir de la fréquence f observée sur un échantillon.

  Intervalle de confiance
  On ne connait pas p mais on cherche à l’estimer à partir de la
  fréquence f observée sur un échantillon.




                               Nicolas Gilbert   Seconde : Échantillonnage

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échantillonnage

  • 1. Intervalles de fluctuation Intervalles de confiance Conclusion Seconde : Échantillonnage Intervalles de fluctuations Intervalles de confiance Nicolas Gilbert 2011-2012 Nicolas Gilbert Seconde : Échantillonnage
  • 2. Intervalles de fluctuation Intervalles de confiance Conclusion Intervalle de fluctuation On considère des échantillons de taille n relevant du schéma de Bernoulli de probabilité p connue. On peut établir que pour 95 % de ces échantillons, la fréquence correspondante appartient à l’intervalle : 1 1 p−√ ; p+√ . n n Cet intervalle est appelé intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. Cette situation correspond aux cas n 25 et 0, 2 p 0, 8. Nicolas Gilbert Seconde : Échantillonnage
  • 3. Intervalles de fluctuation Intervalles de confiance Conclusion Prendre une décision à partir d’un échantillon Pour savoir si une fréquence f observée à partir d’un échantillon de taille n est compatible ou non avec un modèle de Bernoulli de probabilité connue p, on teste l’appartenance de f à l’intervalle de fluctuation au seuil de 95 %. Si f n’est pas dans l’intervalle, alors on peut rejeter l’hypothèse que l’échantillon soit compatible avec le modèle avec un risque de 5 %. Si f est dans l’intervalle, on accepte l’hypothèse que l’échantillon soit compatible avec le modèle sans connaître le risque d’erreur. Nicolas Gilbert Seconde : Échantillonnage
  • 4. Intervalles de fluctuation Intervalles de confiance Conclusion Exemple Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type « grains ponctuels sur le capot ». Lorsque le processus est sous contrôle, on a 20 % de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 50 véhicules, on observe 26 % de défauts. Que faut-il en penser ? Nicolas Gilbert Seconde : Échantillonnage
  • 5. Intervalles de fluctuation Intervalles de confiance Conclusion Intervalle de confiance Si p est inconnue mais que l’on procède à un tirage donnant une valeur de f , on peut dire que dans environ 95 % des tirages on a : 1 1 p∈ f −√ ; f +√ . n n Cet intervalle est appelé intervalle de confiance ou fourchette de sondage. Nicolas Gilbert Seconde : Échantillonnage
  • 6. Intervalles de fluctuation Intervalles de confiance Conclusion Exemple Lors du premier tour des élections présidentielles de 2002, le dernier sondage publié par l’institut BVA, effectué sur 1000 électeurs le vendredi 19/04/02, prévoyait : Jacques Chirac à 19 % Lionel Jospin à 18 % Jean-Marie LePen à 14 % On ne connait pas p (que l’on cherche à estimer) mais f . Déterminer les intervalles de confiance. En déduire toutes les possibilités pour le second tour. Nicolas Gilbert Seconde : Échantillonnage
  • 7. Intervalles de fluctuation Intervalles de confiance Conclusion Quand on lit le résultat du sondage « Il y a 18 % des français qui voteraient pour Lionel Jospin », il faut en fait comprendre « Il y a 95 % de chances pour que l’intervalle [15 % ; 21 %] contienne le pourcentage de français prêts à voter pour Lionel Jospin au premier tour de l’élection ». Nicolas Gilbert Seconde : Échantillonnage
  • 8. Intervalles de fluctuation Intervalles de confiance Conclusion Les résultats obtenus à l’issue du premier tout de l’élection par les différents candidats : Jacques Chirac à 19,88 % Lionel Jospin à 16,18 % Jean-Marie LePen à 16,86 % Doit-on considérer le sondage comme « faux » ? Nicolas Gilbert Seconde : Échantillonnage
  • 9. Intervalles de fluctuation Intervalles de confiance Conclusion En conclusion... Intervalle de fluctuation On connait p et on prend une décision concernant une population à partir de la fréquence f observée sur un échantillon. Intervalle de confiance On ne connait pas p mais on cherche à l’estimer à partir de la fréquence f observée sur un échantillon. Nicolas Gilbert Seconde : Échantillonnage