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Cours schématique
Théorie de la
production
1-803-96 Analyse microéconomique
B02 et J10 automne 2005
Guillermo Yanez
2
Thèmes abordés
 Les facteurs de production
 Les horizons temporels
 La production à court terme
 Production à long terme: les
isoquantes
 Les rendements à l’échelle
 Exemples
3
Que cherchons-nous à comprendre?
Le comportement du producteur
Objectif ultime du producteur :
maximiser ses profits sous sa contrainte de coûts
Il faut donc comprendre:
 Comment le producteur prend ses décisions: quels facteurs
de production employer et en quelles quantités afin de
minimiser les coûts?
 Comment les coûts varient en fonction de la production?
4
1. Présenter la production, identifier les phénomènes qui
l’affectent à court et à long terme, et en déduire ses
principales caractéristiques.
2. Présenter les coûts, la manière de les comptabiliser,
leur comportement selon l’horizon temporel considéré
et selon le niveau de production (chapitre 7).
3. Le choix de la combinaison optimale de facteurs de
production (chapitre 7)
4. Utiliser les notions précédentes pour comprendre
comment la firme détermine son niveau de production
et son prix de vente dans différentes structures de
marché (chapitres 8,10, 11 et 12).
Comment allons-nous procéder?
5
1. La technologie de production
Qu’est-ce que la production?
↓
Transformation des matières premières et des biens
intermédiaires en biens et services à l’aide
de facteurs de production
Quels sont les facteurs de production?
↓
 le travail, i.e. l’ensemble des ressources humaines
l’entrepreneurship ⇒ L
 le capital, i.e. machines, bâtiments, équipement ⇒
K
 La terre, ⇒ T. On va exclure celle-ci et la fusionner
avec le K.
Comment exprimer le lien qui existe entre les facteurs de production et
la quantité produite?
↓
La fonction de production
Q = f(K,L)
● La fonction de production décrit la relation entre la
quantité produite d’un bien et les quantités des différents
facteurs nécessaires à sa fabrication.
● La fonction de production décrit ce qui est
techniquement réalisable si la firme utilise de manière
efficace ses facteurs de production. Ceci est représenté
par la fonction f(·)
À quoi la fonction de production servira-t-elle?
↓
Elle aide le producteur à choisir la quantité de K et L
Mais les choix du producteur sont limités
par l’horizon temporel envisagé
Exemple : Ford veut augmenter la production
1) Embaucher davantage de travailleurs (↑L) : réalisable rapidement
2) Construire une nouvelle usine ou installer une nouvelle chaîne de montage (↑K) : peut nécessiter plusieurs années
Il faut donc distinguer
Court terme vs Long terme
8
2. Les horizons temporels
Court terme
Seul un facteur de production varie (L) tandis que l’autre
est maintenu constant (K) → K est fixe.
Les capacités de production sont constantes.
Variation de l’utilisation des capacités de production.
Q = f (K,L)
Long terme
Tous les facteurs de production (K et L) sont variables.
Horizon suffisamment long pour changer les capacités de production.
Ex : modifier les technologies de production dans une usine.
Remarque
Il est impossible de déterminer dans l’absolu à quelles durées correspondent le court terme et le
long terme. Ces durées varient selon les situations. (Ici on ne peut pas se fier aux conventions
comptables)
Q = f (K,L)
9
3. La production à court terme
la seule manière d’augmenter la
production est d’augmenter L.
↓
Combien de travailleurs embaucher?
Quelle quantité produire?
Pour pouvoir répondre à ces questions, il faut déterminer
comment la production augmente (ou diminue) quand
le nombre de travailleurs augmente (ou diminue).
Q = f (K,L)
Puisque
L K PT
(Q)
PM
(Q/L)
Pm
ΔQ/ΔL
0 10 0 - -
1 10 10 10 10
2 10 30 15 20
3 10 60 20 30
4 10 80 20 20
5 10 95 19 15
6 10 108 18 13
7 10 112 16 4
8 10 112 14 0
9 10 108 12 -4
10 10 100 10 -8
Remarques:
• La production totale (PT)
augmente avec le nombre de
travailleurs.
• Au début, la production totale
augmente rapidement
• Ensuite la croissance est plus
lente.
• Elle atteint un plafond à 112
unités lorsque la firme emploie
7 ou 8 travailleurs.
• Elle baisse lorsque la firme
augmente encore le nombre de
travailleurs
Tab. 6.2
La production à court terme
 La production totale (PT) décrit l’évolution de la production
en fonction de l’utilisation du facteur variable L
A → B : La production augmente
plus rapidement que le nombre
de travailleurs. Pourquoi? Grâce
à la division et à la spécialisation
du travail.
B → D : La production augmente
moins rapidement que le nombre
de travailleurs. Pourquoi?
Comment expliquer que les
bénéfices de la spécialisation et
de la division du travail ne soient
pas constants?
Fig. 6.2
PT = f(L)
8 L
112
60
30
Croissants Décroissants
B
D
A
Q
 La productivité moyenne (PM) décrit l’évolution de la
contribution moyenne du facteur variable L à la production
PM=
f(L)
L
=
Q
L
La productivité
moyenne pour un
point quelconque
correspond à la
pente de la droite
reliant l’origine (0,0)
et ce point sur la
courbe de
production totale
Fig. 6.2
8 L
112
60
30
B
D
A
Q/L
 La productivité marginale (Pm) : variation de la production totale suite à
l’ajout d’une unité de facteur variable.
Reflète la contribution du travailleur additionnel à la production totale.
La productivité
marginale pour un
point quelconque
correspond à la pente
de la tangente à ce
point sur la courbe de
production totale
Pm = f’(L)
Pm = ΔQ / ΔL
Fig. 6.2
8 L
112
60
30
B
D
A
Pm = dPT/dL
C
Pente = 0
Q
Remarques:
1. PM = Pm au point où PM
atteint son maximum
2. Pm = 0 quand PT atteint son
Maximum
3. Si Pm > PM, alors PM
augmente
4. Si Pm < PM, alors PM
diminue
5. Si Pm = PM, alors ΔPM =0
6. De 0 au point d’inflexion : Pm
augmente et PT augmente de plus
en plus vite
7. Entre B et D : Pm diminue et
la PT augmente de moins en
L
Q
60
0
B
C
D
8
10
20
E
0 3 4
30
L
112
PM
Pm
PT
Fig. 6.2
►Pourquoi les courbes ont-elles ces formes?
► Pourquoi la PT n’augmente-t-elle pas toujours au même
rythme que le nombre de travailleurs
► Pourquoi la Pm n’est-elle pas constante?
► Pourquoi la Pm augmente-t-elle pour ensuite diminuer?
↓
Loi des rendements marginaux décroissants
À court terme, si on combine un facteur de production variable
(L)
à un facteur de production fixe (K), il existe un point au-delà
duquel la production totale va croître à un rythme sans cesse
décroissant (i.e contribution additionnelle suscitée par l’ajout
de facteurs variables est de plus en plus faible
→ la productivité marginale diminue).
(voir exemple 1)
Remarques :
1- La loi des rendements marginaux décroissants n’est pas liée à la
qualité du travailleur. Les rendements sont décroissants parce que
l’utilisation du facteur fixe est limitée, et non pas parce que les travailleurs
sont moins bons.
2- La loi des rendements marginaux décroissants s’applique pour un
niveau donné de technologie. Les améliorations technologiques amènent
un déplacement vers le haut de la fonction de production. Ceci signifie
que l’on peut produire davantage avec le même nombre de travailleurs.
L
PT
Q1
Q2
Q3
y1
y2
y3
L1 L2 L3
Fig. 6.3
17
4. La production à long terme
Ceci signifie que la production peut être réalisée
avec différentes combinaisons de K et L
Q = f (K,L)
Puisque les deux facteurs de production K et L sont variables:
L
K 1 2 3 4 5
1 20 40 55 65 75
2 40 60 75 85 90
3 55 75 90 100 105
4 65 85 100 100 115
5 75 90 105 115 120
Tab. 6.1
Que désire le producteur?
 Choisir la combinaison optimale de facteurs (K*, L*) pour produire une quantité donnée au coût le plus bas
 Choisir la combinaison optimale de facteurs (K*, L*) pour produire la plus grande quantité pour un coût donné
La démarche?
 Développer un outil pour représenter la production dans un contexte de long terme (l’isoquante)
 Identifier les propriétés de cet outil
 Comprendre comment un facteur de production peut être substitué à un autre tout en maintenant constant le niveau de production
 Vérifier comment la production évolue quand tous les facteurs de production augmentent dans les mêmes proportions
L’isoquante
Une isoquante est le lieu des points représentatifs des
combinaisons de K et L qui permettent d’obtenir le
même niveau de production
L
5
2
3
1 2 3
A
D
Q = 75
F
K
Note : Comme il existe un certain degré de substituabilité entre les
facteurs de production, cette isoquante est appropriée dans le cas d’une
fonction de production Cobb-Douglass.
Mais une firme n’est pas limitée à un seul niveau de production.
Elle peut choisir entre un grand nombre de niveaux de production
Une carte d’isoquantes
K
LL1 L2 L3
K5
Q1 = 55
A
D
B
Q2 = 75
Q3 = 100
C
E
K3
K1
Fig. 6.6
Les propriétés des isoquantes
1. Chaque isoquante est associée à un niveau de production donné.
2. Plus le niveau de production est élevé, plus l’isoquante
correspondante est éloignée de l’origine
3. Les isoquantes ont une pente négative : pour que le niveau de la
production soit constant, quand le capital employé baisse, il faut
utiliser plus de main-d’œuvre.
4. Les isoquantes ne se coupent jamais (parallélisme) :
1. Si A = B et A = C
alors B = C → impossible !
K
C
B
L
PT = 100
PT = 200
A
Les propriétés des isoquantes (suite)
5. Les isoquantes sont convexes par
rapport à l’origine. La convexité
signifie qu’il n’y a pas parfaite
substituabilité entre K et L, car la Pm
des facteurs est décroissante.
6. Les isoquantes reflètent la loi des
rendements marginaux
décroissants. Pour K constant,
chaque unité supplémentaire de L
permet d’augmenter PT de plus en
plus faiblement. Également, pour L
constant, chaque unité
supplémentaire de K permet
d’augmenter PT de plus en plus
faiblement.
L
K
D
B
C
A
PT = 100
1 2 3
3
E
L
K
D
B CA
PT=55
PT=75
PT=90
Nous savons qu’il faut augmenter K si L diminue
pour maintenir la production constante
Question
Si le nombre de travailleurs diminue de 1, combien d’unités de K
faut-il ajouter pour maintenir le niveau de production constant.
En d’autres termes, à quel taux pouvons-nous substituer un
facteur de production à un autre?
Solution
La pente en un point sur l’isoquante indique le taux auquel un
facteur de production peut être remplacé par un autre sans
changer le niveau de production
↓
Taux marginal de substitution technique (TMST)
Que représente le TMSTLK ?
Le TMSTLK mesure le nombre d’unités d’un facteur de production
que l’on doit ajouter ou retrancher afin de maintenir le niveau de
production constant, après avoir retranché ou ajouté une unité
de l’autre facteur de production.
(Cas discret i.e quand on ne
possède pas la fonction de
production. On dispose
uniquement d’observations)
C
2 3 4 51
L
K
1
2
3
5
-2
1
1
-2/3
TMSTLK = 2
TMSTLK = 2/3
Q1 = 100
A
B
D
TMSTLK = - ΔK / ΔL
Fig. 6.7
TMSTLK = - dK/ dL
TMSTLK = pente de la tangente en un point sur l’isoquante en valeur absolue
(Cas continu : cas où l’on connaît la fonction de production Q = f(K,L))
TMSTLKTMSTLK
A
L
K
PT = 100
B
TMSTLK = - dK/ dL
mais aussi
TMSTLK = PmL/PmK
Preuve
De A vers B il y a perte de Q
Perte = -∆K • PmK
De B vers C il y a gain de Q
Gain = ∆L • PmL
Or, Perte = Gain puisque le niveau de
production reste constant
► -∆K • PmK = ∆L • PmL
► -∆K/ ∆L = PmL /PmK
Donc TMSTKL= PmL /PmK
mais PmL = dQ/dL
et Pmk = dQ/dK
Ainsi TMSTKL = - (dQ/dL) / (dQ/dK)
Q2
Q1
L
A
C
B
K
∆K
∆L
Les propriétés du TMST
1) L’augmentation d’un facteur de production nécessite la diminution de
l’autre pour maintenir la production constante. Ainsi, on fait précéder
le TMST d’un signe négatif afin que sa valeur soit toujours positive.
2) Le TMST est une notion ponctuelle. Il se calcule pour un point bien
précis de l’isoquante et change à tous les points.
3) Le TMST correspond à la pente de la tangente à l’isoquante en valeur
absolue.
4) Nous savons que les isoquantes sont convexes par rapport à l’origine.
Ainsi, la pente de la tangente en un point de l’isoquante diminue (en
valeur absolue) lorsqu’on se déplace de gauche à droite le long de
l’isoquante. Puisque TMST = pente de la tangente à l’isoquante en
valeur absolue, il s’ensuit qui le TMST diminue lorsqu’on se déplace
de gauche à droite le long de l’isoquante
(voir exemple 2)
Des isoquantes un peu particulières
Nous venons de présenter les isoquantes et le TMST dans
le cas d’une fonction Cobb-Douglas.
Mais différentes formes de fonction de production signifient
également différentes isoquantes et différents TMST.
Des isoquantes un peu particulières (suite)
1) Fonction de production linéaire ►► isoquantes linéaires.
L
K
Q1
Q2 Q3
A
B
C
Le taux auquel on peut
remplacer un facteur de
production par un autre ne
varie pas lorsqu’on se déplace
le long de l’isoquante
↓
Les facteurs de production
sont parfaitement
substituables
↓
Le TMST est une constante
Fig. 6.8
Des isoquantes un peu particulières (suite)
2) Fonction de production de Leontief ►►
isoquantes en forme de L
Chaque niveau de production
nécessite une combinaison
précise de K et L
↓
Il est impossible de remplacer
un facteur de production par un
autre. Ils doivent être employés
en proportions fixes
↓
Les facteurs de production sont
de parfaits compléments
L
K
L1
K1
Q1
Q2
Q3
A
B
C
Fig. 6.9
31
5. Les rendements à l’échelle
Nous savons qu’à long terme tous les facteurs
de production sont variables
↓
On pourrait donc changer le niveau de production en changeant
l’échelle de production, c’est-à-dire en faisant varier tous les
facteurs de production dans les mêmes proportions
↓
Question
À quel rythme la production augmente-t-elle si tous les facteurs de
production augmentent dans les mêmes proportions?
La production va-t-elle augmenter proportionnellement, plus que
proportionnellement ou moins que proportionnellement ?
↓
Réponse
Tout dépend des rendements à l’échelle
Que représentent les rendements à l’échelle?
La réaction de la production à un accroissement
simultané de tous les facteurs de production (K et L)
dans une même proportion
Les rendements à l’échelle peuvent être :
 Constants
 Croissants
 Décroissants
(voir exemple 3)
Les rendements à l’échelle constants
La production s’accroît proportionnellement à
l’augmentation des facteurs de production
Si on modifie l’échelle de tous les facteurs de production d’un
certain facteur t, la quantité produite est multipliée par t.
La taille de la firme n’affecte pas la productivité des facteurs
L
K
10
20
30
155 10
2
4
0
6
Comment expliquer les
rendements à l’échelle constants?
↓
Il est en principe possible pour
une firme de reproduire ce
qu’elle fait déjà
Fig. 6.11
Les rendements à l’échelle croissants
La production s’accroît plus que proportionnellement à
l’augmentation des facteurs de production
Si on modifie l’échelle de tous les facteurs de production d’un
certain facteur t, la quantité produite est multipliée par plus que t
Comment expliquer les rendements à
l’échelle croissants?
↓
Spécialisation de l’entreprise et
division des tâches.
Raisons techniques.
Fig. 6.11
L
10
20
30
5 10
2
4
0
K
Les rendements à l’échelle décroissants
La production s’accroît moins que proportionnellement à
l’augmentation des facteurs de production
Si on modifie l’échelle de tous les facteurs de production d’un
certain facteurs t, la quantité produite est multipliée par moins que t
La taille de la firme réduit la productivité des facteurs
Comment expliquer les rendements à
l’échelle décroissants?
↓
Complexification de la structure
organisationnelle et problèmes de
gestion liés à la production à
grande échelle
Fig. 6.11
L
K
10
13
18
5 10
2
4
0
Les formes algébriques des fonctions de production
1) La fonction de production linéaire :
Q = f(K, L) = aK + bL
Dans ce cas, les facteurs de production sont de parfaits
substituts. Il y a une relation linéaire parfaite entre les
facteurs de production et la production totale réalisée.
Ex : Q = f(K,L) = 4K + L
Cette expression mathématique signifie que K est 4 fois plus
productif que L.
Si K = 5 et L = 2 alors Q = 4(5) + 1(2) = 22
Les formes algébriques des fonctions de production (suite)
2) La fonction de production de Leontief (fonction de
production à proportions fixes) (Fonction semblable à l’utilité dans le cas des biens
complémentaires, aux chapitres précédents):
Q = f(K, L) = min (bK, cL)
Dans ce cas, les facteurs de production sont nécessairement
utilisés dans des proportions fixes. Aucune substitution n’est
possible entre les facteurs de production. Ils sont de parfaits
compléments.
Ex : Q = f(K,L) = min (3K; 4L)
Si K = 5 et L = 2 alors Q = min (3(5),4(2) = min (15,8)
Ainsi, 5K et 2L permettent de produire 8 unités
Les formes algébriques des fonctions de production (suite)
3) La fonction de production de Cobb-Douglas :
Q = f(K, L) = AKa
Lb
Dans ce cas, la relation entre les facteurs de production et Q
n’est pas linéaire et, contrairement à la fonction de Leontief, il
n’est pas nécessaire d’utiliser K et L dans des proportions
fixes. Cette fonction assume un certain degré de
substituabilité entre les facteurs de production.
Ex : Q = f(K,L) = 2K1/2
L1/2
Si K = 9 et L = 4 alors Q = 2(9)1/2
(4)1/2
Ainsi, 9K et 4L permettent de produire 12 unités
39
Exemples
Exemple 1:
Une municipalité entreprend de transformer
un terrain vague en parc de villégiature et doit
embaucher des travailleurs afin de procéder au
nettoyage du terrain. Les données suivantes
ont été recueillies :
Nombre de
travailleurs
Superficie
nettoyée
(mètres)
2 200
3 360
4 500
5 620
1. La productivité moyenne lorsque 3 travailleurs sont embauchés est de :
a) -140 m b) 120 m c) 160 m d) 260 m
2. La productivité marginale du troisième travailleur est de :
a) -140 m b) 120 m c) 160 m d) 260 m
3. La loi des rendements marginaux décroissants :
a) ne s’applique pas, car la PM est toujours croissante
b) ne s’applique pas, car la Pm est toujours croissante
c) s’applique, car la PM est décroissante
d) s’applique, car la Pm est décroissante
Réponses : 1) b; 2) c; 3) d
Exemple 2
On considère la fonction de production Cobb-Douglas:
Q = f(K,L) = K1/2
L1/3
1) Soit K = 4 (facteur fixe). Déterminer la production totale et la
productivité moyenne de L
2) Soit K = 1. Posons L = 8.
a) Calculer la production correspondante
b) On augmente la quantité de L d’une unité. Déterminer
l’augmentation de la production qui en résulte.
c) Même question si on augmente la quantité de L de 0,1 unité.
d) Calculer la productivité marginale de L.
Réponses:
On considère la fonction de production Cobb-Douglas:
Q = f(K,L) = K1/2
L1/3
1)
Q = PT = 41/2
L1/3
= 2L1/3
PML = Q/L = 2L1/3
/L
PML = 2L-2/3
2)
a) Q = 11/2
81/3
Q = 81/3
= 2
b) ΔL = 1 ou L = 9 →Q = 91/3
= 2,08 donc si ΔL = 1 alors ΔQ = 0,08
c) ΔL = 0,1 ou L = 8,1→Q = 8,11/3
= 2,00829
donc si ΔL = 0,1 alors ΔQ = 0,00829
Réponses (suite)
d)
PmL = dQ/dL = 1/3K1/2
L-2/3
Puisque K = 1
PmL = dQ/dL = 1/3L-2/3
Si L = 8, alors PmL = 1/3 * 8-2/3
= 0,083
Ainsi, ΔQ/ ΔL se rapproche de PmL quand ΔL diminue
Exemple 3
Soit la fonction de production Cobb-Douglas: Q = f(K,L) = 6K2/3
L1/2
a) Calculer le TMSTLK
b) Q est-elle homogène? Si oui, en déduire la nature
des rendements à l’échelle.
Rappel : une fonction est dite homogène de degré « m » si, pour tout
nombre réel strictement positif t, l’égalité suivante est respectée :
f(tx, ty) = tm
f(x,y),
Réponses
a)
Nous savons que TMSTLK = PmL/PmK
et PmL = dQ/dL PmK = dQ/dK
PmL = ½ 6K2/3
L1/2 -1
PmL = 3K2/3
L-1/2
PmK = 2/36K2/3 -1
L1/2
PmK = 4K-1/3
L1/2
3K2/3
L-1/2
3K
TMSTLK = PmL / PmK = --------------- = -----------
4K-1/3
L1/2
4L
Réponses (suite)
b)
Q = f(K,L) = 6K2/3
L1/2
Q* = f(tK, tL) = 6(tK)2/3
(tL)1/2
Q* = f(tK, tL) = 6 t2/3
K2/3
t1/2
L1/2
Q* = f(tK, tL) = t7/6
6 K2/3
L1/2
Q* = t7/6
*Q
Q est donc homogène de degré 7/6.
Ainsi, si t = 2 (i.e. si on double tous les facteurs de production)
Q* = 2,24Q → On double la quantité de facteurs de production et le
niveau de production fait plus que doubler
les rendements à l’échelle sont croissants!

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Cours microéconomie s2

  • 1. Cours schématique Théorie de la production 1-803-96 Analyse microéconomique B02 et J10 automne 2005 Guillermo Yanez
  • 2. 2 Thèmes abordés  Les facteurs de production  Les horizons temporels  La production à court terme  Production à long terme: les isoquantes  Les rendements à l’échelle  Exemples
  • 3. 3 Que cherchons-nous à comprendre? Le comportement du producteur Objectif ultime du producteur : maximiser ses profits sous sa contrainte de coûts Il faut donc comprendre:  Comment le producteur prend ses décisions: quels facteurs de production employer et en quelles quantités afin de minimiser les coûts?  Comment les coûts varient en fonction de la production?
  • 4. 4 1. Présenter la production, identifier les phénomènes qui l’affectent à court et à long terme, et en déduire ses principales caractéristiques. 2. Présenter les coûts, la manière de les comptabiliser, leur comportement selon l’horizon temporel considéré et selon le niveau de production (chapitre 7). 3. Le choix de la combinaison optimale de facteurs de production (chapitre 7) 4. Utiliser les notions précédentes pour comprendre comment la firme détermine son niveau de production et son prix de vente dans différentes structures de marché (chapitres 8,10, 11 et 12). Comment allons-nous procéder?
  • 5. 5 1. La technologie de production Qu’est-ce que la production? ↓ Transformation des matières premières et des biens intermédiaires en biens et services à l’aide de facteurs de production Quels sont les facteurs de production? ↓  le travail, i.e. l’ensemble des ressources humaines l’entrepreneurship ⇒ L  le capital, i.e. machines, bâtiments, équipement ⇒ K  La terre, ⇒ T. On va exclure celle-ci et la fusionner avec le K.
  • 6. Comment exprimer le lien qui existe entre les facteurs de production et la quantité produite? ↓ La fonction de production Q = f(K,L) ● La fonction de production décrit la relation entre la quantité produite d’un bien et les quantités des différents facteurs nécessaires à sa fabrication. ● La fonction de production décrit ce qui est techniquement réalisable si la firme utilise de manière efficace ses facteurs de production. Ceci est représenté par la fonction f(·)
  • 7. À quoi la fonction de production servira-t-elle? ↓ Elle aide le producteur à choisir la quantité de K et L Mais les choix du producteur sont limités par l’horizon temporel envisagé Exemple : Ford veut augmenter la production 1) Embaucher davantage de travailleurs (↑L) : réalisable rapidement 2) Construire une nouvelle usine ou installer une nouvelle chaîne de montage (↑K) : peut nécessiter plusieurs années Il faut donc distinguer Court terme vs Long terme
  • 8. 8 2. Les horizons temporels Court terme Seul un facteur de production varie (L) tandis que l’autre est maintenu constant (K) → K est fixe. Les capacités de production sont constantes. Variation de l’utilisation des capacités de production. Q = f (K,L) Long terme Tous les facteurs de production (K et L) sont variables. Horizon suffisamment long pour changer les capacités de production. Ex : modifier les technologies de production dans une usine. Remarque Il est impossible de déterminer dans l’absolu à quelles durées correspondent le court terme et le long terme. Ces durées varient selon les situations. (Ici on ne peut pas se fier aux conventions comptables) Q = f (K,L)
  • 9. 9 3. La production à court terme la seule manière d’augmenter la production est d’augmenter L. ↓ Combien de travailleurs embaucher? Quelle quantité produire? Pour pouvoir répondre à ces questions, il faut déterminer comment la production augmente (ou diminue) quand le nombre de travailleurs augmente (ou diminue). Q = f (K,L) Puisque
  • 10. L K PT (Q) PM (Q/L) Pm ΔQ/ΔL 0 10 0 - - 1 10 10 10 10 2 10 30 15 20 3 10 60 20 30 4 10 80 20 20 5 10 95 19 15 6 10 108 18 13 7 10 112 16 4 8 10 112 14 0 9 10 108 12 -4 10 10 100 10 -8 Remarques: • La production totale (PT) augmente avec le nombre de travailleurs. • Au début, la production totale augmente rapidement • Ensuite la croissance est plus lente. • Elle atteint un plafond à 112 unités lorsque la firme emploie 7 ou 8 travailleurs. • Elle baisse lorsque la firme augmente encore le nombre de travailleurs Tab. 6.2 La production à court terme
  • 11.  La production totale (PT) décrit l’évolution de la production en fonction de l’utilisation du facteur variable L A → B : La production augmente plus rapidement que le nombre de travailleurs. Pourquoi? Grâce à la division et à la spécialisation du travail. B → D : La production augmente moins rapidement que le nombre de travailleurs. Pourquoi? Comment expliquer que les bénéfices de la spécialisation et de la division du travail ne soient pas constants? Fig. 6.2 PT = f(L) 8 L 112 60 30 Croissants Décroissants B D A Q
  • 12.  La productivité moyenne (PM) décrit l’évolution de la contribution moyenne du facteur variable L à la production PM= f(L) L = Q L La productivité moyenne pour un point quelconque correspond à la pente de la droite reliant l’origine (0,0) et ce point sur la courbe de production totale Fig. 6.2 8 L 112 60 30 B D A Q/L
  • 13.  La productivité marginale (Pm) : variation de la production totale suite à l’ajout d’une unité de facteur variable. Reflète la contribution du travailleur additionnel à la production totale. La productivité marginale pour un point quelconque correspond à la pente de la tangente à ce point sur la courbe de production totale Pm = f’(L) Pm = ΔQ / ΔL Fig. 6.2 8 L 112 60 30 B D A Pm = dPT/dL C Pente = 0 Q
  • 14. Remarques: 1. PM = Pm au point où PM atteint son maximum 2. Pm = 0 quand PT atteint son Maximum 3. Si Pm > PM, alors PM augmente 4. Si Pm < PM, alors PM diminue 5. Si Pm = PM, alors ΔPM =0 6. De 0 au point d’inflexion : Pm augmente et PT augmente de plus en plus vite 7. Entre B et D : Pm diminue et la PT augmente de moins en L Q 60 0 B C D 8 10 20 E 0 3 4 30 L 112 PM Pm PT Fig. 6.2
  • 15. ►Pourquoi les courbes ont-elles ces formes? ► Pourquoi la PT n’augmente-t-elle pas toujours au même rythme que le nombre de travailleurs ► Pourquoi la Pm n’est-elle pas constante? ► Pourquoi la Pm augmente-t-elle pour ensuite diminuer? ↓ Loi des rendements marginaux décroissants À court terme, si on combine un facteur de production variable (L) à un facteur de production fixe (K), il existe un point au-delà duquel la production totale va croître à un rythme sans cesse décroissant (i.e contribution additionnelle suscitée par l’ajout de facteurs variables est de plus en plus faible → la productivité marginale diminue). (voir exemple 1)
  • 16. Remarques : 1- La loi des rendements marginaux décroissants n’est pas liée à la qualité du travailleur. Les rendements sont décroissants parce que l’utilisation du facteur fixe est limitée, et non pas parce que les travailleurs sont moins bons. 2- La loi des rendements marginaux décroissants s’applique pour un niveau donné de technologie. Les améliorations technologiques amènent un déplacement vers le haut de la fonction de production. Ceci signifie que l’on peut produire davantage avec le même nombre de travailleurs. L PT Q1 Q2 Q3 y1 y2 y3 L1 L2 L3 Fig. 6.3
  • 17. 17 4. La production à long terme Ceci signifie que la production peut être réalisée avec différentes combinaisons de K et L Q = f (K,L) Puisque les deux facteurs de production K et L sont variables: L K 1 2 3 4 5 1 20 40 55 65 75 2 40 60 75 85 90 3 55 75 90 100 105 4 65 85 100 100 115 5 75 90 105 115 120 Tab. 6.1
  • 18. Que désire le producteur?  Choisir la combinaison optimale de facteurs (K*, L*) pour produire une quantité donnée au coût le plus bas  Choisir la combinaison optimale de facteurs (K*, L*) pour produire la plus grande quantité pour un coût donné La démarche?  Développer un outil pour représenter la production dans un contexte de long terme (l’isoquante)  Identifier les propriétés de cet outil  Comprendre comment un facteur de production peut être substitué à un autre tout en maintenant constant le niveau de production  Vérifier comment la production évolue quand tous les facteurs de production augmentent dans les mêmes proportions
  • 19. L’isoquante Une isoquante est le lieu des points représentatifs des combinaisons de K et L qui permettent d’obtenir le même niveau de production L 5 2 3 1 2 3 A D Q = 75 F K Note : Comme il existe un certain degré de substituabilité entre les facteurs de production, cette isoquante est appropriée dans le cas d’une fonction de production Cobb-Douglass.
  • 20. Mais une firme n’est pas limitée à un seul niveau de production. Elle peut choisir entre un grand nombre de niveaux de production Une carte d’isoquantes K LL1 L2 L3 K5 Q1 = 55 A D B Q2 = 75 Q3 = 100 C E K3 K1 Fig. 6.6
  • 21. Les propriétés des isoquantes 1. Chaque isoquante est associée à un niveau de production donné. 2. Plus le niveau de production est élevé, plus l’isoquante correspondante est éloignée de l’origine 3. Les isoquantes ont une pente négative : pour que le niveau de la production soit constant, quand le capital employé baisse, il faut utiliser plus de main-d’œuvre. 4. Les isoquantes ne se coupent jamais (parallélisme) : 1. Si A = B et A = C alors B = C → impossible ! K C B L PT = 100 PT = 200 A
  • 22. Les propriétés des isoquantes (suite) 5. Les isoquantes sont convexes par rapport à l’origine. La convexité signifie qu’il n’y a pas parfaite substituabilité entre K et L, car la Pm des facteurs est décroissante. 6. Les isoquantes reflètent la loi des rendements marginaux décroissants. Pour K constant, chaque unité supplémentaire de L permet d’augmenter PT de plus en plus faiblement. Également, pour L constant, chaque unité supplémentaire de K permet d’augmenter PT de plus en plus faiblement. L K D B C A PT = 100 1 2 3 3 E L K D B CA PT=55 PT=75 PT=90
  • 23. Nous savons qu’il faut augmenter K si L diminue pour maintenir la production constante Question Si le nombre de travailleurs diminue de 1, combien d’unités de K faut-il ajouter pour maintenir le niveau de production constant. En d’autres termes, à quel taux pouvons-nous substituer un facteur de production à un autre? Solution La pente en un point sur l’isoquante indique le taux auquel un facteur de production peut être remplacé par un autre sans changer le niveau de production ↓ Taux marginal de substitution technique (TMST)
  • 24. Que représente le TMSTLK ? Le TMSTLK mesure le nombre d’unités d’un facteur de production que l’on doit ajouter ou retrancher afin de maintenir le niveau de production constant, après avoir retranché ou ajouté une unité de l’autre facteur de production. (Cas discret i.e quand on ne possède pas la fonction de production. On dispose uniquement d’observations) C 2 3 4 51 L K 1 2 3 5 -2 1 1 -2/3 TMSTLK = 2 TMSTLK = 2/3 Q1 = 100 A B D TMSTLK = - ΔK / ΔL Fig. 6.7
  • 25. TMSTLK = - dK/ dL TMSTLK = pente de la tangente en un point sur l’isoquante en valeur absolue (Cas continu : cas où l’on connaît la fonction de production Q = f(K,L)) TMSTLKTMSTLK A L K PT = 100 B
  • 26. TMSTLK = - dK/ dL mais aussi TMSTLK = PmL/PmK Preuve De A vers B il y a perte de Q Perte = -∆K • PmK De B vers C il y a gain de Q Gain = ∆L • PmL Or, Perte = Gain puisque le niveau de production reste constant ► -∆K • PmK = ∆L • PmL ► -∆K/ ∆L = PmL /PmK Donc TMSTKL= PmL /PmK mais PmL = dQ/dL et Pmk = dQ/dK Ainsi TMSTKL = - (dQ/dL) / (dQ/dK) Q2 Q1 L A C B K ∆K ∆L
  • 27. Les propriétés du TMST 1) L’augmentation d’un facteur de production nécessite la diminution de l’autre pour maintenir la production constante. Ainsi, on fait précéder le TMST d’un signe négatif afin que sa valeur soit toujours positive. 2) Le TMST est une notion ponctuelle. Il se calcule pour un point bien précis de l’isoquante et change à tous les points. 3) Le TMST correspond à la pente de la tangente à l’isoquante en valeur absolue. 4) Nous savons que les isoquantes sont convexes par rapport à l’origine. Ainsi, la pente de la tangente en un point de l’isoquante diminue (en valeur absolue) lorsqu’on se déplace de gauche à droite le long de l’isoquante. Puisque TMST = pente de la tangente à l’isoquante en valeur absolue, il s’ensuit qui le TMST diminue lorsqu’on se déplace de gauche à droite le long de l’isoquante (voir exemple 2)
  • 28. Des isoquantes un peu particulières Nous venons de présenter les isoquantes et le TMST dans le cas d’une fonction Cobb-Douglas. Mais différentes formes de fonction de production signifient également différentes isoquantes et différents TMST.
  • 29. Des isoquantes un peu particulières (suite) 1) Fonction de production linéaire ►► isoquantes linéaires. L K Q1 Q2 Q3 A B C Le taux auquel on peut remplacer un facteur de production par un autre ne varie pas lorsqu’on se déplace le long de l’isoquante ↓ Les facteurs de production sont parfaitement substituables ↓ Le TMST est une constante Fig. 6.8
  • 30. Des isoquantes un peu particulières (suite) 2) Fonction de production de Leontief ►► isoquantes en forme de L Chaque niveau de production nécessite une combinaison précise de K et L ↓ Il est impossible de remplacer un facteur de production par un autre. Ils doivent être employés en proportions fixes ↓ Les facteurs de production sont de parfaits compléments L K L1 K1 Q1 Q2 Q3 A B C Fig. 6.9
  • 31. 31 5. Les rendements à l’échelle Nous savons qu’à long terme tous les facteurs de production sont variables ↓ On pourrait donc changer le niveau de production en changeant l’échelle de production, c’est-à-dire en faisant varier tous les facteurs de production dans les mêmes proportions ↓ Question À quel rythme la production augmente-t-elle si tous les facteurs de production augmentent dans les mêmes proportions? La production va-t-elle augmenter proportionnellement, plus que proportionnellement ou moins que proportionnellement ? ↓ Réponse Tout dépend des rendements à l’échelle
  • 32. Que représentent les rendements à l’échelle? La réaction de la production à un accroissement simultané de tous les facteurs de production (K et L) dans une même proportion Les rendements à l’échelle peuvent être :  Constants  Croissants  Décroissants (voir exemple 3)
  • 33. Les rendements à l’échelle constants La production s’accroît proportionnellement à l’augmentation des facteurs de production Si on modifie l’échelle de tous les facteurs de production d’un certain facteur t, la quantité produite est multipliée par t. La taille de la firme n’affecte pas la productivité des facteurs L K 10 20 30 155 10 2 4 0 6 Comment expliquer les rendements à l’échelle constants? ↓ Il est en principe possible pour une firme de reproduire ce qu’elle fait déjà Fig. 6.11
  • 34. Les rendements à l’échelle croissants La production s’accroît plus que proportionnellement à l’augmentation des facteurs de production Si on modifie l’échelle de tous les facteurs de production d’un certain facteur t, la quantité produite est multipliée par plus que t Comment expliquer les rendements à l’échelle croissants? ↓ Spécialisation de l’entreprise et division des tâches. Raisons techniques. Fig. 6.11 L 10 20 30 5 10 2 4 0 K
  • 35. Les rendements à l’échelle décroissants La production s’accroît moins que proportionnellement à l’augmentation des facteurs de production Si on modifie l’échelle de tous les facteurs de production d’un certain facteurs t, la quantité produite est multipliée par moins que t La taille de la firme réduit la productivité des facteurs Comment expliquer les rendements à l’échelle décroissants? ↓ Complexification de la structure organisationnelle et problèmes de gestion liés à la production à grande échelle Fig. 6.11 L K 10 13 18 5 10 2 4 0
  • 36. Les formes algébriques des fonctions de production 1) La fonction de production linéaire : Q = f(K, L) = aK + bL Dans ce cas, les facteurs de production sont de parfaits substituts. Il y a une relation linéaire parfaite entre les facteurs de production et la production totale réalisée. Ex : Q = f(K,L) = 4K + L Cette expression mathématique signifie que K est 4 fois plus productif que L. Si K = 5 et L = 2 alors Q = 4(5) + 1(2) = 22
  • 37. Les formes algébriques des fonctions de production (suite) 2) La fonction de production de Leontief (fonction de production à proportions fixes) (Fonction semblable à l’utilité dans le cas des biens complémentaires, aux chapitres précédents): Q = f(K, L) = min (bK, cL) Dans ce cas, les facteurs de production sont nécessairement utilisés dans des proportions fixes. Aucune substitution n’est possible entre les facteurs de production. Ils sont de parfaits compléments. Ex : Q = f(K,L) = min (3K; 4L) Si K = 5 et L = 2 alors Q = min (3(5),4(2) = min (15,8) Ainsi, 5K et 2L permettent de produire 8 unités
  • 38. Les formes algébriques des fonctions de production (suite) 3) La fonction de production de Cobb-Douglas : Q = f(K, L) = AKa Lb Dans ce cas, la relation entre les facteurs de production et Q n’est pas linéaire et, contrairement à la fonction de Leontief, il n’est pas nécessaire d’utiliser K et L dans des proportions fixes. Cette fonction assume un certain degré de substituabilité entre les facteurs de production. Ex : Q = f(K,L) = 2K1/2 L1/2 Si K = 9 et L = 4 alors Q = 2(9)1/2 (4)1/2 Ainsi, 9K et 4L permettent de produire 12 unités
  • 40. Exemple 1: Une municipalité entreprend de transformer un terrain vague en parc de villégiature et doit embaucher des travailleurs afin de procéder au nettoyage du terrain. Les données suivantes ont été recueillies : Nombre de travailleurs Superficie nettoyée (mètres) 2 200 3 360 4 500 5 620 1. La productivité moyenne lorsque 3 travailleurs sont embauchés est de : a) -140 m b) 120 m c) 160 m d) 260 m 2. La productivité marginale du troisième travailleur est de : a) -140 m b) 120 m c) 160 m d) 260 m 3. La loi des rendements marginaux décroissants : a) ne s’applique pas, car la PM est toujours croissante b) ne s’applique pas, car la Pm est toujours croissante c) s’applique, car la PM est décroissante d) s’applique, car la Pm est décroissante Réponses : 1) b; 2) c; 3) d
  • 41. Exemple 2 On considère la fonction de production Cobb-Douglas: Q = f(K,L) = K1/2 L1/3 1) Soit K = 4 (facteur fixe). Déterminer la production totale et la productivité moyenne de L 2) Soit K = 1. Posons L = 8. a) Calculer la production correspondante b) On augmente la quantité de L d’une unité. Déterminer l’augmentation de la production qui en résulte. c) Même question si on augmente la quantité de L de 0,1 unité. d) Calculer la productivité marginale de L.
  • 42. Réponses: On considère la fonction de production Cobb-Douglas: Q = f(K,L) = K1/2 L1/3 1) Q = PT = 41/2 L1/3 = 2L1/3 PML = Q/L = 2L1/3 /L PML = 2L-2/3 2) a) Q = 11/2 81/3 Q = 81/3 = 2 b) ΔL = 1 ou L = 9 →Q = 91/3 = 2,08 donc si ΔL = 1 alors ΔQ = 0,08 c) ΔL = 0,1 ou L = 8,1→Q = 8,11/3 = 2,00829 donc si ΔL = 0,1 alors ΔQ = 0,00829
  • 43. Réponses (suite) d) PmL = dQ/dL = 1/3K1/2 L-2/3 Puisque K = 1 PmL = dQ/dL = 1/3L-2/3 Si L = 8, alors PmL = 1/3 * 8-2/3 = 0,083 Ainsi, ΔQ/ ΔL se rapproche de PmL quand ΔL diminue
  • 44. Exemple 3 Soit la fonction de production Cobb-Douglas: Q = f(K,L) = 6K2/3 L1/2 a) Calculer le TMSTLK b) Q est-elle homogène? Si oui, en déduire la nature des rendements à l’échelle. Rappel : une fonction est dite homogène de degré « m » si, pour tout nombre réel strictement positif t, l’égalité suivante est respectée : f(tx, ty) = tm f(x,y),
  • 45. Réponses a) Nous savons que TMSTLK = PmL/PmK et PmL = dQ/dL PmK = dQ/dK PmL = ½ 6K2/3 L1/2 -1 PmL = 3K2/3 L-1/2 PmK = 2/36K2/3 -1 L1/2 PmK = 4K-1/3 L1/2 3K2/3 L-1/2 3K TMSTLK = PmL / PmK = --------------- = ----------- 4K-1/3 L1/2 4L
  • 46. Réponses (suite) b) Q = f(K,L) = 6K2/3 L1/2 Q* = f(tK, tL) = 6(tK)2/3 (tL)1/2 Q* = f(tK, tL) = 6 t2/3 K2/3 t1/2 L1/2 Q* = f(tK, tL) = t7/6 6 K2/3 L1/2 Q* = t7/6 *Q Q est donc homogène de degré 7/6. Ainsi, si t = 2 (i.e. si on double tous les facteurs de production) Q* = 2,24Q → On double la quantité de facteurs de production et le niveau de production fait plus que doubler les rendements à l’échelle sont croissants!