échantillonnage

Intervalles de fluctuation
Intervalles de confiance
Conclusion

Seconde : Échantillonnage
Intervalles de fluctuations

Nicolas Gilbert

2011-2012

Nicolas Gilbert Seconde : Échantillonnage

Conclusion

Intervalle de ﬂuctuation
On considère des échantillons de taille n relevant du schéma de Bernoulli
de probabilité p connue.
On peut établir que pour 95 % de ces échantillons, la fréquence
correspondante appartient à l’intervalle :

1 1
p−√ ; p+√ .
n n

Cet intervalle est appelé intervalle de ﬂuctuation au seuil de 95 %.
Cette situation correspond aux cas n 25 et 0, 2 p 0, 8.


Conclusion

Prendre une décision à partir d’un échantillon
Pour savoir si une fréquence f observée à partir d’un échantillon de taille
n est compatible ou non avec un modèle de Bernoulli de probabilité
connue p, on teste l’appartenance de f à l’intervalle de ﬂuctuation au
seuil de 95 %.
Si f n’est pas dans l’intervalle, alors on peut rejeter l’hypothèse
que l’échantillon soit compatible avec le modèle avec un risque de
5 %.
Si f est dans l’intervalle, on accepte l’hypothèse que l’échantillon
soit compatible avec le modèle sans connaître le risque d’erreur.


Conclusion

Exemple
Dans une usine automobile, on contrôle les défauts de peinture de type
« grains ponctuels sur le capot ». Lorsque le processus est sous contrôle,
on a 20 % de ce type de défauts. Lors du contrôle aléatoire de 50
véhicules, on observe 26 % de défauts.
Que faut-il en penser ?


Conclusion

Intervalle de conﬁance
Si p est inconnue mais que l’on procède à un tirage donnant une valeur
de f , on peut dire que dans environ 95 % des tirages on a :

1 1
p∈ f −√ ; f +√ .
n n

Cet intervalle est appelé intervalle de conﬁance ou fourchette de
sondage.


Conclusion

Exemple
Lors du premier tour des élections présidentielles de 2002, le dernier
sondage publié par l’institut BVA, eﬀectué sur 1000 électeurs le vendredi
19/04/02, prévoyait :
Jacques Chirac à 19 %
Lionel Jospin à 18 %
Jean-Marie LePen à 14 %
On ne connait pas p (que l’on cherche à estimer) mais f .

Déterminer les intervalles de conﬁance.
En déduire toutes les possibilités pour le second tour.


Conclusion

Quand on lit le résultat du sondage
« Il y a 18 % des français qui voteraient pour Lionel Jospin »,
il faut en fait comprendre
« Il y a 95 % de chances pour que l’intervalle [15 % ; 21 %] contienne le
pourcentage de français prêts à voter pour Lionel Jospin au premier tour
de l’élection ».


Conclusion

Les résultats obtenus à l’issue du premier tout de l’élection par les
diﬀérents candidats :
Jacques Chirac à 19,88 %
Lionel Jospin à 16,18 %
Jean-Marie LePen à 16,86 %

Doit-on considérer le sondage comme « faux » ?


Conclusion

En conclusion...

Intervalle de ﬂuctuation
On connait p et on prend une décision concernant une population à
partir de la fréquence f observée sur un échantillon.

Intervalle de conﬁance
On ne connait pas p mais on cherche à l’estimer à partir de la
fréquence f observée sur un échantillon.


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