méthodes opérationnelles d'aide à la décision

1. Méthodes opérationnelles d’aide
à la décision
2022-2023
Mastère MP IQHSE
1

2. - Présentation des participants
- Se former à la définition et à la formulation de problème
linéaire et à la construction de modèle de programmation
linéaire : modélisation.
- S’initier à la résolution des PL : résolution graphique,
résolution .
- Interpréter la solution optimale-
2

3. Pourquoi s’intéresse - t - on aux MOAD?
L’entreprise au centre des décisions
3
• des décisions d'investissement (exemple : automatisation d'une industrie)
• des décisions de financement (exemple : augmentation du capital, emprunt),
• des décisions d'exploitation (exemple : gestion de la production)
• Quelles sont les alternatives possibles?
• Quelles sont les restrictions à cette décision?
• Quel est l’objectif utilisé pour évaluer les alternatives?
Aide à la décision
Modèle de recherche opérationnelle

4. Qu’est ce que la Recherche Opérationnelle?
 La recherche opérationnelle est une approche quantitative permettant
de produire de meilleures décisions. Elle propose des modèles pour
analyser des situations complexes et permet aux décideurs de faire des
choix efficaces et robustes. Elle fournit des outils pour rationaliser,
simuler et optimiser l’architecture et le fonctionnement des systèmes
industriels et économiques. (Livre Blanc de la RO, ROADEF, 2011)
 La RO apparaît comme une discipline carrefour associant les
mathématiques , l’économie et l'informatique.
4
 La programmation linéaire Partie I
 Les problèmes de transport Partie II
Quelques méthodes de Recherche Opérationnelle

5. 5
Partie I- Programmation linéaire
Chapitre 2 - Dualité et Analyse de sensibilité
Chapitre 1- Formulation et Résolution d’un programme linéaire

6. Chapitre I- Formulation et résolution d’un Programme Linéaire (PL)
6
Aide à la décision
Quelles sont les alternatives possibles? Variables du problème
Quelles sont les restrictions à cette décision? Contraintes
Quel est l’objectif utilisé pour évaluer les
alternatives?
Fonction objectif à optimiser
max de profit, de marge sur
coût de production/min des
coûts de production
1 Formulation du Programme linéaire (PL)

7. Activité
La société Pyrofour fabrique deux types de fours :F1 et F2 à partir de trois facteurs de
production : M(heures machines), O(heures ouvriers) et T( heures techniciens).
le tableau suivant nous donne:
- Les combinaisons de facteurs de production pour chaque type de fours,
- le prix de vente de chaque four en unité monétaire:V,
- le coût unitaire en unité monétaire :C de chaque facteur de production et
- les capacités hebdomadaires en heures :K de chaque atelier :
7
M O T V
F1 5 7 4 2010
F2 3 8 6 2400
C 20 30 50
K 270 800 360
Combien de fours de chaque type la société Pyrofour doit fabriquer chaque semaine
pour maximiser sa marge sur coût de production?

8. Formulation = Traduction d’un problème réel sous
formes d’équations mathématiques.
a- Les variables du programme:
La marge sur coût de production de l’entreprise
dépend des quantités des fours F1 et F2 à fabriquer:
x1 : nombre d’unités à produire de fours de type 1.
x2 : nombre d’unités à produire de fours de type 2.
x1 et x2 : variables structurelles ou d’activité
8

9. b- Les contraintes
Les contraintes techniques ou économiques:
o Capacité des heures machines = 270 heures que l’entreprise ne peut dépasser
o Capacités des heures ouvriers = 800 heuresque l’entreprise ne peut dépasser
o Capacités des heures techniciens = 360 heures que l’entreprise ne peut dépasser
9
M O T
F1 5 7 4
F2 3 8 6
K 270 800 360

10. Les contraintes implicites (ou de signe):
L’entreprise peut produire 0 ou des valeurs positives de
fours.
10

11. c- La fonction objectif :
f la fonction « objectif » ou la fonction économique
f est « la marge sur coût de production»
la marge sur coût de production de production
=
Prix de vente (V) – coûts de production
Pour une unité de four de type 1 :
2010 – (20*5 + 30*7 + 50*4) = 1500 Um
Pour une unité de four de type 2:
2400 – (20*3 + 30*8 + 50*6) = 1800 Um
La fonction objectif f: Max(f) = 1500 X1 + 1800 X2
11
M O T V
F1 5 7 4 2010
F2 3 8 6 2400
C 20 30 50
K 270 800 360

12. Pour maximiser la marge sur coût de production de l’entreprise, il faut
résoudre le programme linéaire:
x1 : nombre d’unités à produire de fours de type 1.
x2 : nombre d’unités à produire de fours de type 2
Sous les contraintes
 Économiques
 de signe
12
La forme canonique
C’est cet ensemble qui porte le nom de programme linéaire

13. 13
2 Résolution graphique:
D1 5𝑥1 + 3𝑥2 − 270 = 0
𝐷2 7𝑥1 + 8𝑥2 − 800 = 0
𝐷3 4𝑥1 + 6𝑥2 − 360 = 0
𝑥1 = 0
𝑥2 = 90
𝑥1 = 54
𝑥2 = 0
𝑥1 = 0
𝑥2 = 100
𝑥1 = 114,28
𝑥2 = 0
𝑥1 = 90
𝑥2 = 0
𝑥1 = 0
𝑥2 = 60
𝑫𝟏
𝑫𝟐
𝑫𝟑
Ensemble des
solutions
réalisables

14. Quelle est la solution optimale?
14
X1 X2 f
a 0 60 108000
b ? ? ?
c 54 0 81000
d 0 0 0

15. 15
D1 5𝑥1 + 3𝑥2 = 270
𝐷3 4𝑥1 + 6𝑥2 = 360
𝑫𝟏
𝑫𝟐
𝑫𝟑
I 10𝑥1 + 6𝑥2 = 540
𝐼𝐼 4𝑥1 + 6𝑥2 = 360
I−II ∶ 6𝑥1 = 180
𝑥1 = 30 𝑥2 = 40

16. Quelle est la solution optimale?
16
X1 X2 f
a 0 60 108000
b 30 40 117000
c 54 0 81000
d 0 0 0
Interprétation des résultats
À l’optimum,
• x1= 30 unités de fours F1.
• x2= 40 unités de fours F2.
• La marge optimale sur coûts de production est de 1500*30+1800*40= 117000 UM.

17. 17
Interprétation des résultats
À l’optimum,
• x1= 30 unités de fours F1.
• x2= 40 unités de fours F2.
• La marge optimale sur coûts de production est de 1500*30+1800*40= 117000 UM.
•La contrainte relative à la ressource heure machine est saturée, l’entreprise à utilisée la
totalité des ressources dont elle dispose, la ressource heure machine est rare.
•La contrainte relative à la ressource heure ouvrier est non saturée, l’entreprise n’a
utilisé que 530 heure et dispose d’un excès de ressources de 270 heures, la ressource
heures ouvrier est abondante
.
•La contrainte relative à la ressource heure technicien est saturée, l’entreprise à utilisée
la totalité des ressources dont elle dispose, la ressource heure technicien est rare.

18. 18
Autres outils de résolution:
Algorithme de simplexe ou « algorithme de Dantzig »
ou « méthode des tableaux » : une méthode itérative qui permet de trouver la
solution d’un programme linéaire.
Logiciel: solveur excel, lindo, matlab , etc

19. 19
Utilisation du logiciel Lindo pour résoudre le PL de l’entreprise Pyrofour:

20. 20
Initiation à l’utilisation du Logiciel LINDO

21. Soit le programme linéaire suivant:
Sous les contraintes
 Économiques
 de signe
21
La forme canonique, la forme standard et la forme matricielle d’un PL
! Pour mieux appréhender l’interprétation du rapport LINDO
La forme canonique d’un PL
La forme canonique d’un programme linéaire est donc une fonction objectif
à optimiser sous des contraintes d’inégalité.

22. 22
Passage de la forme canonique à la forme standard :
Passage des inéquations aux équations :
Introduction de variable d’écart « e » à la valeur de la contrainte
pour toutes les inéquations de la forme canonique.
Pour les inéquations d’infériorité
Exemple :
La forme standard d’un programme linéaire est donc une fonction
objectif à maximiser sous des contraintes d’égalité.

23. Fonction objectif
sous les contraintes
 Économiques
 de signe
23
La forme standard

24. 24
La forme standard sous forme matricielle
F=

25. 25
c- Interprétation des résultats à partir du rapport Lindo
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
Ceci veut dire que le programme linéaire admet une solution optimale finie, et
qu’elle a été obtenue suite à deux itérations de l’algorithme du simplexe.
1) 117000 um 1) correspond à l’interprétation de la première ligne lors de l’écriture du
programme
Cette valeur représente la valeur de la fonction objectif à l’optimalité.
VARIABLE VALUE REDUCED COST
X1 30.000000 0.000000
X2 40.000000 0.000000
à l’optimum :
• x1= 30 unités de fours F1.
• x2= 40 unités de fours F2.
Le coût réduit (reduced cost) est nul pour x1et pour x2 car à l’optimum x1>0 et
x2 >0. Elles sont deux variables de base.

26. 26
• ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 100.000000
3) 270.000000 0.000000
4) 0.000000 250.000000
• 2) correspond à la 1ère contrainte
e1 représentent les marges entre les valeurs limites des contraintes et les valeurs techniquement utilisées.
e1=0 les contraintes 1 relative aux heures machines est saturée. La ressource heure machine est une
ressource rare son prix fictif (dual price ou Cm) est égale à 100 um, une augmentation du second
membre de cette contrainte d’une unité engendre un augmentation e la valeur de la fonction objectif de
100 um.
• 3) correspond à la 2ème contrainte
e2=270 heures ouvriers, la contraintes 2 n’est pas saturées car il reste encore270 heures. Le fait de
disposer d’une unité supplémentaire de ce bien n’aura aucune influence sur la valeur de la fonction
objectif. On dit alors que ce bien à une valeur marginale nulle, ou par extension, que la variable d’écart
associée à ce bien a une valeur marginale nulle
•4) correspond à la 3ème contrainte
• e3=0 les contraintes 3 relatives aux heures techniciens est saturée. La ressource heure technicien est
une ressource rare son prix fictif (dual price ou Cm) est égale à 250 um, une augmentation du second
membre de cette contrainte d’une unité engendre un augmentation e la valeur de la fonction objectif de
250 um,
c- Interprétation des résultats

27. 27
le coût ( ou valeur ) marginal ou dual price
Les variations de la valeur de la fonction objectif par des variations
marginales (des petites variations) sur une contrainte sont données par les
valeurs des variables d’écart dans la fonction objectif.
On l’appelle aussi prix fictif
C’est le prix que l'entreprise est disposé à payer pour l’achat d’une unité
supplémentaire de ressource donnée.
Si ei=0 alors son prix fictif ≠0, la ressource i est totalement utilisée (la
contrainte i est saturée). Par la suite une variation de la disponibilité aura
généralement une influence sur la fonction objectif.
Si ei≠0 alors, la ressource i est excédentaire ( la contrainte i n’est pas saturée).
Par conséquent, le fait de disposer d’une unité supplémentaire de ce bien n’aura
aucune influence sur la fonction objectif.

28. 28
En utilisant la commande tableau dans l’icône reprts, LINDO affiche aussi le tableau de simplexe
relatif à la solution optimale (voir présentation II MOAD),
THE TABLEAU
ROW (BASIS) X1 X2 SLK 2 SLK 3 SLK 4
1 ART 0.00E+00 0.00E+00 0.10E+03 0.00E+00 0.25E+03 0.12E+06 ( soit 117000)
2 X1 1.000 0.000 0.333 0.000 -0.167 30.000
3 SLK 3 0.000 0.000 -0.556 1.000 -1.056 270.000
4 X2 0.000 1.000 -0.222 0.000 0.278 40.000
La première colonne nous donne les variables de base: X1=30 fours , X2 =40 fours et e2= 270h.
Par convention les variables de base sont ≠ 0
On vérifie bien que l’écriture matricielle des variables de base (x1 et x2) fait apparaître 1 et 0
La première ligne nous donnes les valeurs marginales ( reduced cost pour les variable de base et
dual prices les variables hors base)
Par convention les variables de base sont = 0: e1=0 et e3=0
La dernière colonne est relative à la colonne résultat.
Les autres valeurs seront utilisés au cours du développement de la parie relative à l’analyse de la
sensibilité.
Variables de base Variables hors base

29. Et si on évalue notre niveau d’apprentissage!
29
Soit le polygone des contraintes et la droite des bénéfices associés à un problème
d’optimisation.
Quel est le point du polygone qui semble permettre de trouver les quantités x et y a
produire pour obtenir un bénéfice maximal ?
1- c
2- I
3- B
Question 1

30. 30
Question 2
Deux engrais différents, appelés E1 et E2 sont conditionnés ensemble en
boîtes ou en sacs.
Une boîte contient 1 kg d’engrais E1 et 1kg d’engrais E2 au prix de 4 dinars
Un sac contient 1 kg d’engrais E1 et 2kg d’engrais E2 au prix de 6 dinars
On cherche en achetant au moindre coût x boîtes et y sacs à obtenir au
moins:
6 kg d’engrais E1; et
8 kg d’engrais E2.
Quel est le système qui traduit le problème ainsi défini:
Max 4x+6y
Sous les contraintes
x≥0
y≥0
x+2y≤8
x+y≤6
Min 4x+6y
Sous les contraintes
x≥0
y≥0
x+2y≤8
x+y≤6
Min 4x+6y
Sous les contraintes
x≥0
y≥0
x+y≥6
x+2y≥8

31. 31
Est- il toujours possible de résoudre
graphiquement un problème de
programmation linéaire?