cours de transferts radiatifs captation solaire

1. Cours de Transferts de chaleur
Master Energie Solaire
Année: 2021-2022
1

2. Sommaire:
Chapitre 1: la Conduction thermique
• 1.1. Quelques définitions
– Loi de FOURIER
– Etablissement de l'équation de la chaleur en
coordonnées cartésiens
– Bilan énergétique
– Equation de la chaleur en coordonnées
cylindriques ou sphériques
2

3. 1.2. TRANSMISSION DE LA CHALEUR EN
REGIME PERMANENT
– PROBLEME DU MUR
– PROBLEME DU CYLINDRE
– PROBLEME DE LA SPHERE
– CONDUCTION A TRAVERS PLUSIEURS CORPS PLACES EN SERIE OU en
PARALLELE
1.3. TRANSMISSION DE CHALEUR PAR CONDUCTION
EN REGIME VARIABLE
• Problématique:
– Solide isotherme à tout instant
– Solide en condition périodique
– Régime variable quelconque
3

4. 1.1. Quelques définitions
• A) Flux de chaleur
• Flux de chaleur à travers une surface:
• la quantité de chaleur qui traverse la surface
considérée pendant l'unité de temps:
• dφ = d2Q /dt
• L'unité dans le système international est le Watt
• Densité de flux de chaleur
• C'est la quantité de chaleur qui traverse l'unité de
surface pendant l'unité de temps:
• ϕ = dφ /dS
• En W/m2
4

5. Surfaces isothermes
• Considérons dans un corps homogène un champ
de température T défini en chaque point et à
chaque instant par la fonction T = f (x, y, z, t)
. x, y, z sont les variables spatiales, t est le temps.
Gradient de température
• Le gradient de température est le vecteur qui
caractérise en un point donné la variation de la
fonction température. Ce vecteur est en tout
point normal à la surface isotherme passant par
ce point.
• On le note par: )
,
,
(
)
( z
y
x
T
M
T
grad 


5

6. b) Loi de FOURIER:
• Considérons un point M quelconque en un milieu solide D,
ayant sa normale unitaire n.
• La quantité de chaleur d2Q qui traverse la surface dS pendant
l'intervalle de temps dt dans le sens de la normale n est donnée
par la loi de FOURIER :
• d2Q = −λ . grad T . n. dS.dt
• Où:
• λ est un coefficient appelé conductivité thermique du matériau
(en W/m.°C)
(D)
n























z
T
y
T
x
T
T
grad
6

7. • (flux de chaleur):
• densité de flux de chaleur:
• La présence du signe - dans le second membre des relations
signifie que le flux de chaleur progresse dans le sens opposé
au gradient de température c'est à dire des températures les
plus élevées vers les températures les plus basses
• Si la surface dS est située sur une surface isotherme les
vecteurs grad T et n sont colinéaires.
dS
n
T
grad
dt
Q
d
d .
.
2






n
T
grad
dt
Q
d
dS
d 
.
2

 




7

8. • Quelques valeurs de conductivité thermiques:
Substances λ en W/ m°C
-Gaz à la pression atmosphérique
-Matériaux solides isolants (Laine
de verre, polystyrène, liège,
amiante...)
- Liquides non métalliques
- Matériaux non métalliques
(brique, pierre à bâtir, béton,
bois..)
- Métaux liquides
-Alliages métalliques
0,006 - 0,15
0,025 - 0,18
0,075 -0,60
0,10 - 2,2
7,5 – 67
12 - 100
Métaux purs 45 - 365
8

9. 1.2. EQUATION GENERALE DE LA CHALEUR
• a) Définition: Considérons un champ de température T (x, y,
z, t) dans un volume Δ limité par une surface Σ d'un corps
quelconque de masse volumique ρ , de chaleur massique à
volume constant Cv et de conductivité thermique λ
• En un point M de la surface Σ, considérons un élément de
surface dS et n le vecteur
• unitaire de la normale en M
• orienté vers l’extérieur.
• Soit d2Q1 la quantité de chaleur
• qui pénètre dans le volume
• Δ à travers dS pendant l'intervalle
• de temps dt,
D
n
S
dS
dt
dS
n
T
grad
Q
d .
.
1
2 



9

10. • La quantité de chaleur totale qui pénètre dans le volume Δ à
travers la surface Σ pendant dt est alors donné par :
• Transformons cette intégrale de surface en une intégrale de
volume à l’aide de l’expression:
• Soit:
• où dV est un élément de volume pris à l'intérieur de Δ .
dt
dS
n
T
grad
Q .
.
1



 S

 S
D
 dS
n
F
dV
F
div .
 dV
T
grad
div
dt
dS
n
T
grad
Q 
 D
S

 
 .
.
1

10

11. • Calculons maintenant la quantité de chaleur Q2 créée dans le
volume Δ. En effet dans le cas général d'un corps quelconque il
peut y avoir création de chaleur dans la masse.
• Soit P (x,y,z,t) le flux de chaleur créé par unité de volume. Q2
est alors donnée par la formule :
• Q2 = ∫∫∫Δ P (x, y, z, t) dV dt
• Faisons maintenant le bilan énergétique pour le volume Δ, ce
qui nous permet d'écrire:
Q1 + Q2 = Q3
• où Q3 représentera la quantité de chaleur nécessaire à la
variation de température dT du volume Δ .
• Si (∂T/dt)dt représente la variation de température du volume
dV pendant dt, l'équation de la calorimétrie permet d'écrire :
• d2 Q3 = ρ Cv dT dV = dtdV
t
T
Cv



11

12. • Soit en intégrant sur le volume:
• D’ou l’équation de bilan:
• La relation locale du bilan:
• On développe le premier terme:
• Or
• Laplacien de T(x,y,z,t)
 


V
v dtdV
t
T
C
Q 
3
  dVdt
t
T
C
dVdt
t
z
y
x
P
dVdt
T
grad
div v


 D
D
D 


 
 )
,
,
,
(
  t
T
C
t
z
y
x
P
T
grad
div v



 
 )
,
,
,
(
    T
grad
grad
T
grad
div
T
grad
div 

 

  t
T
C
t
z
y
x
P
T
grad
grad
T
grad
div v




 

 )
,
,
,
(
.
  2
2
2
2
2
2
z
T
y
T
x
T
T
T
grad
div









D

12

13. • L'expression ainsi obtenue représente l'équation de la chaleur
régissant les transferts par conduction en régime variable des
températures avec création de chaleur dans la masse et une
conductivité λ fonction des variables spatiales et
éventuellement du temps.
• Lorsque la conductivité thermique est constante:
• On définit la diffusivité thermique a: (en m2.s-1)
•
;
)
,
,
,
(
.
t
T
C
t
z
y
x
P
T
grad
grad
T v





D 


t
T
C
t
z
y
x
P
T v




D


)
,
,
,
(
v
C
a



13

14. b) Conditions frontières et initiales:
• L'équation différentielle obtenue précédemment est:
• - du 2eme ordre par rapport à x, y et z
• - du 1er ordre par rapport à t
• Pour la résoudre il faut :
• - 2 conditions frontières sur x
• - 2 conditions frontières sur y
• - 2 conditions frontières sur z
• - 1 condition sur le temps t
• La condition sur le temps est en général associée à la
connaissance du système au début du processus de transfert
et on parle donc de condition initiale (à t=0) (CI).
• Les conditions frontières (CF), sur les variables d'espace,
définissent les phénomènes qui s'observent sur les surfaces
délimitant l'objet considéré. (ou conditions limites CL)
14

15. • Les différentes situations qui pourront être rencontrées
sur une surface:
• 1) la température est connue
• 2) la densité de flux est connue
– 2.a) la densité de flux, est non nulle
– 2.b) la densité de flux est nulle, ce qui veut dire que la paroi est isolée.
• 3) sur la surface il y a échange par convection avec le milieu
environnant à la température TE. En ce lieu, on applique la loi de
refroidissement de Newton:
• h est le coefficient d’échange par convection (W/m2K),
• Plus généralement, on pourra écrire que la densité de flux qui arrive
par conduction de l'intérieur de l'objet repart à l'extérieur suivant
un certain mécanisme: convection, radiation, évaporation ou
condensation
15

16. • 4) la surface de l'objet est en contact parfait avec un
autre solide dont on cherche aussi le champ de
température (interface solide-solide). En ce lieu, il y a
donc égalité des températures et des densités de
flux.
• Bilan d’énergie:
• [CE QUI RENTRE]−[CE QUI SORT ]+ [CE QUI EST GÉNÉRÉ] = [CE QUI S '
ACCUMULE]
16

17. 17

18. C) Equation de la chaleur en coordonnées cylindriques ou
sphériques:
• Les Coordonnées cylindriques:
• Toutes les expressions précédentes sont valables en
coordonnées cylindriques (r, ϕ , z) à condition d'utiliser
l'expression convenable du Laplacien qui est dans ce cas :
18

19. • Problème à Symétrie axiale: T = f(r,t)
• l'équation de la chaleur est obtenu directement en faisant le bilan
énergétique
• Le volume élémentaire choisi est l'espace compris entre deux cylindres
d'axe Oz de rayon r et r + dr, limité par deux plans perpendiculaires à Oz.
• Surface interne:
• Surface externe:
• la quantité de chaleur pénétrant dans dV
Pendant l'intervalle de temps dt est égale à :
Finalement le bilan thermique s’écrit:
19
 
drdt
r
T
r
r
h
drdt
r
dr
r
r
T
r
r
T
dr
r
h
dq
dq r
dr
r
dr
r
r 



















 
 


 2
2
cp

20. Équation de diffusion thermique en coordonnées
sphériques
20
t
T
c
r
T
r
r
r
p















1
Équation de diffusion thermique en coordonnées
cylindriques sans source interne:
k   ; la conductivité thermique du milieu ; q ‘’: source de chaleur interne

21. 1.3. Conduction unidirectionnelle en régime
permanent
• Cas particulier: Régime permanent à température
constante: DT = 0
• Mur plan sans génération de chaleur
• Considérons un mur plan d’épaisseur L, de surface A dont les
faces sont à des températures connues TS1et TS2
• conduction unidirectionnelle : T = T(x)
• Bilan de chaleur: Ein − Eout + EG = Eacc => Ein = Eout
21

22. Notion de résistance thermique
• le flux de chaleur qui passe au travers du mur:
• x=x A==
•
• en électricité la loi d'Ohm: U2-U1 = R I (qui relie une différence
de potentiel à une intensité de courant); par analogie, on peut
relier la différence de température dans le mur au flux de
chaleur qui passe au travers en définissant la résistance
thermique R:
• Ts1-Ts2= R.x
• R = L/kA
22

23. Mur plan avec convection aux surfaces
• La solution précédente (équation 2) est toujours valable sauf que les
températures de surface ne sont pas connues. Les nouvelles conditions
frontières s'écrivent:
• On multiplie chaque membre des équations précédentes par
A
• On ajoute ces relations membre à membre, les température de
surface TS1 et TS2 disparaissent et on fait apparaître la résistance
thermique totale du système :
23

24. Application : mur composite (ou multicouches)
• La différence de température est égale à la résistance
équivalente multipliée par le flux:
• La résistance totale est la somme des résistances:
24
x
x
Tot
s
h
k
L
k
L
k
L
k
L
h
A
R
T
T 








 )
1
1
(
1
*
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0
0
)
1
1
(
1
5
4
4
3
3
2
2
1
1
0 h
k
L
k
L
k
L
k
L
h
A
RTot 






25. Coefficient de transmission global:
• On définit un coefficient de transmission U égale à l’inverse
de la résistance globale:
• U = 1/RA; en [W/m2K]
• avec R en [K/W]
• Ou bien:
• Où Rth: en [m2K/W]
25
e
i i
i
i
th
th
h
k
L
h
R
R
U
1
1
;
1






26. Exercice 1:
Vous souhaitez isoler la paroi intérieure d'un mur d'une maison. Ce
mur en brique, d'épaisseur LB=0.25 m, a une conductivité
thermique kB=0.72 W/m/°C. En utilisant le concept de résistance
thermique (on présentera une schéma du problème réel ainsi que
le schéma correspondant des résistances thermiques),
1) Déterminez l'épaisseur de la couche d'isolant (laine de verre,
kIv=0.043 W/m/°C) à installer pour limiter les pertes thermiques à
une valeur de 50 W/m2 dans les conditions suivantes d'utilisation:
• - température intérieure de la pièce T1 = 20°C
• - température extérieure de l'air T2 = 0°C
• - coefficient de transfert de chaleur dans la pièce h1=10 W/m2/°C
• - coefficient de transfert de chaleur à l'extérieur h2=100 W/m2/°C
2) Quelles seraient les pertes thermiques sans isolation ?
26

27. Exercice 2:
Soit un cylindre creux infiniment long (on néglige les effets de
bords) dont les températures des surfaces intérieure et
extérieure sont respectivement TS1 et TS2.
Hypothèses:
1) Etablir un bilan thermique et en déduire
L’expression de T(r) ensuite celle du flux
2) En déduire l’expression de la résistance R
3) En tenant compte d’une convection en surface, de coefficients
h1 et h2, déterminer l’expression de la résistance totale RT.
27

28. 1) Bilan thermique:
Ein- Eout+EG= Eacc => Ein- Eout= 0
2rL q’’(r) – 2rL q’’(r+dr) = 0
Soit en divisant par 2Ldr:
1)
• Pour trouver les constantes d'intégrations C1 ,C2 , on écrit les
conditions frontières:
•
• On trouve:
28
 
  0
"
)
(
'
'
)
(
'
'







r
r
rq
dr
dr
r
rq
r
rq

29. • En simplifiant:
• En utilisant la loi de Fourier, la densité de flux se calcule à
partir de cette dernière équation
• 2) on déduit R:
29

30. 3) Cas avec convection sur les surfaces
• or
30

31. Conduction dans une ailette
rectangulaire
• La fonction d'une ailette est d'augmenter la surface
d'échange d'un objet donné. L'augmentation de
cette surface favorise donc le transfert de chaleur.
• On retrouve des ailettes dans de nombreux
dispositifs utilisés quotidiennement: plinthe
électrique, radiateur d'automobile, circuit
électronique.
• Ces ailettes peuvent avoir des formes géométriques
très diverses (rectangulaire, triangulaire, circulaire,
conique etc).
31

32. • Faisons l'analyse du transfert de chaleur en régime
permanent dans une ailette rectangulaire: largeur W,
longueur L, épaisseur t, à la surface de laquelle il y a
échange par convection avec un coefficient h.
Hypothèses:
• pas de génération de chaleur :EG=0,
• Régime permanent :
• k=constante
• conduction unidirectionnelle : T = T(x)
32

33. • Bilan de chaleur:
• =>
• les termes 2(W+t) et W t correspondent
• respectivement au périmètre et
• à la section de l'ailette.
33
out
in E
E 
0
)
)
(
(
)
(
2
'
'
'
'


D


 
D

T
x
T
h
x
t
W
q
t
W
q
t
W
x
x
x
x
x

34. • Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du second ordre
à coefficients constants.
• Le polynôme caractéristique associé est: r2 −m2 = 0 . Celui-ci a
deux racines réelles +m, m− . La solution de cette équation
différentielle est donc:
34
mx
mx
e
C
e
C
x 

 2
1
)
(


35. 35