2. Plan du cours
• Introduction à la recherche opérationnelle
• Partie 1 : Programmation Linéaire
– Chapitre 1 : Introduction à la programmation
linéaire
– Chapitre 2 : Résolution d’un programme linéaire :
méthode de simplexe
– Chapitre 3 : Dualité et analyse de sensibilité dans
la programmation linéaire
4. Introduction à la RO
• Origines de la RO
- Période : 2ème guerre,
- Responsable : armée britannique
- Problèmes posés : implantation optimale de radars de surveillance , le
management des
– bombardements
– anti sous-marins
– opérations de miniers…
RO = Application des mathématiques et des méthodes scientifiques aux
opérations militaires
RO = Approche scientifique à la prise des décisions, qui cherche à
déterminer comment concevoir et faire fonctionner un système
d’une façon optimale
5. Introduction à la RO
• Techniques de la RO
La programmation mathématique
• programmation linéaire
• programmation quadratique
• programmation en nombres entiers
• programmation dynamique
Analyses de réseaux et graphes
Théories des files d’attentes
Simulation
Analyse statistique
• Champs d’application de la RO
- Industries
- Gouvernement
- Agences
- Hôpitaux
- Institutions d’éducation…
6. Introduction à la RO
• Méthodologie de la RO
(1) Identification du problème
(2) Collecte des données
(3) Modélisation (Formulation
mathématique)
(4) Vérification du modèle
(5) Recherche des solutions
(6) Présentation des solutions
(7) Implémentation et
recommandations
9. Chapitre 1
Introduction à la PL
• La programmation linéaire = méthode permettant d’optimiser, c'est-à-dire
rendre le plus grand ou le plus petit possible, une fonction linéaire, cela sous
certaines contraintes définies par des inégalités.
• Les exemples habituels d’optimisation sont la recherche d’un bénéfice
maximal ou d’un coût minimal.
• Remarque : C’est grâce à cette méthode que les problèmes de ravitaillement
étaient résolus pendant la seconde guerre mondiale.
10. Chapitre 1
Introduction à la PL
• Exemple
Une compagnie est spécialisée dans la production de deux types de produits : des
climatiseurs et des ventilateurs. Les deux produits nécessitent un certain nombre
d’heures de main d’œuvre. Le tableau suivant donne les informations nécessaires
sur les deux produits, c’est-à-dire les nombres d’heures machine et d’heures main
d’œuvre nécessaires à la fabrication d’une unité de chacun de ces produits, ainsi
que le profit généré par la production d’une unité de ce produit. Le tableau nous
donne aussi le nombre total d’heures machines et d’heures main d’œuvre
disponibles.
Heures
machine
Main d’œuvre Profit
Climatiseur 2 h/unité 3 h/unité 25 DT/unité
Ventilateur 2 h/unité 1 h/unité 15 DT/unité
Total disponible 240 h 140 h
11. Chapitre 1
Introduction à la PL
I. Formulation du programme linéaire
a) Variables de décision : doivent complètement décrire les décisions à
prendre.
La compagnie veut décider du nombre de climatiseurs et du nombre
de ventilateurs à produire pour maximiser le profit. Ceci nous amène à
choisir les deux variables de décision suivantes :
x1 = nombre de climatiseurs
x2 = nombre de ventilateurs
12. Chapitre 1
Introduction à la PL
b) Fonction objectif : dans n’importe quel programme linéaire, le responsable
de décision veut maximiser (en général, le revenu ou profit) ou minimiser
(en général le coût) une fonction des variables de décisions. Cette
fonction est appelée “ fonction objectif ”.
L’objectif de l’entreprise est de déterminer le programme de production
qui maximisera son profit (Z=profit). La fonction objectif s’écrit alors:
Max Z = 25x1 + 15x2
13. Chapitre 1
Introduction à la PL
c) Contraintes du modèle : La limitation des ressources contraint l’entreprise
de la manière suivante :
1) Contraintes heure machine 2x1 + 2x2 ≤ 240
2) Contrainte main d’œuvre 3x1 + x2 ≤ 140
3) Contraintes de non-négativité (exprimant que les niveaux d’activité ne
peuvent être négatifs) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
Modèle complet : x1 = nbre de climatiseurs, x2 = nbre de ventilateurs
Max Z = 25 x1 + 15 x2
s.c. 2x1 + 2x2 ≤ 240
3x1 + x2 ≤ 140
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
s.c = sous contraintes
14. Chapitre 1
Introduction à la PL
• Domaine réalisable et solutions optimales : Ce sont deux concepts
fondamentaux associés avec un PL. Pour les définir, on va utiliser le terme point
(x1,x2), qui désigne une spécification de la valeur de chaque variable de
décision.
• Le domaine réalisable (DR) est l’ensemble de tous les points satisfaisant toutes
les contraintes du PL. Dans notre exemple, le point (20,40) (Z= 280) appartient
au DR. Ce point est dit réalisable.
• Pour un problème de maximisation (min), une solution optimale est un point du
DR qui donne la valeur la plus large (faible) de la fonction objective.
(20, 40) ≠ solution optimale car (10, 110) est réalisable et donne Z = 1900
meilleur profit que Z= 280
15. Les Conditions de formulation
• La programmation linéaire comme étant un modèle admet des hypothèses (des conditions)
que le décideur doit valider avant de pouvoir les utiliser pour modéliser son problème. Ces
hypothèses sont :
• Les variables de décision du problème sont positives
• Le critère de sélection de la meilleure décision est décrit par une fonction linéaire de ces
variables, c’est à dire, que la fonction ne peut pas contenir par exemple un produit croisé de
deux de ces variables. La fonction qui représente le critère de sélection est dite fonction
objectif (ou fonction économique).
• Les restrictions relatives aux variables de décision (exemple: limitations des ressources)
peuvent être exprimées par un ensemble d’équations linéaires. Ces équations forment
l’ensemble des contraintes.
• Les paramètres du problème en dehors des variables de décisions ont une valeur connue
avec certitude
16. III. Les étapes de formulation d’un PL :
• Généralement il y a trois étapes à suivre pour pouvoir construire le
modèle d'un programme linéaire :
• Identifier les variables du problème à valeur non connues (variable de
décision) et les représenter sous forme symbolique (exp. x1, y1 ).
• Identifier les restrictions (les contraintes) du problème et les exprimer par
un système d’équations linéaires.
• Identifier l’objectif ou le critère de sélection et le représenter sous une
forme linéaire en fonction des variables de décision. Spécifier si le critère
de sélection est à maximiser ou à minimiser.
